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九十四學年度指定科目考試試題
數學乙
作答注意事項
考試時間：
80 分鐘
作答方式：第壹部分請用
2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。
修正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選
擇題答案卷」
，請在規定之欄位以黑色或藍色筆作答，並於題號欄標明題號。
第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。
（一）
選擇題：只用
1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到
−，±，以及 6，7，8，9，
0 等格子。
例：若第
1 題為單一選擇題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，
亦即選項
(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：
例：若第
10 題為多重選擇題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10
列的
與 劃記，如：
（二）選填題的題號是
A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題
的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第
C 題的答案格式是 ，而答案是
50
7
−
時，則考生必須分別在答案
卡的第
20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
祝考試順利
3
1
3
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
20
1
2 3 4
5
6
7
8
9
0
−
±
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
7
−
20 21
50
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
解
答 欄
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數 學 乙
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第 壹 部 分 ： （
77%）
一 、 單 一 選 擇 題 （
16%）
說明：第
1、2 題為單一選擇題，選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」。
每題答對得
8 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣 2 分；倒扣到本大題之實得
分數為零分為止。未答者，不給分亦不扣分。
1 . 設 一 地 球 儀 的 球 心 為 空 間 坐 標 的 原 點 ， 有 兩 個 城 市 的 坐 標 分 別 為 A ( 1 , 2 ,2 ) ,
B ( 2 ,-2 ,1 )。 假 定 地 球 為 半 徑 等 於 6 40 0 公 里 的 圓 球 ， 試 問 飛 機 從 A 城 市 直 飛 至 B
城 市 的 最 短 航 線 長 最 接 近 下 列 那 一 個 選 項 的 值 ？
(1) 8000 公 里
(2) 8500 公 里
(3) 9000 公 里
(4) 9500 公 里
( 5 ) 1 0 00 0 公 里
2 . 下 列 五 個 直 方 圖 表 示 的 資 料 ， 何 者 之 標 準 差 最 大 ？
(1)
(2)
(3)
10
12
20
28
30
50
40
30
50
10
60
10
24
20
56
30
100
40
60
50
20
60
20
12
30
28
40
50
50
30
60
10
70
(4)
(5)
10
12
20
28
30
50
40
30
50
5
60
5
70
30
40
40
50
50
40
60
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二 、 多 重 選 擇 題 （
16%）
說明：第
3、4 題，每題各有 5 個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出正確選
項，劃記在答案卡之「解答欄」。各選項獨立計分，每答對一個選項，可得
1.6
分；每答錯一個，倒扣
1.6 分；完全答對得 8 分；整題未答者，不給分亦不扣
分。若在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣
1.6 分。倒扣到本大題之實得分
數為零為止。
3 . 定 義 一 組 資 料 的 第 一 十 分 位 數
1
w
為 『 至 少 有
(含 )
1
10
的 資 料 不 大 於
1
w
， 且 至 少 有
(含 )
9
10
的 資 料 不 小 於
1
w
』 ， 試 問 下 列 敘 述 何 者 為 真 ？
(1) 任 一 組 資 料 都 恰 有 一 個 第 一 十 分 位 數
(2) 若 將 原 資 料 每 個 數 據 分 別 乘 以 5， 則 原 資 料 的 第 一 十 分 位 數 乘 以 5 也 會 是 新
資 料 的 第 一 十 分 位 數
(3) 若 將 原 資 料 每 個 數 據 分 別 加 5 ， 則 原 資 料 的 第 一 十 分 位 數 加 5 也 是 此 新 資 料
的 第 一 十 分 位 數
(4) 若 有 A,B 兩 組 資 料 其 第 一 十 分 位 數 分 別 為
A
w
,
B
w
， 則
A
w
+
B
w
也 是 此 兩 組 資
料 合 併 成 一 組 後 的 第 一 十 分 位 數
(5) 任 一 組 資 料 的 第 一 十 分 位 數 必 小 於 該 組 資 料 之 算 術 平 均 數
4 . 試 問 在 坐 標 平 面 上 ， 下 列 有 關 拋 物 線 的 敘 述 哪 些 是 正 確 的 ？
