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108年公務人員高等考試三級考試試題
類科：統計
科 目：抽樣方法
考試時間：2小時 座號：
※注意： 可以使用電子計算器，須詳列解答過程。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：21670
頁次：3
－
1
註：本試題可能使用之標準常態值如下： ，
645.1
05.0 =Z96.1
025.0 =Z
一、臺灣地區有 525 家IC 設計公司，其中有 5家公司規模特大。為了估計
臺灣地區 IC 設計產業的總員工人數 Y，除了將 5家特大 IC 設計公司調
查其員工人數得 , ,…, 以外，另以簡單隨機抽樣法（不歸還）從
剩餘的 520 家IC 設計公司中抽出 20 家公司為樣本，調查其員工人數得
, ..., 。現欲採用下列兩種估計式以估計臺灣地區 IC 設計公司之
總員工人數 Y：
1
y y y
y y
25
6 25
∑
=
=
25
1
125
525
ˆ
ii
yY , ∑∑
==
+=
25
6
5
1
220
520
ˆ
ii
iiyyY
試證 及 是否皆為 Y之不偏估計式。（6分）
1
ˆ
Y2
ˆ
Y
請分別寫出 及之均方誤差（Mean Square Error；MSE）的定義。
（4分） 1
ˆ
Y2
ˆ
Y
又已知 5家特大 IC 設計公司員工總人數為 5,062，而其他 520 家IC
設計公司員工總人數為 60,320；其他 520 家IC 設計公司之員工人數
的平方和為 11,842,980。試利用上列資料求估計式 及的均方誤差
之值，並請說明估計 Y時，那一個估計式較好？（4分）
1
ˆ
Y2
ˆ
Y
二、自來水公司想調查臺中市某區住戶在 108 年1~3 月的用水情況，該區共
有N=20,000 戶，今以簡單隨機抽樣法調查了 n=800 戶，得到下列統計
資料： 5.22=
y
噸， 噸，有 320 戶用水總量超過了規定的用量標準。
36=s
請估計該區住戶在108 年1~3 月的總用水量Y及其該估計之95%的信
賴區間。（6分）
請估計該區在 108 年1~3 月的總用水量超過了規定的用量標準的住戶
數T。（6分）
又自來水公司想在 6月份再做一次該區住戶用水總量的抽樣調查，若
要求在 95%水準下估計的相對誤差不超過 10%，則應該抽多少樣本
（戶）才能達到上述之要求？（6分）
代號：21670
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2
三、若一母體共分為三層，其中各層母體大小分別為 =300，=600 與
=100。根據過去的調查結果知道這三層的母體標準差分別為
1
N2
N
3
N1
σ
=150，
2
σ
=75 與3
σ
=100。
若調查總預算（C）只有 20,000 元，又固定成本（ ）為 2,000 元，每一
層調查單位成本均相同為 50 元，即 元，我們想以分層隨機
抽樣法估計式
0
c
50
321 === ccc
st
y估計母體平均數
μ
，試依紐曼配置（Neyman Allocation）
法，求滿足要求之總樣本大小 n及各層所需之樣本大小 （i = 1,2,3）分別
為若干？（10 分） i
n
若我們想以分層隨機抽樣法估計式 st
y估計母體平均數
μ
的95%的誤差
界限不超過 B=20，試依紐曼配置法，求滿足要求之總樣本大小 n及
各層所需之樣本大小 （i = 1,2,3）分別為若干？（10 分）
i
n
四、某市轄區有 N = 250 個里，共有 M = 16,800 戶。今電力公司營業處想估
計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y
μ
，以簡單集體抽樣法自該市隨機抽
出10 個里進行調查，得如下調查資料：
里
（集體） 戶數
（ ）
i
M該里住戶裝
置冷氣機之
總台數（
y
i）里
（集體） 戶數
（ ）
i
M該里住戶裝
置冷氣機之
總台數（
y
i）
1 150 480 6 120 216
2 72 252 7 50 240
3 80 440 8 100 230
4 90 162 9 71 213
5 125 200 10 42 252
註：上述調查資料經計算得∑， ， ，
，，在簡單集體抽樣法下，電力公司營
業處利用
900M
10
1i i=
=
514,91M
10
1i
2
i=
∑
=
685,2y
10
1i i=
∑
=
777,819y
10
1i
2
i=
∑
=
551,251yM
10
1i ii =
∑
=
∑
∑
=
=
=10
1i i
1i
M
y
10
i
C1
y，∑
=
=
10
1i iC2 y
n
1
M
N
y，∑
=
=
10
1i iC3 y
n
1
y等3個估計式
（其中 i
i
iM
y
y=）來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y
μ
。則：
試以 C1
y、C2
y、C3
y來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 Y
μ
，則 Y
μ
估
計值分別為何？（9分）
若以估計式 C1
y估計 Y
μ
， 則該估計在 95%的信賴度下，其最大可能估
計誤差界限 B為何？（9分）
請根據上述調查資料，試分別求 C1
y、C2
y、C3
y等3個估計式的估計變
異數 3,2,1i),y(V
ˆci =之值為何 ? 並請說明哪一個估計式在估計 Y
μ
時有
較好的估計效率？（6分）
代號：21670
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3
五、某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職
工去年上半年（1~6 月份）與今年上半年（1~6 月份）因生病請假時數
之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出 100 名職工進行
調查，得相關統計資料如下：
區域別 職工總數
()(人)
i
N樣本數
()(人)
i
n去年上半
年樣本平
均數(i
X)
今年上半
年樣本平
均數(i
Y)
去年上半
年樣本標
準差( )
i
X
S
今年上半
年樣本標
準差()
i
Y
S
去年與今年上
半年樣本相關
係數 ( i
XY
ρ
ˆ)
1（南區） 1,000 100 18.0 18.9 10.0 10.36 0.9841
2（北區） 1,500 100 7.5 4.8 5.45 3.50 0.5576
其中：
設：去年上半年第i位職工因生病請假的時數；
i
X
i
Y：今年上半年第i位職工因生病請假的時數；
i
X：去年上半年因生病請假的樣本平均時數；
i
Y：今年上半年因生病請假的樣本平均時數；
Xi
S：去年上半年因生病請假時數的樣本標準差；
Yi
S：今年上半年因生病請假時數的樣本標準差；
i
XY
ρ
ˆ：去年與今年上半年因生病請假的時數的樣本相關係數。
又已知去年上半年（1~6 月份）南區職工因生病請假的總時數 300,16
1=
X
τ
小時，北區職工因生病請假的總時數 800,13
2=
X
τ
小時。根據上述資料：
試估計該市南區職工去年上半年（1~6 月份）至今年上半年（1~6 月
份）因生病請假的時數之變動比率 R為何？又在 95%的信賴度下，其
最大可能估計誤差界限 B為何？（6分）
對於
之估計問題，若要求在 95%的信賴度下，其最大可能估計誤差
界限 B不超過 0.02，試問應抽出多少樣本才足夠？（6分）
試以比率估計（ratio estimation）估計該市南區職工今年上半年（1~6
月份）因生病請假的平均時數 1Y
μ
及該市北區職工今年上半年（1~6 月
份）因生病請假的平均時數 2Y
μ
。（6分）
若視上述調查資料為分兩層（南區及北區），利用分層隨機抽樣法調
查所得，請你幫忙該市人事長用層別比率估計式（separate ratio
estimator）估計該市 2,500 位職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假
的平均時數 Y
μ
。又其在 95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B
為何？（6分）