出類系列 高中數學學測總複習 單元 數與式 1
單元 數與式
主題 1 數與數線
1.有理數的定義：
凡形如
(m,n Z,m 0)之式的數稱為有理數。
2.有理數的性質：
(1)任意兩有理數經加、減、乘、除(除數不能為 0)的結果，仍為有理數。
(2)有理數的稠密性：
①設
a, b
Q, a
則存在c
Q 使得a
②任意兩相異有理數之間，至少有一個有理數
(3)一個已化成最簡分數的有理數，若分母的(正)質因數只有 2 或 5，則這個
有理數必可化成有限小數。
(4)有限小數必為有理數；循環小數必為有理數
3.無理數：
(1)不循環的無限小數必為無理數
(2)設 a、b 是有理數，
√c 是無理數且a
b√c
0則 a
0 且 b
0
(3)設 a、b、p、q 是有理數，
√c 是無理數且a
b√c
p
q√c ，則a
p且
b
q
(4)無理數具有稠密性
4.實數：
(1)能在數線上找到對應位置的數，皆為實數
2 單元 數與式 出類系列 高中數學學測總複習
(2)有理數與無理數合稱為實數
(3)實數具有稠密性
(4)實數的一些性質
①設
a
R，則 a
0
②設
a
R，且 a
0則a
0
③設
a
R，則 √a
a
④設
a
R，√a
|a|
⑤
a
a
b
0
5.實數的乘法律：
(1)設 a,b,
c
R ,ac
bc 且 c
0 則 a
b
(2)設 a,b,
c
R ,a
且 c
0 則 ac
(3)設 a,b,
c
R , a
且 c
0 則 ac
6.算幾不等式：
(1)設
a
0 ，b
0 則
√ab 且〝 =〝成立時a
b
(2)設
a
0 ，b
0 ，c
0 則
√abc 且〝 =〝 成立時a
b
c
7.重要的乘法公式(必須熟記)：
(1)
a
b
a
2ab
b
(2)
a
b
a
2ab
b
(3)
a
b a
b
a
b
(4)
a
b
a
3a b
3ab
b
(5)
a
b
a
3a b
3ab
b
出類系列 高中數學學測總複習 單元 數與式 3
(6)
a
b a
ab
b
a
b
(7)
a
b a
ab
b
a
b
(8)
a
b
a
b
3ab a
b
(9)
a
b
a
b
3ab a
b
(10)
a
b
c
a
b
c
2 ab
bc
ca
(11)
a
b
c a
b
c
ab
bc
ca
a
b
c
3abc
(12)
x
x
1 x
x
1
x
x
1
例題
1 試證：(1)
√3 是無理數；(2)2
√3 是無理數
例題
2 下列哪些選項中的數是有理數？
(A)
(B)
√120 (C)√1000 (D) (E)2
√3
4 單元 數與式 出類系列 高中數學學測總複習
例題
3 下列哪些選項是正確的？
(A)若
a
b 與 ab 均為無理數，則 a 與 b 均為無理數
(B)若
a
b 為無理數，則 a 與 b 中至少有一個為無理數
(C)若
a
b 為有理數，則 a 與 b 中至少有一個為有理數
(D)若 a、b 為無理數，則
a
b 必是無理數
(E)若
a
b、b
c 與 c
a 均為有理數，則 a、b、c 必皆為有理數
例題
4 設
a R，a
0 且 a 與 a 皆為有理數，則 a 是否一定為有理數？
例題
5 設
a R，a
0 且 a 與 a 皆為有理數，則 a 是否一定為有理數？
例題
6 設
x、y Q 且 2
√3 x
1
√3 y
7
√3，則x
y _______。
出類系列 高中數學學測總複習 單元 數與式 5
例題
7 設
x
0，y
0，xy
16，則
之最小值為_______，此時數對
(
x、y
_______。
例題
8 設
f a
a
，
a
0 則 f a 的最小值為_______。
例題
9 若
x
5 ，則 x
_______。
例題
10 若
a
b
c
3，a
b
c
5，a
b
c
15，則 abc _______。
6 單元 數與式 出類系列 高中數學學測總複習
主題 2 數線上的幾何
