育達系列 1 創新研發
數學(C).doc(07)
107 學年度四技二專統一入學測驗
數學(C) 試題
數學 C 參考公式
1. 首項為 a
1
，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S
n
＝
2
)
d
)
1
n
(
a
2
(
n
1
－
＋
首項為 a
1
，公比為 r(r≠ 1)的等比數列前 n 項之和為 S
n
＝
r
1
)
r
1
(
a
n
1
－
－
2. △ ABC 的面積＝
)
c
s
)(
b
s
)(
a
s
(
s
－
－
－
＝rs，其中 s＝
2
c
b
a
＋
＋
，r 為內切圓半徑
3. 圓 C：(x－h)
2
＋(y－k)
2
＝r
2
的參數式為
θ
＋
＝
θ
＋
＝
sin
r
k
y
cos
r
h
x
，其中 0≦ θ ＜2π ，式子
中的θ 為參數
4. 點 P(x
0
, y
0
)到直線 L：ax＋by＋c＝0 的距離為
2
2
0
0
b
a
|
c
by
ax
|
＋
＋
＋
5. 三角函數的二倍角公式：
sin 2θ ＝2sinθ cosθ
cos 2θ ＝cos
2
θ －sin
2
θ ＝2cos
2
θ －1＝1－2sin
2
θ
1. 已知直線 L
1
通過(2 , 3)、(1 , 5)兩點，且直線 L
2
的 x 截距是 1、y 截距是 4。若 L
1
與 L
2
的斜率分別為 m
1
與 m
2
，則下列何者正確？
(A)0＜m
1
＜m
2
(B)m
1
＜0＜m
2
(C)m
2
＜0＜m
1
(D)m
2
＜m
1
＜0。
2. 若兩直線 3x＋4y＝6 與 9x＋12y＝k 的距離為 2，則 k 的值可能為下列何者？
(A)－48
(B)－12
(C)10
(D)24。
3. 設 b
1
、b
2
、b
3
、c
1
、c
2
及 c
3
均為實數，若二階行列式
3
3
2
2
c
b
c
b
＝13、
3
3
1
1
c
b
c
b
＝7、
2
2
1
1
c
b
c
b
＝2，則三階行列式
3
3
2
2
1
1
c
b
3
c
b
2
c
b
1
＝？
(A)5
(B)13
(C)25
(D)33。
育達系列 2 創新研發
4. 某線上遊戲每場比賽可得的分數分別為 0 分、1 分、2 分、3 分，現在 A , B, C 三
人分別玩此線上遊戲 20 場，得分情形如表(一)。若 a , b , c 分別為三人得分的平
均分數，則下列何者正確？
(A)a＞b
(B)c＞a
(C)b＞c
(D)c＋0.5＝a。
表(一)
5. 坐標平面上滿足不等式
0
y
0
x
8
y
2
x
10
y
x
2
≧
，
≧
≦
＋
≦
＋
的區域面積為何？
(A)12
(B)13
(C)15
(D)16。
6. 若編號為 1 , 2 , 3 ,…, 10 的十顆羽毛球中，任意取出三顆作為比賽用球，則編號
2 與編號 3 均被取出的機率為何？
(A)
20
1
(B)
15
1
(C)
20
3
(D)
10
3 。
7. 設三角形三邊長分別為 5、6、7，若三角形面積為 A，內切圓半徑為 r，則 A‧ r
＝？
(A)24
(B)35
(C)105
(D)210。
8. cos0°＋cos10°＋cos20°＋cos30°＋...＋cos350°＋cos360°＝？
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3。
9. 若 f(x)＝x
4
－x
3
＋kx
2
－2 為整係數多項式，其中 k＞0 且 f(x)有整係數一次因式 x
－h，則 k＋h＝？
(A)3
(B)2
(C)1
(D)0。
10. 設
3
z
2
y
x
5
12
z
y
4
x
2
15
z
y
5
x
3
＝
＋
＋
＝
＋
＋
＝
＋
＋
，則 y＝？
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5。
11. 已知 z＝
2
1 －
2
3
i，且 z 為其共軛複數。若
z
1
z
1
＋
＋ ＝a＋bi，其中 a , b 為實數，
則點(a , b)在第幾象限？
(A)一
(B)二
(C)三
(D)四。
育達系列 3 創新研發
12. 若 x＝
9
log
7
log
10
10
，則 81
x
＝？
(A)3
(B)7
(C)25
(D)49。
13.
