育達系列 1 創新研發
數學(A)(12)
112 學年度四技二專統一入學測驗
數學(A) 試題
數學 A 參考公式
1.點 P(x
0
, y
0
)到直線 L：ax＋by＋c＝0 的距離為
2
2
0
0
b
a
|
c
by
ax
|
＋
＋
＋
2.設有一組抽樣資料 x
1
, x
2
, ... , x
N
，則其算術平均數μ＝
N
x
x
x
N
2
1
＋
＋
＋
1. 試問多項式 f(x)＝(9x
2
＋1)(2x－3)＋6 除以 9x
2
＋1 的商式為何？
(A)－6 (B)6
(C)2x＋3 (D)2x－3。
2. 國民健康署建議我國成人身體質量指數(BMI)應維持在 18.5(kg/m
2
)及 24(kg/m
2
)
之間，BMI＝體重/身高平方(kg/m
2
)。若某籃球隊隊員身高為 2 公尺(m)、體重為
x 公斤(kg)，則 x 在下列哪一個範圍時，其 BMI 一定落在前述建議範圍內？
(A)74＜x＜96 (B)80＜x＜102 (C)88＜x＜110 (D)96＜x＜118。
3. 下列不等式的圖解何者沒有經過第二象限？
(A)y≧2x－3 (B)y≧2x＋3 (C)y≦2x－3 (D)y≦2x＋3。
4. 曉鈴要去參加某部落的聚會，她有黃、綠、紅三頂小花帽，也有長袖與短袖兩件
衣服，以及單片和雙片兩件圍裙。若曉鈴穿戴一頂小花帽、一件衣服及一件圍裙
時，則曉鈴有幾種不同的搭配方式？
(A)12 (B)24 (C)36 (D)48。
5. 若直線 L：
2
x
＋
2
y
＝1，則點(－1 ,－1)至直線 L 的距離為何？
(A) 2 (B)1＋ 2 (C)2 2 (D)2＋ 2 。
6. 下列何者在數線上與－2 的距離為 3，與 3 的距離為 2？
(A)－5 (B)0
(C)1 (D)5。
7. 若 a＝sin 137°，則 a 與下列哪一個數值相等？
(A)sin 43° (B)cos
43° (C)－sin 43° (D)－cos 43°。
8. 圖(一)與下列哪一個函數之圖形相同？
(A)sin2x (B)2sinx (C)cos2x (D)2cosx。
圖(一)
育達系列 2 創新研發
9. 若〈a
n
〉為一數列，且其前 n 項和為 S
n
＝n
2
＋n－4，則 a
9
＝？
(A)18 (B)15 (C)12 (D)9。
10. 學生會舉辦電影欣賞，場地最多容納 200 人，依經驗每張門票定價 50 元，可將
200 張全數售出，但會虧損 5400 元。已知將門票定價每提高 1 元，售出門票就
會減少 1 張。若學生會不想虧損，且每張門票訂為 x 元，則 x 應滿足下列哪一個
不等式？
(A)x＞140
(B)x＜110
(C)(x－50)(200－x)≧15400 (D)x(250－x)≧15400。
11. 某醫院有實習醫師 5 人，實習護理師 6 人。若從中選派 3 人到偏鄉服務，其中實
習醫師最多派 2 人，則有多少種選派方法？
(A)155 (B)165 (C)175 (D)185。
12. 若 f(x)＝a(x－1)
2
＋2，其中 a＜0，則下列何者可能為 f(x)之函數圖形上的點？
(A)(0 , 0)
(B)(1 , 0)
(C)(3 , 2)
(D)(3 , 4)。
13. 若直線 L：y－3＝m(x－2)與圓 C：(x－2)
2
＋(y－8)
2
＝5 相切，則|m|＝？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
14. 若 f(x)與 g(x)皆為二次多項式，f(x)－g(x)＝2(x－1)，f(x)＋g(x)＝2x(x－1)，
則 3f(－1)＋2g(－1)＝？
(A)0 (B)2 (C)5 (D)8。
15. 若 x
3
＋9x
2
＋26x＋24 除以 x－1 之餘式為 a，除以 x＋1 之餘式為 b，則 a－b＝？
(A)2 (B)33
(C)54
(D)66。
16. 設 a＞0 且 a≠1，x 為實數，則型如 f(x)＝a
x
之函數，稱為以 a 為底數的指數函數。
下列何者正確？
(A)當 a＞1 時，f(x)＝a
x
為遞減函數
(B)當 0＜a＜1 時，f(x)＝a
－
x
為遞減函數
(C)f(x)＝a
－
x
＜0
(D)f(x)＝a
x
與 f(x)＝a
－
x
的圖形對稱於 y 軸。
17. 試求 log
9
49×log
8
25×log
7
4×log
5
3＝？
(A)
3
2
(B)1
(C)
3
4
(D)2。