1.實數的絕對值：
(1)設
x R ，則 |x|
x，當 x
0 時
x，當 x
0 時
(2)設
x R ，則 |x|
0，且| x|
|x|
(3)設
x R ，則√x
|x|
(4)設
x R ，且a
0則
①
|x|
a
x
a
②
|x|
a
a
x
a
③
|x|
a
x
a 或 x
a
2.數線上兩點之間的距離：
(1)於數線上，設 A、B 兩點所代表的數分別為 x 與 y，則 A 與 B 兩點之間的距
離為
AB
|x y|
(2)設 x、y
R 則
①
|xy|
|x||y|
②
| |
| |
(其中
y
0
③
|x y|
|x| |y| 且〝 〝 成立時，xy
0
④
|x y|
|x| |y| 且〝 〝 成立時，xy
0
3.設
a
且
x R，則：
(1)
b
x
a
x
出類系列 高中數學學測總複習 單元 數與式 7
(2)
x
a或x
b
x
4.內分點公式：
於數線上有相異兩點
A a 、B b ，點 P 在 AB 上且
AP
BP
則點 P 之坐標為
5.設 x、y 皆為正數，則：
(1)
x
y
2 xy
√x
y (2) x
y
2 xy
√x
y
例題
11 設
7
4√3 的整數部分為 n，小數部分為 b，則
_______。
例題
12 設
a R 且 a 之小數部分為 b，若a
b
38，則 a _______。
例題
13 設 a、b
R，且不等式|ax
2|
之實數解為5
13，則數
對(a，b)= _______。
8 單元 數與式 出類系列 高中數學學測總複習
例題
14 設 m、n
R，且不等式|mx
2|
之實數解為x
18 或 x
4，則數
對(m,n)= _______。
例題
15 設 x，y
R，且|x
3y
20|
x
y
100
0 則 x
y
_______。
例題
16 方程式|
x
2|
|2x 3|
10之實解為_______。
例題
17 設
f x
|x 1| |x 2| |x 5|則f x 之最小值為_______。
出類系列 高中數學學測總複習 單元 數與式 9
½ 精選練習暨歷屆學測試題 ¾
1.下列哪些選項的數是有理數？
(A)
7 (B)√18 (C)
(D)
π
3 (E)0.38
答：(A)(C)(E)
2.將有理數
化成小數時，若 a
表示小數點後第 n 位的數字，則下列哪些選項
是正確的？
(A)
a
8 (B)a
a
10 (C)a
a (D)a
a (E)a
a
答：(A)(C)(D)
3.設
14
6√5之整數部分為 a，小數部分為 b，則
_______。
答：2
√5
4.設
a
0 且 a 之小數部分為 b，若a
2b
15，則a
b _______。
答：
1
2√3
5.設 x，y 為有理數，且
x
y 19
8√3
x 21
12√3 15√3，則數對(x，y)之
值為_______。 答：(-5，5)
6.設 x、y
R 且 2
x
3，3 y
6則下列哪些選項是正確的？
(A)
x
y之最小值為 1 (B)x
y之最大值為 0
(C)
xy之最小值為 6 (D) 之最大值為
(E)
x 之最小值為 4
答：(A)(B)
7.設
x R 且|x
3|
|x 7| k之解為無解，則實數 k 的範圍為_______。
答：
k
10
10 單元 數與式 出類系列 高中數學學測總複習
K=1
51
8.設
x R 且 f x
∑|x k| 則 f(x)之最小值為_______。
答：650
9.設
a、b R 且|ax
7|
b 之解為3
x
13 則數對(a，b)= _______。
答：(
，
10.設 a、b、c
R 且|a|
1，|b|
1，試證：
(1)
ab
1
(2)
1
答：請參閱詳解
11.設
a
7
√47，則 a 在哪兩個連續整數之間？ 【83 年學測】
(A)0 與 1 (B)1 與 2 (C)2 與 3
(D)3 與 4 (E)4 與 5 答：(D)
