大學入學考試中心
九十九學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：
100 分鐘
題型題數：
單選題 7 題，多選題 5 題，選填題第 A 至 H 題共 8 題
作答方式：‧
用 2B 鉛筆在「答案卡」上劃記，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正帶(液)
‧
答錯不倒扣
作答說明：
在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
（一）填答選擇題時，只用 1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到−，±，以及 6，7，
8，9，0 等格子。
例：若第 1 題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而考生得到的答案為 7，亦即
選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7）
，如：
解 答 欄
例：若多選題第 10 題考生認為正確的選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡第 10 列的
與 劃記，如：
（二）選填題的題號是 A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格
式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第 B 題的答案格式是
，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 劃記，如：
例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是
7
50
−
時，則考生必須分別在答
案卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
※試題後附有可能用到的參考公式及數值
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
1
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
3
18
3
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
3
7
−
8
20 21
50
19
第 1 頁
99 年學測
共 7 頁
數學考科
-1-
第 壹 部 分
第 壹 部 分
第 壹 部 分
第 壹 部 分 ：
：
：
： 選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題 （
（
（
（ 佔
佔
佔
佔 6 0 分
分
分
分 ）
）
）
）
一
一
一
一 、
、
、
、 單 選 題
單 選 題
單 選 題
單 選 題 （
（
（
（ 佔
佔
佔
佔 3 5 分
分
分
分 ）
）
）
）
說明：第 1 至 7 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每
題答對得 5 分，答錯不倒扣。
1.
若數列
1
2
10
, ,
,
,
,
k
a a
a
a
…
…
中每一項皆為1或 1
−
，則
1
2
10
k
a
a
a
a
+
+
+
+
+
之值有多少種可能？
(1) 10 (2) 11 (3)
10
2
P
(4)
10
2
C
(5)
10
2
2.
已知 a, b 為整數且行列式
5
4
7
a
b
=
，則絕對值 a b
+
為何？
(1) 16 (2) 31 (3) 32 (4) 39 (5) 條件不足，無法確定
3.
箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出的兩球顏
色不同，則得獎金
100
元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎金的期望值為何？
(1) 20 元 (2) 30 元 (3) 40 元 (4) 50 元 (5) 60 元
4.
坐標平面上給定兩點
(1, 0)
A
與
(0,1)
B
，又考慮另外三點
( ,1)
P
π
、
(
3, 6)
Q −
與
4
(2,log 32)
R
。令
PAB
∆
的面積為
p
、
QAB
∆
的面積為
q
、 RAB
∆
的面積為
r
。請問下列哪一個選項是正確的？
(1)
p
q
r
<
<
(2)
p
r
q
<
<
(3)
q
p
r
<
<
(4)
q
r
p
<
<
(5)
r
q
p
<
<
99 年學測
第 2 頁
數學考科
共 7 頁
- 2 -
5.
在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌 1 千隻，並且以每小時增加
8%
的速率繁殖。如果依此
速率持續繁殖，則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？
(1) 9 千隻 (2) 108 千隻 (3) 2200 千隻 (4) 3200 千隻 (5) 32000 千隻
6.
坐標空間中 O 為原點，點 A 的坐標為 (1,2,1)。設 S 是以 O 為球心、4 為半徑的球面。請問在
S
上滿足內積
OA
⋅
OP
6
=
的所有點
P
所成的圖形為何？
(1) 空集合 (2) 一個點 (3) 兩個點 (4) 一個圓 (5) 兩個圓
7.