18. 投擲一粒公正骰子之樣本空間為 S＝{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}。已知 A 為點數大於或等
於 4 的事件，B 是點數不為 3 的倍數的事件，C 為偶數點數的事件，試求
A∩B∩C 為何？
(A)
(B){ 4 }
(C){ 2 , 6 }
(D){ 2 , 4 , 5 , 6 }。
育達系列 3 創新研發
19. 今有一圓盤如圖(二)標號為 1、2、3 及 4 的四個區域。若隨機旋轉圓盤後，右方
箭頭指向 x 標號區域之機率為
10
x
，即可得 2x 分，則旋轉一次可得分數的期望
值為何？
(A)1 (B)3 (C)6 (D)9。
圖(二)
20. 根據交通部中央氣象局 2022 年 6 月份四個都市氣溫觀測站的資料，製成如表(一)
之氣溫(℃)統計摘要表，試問哪一個都市氣溫觀測站在該月份的氣溫變化最小？
(A)臺北 (B)臺中 (C)臺南 (D)高雄。
2022 年 6 月份氣溫(℃)
統計量
臺北
臺中
臺南
高雄
最大值
35.8 34.6 33.8 34.8
最小值
20.2 22.6 23.9 23.7
平均數
28.1 28.0 29.2 28.6
中位數
28.5 28.2 29.8 28.8
表(一)
21. 某公司有兩種不同工作屬性的員工，分別為行銷業務員 500 名與作業員 1000 名。
假設不同工作屬性的員工對同一件事的意見差異較大，且相同工作屬性的員工對
同一件事的意見差異較小。今欲選取 300 名員工對公司滿意度進行調查，老闆利
用隨機亂數表分別在行銷業務員中抽出 100 名，在作業員中抽出 200 名。試問此
抽樣方式屬於下列哪一種方法？
(A)部落抽樣 (B)分層隨機抽樣 (C)簡單隨機抽樣 (D)系統抽樣。
22. 若以點(－2 , －2)與點(4 , 6)為直徑的圓方程式為 C：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝c
2
，則 a
＋b＋c 之值可能為何？
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6。
育達系列 4 創新研發
23. 因應某地下管線施工，施工單位繪製以公尺為單位的圖(三)，其中道路邊線 L
1
為 3x＋4y＝20 和 L
2
為 3x＋4y＝50，道路中線 M 為 3x＋4y＝35。為配合工程安
全，施工時須圍出一個以點 P(2 , 1)為圓心、半徑為 r 的圓形區域。在圖(三)中圓
形區域只能影響到一個車道的情況下，即圓形區域的半徑 r 滿足 a＜r≦b，試求 a
＋b 之最大值為何？
(A)7 (B)12
(C)17
(D)22。
圖(三)
24. 某研討會會場有 330 個座位，且每一排座位數會比其前一排多 3 個。若第 5 排有
27 個座位，則此會場總計有幾排座位？
(A)14 (B)13 (C)12 (D)11。
25. 張同學從某個星期日開始，規劃連續 7 天來進行數學、英文及國文三科模擬測
驗，每天只考一個科目，且不能連續兩天考同一個科目，試問星期一和星期五都
考數學的規劃有幾種？
(A)32 (B)24 (C)18 (D)12。
數學(A)－【解答】
1.
(D)
2.
(A)
3.
(C)
4.
(A)
5.
(B)
6.
(C)
7.
(A)
8.
(D)
9.
(A)
10.
(D)
11.
(A)
12.
(A)
13.
(B)
14.
(D)
15.
(C)
16.
(D)
17.
(C)
18.
(B)
19.
(C)
20.
(C)
21.
(B)
22.
(B)
23.
(A)
24.
(D)
25.
(B)
育達系列
1 創新研發
112 學年度四技二專統一入學測驗
數學
(
A) 試題詳解
1.
(D)
2.
(A)
3.
(C)
4.
(A)
5.
(B)
6.
(C)
7.
(A)
8.
(D)
9.
(A)
10.
(D)
11.
(A)
12.
(A)
13.
(B)
14.
(D)
15.
(C)
16.
(D)
17.
(C)
18.
(B)
19.
(C)
20.
(C)
21.
(B)
22.
(B)
23.
(A)
24.
(D)
25.
(B)
1. f(x) ＝ (9x
2
＋
1)(2x－3)＋6
被除式
除式 商式
餘式
2. 18.5＜
2
2
x
＜
24
4
74＜x＜96
3. y＝2x－3 y 截距－3
不過Ⅱ
在
y＝2x－3 之下
y≦2x－3
4. 3×2×2＝12
5.