10
1
n
n
)
2
n
3
2
(
＝
＋
＋
＝？
(A)1268
(B)1298
(C)2017
(D)2231。
14. 若從 11 件相異物中分別取出 5、6、7 件的組合數分別為 A、B、C，而從 12 件
相異物中取出 6 件的組合數為 D，則下列何者正確？
(A)B＞A
(B)C＞A
(C)D＝A＋B
(D)D＝B＋C。
15. 設點 O
1
為圓 C：x
2
＋y
2
－6x＋4y＋9＝0 之圓心。今以另一點 O
2
為圓心、
2
1
O
O
為
半徑作一圓，且此圓與圓 C 交於 A、B 兩點。若
2
AO ＝3，則 AB ＝？
(A)
3
2
2
(B)
3
2
4
(C)2 2
(D)
3
2
8
。
16.
0
4
dx
|
5
x
2
|
－
＋
＝？
(A)
2
17
(B)8
(C)
4
17
(D)4。
17. 若直線 L 過點(9 , 5)，且與函數 y＝f(x)的圖形相切於點(3 , 1)，則
h
)
3
(
f
)
h
3
(
f
lim
0
h
－
＋
＝？
(A)
3
1
(B)
3
2
(C)
2
3
(D)3。
18. 若函數 f(x)的導函數 f '(x)＝x
2
－2x－3，且 f(0)＝6，則 f(x)的相對極小值為何？
(A)－5
(B)－4
(C)－3
(D)－2。
19.
2
1
4
1
3
dx
)
1
x
4
(
－
＝？
(A)
16
1
(B)
12
1
(C)
4
1
(D)
3
1 。
20. 若一元二次方程式 x
2
＋(a－5)x＋a＋3＝0 有兩正根，滿足 a 的實數解為 m＜a≦ n，
則 m＋n＝？
(A)－4
(B)－3
(C)－2
(D)1。
21. 若 tan19°＝a，則 sin 2018°＝？
(A)
2
a
1
2
＋
－
(B)
2
a
1
a
2
＋
－
(C)
2
a
1
a
＋
(D)
2
a
1
1
＋
。
育達系列 4 創新研發
22. 設 f(x)＝4sin x＋cos(2x)＋7 的最小值為 m，最大值為 M，則 m＋M＝？
(A)－7
(B)1
(C)12
(D)21。
23. 設 a＝log
0.3
0.5、b＝log
3
5、c＝log
30
50，則 a、b、c 大小順序為何？
(A)c＞b＞a
(B)b＞a＞c
(C)b＞c＞a
(D)a＞b＞c。
24. 同時投擲四個公正骰子，點數 3 出現至多一次的情形共有幾種？
(A)1125
(B)1185
(C)1245
(D)1365。
25. 設 P(x , y)為圓 x
2
＋y
2
－6x＋8y＝0 上的動點，若 4x＋3y＋5 的最大值為 M，最小
值為 m，則 M＋m＝？
(A)－5
(B)0
(C)5
(D)10。
【解答】
1.(D)
2.(B)
3.(A)
4.(C)
5.(B)
6.(B)
7.(A)
8.(B)
9.(A) 10.(B)
11.(D) 12.(D) 13.(D) 14.(C) 15.(D) 16.(A) 17.(B) 18.(C) 19.(A) 20.(C)
21.(B) 22.(C) 23.(C) 24.(A) 25.(D)
育達系列 1 創新研發
107 學年度四技二專統一入學測驗
數學(C) 試題詳解
1.(D)
2.(B)
3.(A)
4.(C)
5.(B)
6.(B)
7.(A)
8.(B)
9.(A) 10.(B)
11.(D) 12.(D) 13.(D) 14.(C) 15.(D) 16.(A) 17.(B) 18.(C) 19.(A) 20.(C)
21.(B) 22.(C) 23.(C) 24.(A) 25.(D)
1. m
1
＝
1
2
5
3
－
－ ＝－2
L
2
)
4
,
0
(
4
y
)
0
,
1
(
1
x
截距
截距
∴ m
2
＝
0
1
4
0
－
－ ＝－4
故：m
2
＜m
1
＜0
2.
k
y
12
x
9
18
y
12
x
9
＝
＋
＝
＋
d(平行線)＝2
2
2
12
9
|
18
k
|
＋
－
＝2 |k－18|＝30
k－18＝±30 k＝48 or k＝－12
3.
