大學入學考試中心
九十六學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：
100 分鐘
題型題數：
單選題
5 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 I 題共 9 題
作答方式：•
用
2B 鉛筆在「答案卡」上劃記，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液
•
答錯不倒扣
作答說明：
在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。
（一）填答選擇題時，只用
1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到
−，±，以及 6，7，
8，9，0 等格子。
例：若第
1 題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即
選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：
解 答 欄
例：若多選題第
10 題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列的
與 劃記，如：
（二）選填題的題號是
A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的
格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。
例：若第 B 題的答案格式是
，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第
18
列的
與第
19
列的
劃記，如：
例：若第
C
題的答案格式是
，而答案是
7
50
−
時，則考生必須分別在答
案卡的第
20
列的
與第
21
列的
劃記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
1
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
3
18
3
18
1
2 3 4
5
6
7
8
9
0
−
±
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
20
1
2 3 4
5
6
7
8
9
0
−
±
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
−
±
3
7
−
8
20 21
50
19
第
1 頁
96 年學測
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7 頁
數學考科
-1-
第 一 部 分 ： 選 擇 題 （ 佔
5 5 分 ）
壹 、 單 選 題 （ 佔
2 5 分 ）
說明：第
1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5
分，答錯不倒扣。
1. 設
6
4
( )
3
2
f x
ax
bx
x
=
−
+
−
，其中
a
, b 為非零實數，則 (5)
( 5)
f
f
−
− 之值為
(1) –30 (2) 0 (3)
2 2 (4) 30 (5) 無法確定(與 a, b 有關)
2. 試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 ( , 0)
A n
−
與點
B
(0, 2)的直線亦通過點 (7, )
P
k ，
其中
k 為某一正整數？
(1) 2 個
(2) 4 個
(3) 6 個
(4) 8 個
(5) 無窮多個
3. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為
2
( )
10
11
f t
t
t
= − +
+ ，其中1
10
t
≤ ≤
，則這段時間內該地
區的最大溫差為
(1) 9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5) 36
4. 坐標平面上方程式
2
2
+
1
9
4
x
y = 的圖形與
2
2
(
1)
1
16
9
x
y
+
−
= 的圖形共有幾個交點？
(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個
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2 頁
數學考科
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7 頁
- 2 -
5. 關於坐標平面上函數
sin
y
x
=
的圖形和
10
x
y
π
=
的圖形之交點個數，下列哪一個選項是正確的？
(1) 交點的個數是無窮多
(2) 交點的個數是奇數且大於 20
(3) 交點的個數是奇數且小於 20
(4) 交點的個數是偶數且大於或等於 20
(5) 交點的個數是偶數且小於 20
貳 、 多 選 題 （ 佔
3 0 分 ）
說明：第
6 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選
項劃記在答案卡之「解答欄」
。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得
5 分，只錯一個
選項可得
2.5 分，錯兩個或兩個以上選項不給分。
6. 若
{ |
1 1}
z z
z
Γ =
− =
為複數且
，則下列哪些點會落在圖形
{ |
,
}
w w iz z
Ω =
=
∈Γ 上?
(1) 2 i (2) －2 i (3)
1 i
+ (4) 1－ i (5) －1＋ i
7. 坐標平面上有相異兩點 P 、 Q ，其中 P 點坐標為 ( , )
s t 。已知線段 PQ 的中垂線 L 的方程式為
3
4
0
x
y
−
= ，試問下列哪些選項是正確的？
(1) 向量
X
PQ與向量 (3, 4)
− 平行
(2) 線段 PQ 的長度等於
6
8
5
s
t
−
(3) Q 點坐標為 ( , )
t s
(4) 過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點 ( , )
s t
− −
(5) 以 O 表示原點，則向量
X
OP＋
X
OQ與向量
X
PQ的內積必為 0
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3 頁
96 年學測
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數學考科
-3-
8. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成
1
1
0
0
2
1
1
0
7
3
2
1
？
(1)
5
3
2
0
2
1
1
0
7
3
2
1
(2)
−
−
−
−
0
7
1
3
0
1
1
1
0
1
3
1
(3)
−
5
2
1
1
2
1
1
1
5
2
1
1
(4)
−
−
1
2
2
2
0
1
1
1
6
3
1
2
(5)
1
0
1
0
2
1
1
0
7
2
3
1
9. 坐標空間中，在
xy
平面上置有三個半徑為
1 的球兩兩相切，設其球心分別為 , ,
A B C 。今將第四
個半徑為
1 的球置於這三個球的上方，且與這三個球都相切，並保持穩定。設第四個球的球心
為
P ，試問下列哪些選項是正確的？
(1) 點 , ,
A B C 所在的平面和
xy
平面平行
(2) 三角形 ABC 是一個正三角形
(3) 三角形 PAB 有一邊長為 2
(4) 點 P 到直線 AB 的距離為 3
(5) 點 P 到
xy
平面的距離為
1
3
+
10. 設 a 為大於 1 的實數，考慮函數 ( )
x
f x
a
=
與
( )
g x
= log
a
x ，試問下列哪些選項是正確的？
(1) 若
f(3) = 6，則 (36) 6
g
=
(2)
(238)
(38)
(219)
(19)
f
f
f
f
=
(3) (238)
(219) (38)
(19)
g
g
g
g
−
=
−
(4) 若
P, Q 為
( )
y g x
=
的圖形上兩相異點，則直線
PQ 之斜率必為正數
(5) 若直線
5
y
x
=
與
( )
y
f x
=
的圖形有兩個交點，則直線
1
5
y
x
=
與
( )
y g x
=
的圖形也有兩個交點
96 年學測
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4 頁
數學考科
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7 頁
- 4 -
11. 設 ( )
f x 為一實係數三次多項式且其最高次項係數為 1，已知 (1) 1, (2) 2, (5) 5
f
f
f
=
=
= ，則
( ) 0
f x
= 在下列哪些區間必定有實根？
(1) (–
∞ , 0) (2) (0, 1) (3) (1, 2) (4) (2, 5) (5) (5, ∞ )
第 二 部 分 ： 選 填 題 （ 佔
4 5 分 ）
說明：
1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–41)。
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.
