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國立竹北高中 110 年 第 1 次教師甄試
數學科 試題卷
(請考生自填) 准考證號碼： C10030 姓名：
第一部分：填充題(請將答案填寫於答案卷上)
1.
高三上期末考結束後，大雄想請假在家讀書以全力準備學測，但學校規定「連續三日以上 (含
三日) 請假需請家長到校證明」，若大雄每天可以自由選擇上學或請假，而且他不想麻煩雄爸
到校證明，那大雄本週一到週五出缺席的狀況有____________種。
2.
投擲一枚不均勻的硬幣，已知正面出現的機率是
𝟏
𝟑
，反覆投擲，設數列⟨𝒂
𝒏
⟩定義如下：
𝒂
𝒏
= {
𝟏
，
第𝒏次投擲出現正面
−𝟏
，
第𝒏次投擲出現反面
，若𝑺
𝒏
= 𝒂
𝟏
+ 𝒂
𝟐
+ ⋯ + 𝒂
𝒏
，則事件「𝑺
𝟖
= 𝟐」的機率為
____________。
3. 若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設正八面體
的體積為
a
，正立方體的體積為 b，求
a
b
=_____________。(以最簡分數表示)
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4. 設
為方程式
5
x
i
的一根，試求 1
的最大值。____________ (請以
sin
a
表示，其中
a
＞0，
為銳角)
5.
設
α 是方程式𝒍𝒐𝒈
𝟑
𝒙 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 的一根，β 是方程式𝟑
𝒙
+ 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 之一根，則𝒍𝒐𝒈
𝟑
𝒙 +
𝟑
𝜷
=____________。
6.
若 a，b，c 表△ABC 之三邊長，且 a，b，c 為方程式 x
3
－10x
2
＋44x－14＝0 的三根，則△ABC
的面積為____________。
7.
一個凸四邊形 ABCD，已知
8
AB
，
6
BC
，
5
CD
，且
90
ADC
ABC
，則內積
BC AD
____________。
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8.
箱子裡有 3 個 1 號球，3 個 2 號球，3 個 3 號球，···，3 個 22 號球，共 66 個球。隨機從箱中
取球，一次取 1 球，取後不放回，取 3 次，其值依序為
1
2
3
, ,
x x
x
，則
1
2
3
x
x
x
的機率為
____________。
9.
相機的影像是光線投射在一片長方形的感光元件(CMOS)上，
再轉換為電子訊號儲存在記憶體中，我們看到的相片為由此感
光元件接收到之光線所呈現。已知相機在拍攝時，因為光線的
折射與感光元件等因素會導致影像變形。假設有一款手機上的
相機，在初始設計上影像會產生線性變形，即照片上的影像為
真實影像產生旋轉、伸縮、推移等線性變換。如右圖，為了校
正此變形，設定一個座標平面上的正方形 ABCD，其中 O 為原點，A(1 , 0)、B(1 , 1)、C(0 , 1)，
以此相機拍攝此正方形後，相片上呈現平行四邊形𝑶𝑨
′
𝑩
′
𝑪
′
的影像，其中 A、B、C 分別變換
至𝑨
′
、𝑩
′
、𝑪
′
，且𝑨
′
(
𝟐𝟒
𝟐𝟓
,
𝟕
𝟐𝟓
)、𝑪
′
(
−𝟏
𝟕
, 𝟏)。工程師發現此變形是影像先產生沿 x 軸方向的推移
變換，然後再以原點 O 為中心旋轉𝜽角所導致，於是工程師利用軟體將照片上的影像坐標先旋
轉−𝜽角，再經由一個二階方陣 M 線性變換為正確的影像坐標，則此方陣 M 為____________。
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10. 一數列
n
a
滿足遞迴式
1
1
1
2
2 (
1)
n
n
n
a
a
a
n
，試求一般式
n
a
____________。
11. 將 4 個相同的紅球與 4 個相同的藍球隨意排成一列，由左至右每個球依序對應標號 1, 2, 3, …, 8，
則 4 個紅球對應號碼和小於 4 個藍球對應號碼和的排列數共有____________種。
12. 坐標平面上一直線
(
0)
x my
n n
過點 (5 3,5)
A
，若
3
0
0
x
my
n
x
y
y
所圍成之區域的外接圓直徑
