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111年公務人員高等考試三級考試試題
類 科
：
統計
科 目
：
抽樣方法
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
3257
0
頁次：
3
－
1
一、南興社區疑似爆發某流行病之群聚感染，為規劃後續防疫措施，亟需先
行瞭解該社區染病人數。現有兩種檢測方法可用於檢測是否染病，檢測
方法 A可迅速得到結果，但其精確程度較不理想，而檢測方法 B雖可提
供相當精確之結果，但其所需檢驗程序繁複，若要爭取時效，僅能施測
30 位。今先以方法 A對該社區所有之 500 位居民進行檢測，驗得其陽
性比例為 0.6，再以簡單隨機抽樣取出不放回之方式，由全社區之居民中
選擇 30 位以方法 B進行施測，驗得其陽性為 15 人，而這 30 位受測者
以方法 A施測之陽性人數為 13 人，且 30 人中有 26 位以方法 A及方法
B檢驗之結果相同。請回答下列問題：
若僅以方法 B施測所得之結果推估本社區染病人數，請問其估計值及
95%信賴區間為何？（5分）
是否可以整合兩種方法推估本社區染病人數？若您認為可以，請敘述
您採用的推估方式、本社區染病人數推估值及其 95%信賴區間，同時
請問在上述兩種推估方式中，您會採取那一種及您的理由。（15 分）
二、在某大學所進行的某滿意度調查中，樣本為以簡單隨機抽樣取出不
放回所選擇出的 n= 400 位大學部學生，該校大學部學生共 5000 名，
400 位學生依其年級分類及各年級滿意樣本比例整理如下表：
大一 大二 大三 大四
樣本數（
i
x
）200 100 50 50
滿意比例（
i
p
）0.4 0.8 0.8 0.8
則全體學生滿意比例之不偏估計為 200 0.4 100 0.8 50 0.8 50 0.8
0.6
400
根據註冊組提供之資料，該校大學部學生之各年級比例如下：
大一 大二 大三 大四
母體比例（
i
Q
）0.3 0.3 0.2 0.2
請檢定在
α
= 0.05
之水準下樣本比例與母體比例是否相符（請參考下表
之卡方分配 95%百分位數）。（5分）
根據子題之結論，請問滿意度 0.6 的結果是否應加以修正？請敘明
理由，若您認為需要修正，請提供修正後之母體比例。（10 分）
自由度 1 5 10 20
2
0.95
3.84 11.07 18.31 31.41
代號：
32570
頁次：
3
－
2
三、金芒鄉是主要的芒果產區，鄉內農戶有專門種植芒果之專業果農，也有
混種其他作物而僅部分種植芒果之農戶，專業芒果之農戶名冊可由農林
漁牧業普查資料中獲得，但兼種芒果之農戶時有變動，無法經由普查資
料中確認，惟為求精準推估金芒鄉本年度芒果產值，亦須將兼種芒果之
農戶之芒果產值列入。在本鄉一共 500 戶農戶中，有 100 戶為專業種植
芒果的農戶，而此 100 戶中，有 5戶為大型農戶，95 戶為中小型農戶。
本調查以下列方式選擇樣本農戶進行金芒鄉本年度之調查：5戶大型專
業芒果農戶全數加以調查。接下來在全金芒鄉之 11 個村中，以簡單隨機
抽樣取出不放回之方式選擇其中 6個村，每個樣本村中再以簡單隨機抽
樣取出不放回之方式選擇 5戶中小型專業芒果農戶，若該村中小型專業
芒果農戶數不足或等於 5戶，則該村中所有中小型專業芒果農戶全數加
以調查。另外以簡單隨機抽樣取出不放回之方式在其餘農戶中選擇其中
50 戶作為樣本戶。
本調查各類農戶所得資料綜整如下：
⑴大型專業芒果農戶：平均值為 125 萬元，標準差為 20 萬元。
⑵中小型專業芒果農戶：6個樣本村之資料如下：
村別 文新村 文景村 文佑村 金河村 同億村 同欣村
總戶數 16 4 3 12 2 13
平均值（萬元） 30 25 30 25 20 30
標準差（萬元） 5 10 6 5 8 8
⑶其餘農戶：50 戶樣本戶中，有 10 戶種植芒果，而這 10 戶之平均芒果
產值為 12 萬元，標準差為 8萬元。
請回答下列問題（請以萬元為單位作答）：
請提出兩種不同估計方式，推估金芒鄉中小型專業芒果農戶之年度芒
果總產值，以及其相對應之變異數估計，並比較您提出之方法於本調
查之適用性。（20 分）
若以其他農戶之 50 戶樣本戶中，10 戶有兼種芒果之農戶的平均芒果
產值 12 萬元，做為全體兼種芒果農戶之平均芒果產值推估值，請問其
變異數估計值為何？（5分）
請推估金芒鄉兼種芒果農戶之年度芒果總產值，並提出其變異數
估計值。（10 分）
代號：
32570
頁次：
3
－
3
四、今有一母體，其中有三個單元，各單元編號 及其主要母體變量值
如下表：
1 2 3
7 5 3
若要從該母體中選擇 2個單元作為樣本，在不考慮抽樣順序及可重複選擇
之情形下，共有 6種可能之樣本組合，考慮一抽樣設計為每組樣本組合
,
s i j
，被選擇到之選擇機率為
/24
p s i j
，例如樣本組合（2,3）之
選擇機率為 5/24，（1,1）被選擇之機率為 2/24……等。
請回答下列問題（建議以分數計算及作答）：
請問在本抽樣設計下，第 個單元被選到之包含機率（Inclusion
Probability）若為
i
，則
2
為何？（5分）
請問若以樣本平均
2
i
i s
y
y
作為母體平均
3
1
3
i
i
y
之估計量，則
y
在
本設計下推估
之偏誤（Bias）為何？（5分）
y
在本設計下之均方誤差（Mean square error；MSE）為何？（5分）
請就本設計提出一不偏估計量，請問您提出之估計量在樣本組合分別
為（2,3）及（3,3）的情況下之估計值為何？並證明或以本母體為例驗
證該估計量為不偏。（10 分）
請試述您要如何評估您所提出之不偏估計與
y
在本設計下孰優孰劣？
（不須計算實際數值）（5分）