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100 年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：
等 別： 三等考試
類 科： 電力工程、電子工程、電信工程
科 目： 工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
（請接背面）
全一張
（正面）
33970
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甲、 申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、求解微分方程式( 02)142
′
=
−
+
+−
y
x
y
y
x，其中 dx
dy
y（15 分）
=
′。
−= 可2
z為二、請找出複數平面上函數 f以微分的全部點，並證明之，其中Im( 2
)Im()( 2
zzz )
z
的虛部。（10 分）
三、已知A一矩陣集合S
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=14
23 和，
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=21
20
,
20
21
,
11
03
,
10
21
證明 S內之 4個矩陣為線性獨立。（5分）
把A表示成 S內之 4個矩陣的線性組合。（10 分）
四、請找出表面方程式S在點18: 444 =++ zyx )1,1,2(
p
−
=
的單位法向量（unit normal vector）
及切面（tangent plane）方程式。（10 分）
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：7339
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 考慮 。設 及 為 的解。又知
0>x1
y2
y0)2(2
2=++
′
+
′′ yxyxyx 0)1(
1
=
y、 、
1)1(
1=
′
y2)1(
2
=
y及。下列何者為
及 的 Wronskian？
2
2)1( ey =
′
1
y2
y
2
2
x
2
2
x
− 2x2 –2x2
2 下列何者不是白努利（Bernoulli）方程式？
2
2xyxyy =+
′32
2xyyxy =+
′2
2yyy =+
′32
2xyxyy =+
′
3 若
[]
0)cos(),()cos(
=
+
+++ dyyxxdxyxgyxx 是正合（exact）微分方程式，則 可為何？
),( yxg
)cos( yx +)sin( yxx
+
)cos(1 yxx +
+
)sin( yxx
+
+
4 若 為 之拉普拉斯（Laplace）轉換，
)(sF )(tf )( 1
)( 2ass
sF −
=則 為何？
)(tf
teat te–at )1(
12−− ate
aat )1(
12++ ate
aat
5 求解微分方程 3
)0(,tan
π
==
′yxyy ，其解為何？
xy sec
3
π
= xy sec
2
3
π
= xy cos
3
π
= xy tan
3
π
=
6 請找出何者為曲線 2
x
c
y=的正交曲線？
kyx =+ 22 2kyx =− 22 2kxyx =+− 22 2kxyx =−− 22 2
7 有一個線性轉換 )42,33,32(),,( 321321321321 xxxxxxxxxxxxT +
+
+
+
+
+
=，下面那一項是 ？ ),,( 321
1xxxT −
)326,,( 3213121 xxxxxxx −+++ )326,,( 3213121 xxxxxxx
−
+
+−
+
−
)326,,( 3213121 xxxxxxx −−++ )326,,( 3213121 xxxxxxx
−
−
+−
+
−
100 年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號：
等 別： 三等考試
類 科： 電力工程、電子工程、電信工程
科 目： 工程數學
全一張
（背面）
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8 向量 以
[]
255w −= ]}100[],0
5
3
54
[],0
5
4
5
3
{[B
−
=當作基底的三維座標為：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
2
7
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
2
7
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−2
7
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
2
7
1
9 若A為對稱矩陣，下列敘述何者錯誤？
T
A
A
= A可對角化
A的所有特徵值均為實數 若A之特性方程式有重根時，A不一定可對角化
10 若0為矩陣 的特徵值，請問
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
210
12
101
α
α
為何值？
1 2
3 2 2
5
11 兩連續隨機變數 X、Y之結合機率密度函數（joint probability density function）為 ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧≤≤≤≤+
=
其它,0
20,20),(
8
1
),(
,yxyx
yxf YX ，
則協方差（covariance）Cov(X, Y ) = ？
36
1
− 28
3
− 24
5
− 39
1
−
12 考慮一波式（Poisson）分布之離散隨機變數（discrete random variable）X，其值為 k之機率是 ,
!
3
}{ 3k
ekXP k
−
==
，試求其均值（mean）
,...2,1,0=k
=
}{XE ？
3 6 9 12
13 一公正的骰子被擲 10 次，若點數 2出現 3次之機率為 )
6
)(
!! !10
(10
d
c
ba ，則
=
+++ dcba ？
15 20 21 22
14 求=
−
→2
0
cos1
lim zz
z？
2
1 1 2 4
15 請計算 2
1
)31( i+之值，其中 1−=i。
2
1
2
3i− 2
1
2
3i+ 2
3
2
1i+ 2
3
2
1i−
16 令2
)( zzf =為一複數函數，則下列的敘述何者錯誤？
是一連續函數 在z = 0 可微分 在z = 0 可解析 在z = 1 不可微分
)(zf )(zf )(zf )(zf
17 假設路徑 C為一逆時針方向的單位圓 1=z，試求 dz
z
z
C)
1
sin(
2
∫之值為何？
0 i
π
3i
π
−
2i
π
18 向量場 在點 p = (-1, 0, 1)的旋度（curl）為何？
kjiF yzyzxxy +−+= ))sin((
i - j + k 2i + 2k 2i + j – k 2i + 2 j
19 有一曲線之參數方程式為 ，
tx sin10=ty cos10
=
，其中 22
π
π
≤≤
−
t，請問該曲線弧長為何？
5
π
10
π
15
π
20
π
20 有三個向量 ，
]0,2,1[−=a
r]1,3,2[=b
r
，]2,7,5[
−
=
c
r
，求 =⋅× cba
r
r
r
)( ？
11 -11 10 -10
類科名稱：
100年特種考試地方政府公務人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：7339)
題 數：20題
測驗式試題標準答案
考試名稱：
標準答案：
題號
答案BDDCA BDADB AADAB CCBBB
題號
答案
題號
答案
題號
答案
備 註：
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電力工程、電子工程、電信工程