2
x
＋
2
y
＝
1 x＋y－ 2 ＝0
d＝
2
2
1
1
|
2
1
1
|
＋
－
－
－
＝
2
2
2＋
＝
2 ＋
1＝1＋ 2
6.
x＝1
|x－(－2)|＝3
x＝1 or －5
|x－3|＝2
x＝5 or 1
7. a＝sin137°＝sin(180°－43°)＝＋sin 43°
8. 如圖，振幅為 2，又通過(0 , 2) y＝2cosx
9. a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
a
9
＝
S
9
－
S
8
＝
(9
2
＋
9－4)－(8
2
＋
8－4)＝18
10. 原收入 200×50＝10000，但虧 5400 成本為 15400
提高
a 元 減少 a 張 (50＋a)(200－a)≧15400
又
50＋a＝x a＝x－50 200－a＝200－(x－50)＝250－x
x(250－x)≧15400
11. 醫師 護理師
2 1 →
5
2
C ×
6
1
C ＝60
1 2 →
5
1
C ×
6
2
C ＝75
0 3 →
6
3
C ＝20
共
60＋75＋20＝155
育達系列
2 創新研發
12. f(x)＝a(x－1)
2
＋
2 a＜0 拋物線頂點(1 , 2)
開口向下
依圖形看
(1 , 0)，(3 , 2)，(3 , 4)皆不可能
13. L：y－3＝m(x－2)過(2 , 3)
(2 , 3)代入圓 C 0＋(－5)
2
＞
5 點在圓外
L：mx－y＋(3－2m)＝0
C：圓心(2 , 8)，r＝ 5
d＝r
2
2
)
1
(
m
|
m
2
3
8
m
2
|
－
＋
－
＋
－
＝
5
5＝
5
m
5
2
＋
25＝5m
2
＋
5 m
2
＝
4
m＝±2 |m|＝2
14. f(x)－g(x)＝2(x－1) f(－1)－g(－1)＝－4……(1)
f(x)＋g(x)＝2x(x－1) f(－1)＋g(－1)＝4……(2)
2
)
2
(
)
1
( ＋
：
f(－1)＝0，
2
)
1
(
)
2
( －
：
g(－1)＝4
3f(－1)＋2g(－1)＝3×0＋2×4＝8
15. 令 f(x)＝x
3
＋
9x
2
＋
26x＋24
f(x)÷(x－1)……f(1)＝a 1＋9＋26＋24＝a a＝60
f(x)÷(x＋1)……f(－1)＝b －1＋9－26＋24＝b b＝6
a－b＝60－6＝54
16. f(x)＝a
x
，若
a＞1
(A)錯
f(x)＝a
－
x
＝
(
a
1 )
x
，若
0＜a＜1
a
1
＞
1
(B)錯
f(x)＝a
－
x
＝
x
a
1
，若
a＞0，則 a
x
必＞
0 (C)錯
若兩函數圖形
x －x，則對稱 y 軸 (D)對
育達系列
3 創新研發
17. 原式＝
9
log
49
log
×
8
log
25
log
×
7
log
4
log
×
5
log
3
log
＝
3
log
2
7
log
2
×
2
log
3
5
log
2
×
7
log
2
log
2
×
5
log
3
log
＝
3
4
18. A＝{4 , 5 , 6} B＝{1 , 2 , 4 , 5} C＝{2 , 4 , 6}
A∩B∩C＝{4}
19. x 號 機率
10
x
得
2x 分
期望值＝
10
1
×
2＋
10
2
×
4＋
10
3
×
6＋
10
4
×
8＝
10
32
18
8
2
＋
＋
＋
＝
6
20. 氣溫變化小 全距小 臺南 33.8～23.9 最小
21. 不同工作屬性的分層中，按人數比例各抽一部份
為分層抽樣
22. 圓心為(
2
4
2＋
－
,
2
6
2＋
－
)＝(1 , 2)
半徑
r＝
2
2
)
2
6
(
)
1
4
(
－
＋
－
＝
5
(x－1)
2
＋
(y－2)
2
＝
5
2
a＝1，b＝2，c＝5
a＋b＋c＝8
23. 如圖 P 至直線 M 的距離
2
2
4
3
|
35
1
4
2
3
|
＋
－
＋
＝
5＝b
P 至直線 L
1
的距離
2
2
4
3
|
20
1
4
2
3
|
＋
－
＋
＝
2＝a
a＜r≦b 2＜r≦5 a＋b＝2＋5＝7
24. 依題意公差 d＝3，a
5
＝
a
1
＋
4d＝27
a
1
＋
4×3＝27 a
1
＝
15
等差級數和
S
n
＝
2
n
]
d
)
1
n
(
a
2
[
1
－
＋
＝
2
n
]
3
)
1
n
(
30
[
－
＋
＝
330
(27＋3n)×n＝660 (n＋9)n＝220 n
2
＋
9n－220＝0
(n＋20)(n－11)＝0 n＝11(排)
25. 日一二三四五六
數 數
日 二 四 六
(1)若周三考數學 2×2×2×2＝16
日 二
三
四 六
(2)若周三考國或英 2×1×2×1×2＝8
16＋8＝24