降階
↓
3
3
2
2
1
1
c
b
3
c
b
2
c
b
1
＝1‧
3
3
2
2
c
b
c
b
－2
3
3
1
1
c
b
c
b
＋3
2
2
1
1
c
b
c
b
＝1‧ 13－2‧ 7＋3‧ 2＝5
4. a＝
20
3
4
2
5
1
8
0
3
‧
‧
＋
‧
＋
‧
＝
20
30
b＝
20
3
5
2
6
1
4
0
5
‧
＋
‧
＋
‧
＋
‧
＝
20
31
c＝
20
3
6
2
3
1
5
0
6
‧
＋
‧
＋
‧
＋
‧
＝
20
29
b＞c
育達系列 2 創新研發
5. 區域面積＝
2
1
|
0
4
2
0
0
0
0
4
5
0
|＝
2
1
|26|＝13
6. 樣本空間＝
10
3
C ＝120
欲求情形數 自 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 中任取一球搭配
3
2
編號
編號
8
1
C ＝8
∴ P＝
120
8
＝
15
1
7. S＝
2
7
6
5
＋
＋
＝9
A＝
)
c
S
)(
b
S
)(
a
S
(
S
－
－
－
＝
2
3
4
9
‧
‧
‧
＝6 6
A＝r‧ S
6 6 ＝r‧ 9
r＝
3
6
2
故 A‧ r＝6 6 ‧
3
6
2
＝24
8. 原式＝cos0°＋cos90°＋cos180°＋cos270°＋cos360°＝1＋0＋(－1)＋0＋1＝1
9. 根可能為±1，±2
f(1)＝0 1－1＋k－2＝0 k＝2 因式 x－1，h－1；故 k＋h＝3
f(－1)＝0 1＋1＋k－2＝0 k＝0(不合)
f(2)＝0 16－8＋4k－2＝0 k＝－
2
3
(不合)
f(－2)＝0 16＋8＋4k－2＝0 k＝－
2
11
(不合)
10.
)
3
(
3
z
2
y
x
5
)
2
(
12
z
y
4
x
2
)
1
(
15
z
y
5
x
3
＝
＋
＋
＝
＋
＋
＝
＋
＋
由(1)－(2)：x＋y＝3…(4)
(3)－(2)×2：x－7y＝－21…(5)
(4)－(5)：8y＝24
y＝3
育達系列 3 創新研發
11. 《法一》z＝
2
1 －
2
3
i
z ＝
2
1 ＋
2
3
i
z
1
z
1
＋
＋ ＝
i
2
3
2
3
i
2
3
2
3
＋
－
＝
)
i
3
3
)(
i
3
3
(
)
i
3
3
)(
i
3
3
(
－
＋
－
－
＝
2
2
i
3
9
i
3
i
3
6
9
－
＋
－
＝
12
i
3
6
6－
＝
2
1 －
2
3
i
∴ a＝
2
1 ，b＝－
2
3 (a , b)Ⅳ
《法二》∵ | z |＝1 z． z ＝1
z
1
z
1
＋
＋ ＝
z
1
z
z
z
＋
＋
．
＝
z
1
)
1
z
(
z
＋
＋ ＝z＝
2
1 －
2
3
i
∴ a＝
2
1 ，b＝－
2
3 (a , b)Ⅳ
12. x＝
9
log
7
log
10
10
＝log
9
7
81
x
＝
7
log
9
81
＝
49
log
81
81
＝49
13.
10
1
n
n
)
2
n
3
2
(
＝
＋
＋
＝
10
1
n
10
1
n
10
1
n
n
2
n
3
2
＝
＝
＝
＋
＋
＝
1
2
)
1
2
(
2
10
－
－
＋3‧
2
)
1
10
(
10
＋ ＋2‧ 10＝2231
14.
A＝
11
5
C ＝462
B＝
11
6
C
11
5
C ＝
11
6
C A＝B
C＝
11
7
C ＝
11
4
C ＝330
D＝
12
6
C ＝924
D＝A＋B
15. C：x
2
＋y
2
－6x＋4y＋9＝0
2
9
4
4
)
6
(
2
1
r
)
2
,
3
(
O
2
2
1
1
＝
‧
－
＋
－
＝
－
△ AO
1
O
2
之三邊為 2 , 3 , 3
2
2
1
1
2
4
O
AO
4
2
3
3
2
S
2
1
＝
‧
‧
‧
＝
△
＝
＋
＋
＝
△ AO
1
O
2
＝
2
AD
O
O
2
1
‧
2 2 ＝
2
AD
3‧
AD =
3
2
4
故 AB＝2 AD ＝
3
2
8
育達系列 4 創新研發
16.