(1) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， x+y=0 為 對 稱 軸 。
(2) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， 頂 點 是 ( 1 , 1 )， 焦 點 是 (1,2)。
(3) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， 焦 點 是 ( 2 , 2 )， 且 通 過 (3,3)。
(4) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， 且 通 過 ( 3 , 3 ), ( -3 , 4 )。
(5) 能 夠 找 到 拋 物 線 以 x 軸 為 準 線 ， y 軸 為 對 稱 軸 ， 且 通 過 (3 ,3),(-3,3)。
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三 、 選 填 題 （
45%）
說明：
A, B, C, D, E 各題為選填題，劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(5-21)
內。每一題完全答對得
9 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 如 圖 所 示 設 一 正 立 方 體 的 中 心 為 O， 而 A,B 為 此 正 立 方 體 同 一 面 上 的 兩 個 對 頂
點 ， 則
cos∠ AOB =
。
(以 最 簡 分 數 表 示 )
B. 下 圖 是 從 事 網 路 工 作 者 經 常 用 來 解 釋 網 路 運 作 的 蛇 形 模 型 ：
1
2
3
6
7
15
5
8
14
4
9
13
10
12
11
數 字
1 出 現 在 第 1 列 ； 數 字 2 , 3 出 現 在 第 2 列 ； 數 字 6 , 5,4(從 左 至 右 )出 現 在 第 3
列 ； 數 字
7 , 8 , 9, 1 0 出 現 在 第 4 列 ； 依 此 類 推 。 試 問 第 9 9 列 ， 從 左 至 右 算 ， 第 6 7
個 數 字 為
。
5 6
7
A
B
O
8 9 10 11
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C. 設
4
10
的 所 有 正 因 數 的 乘 積 為
n， 則 l o g n= 。
D. 小 明 玩 戰 爭 網 路 遊 戲 ， 在 螢 幕 上 有 一 坐 標 平 面 ， 飛 機 P 以 等 速 直 線 前 進 ， 在 坐 標
(-1 2 , 4 )的 位 置 被 發 現 ， 經 過 1 秒 後 到 達 坐 標 (-10 ,4 )， 再 經 1 秒 後 ， 小 明 從 原 點
選 一 方 向 發 射 一 飛 彈
R， 假 設 R 也 以 直 線 前 進 且 速 率 跟 P 相 同 ， 而 且 R 剛 好 擊
中
P。 試 求 R 擊 中 P 時 的 坐 標 (a , b )為
。
E. 一 實 驗 室 培 養 兩 種 菌 ， 令
和
n
n
a
b
分 別 代 表 兩 種 培 養 菌 在 時 間 點
n 的 數 量 ， 彼
此 有 如 下 的 關 係 ：
1
1
2(
),
2
(
0,1, 2, ).
+
+
=
+
=
=
"
n
n
n
n
n
a
a
b
b
b
n
若 二 階 方 陣
A=
a b
c d
滿 足
3
3
=A
+
+
n
n
n
n
a
a
b
b
，
( 其 中 n =0 , 1 , 2 , … ) ， 則 a = ，
b = ， c= ， d = 。
( , )
14 15 16
12 13
17
20
21
18 19
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第 貳 部 分 ： （
23%）
說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號
（一、二）與子題號（
1、2），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。
每題配分標於題末。
一 、 某 銀 行 檢 討 『 一 年 期
2 0 萬 元 的 小 額 急 用 貸 款 ， 一 年 後 還 款 2 1 萬 元 』 的 申 請 資
格 。 過 去 幾 年 的 記 錄 顯 示 ： 申 辦 此 項 貸 款 者 一 年 後 只 有 依 約 還 款
2 1 萬 元 與 違
約 不 理
(1 元 都 不 還 ) 兩 種 情 形 ， 沒 有 還 一 部 分 錢 等 其 他 情 形 發 生 ； 且 發 現 會 還
錢 或 不 會 還 錢 者 與 其 年 收 入 有 關 ， 兩 者 的 累 積 次 數 分 配 部 分 圖 形 如 下 ：
(1) 一 個 年 收 入 30 萬 元 以 下 的 貸 款 者 ， 會 還 錢 的 機 率 為 何 ？ (4 分 )
(2) 銀 行 貸 款 給 一 個 年 收 入 3 0 萬 元 以 下 的 客 戶 ， 銀 行 的 獲 利 期 望 值 為 多 少 元 ？
(6 分 )
二 、 根 據 過 去 長 期 統 計 資 料 顯 示 ： 某 公 司 推 銷 員 的 年 資
x (年 )， 與 每 次 推 銷 成 功 的
機 率
y(x)， 滿 足 下 列 關 係 式 ：
3
3
2
( )
1 2
x
x
y x
− +
− +
=
+
(1) 化 簡 r(x)＝
)
(
1
)
(
x
y
x
y
−
， 並 說 明
r(x)的 值 隨 x 增 大 而 增 大 (即 r ( x ) 為 遞 增 函 數 )。
(6 分 )
(2) 說 明 年 資 8 年 (含 )以 上 的 推 銷 員 ， 每 次 推 銷 不 成 功 的 機 率 小 於 4 %。 (7 分 )
200
400
600
800
1000
1200
10
20
30
40
50
60
10000
20000
30000
40000
50000
60000
10
20
30
40
50
60
不會還錢
38100
32200
29250
17400
10000
4600
900
800
750
600
500
400
會還錢
累
積
人
數
累
積
人
數
年收入(萬元)
年收入(萬元)