令橢圓
2
2
1
2
2
:
1
5
3
x
y
Γ
+
=
、
2
2
2
2
2
:
2
5
3
x
y
Γ
+
=
、
2
2
3
2
2
2
:
5
3
5
x
y
x
Γ
+
=
的長軸長分別為
1
l
、
2
l
、
3
l
。請問
下列哪一個選項是正確的？
(1)
1
2
3
l
l
l
=
=
(2)
1
2
3
l
l
l
=
<
(3)
1
2
3
l
l
l
<
<
(4)
1
3
2
l
l
l
=
<
(5)
1
3
2
l
l
l
<
<
第 3 頁
99 年學測
共 7 頁
數學考科
-3-
二
二
二
二 、
、
、
、 多 選 題
多 選 題
多 選 題
多 選 題 （
（
（
（ 佔
佔
佔
佔 2 5 分
分
分
分 ）
）
）
）
說明：第 8 至 12 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，
選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」
。每題皆不倒扣，五個選項全部答
對者得 5 分，只錯一個選項者可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。
8.
設
1
θ
、
2
θ
、
3
θ
、
4
θ
分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於 0 與 2
π
之間。已知
1
2
3
4
1
cos
cos
cos
cos
3
θ
θ
θ
θ
=
=
=
=
，請問下列哪些選項是正確的？
(1)
1
4
π
θ
<
(2)
1
2
θ
θ
π
+
=
(3)
3
1
cos
3
θ
= −
(4)
4
2 2
sin
3
θ =
(5)
4
3
2
π
θ
θ
=
+
9.
下列哪些方程式有實數解？
(1)
3
1
0
x
x
+
− =
(2)
2
2
0
x
x
−
+
=
(3)
2
log
log 2 1
x
x
+
=
(4)
sin
cos 2
3
x
x
+
=
(5)
9
4sin
3cos
2
x
x
+
=
99 年學測
第 4 頁
數學考科
共 7 頁
- 4 -
10.
設
1
2
,
,
,
,
n
a a
a
…
…
為一實數數列，且對所有的正整數
n
滿足
n
n
a
n
n
a
−
+
=
+
2
)
1
(
1
。請問下列哪些
選項是正確的？
(1)
如果
1
1
=
a
，則
1
2
=
a
(2)
如果
1
a
是整數，則此數列的每一項都是整數
(3)
如果
1
a
是無理數，則此數列的每一項都是無理數
(4)
2
4
2n
a
a
a
≤
≤
≤
≤
（n 為正整數）
(5)
如果
k
a
是奇數，則
2
4
2
,
,
,
,
k
k
k
n
a
a
a
+
+
+
…
…
都是奇數（n 為正整數）
11.
坐標空間中，直線
L
上距離點
Q
最近的點稱為
Q
在
L
上的投影點。已知
L
為平面
2
2
x
y
−
=
上
通過點
(2, 2, 2)
的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在
L
上的投影點？
(1)
(2, 2, 2)
(2)
(2, 0, 2)
(3)
4
2
,
,0
5
5
−
(4)
4
2
,
, 2
5
5
−
−
(5)
8
2
2
,
,
9
9
9
−
−
12.
想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查，依性別區分，所得結果如下表：
女性公民
男性公民
贊成此議題的比例
pˆ
0.52
0.59
pˆ
的標準差
ˆ
ˆ
(1
)
p
p
n
−
0.02
0.04
請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論？
(1)
全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例
(2)
在 95%的信心水準之下，全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為[0 48 0 56]
.
, .
（計算到小數點後第二位，以下四捨五入）
(3)
此次抽樣的女性公民數少於男性公民數
(4)
如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例
pˆ
介於 0.52 與 0.59 之間
(5)
如果不區分性別，此次抽樣
pˆ
的標準差
ˆ
ˆ
(1
)
p
p
n
−
介於 0.02 與 0.04 之間
第 5 頁
99 年學測
共 7 頁
數學考科
-5-
第
第
第
第 貳
貳
貳
貳 部 分
部 分
部 分
部 分 ：
：
：
： 選 填 題
選 填 題
選 填 題
選 填 題
（
（
（
（
佔
佔
佔
佔 4 0 分
分
分
分
）
）
）
）
說明：1.第 A 至 H 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (13–32)。
2.每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.
坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD，其中點 A 的坐標為 (2,1) ，點 B 的坐標為 (8,2) ，點 C 在
第一象限且知其
x
坐標為12 。若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位，則點 D 的坐標為
( , )。
B.