0
4
dx
|
5
x
2
|
－
＋
＝
0
2
5
dx
)
5
x
2
(
－
＋
＋
2
5
4
dx
)
5
x
2
(
－
－
－
－
＝(2‧
2
x
2
＋5x)
0
2
5
－
＋(－2‧
2
x
2
－5x)
2
5
4
－
－
＝(x
2
＋5x)
0
2
5
－
＋(－x
2
－5x)
2
5
4
－
－
＝0－(
4
25 －
2
25
)＋(－
4
25 ＋
2
25
)－(－16＋20)＝
2
17
17. 切線 L 過(9 , 5)，(3 , 1) m
切
＝
3
9
1
5
－
－ ＝
3
2 ；切點(3 , 1)
h
)
3
(
f
)
h
3
(
f
lim
0
h
－
＋
＝f '(3)＝m
切
＝
3
2
18. 極值發生
f '(x)＝0 x
2
－2x－3＝0 (x－3)(x＋1)＝0
x＝3 or x＝－1
f '(x)＝x
2
－2x－3；f(x)＝
dx
)
x
(
'
f
＝
dx
)
3
x
2
x
(
2
＝
3
x
3
－2‧
2
x
2
－3x＋c
f "(x)＝2x－2 f(0)＝6 c＝6 f(x)＝
3
1
x
3
－x
2
－3x＋6
f "(3)＞0 極小點(3 , f(3))＝(3 , －3) 相對極小值為－3
f "(－1)＜0 極大點
19. 令 u＝4x－1
0
u
4
1
x
1
u
2
1
x
＝
＝
＝
＝
dx
du ＝4 dx＝
4
du
2
1
4
1
3
dx
)
1
x
4
(
－
＝
1
0
3
u ‧
4
du ＝
4
1 ‧
1
0
4
4
u
＝
16
1 －
16
0 ＝
16
1
20. x
2
＋(a－5)x＋a＋3＝0
(1)二根和＝5－a＞0 a＜5
(2)二根積＝a＋3＞0 a＞－3
(3)B
2
－4AC≧ 0 (a－5)
2
－4‧ 1‧ (a＋3)≧ 0 a
2
－14a＋13≧ 0
(a－1)(a－13)≧ 0 a≧ 13 or a≦ 1
由(1)∩ (2)∩ (3)
－3＜a≦ 1 m＝－3，n＝1 m＋n＝－2
育達系列 5 創新研發
21. tan19°＝
1
a
sin2018°＝sin218°＝sin(180°＋38°)＝－sin38°＝－2‧ sin19°‧ cos19°
＝－2‧
1
a
a
2
＋
‧
1
a
1
2
＋
＝
2
a
1
a
2
＋
－
22. f(x)＝4sinx＋cos(2x)＋7＝4sinx＋1－2sin
2
x＋7＝－2sin
2
x＋4sinx＋8
＝－2(sin
2
x－2sinx＋1)＋8＋2＝－2(sinx－1)
2
＋10
當
2
m
1
x
sin
10
M
1
x
sin
＝
時有
＝－
＝
時有
＝
m＋M＝12
23. a＝log
0.3
0.5＝
3
.
0
log
5
.
0
log
＝
10
log
3
log
10
log
5
log
－
－
＝
5229
.
0
3010
.
0
－
－
＝
5229
.
0
3010
.
0
≒ 0.58
b＝log
3
5＝
3
log
5
log
＝
4771
.
0
6990
.
0
≒ 1.47
c＝log
30
50＝
30
log
50
log
＝
10
log
3
log
10
log
5
log
＋
＋
＝
4771
.
1
6990
.
1
≒ 1.15
故 b＞c＞a
24.
骰子：
A
B
C
D
(1)都沒有點數 3
5× 5× 5× 5＝625
(2)只有 1 個點數 3
A
3
點
；B , C , D
非
3
點
…1× 5× 5× 5＝125
B
3
點
；A , C , D
非
3
點
C
3
點
；A , B , D
非
3
點
D
3
點
；A , B , C
非
3
點
125× 4＝500 1125
25. C：x
2
＋y
2
－6x＋8y＝0
5
8
)
6
(
2
1
r
)
4
,
3
(
O
2
2
＝
＋
－
＝
－
P
θ
‧
＋
＝－
θ
‧
＋
＝
sin
5
4
y
cos
5
3
x
(θ R)
所求＝4x＋3y＋5＝4(3＋5cosθ )＋3(－4＋5sinθ )＋5＝15sinθ ＋20cosθ ＋5
－
2
2
20
15 ＋
＋5≦ 15sinθ ＋20cosθ ＋5≦
2
2
20
15 ＋
＋5
－20≦ 所求≦ 30
故 M＝30，m＝－20 M＋m＝10