1-2 數與式
小考
20220730 高一龍哥數
1
一、 填充題：每題 20 分，共 100 分
1. 設
x＞0，y＞0，且 xy＝10，則 5x＋2y 的最小值為【 】，此時數對（x，y）＝【 】
2.
x＞－4，則 x＋3＋
4
9
＋
x
的最小值為【 】
3. 兩正實數
a，b 滿足 a
2
＋
9b
2
＝
9，試求（a＋3b）
2
的最大值為【 】
4.
x，y 皆正數且 xy＝12，若 x＝a，y＝b 時，
x
1
＋
y
3
有最小值
m，則 a＋b＋m＝【 】
5. 旺伯想利用
21 公尺長的鐵絲網在屋後的空地上圍出一塊矩形的菜圃，將菜圃靠在屋後，
則只須圍三邊，且為方便進出三邊都留下
1 公尺的出入口，若旺伯想圍成面積最大的菜圃，
則最大面積為
M 平方公尺，長邊為 k 公尺，求數對（M，k）＝【 】
6. 若
a＋b＋c＝4，a
2
＋
b
2
＋
c
2
＝
14，a
3
＋
b
3
＋
c
3
＝
34，則 abc＝【 】【加分題】
1-2 數與式
小考
20220730 高一龍哥數
2
一、
填充題：每題 20 分，共 120 分
1.20；（2，5）
2.5
3.18
4.9
5.（72，12）
6.－6
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - < < 解 析 > > - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.解析：
2
2
5
y
x＋
≧
y
x 2
5 ．
5x＋2y≧2
xy
10
＝
20
等號成立時，
5x＝2y x＝
5
2
y，又 5x＋2y＝20 2y＋2y＝20 y＝5 x＝
5
2
y＝2
故
5x＋2y 的最小值為 20，此時數對（x，y）＝（2，5）
2.解析：x＞－4，求 x＋3＋
4
9
＋
x
＝（
x＋4）－1＋
4
9
＋
x
＝（
x＋4）＋
）
＋
（
4
9
x
－
1 的最小值
x＋4＞0，則由算幾不等式可知
2
4
9
4
＋
）＋
＋
（
x
x
≧
）
＋
（
．
）
＋
（
4
9
4
x
x
＝
9
＝
3
∴
x＋4＋
4
9
＋
x
≧
2×3＝6 有最小值 6
故原式化為（
x＋4）＋
）
＋
（
4
9
x
－
1，有最小值為 6－1＝5
3.解析：∵
2
9
2
2
b
a ＋
≧
2
2
9b
a ．
∴
2
9
≧
3ab
（
a＋3b）
2
＝
a
2
＋
6ab＋9b
2
＝（
a
2
＋
9b
2
）＋
2．（3ab）≦9＋2．
2
9
＝
18
4.解析：由算幾不等式知
2
3
1
y
x
＋
≧
xy
3
＝
12
3
＝
2
1
，因此
x
1
＋
y
3
≧
1
x
1
＋
y
3
最小值
m＝1，此時
x
1
＝
y
3
＝
2
1
x＝2，y＝6 故 a＋b＋m＝2＋6＋1＝9
5.解析：如圖，則 k＋2＝21＋3＝24
由算幾不等式知
2
2
＋
k
≧
k
2
12≧
k
2
k≦
2
144
＝
72
當
k＝2＝12 時，面積 k 有最大值 72
故數對（
M，k）＝（72，12）
6.解析：（a＋b＋c）
2
＝
a
2
＋
b
2
＋
c
2
＋
2（ab＋bc＋ac）＝16 且 a
2
＋
b
2
＋
c
2
＝
14
∴
2（ab＋bc＋ac）＝2 ab＋bc＋ac＝1
a
3
＋
b
3
＋
c
3
－
3abc＝（a＋b＋c）（a
2
＋
b
2
＋
c
2
－
ab－bc－ac）
34－3abc＝4×（14－1）＝52
－3abc＝18 abc＝－6