設 ( )
f x 為滿足下列條件的最低次實係數多項式：
( )
f x 最高次項的係數為 1，且
3 2
i
−
、 i 、5 皆
為方程式 ( ) 0
f x
=
的解（其中
2
1
i
= −
）。則 ( )
f x
之常數項為 。
C.
有一個兩列三行的表格如右下圖。在六個空格中分別填入數字 1、2、3、4、5、6（不得重複），
則 1、2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 種。
D.
設實數
0
a >
。若
x
、 y 的方程組
2
1
2
122
x
y
x
y
a
x
ay
−
=
−
=
−
=
有解，則
a =
。
21 22
15 16 17
18 19 20
13
14
99 年學測
第 6 頁
數學考科
共 7 頁
- 6 -
E.
如右圖，直角三角形 ABD 中， A
∠
為直角，C 為
AD
邊上的點。
已知
6
BC
=
，
5
AB
=
，
2
ABD
ABC
∠
= ∠
，則
BD = 。
（化成最簡分數）
C
Α
B
D
F.
設
a
、
b
為實數。已知坐標平面上拋物線
b
ax
x
y
+
+
=
2
與
x
軸交於 P、Q 兩點，且
7
PQ = 。
若拋物線
)
2
(
2
+
+
+
=
b
ax
x
y
與
x
軸的兩交點為 R、S，則
RS
=
。
G.
已知
ABC
∆
中，
2
AB =
、
3
BC
=
且
2
A
C
∠ = ∠
，則
AC
=
。
（化成最簡分數）
H.
坐標平面上給定點
9
( , 2)
4
A
、直線 :
5
L y
= − 與拋物線
2
:
8
x
y
Γ
=
。以 ( , )
d P L
表示點 P 到直線 L 的
距離。若點 P 在 Γ 上變動，則
( , )
d P L
AP
−
之最大值為 。（化成最簡分數）
23 24
25
29
28
26 27
30 31
32
第 7 頁
99 年學測
共 7 頁
數學考科
-7-
可 能 用 到 的
可 能 用 到 的
可 能 用 到 的
可 能 用 到 的 參 考 公 式 及 數 值
參 考 公 式 及 數 值
參 考 公 式 及 數 值
參 考 公 式 及 數 值
1.
一元二次方程式
2
0
ax
bx
c
+
+
=
的公式解：
a
ac
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=
2.
平面上兩點
1
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
2
(
,
)
P x y
間的距離
2
2
1 2
2
1
2
1
(
) +(
)
P P
x
x
y
y
=
−
−
3.
通過
1
1
( ,
)
x y
與
2
2
(
,
)
x y
的直線斜率
2
1
2
1
y
y
m
x
x
−
=
−
,
2
1
x
x
≠
4.
首項為
a
且公差為 d 的等差數列前 n 項之和
(2
(
1) )
2
n
n a
n
d
S
+
−
=
首項為
a
且公比為 r 的等比數列前 n 項之和
(1
)
,
1
1
n
n
a
r
S
r
r
−
=
≠
−
5.
三角函數的和角公式： sin(
)
sin
cos
cos sin
A
B
A
B
A
B
+
=
+
cos(
)
cos cos
sin sin
A
B
A
B
A
B
+
=
−
6.
∆ABC 的正弦定理：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
∆ABC 的餘弦定理：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
7.
算術平均數：
1
2
1
1
1
(
)
n
n
i
i
X
x
x
x
x
n
n
=
=
+
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
=
∑
(樣本)標準差：
(
)
2
2
2
1
1
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
S
x
X
x
n X
n
n
=
=
=
−
=
−
−
−
∑
∑
8.
%
95
信心水準下之信賴區間：
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(1
)
(1
)
ˆ
ˆ
2
,
2
p
p
p
p
p
p
n
n
−
−
−
+
9.
參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,
3.142
π
≈
≈
≈
≈
≈
10.
對數值：
10
10
10
10
log 2
0.3010, log 3
0.4771, log 5
0.6990, log 7
0.8451
≈
≈
≈
≈