為 20，則 n
____________。
13. 坐標平面上，在圓
𝜞: 𝒙
𝟐
+ 𝒚
𝟐
= 𝟒上取兩點 A、B，使此兩點在 x 軸上方，且摺回劣弧𝑨𝑩
⏜ 使其
恰與 x 軸相切於(𝟏, 𝟎)，則直線𝑨𝑩
⃡ 的直線方程式為____________。
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14. 假設地球是完美的球形，沿著北緯 60° 線將地球剖成兩塊，若小塊的體積：大塊的體積比=1：
2
3
a b
c
，其中 , ,
a b c
N
，且
c
為質數。求數組 ( , , )
a b c
=____________。
15. 有一個不公正的硬幣，投出正面的機率為
2
3
，投出反面的機率為
1
3
，若投擲 50 次，則硬幣出
現 2
k
次(
k
=0，1，2，…，25)正面的機率為
1
1
(
)
d
b
a
c
，其中 , , ,
a b c d
N
，且
c
為質數。求數
組 ( , , , )
a b c d
=____________。
16. 一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上，如圖所示。為了穩固此裝置藝術，除了將 O
點落在地面上，還在 A、B、C 四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為 AA
、 BB
與
CC
。
已知此正立方體的邊長 5 公尺，且
3
AA
，
2
BB
，則
CC
=____________公尺。
O
A
B
C
B' 地面
A'
C'
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第二部分：計算題(請將答案填寫於答案卷上)
1.
設 ( ), ( )
f x g x 為可微分函數，請證明
( ( )
( ))
( )
( )
( )
( )
f x g x
f x g x
f x g x
。
(5 分)
2.
坐標平面上，將點 P ( , )
x y 以原點為中心旋轉
角得到 P ( , )
x y
，設二階方陣 A 使得
x
x
A
y
y
，
請證明 A=
cos
sin
sin
cos
。
(5 分)
3. 設
a
為實數，試證：
3
2
2
2
( )
3
(3
)
f x
x
x
a x a
為遞增函數。
(1)針對高一學生，使用配方三次式的方法說明。(5 分)
(2)針對高三學生，使用一階導函數觀念說明。(5 分)
(請考生自填) 准考證號碼： C10030 姓名：
----------彌封線----------(彌封線以下不得書寫個人准考證號碼及姓名等相關個人資料)----------彌封線----------
國立竹北高中 110 年 第 1 次教師甄試
數學科 答案卷
總 分
初
閱
複
核
第一部分：填充題(請依題號填入答案，每格 5 分，共 80 分)
1.
24
2.
448
6561
3.
1
6
4.
2sin81°
5.
3
6.
9 5
7.
27 + 12√3
8.
63
416
9.
1
1
7
0
1
10.
1
(2
1) 2
n
n
a
n
11.
31
12.
10 3
13.
2𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0
14.
(16，9，13)
15.
(2，1，3，50)
16.
2 3
----------彌封線----------(彌封線以下不得書寫個人准考證號碼及姓名等相關個人資料)----------彌封線----------
國立竹北高中 110 學年度第 1 次教師甄選試題疑義申復處理結果一覽表
(更正版)
序號 甄選科別
題號
原公告答案
申復後答案
1
英文科
第Ⅰ大題選擇題
第 4 題
(E)
更正為(D)或(E)皆為
正確答案
2
數學科
第一部分填充題
第 5 題
3
因符號誤植，本題送
分
3
體育科
第一大題選擇題
第 2 題
(C)
更正為(C)或(D)皆為
正確答案
4
體育科
第一大題選擇題
第 4 題
(C)
1.本題原設計為「前
四名」的原意，係以
單淘汰賽制的最大場
數比較出前四名（分
出名次），以符合學
生對賽事參與的期
待。
2.依疑義意見所載，
於學校教育階段及賽
事安排未為不可。
3.綜上，本題答案可
為(A)及(C)。二個答
案均給分。
國立竹北高中教師甄選委員會公告
110 年 4 月 17 日