設實數
x 滿足 0
1
x
< < ，且
2
log 4 log
1
x
x
−
=
，則
x＝ 。(化成最簡分數)
B.
在坐標平面上的
ABC
∆
中，
P 為
BC 邊之中點，Q 在 AC 邊上且
2
AQ
QC
=
。已知
X
PA ＝(4, 3)，
X
PQ＝(1, 5)，則
X
BC＝( , )。
C.
在某項才藝競賽中，為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大，主辦單位規定：先將
15 位
評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數，再將與平均數相差超過
15 分的評審成績剔除後
重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績。現在有一位參賽者所獲
15 位評審的平均成績為 76
分，其中有三位評審給的成績
92、45、55 應剔除，則這個參賽者的比賽成績為 分。
16 17
13
12
14 15
18 19
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5 頁
96 年學測
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數學考科
-5-
D.
某巨蛋球場
E 區共有 25 排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在正中間那一
排
(即第 13 排)，發現此排共有 64 個座位，則此球場 E 區共有 個座位。
E.
設
P, A, B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點，其中 P 點坐標為(1, 0)，A 點坐標為
(
12
13
−
,
5
13
)，且
APB
∠
為直角，則
B 點坐標為 ( , )。(化成最簡分數)
F.
某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共
有黑、灰、紅、藍四種顏色，球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公
司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子，而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子，至於其他顏色間
的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有
種不同款式的「阿民」公仔。
32 33
26 27
24 25
30 31
28 29
20 21 22 23
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數學考科
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- 6 -
G.
摸彩箱裝有若干編號為
1, 2, ,10
⋅⋅⋅
的彩球，其中各種編號的彩球數目可能不同。今從中隨機摸取
一球，依據所取球的號數給予若干報酬。現有甲、乙兩案：甲案為當摸得彩球的號數為
k 時，
其所獲報酬同為
k；乙案為當摸得彩球的號數為 k 時，其所獲報酬為 11– k (
1,2, ,10
k
=
⋅⋅⋅
)。已知
依甲案每摸取一球的期望值為
67
14 ，則依乙案每摸取一球的期望值為 。(化成最簡分數)
H.
坐標平面上有一以點
V(0, 3)為頂點、F(0, 6)為焦點的拋物線。設 P(a, b)為此拋物線上一點，
Q(a, 0)為 P 在 x 軸上的投影，滿足
0
60
FPQ
∠
=
，則
b = 。
I.
在
ABC
∆
中，
M 為 BC 邊之中點，若
3
AB
= ，
5
AC
= ，且
0
120
BAC
∠
=
，
則
tan BAM
∠
＝
。(化成最簡根式)
36 37
34 35
41
40
38 39
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96 年學測
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數學考科
-7-
參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1.
一元二次方程式
2
0
ax
bx c
+
+ = 的公式解：
a
ac
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=
2.
平面上兩點
P
1
(
)
1
1
, y
x
，
P
2
(
)
x y
2
2
,
間的距離為
P P
x
x
y
y
1 2
2
1
2
2
1
2
=
−
+
−
(
)
(
)
3.
通過
(
)
1
1
, y
x
與
(
)
x y
2
2
,
的直線斜率
2
1
2
1
y
y
m
x
x
−
=
−
,
2
1
x
x
≠ .
4.
等比數列
1
k
ar
−
的前
n 項之和
(1
)
,
1.
1
n
n
a
r
S
r
r
⋅ −
=
≠
−
5.
三角函數的和角公式：
sin(
) sin cos
sin cos
A B
A
B
B
A
+
=
+
1
2
1
2
1
2
tan
tan
tan(
)
1 tan tan
θ
θ
θ θ
θ
θ
+
+
=
−
6.
∆ABC 的正弦定理：
sin
sin
sin
A
B
C
a
b
c
=
=
∆ABC 的餘弦定理：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
7.
棣美弗定理
: 設
(
)
cos
sin
z r
i
θ
θ
=
+
，則
(
)
z
r
n
i
n
n
n
=
+
cos
sin
θ
θ
，
n
為一正整數
8.
算術平均數：
1
2
1
1
1
(
)
(
)
n
n
i
i
M
X
x
x
x
x
n
n
=
=
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
=
∑
(樣本)標準差：
2
2
2
1
1
1
1
(
)
((
)
)
1
1
n
n
i
i
i
i
S
x
X
x
n X
n
n
=
=
=
−
=
−
∑
∑
−
−
9.
參考數值：
142
.
3
;
449
.
2
6
;
236
.
2
5
;
732
.
1
3
;
414
.
1
2
≈
≈
≈
≈
≈
π
10. 對數值： 8451
.
0
7
log
,
6990
.
0
5
log
,
4771
.
0
3
log
,
3010
.
0
2
log
10
10
10
10
≈
≈
≈
≈