12.試選出下列正確的選項： 【88 年學測】
(A)
0.343 不是有理數 (B)0. 34
(C)
0. 34
0.343
(D)
0. 34
0.35 (E)0. 34
0.343 答：(B)(C)(D)(E)
13.設實數 a、b、c 滿足
abc
0，ab
bc
ca
0，a
b
c
0，a
，則下
列選項何者正確？ 【91 年學測】
(A)
a
0 (B)b
0 (C)c
0
(D)|
a|
|b| (E)a
c 答：(A)(D)(E)
14.設實數 a、b 滿足
0
1、0
1，則下列哪些選項必定正確？
(A)
0
2 (B)0
1 (C) 1
0
(D)
0
1 (E)|a
b|
1 【91 年學測補考】
答：(A)(B)(E)
出類系列 高中數學學測總複習 單元 數與式 11
½ 練習暨學測試題詳解 ¾
1.【解析】略
2.【解析】∵
0.428571 ∴a
8，a
a
11，a
a
8
a
a
a
2，a
a
a
7
3.【解析】
14
6√5
14
2√45
√9
√5
3
√5
整數部分
a
5，小數部分b
√5
2
1
b
1
a
b
1
1
√5
2
1
√5
2
√5
2
√5
2
2√5
4.【解析】由題意知
0
b
1
0
b
1
0
2b
2
∵
a
b
15 ∴13
a
15
√13
√15
∴a 之整數部分為 3 ∴
a
3
b
故(
3
b
2b
15
3
b
6b
6
0
b
2b
2
0
b
1
√3(負不合)
∴
b
1
√3
a
b
3
b
b
3
2b
3
2
2√3
1
2√3
5.【解析】由題意知
x
y 19
2√48
x 21
2√108 15√3
x
y √16
√3
x √12
√9
15√3
x
y 4
√3
x 2√3
3
15√3
12 單元 數與式 出類系列 高中數學學測總複習
x
4y
y√3
3x
2x
15 √3
x
4y
3x
2x
15
y
4x
4y
0
2x
y
15
x
5
y
5 即數對(x，y)=(-5，5)
6.【解析】(C)xy 之最小值為
12；(D) 之最大值不存在；(E) x 之最小值為 0
7.【解析】|
x
3|
|x 7|之最小值為 10
故當
k
10 時，不等式|x
3|
|x 7|
k 無解
8.【解析】當
x 為 1、2、3、…、51 之中位數時，f(x)有最小值
∴最小值為
f 26
25
24
23
1
0
1
2
25
25
1
25
2
2
650
9.【解析】|
ax
7|
b
3
x
13
|x 8|
5
x
7
∴
a
，
b
即數對(a，b
，
10.【解析】(1)∵|
a|
1，|b|
1
∴
1
1，
1
1
a
1
0，b
1
0
ab
1
a
b
ab
a
b
1
a
1 b
1
0
ab
1
出類系列 高中數學學測總複習 單元 數與式 13
(2)
1
1，
1
1
∴
1
a
0，1
a
0，1
b
0，1
b
0
又
1
ab︱
a
b︱
1
2ab
a b
a
2ab
b
1
a
b
a b
1
a
1
b
1
a 1
a 1
b 1
b
0
∴
1
ab︱
|a b︱
︱
︱
1
︱
1
a
b
1
ab
1
11.【解析】
a
7
√47
√7
6.
√13.
3.
12.【解析】(A)
0.343
是有理數
(B)
0. 34
0.343434
0.333
(C)
0. 34
0.343434
0.343
(D)
0. 34
0.343434
0.35
(E)
0.343
0.3434343
0. 34
13.【解析】∵
abc
0 且 ab
bc
ca
0
∴a、b、c 三者中必一正兩負
又
a
`∴
a
0
c
又
a
b
c
0
14 單元 數與式 出類系列 高中數學學測總複習
∴|
a|
|b c|
∴|
a|
|b|且|a|
|c|
∴
a
c
14.【解析】(C)取
a
，
b
(D)取
a
，
b