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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：22070
類 科： 統計
科 目： 抽樣方法
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
全一張
（
正面
）
與本試題有關的標準常態值可能有：
,28.1,645.1,96.1 1.005.0025.0 === ZZZ
182.3)3(,303.4)2( 025.0025.0 == tt
計算題的答案要求：
平均數取兩位小數（算到第三位小數然後四捨五入）。
請以分數表示母體或是樣本比例的答案。
至於次數或是個數的答案取整數（算到第一位小數然後四捨五入）。
變異數取三位小數（算到第四位小數然後四捨五入）。
信賴區間請代入最多小數的平均數與變異數，然後取兩位小數（算到第三位小數然
後四捨五入）。
變異數與變異數的比例取三位小數（算到第四位小數然後四捨五入）。
計算過程保留越多小數越好，以確保滿足第 8項要求。
答案只要與標準答案差別在最後一位小數以內都算是正確答案。
一、某消防局為了瞭解平均每天多少人打電話進來報案，於是隨機抽樣 30 天的電話紀
錄並且得到下表：
次數 0 1 2 3 4
天數 15 10 4 0 1
假設這是一個無限母體的問題，並且請根據上述表格回答以下的問題。
如果該消防局想估計一年 365 天下來的總報案次數，請協助消防局提供這一項估
計值。（5分）
請提供上述總報案次數之變異數的不偏估計值。（10 分）
請提供總報案次數之近似的 95%信賴區間。（10 分）
二、某校有 45 棵樹，為了方便管理，每一棵樹上都被貼上了一個編號，從「00」開始
一直編到「44」。該校有一條榕樹大道，大道上的榕樹排列及它們的編號分別是
04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39。現在該校某一位求知若渴
的學生希望引用「每 5個取 1個」的系統抽樣估計榕樹的比例。
請提供所有「每 5個取 1個」之系統抽樣的樣本編號。（5分）
請提供題所抽中之樣本榕樹比例的抽樣分配。（10 分）
請證明樣本榕樹比例確實是真實榕樹比例的不偏估計量。（10 分）
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年公務人員高等考試三級考試試題 代號：22070
類 科： 統計
科 目： 抽樣方法
全一張
（
背面
）
三、以下資料為紐約與倫敦兩城市的日均溫紀錄（以華氏計）：
都市 紐約 倫敦 紐約 紐約 倫敦 紐約 紐約
氣溫 48 54 52 47 57 54 49
都市 倫敦 紐約 紐約 紐約 紐約 倫敦 紐約
氣溫 59 53 50 52 57 55 54
都市 倫敦 紐約 紐約 倫敦 紐約 紐約 倫敦
氣溫 68 49 51 61 55 53 50
請根據上述表格回答以下的問題。
如果挑選一組「4個單元」的「取後不放回」隨機樣本「48, 47, 57, 52」，請提供
這一項抽樣設計之母體平均數的 95%信賴區間。（10 分）
如果用地理位置把題意的母體切成「兩層」，然後每一層挑選一組「2個單元」
的「取後不放回」隨機樣本，「52, 57」來自紐約，以及「57, 55」來自倫敦，請
提供這一項抽樣設計之母體平均數的 95%信賴區間。（10 分）
計算「題的抽樣設計」比上「題的抽樣設計」的相對有效性。（5分）
四、假設樣本來自某一個簡單隨機抽樣設計，而且樣本數與母體都夠大。已知以下三種
母體平均數之估計量的變異數：
(E1) 2
1
1
)( y
N
nN
n
YVar
σ
−
−
=
(E2)
[]
yxxyrxryratio
N
nN
n
YVar
σσρμσμσ
2
1
1
)( 222 −+
−
−
=
(E3)
[]
22
1
1
1
)( yxyregression
N
nN
n
YVar
σρ
−
−
−
=
其中 N是母體規模（population size），n是樣本規模（sample size）， 2
y
σ
是母體 Y
的變異數， 2
x
σ
是母體 X的變異數， xy
ρ
是母體 X跟母體 Y之間的相關係數，
xyr
μ
μ
μ
/=是母體 Y的母體平均數除以母體 X的母體平均數。
請證明以下比例的正確性並且下結論：
(E1)/(E3)≥1。（10 分）
(E2)/(E3)≥1。（10 分）
根據上述兩項結果，請問(E1)，(E2)及(E3)那一種估計量可以被認為「比較好」。
（5分）