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112年公務人員高等考試三級考試試題
類 科
：
統
計
科 目
：
抽
樣方法
考試時間
：
2
小
時
座號
：
※注意：可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
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1
一、欲了解某一工業園區N家製造業者AI人才的需求狀況，下述三種抽樣設計
可用以推估該工業園區有AI人才需求的業者家數比例及總需求人數：
⑴如果園區各業者的營業規模已知，首先將業者依其營業規模分成L層
（
1, ,
L
），每層家數分別為 1
, ,
L
N N
，再由每層抽取一簡單隨機樣
本，分別為 1
, ,
L
n n
，以調查業者的AI人才需求狀況。
⑵如果園區各業者的營業規模未知，但已知園區業者營業規模的比例分
別為 1
, ,
L
W W
，首先由N家業者抽取一簡單隨機樣本（n）調查業者規
模及AI人才需求狀況後，再根據調查結果依其規模分成L層進行推估。
⑶如果沒有園區業者營業規模的資訊，首先由N家業者抽取一簡單隨機樣
本
n
，取得營業規模資訊，而後根據營業規模資訊將
n
家業者依其營業
規模分成L層（ 1
, ,
L
n n
），再由每層抽取一簡單隨機樣本，分別為
1
, ,
L
n n
，調查業者的AI人才需求狀況。
說明前述三種抽樣設計的抽樣方法為何？（10分）
若欲估計園區AI總需求人數（
Y
），分別列出對應前述三種抽樣方法的
估計量（estimator）及該估計量之變異數的估計量。（15分）
代號：
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二、某一縣市共4000家養雞戶分散在20個村里（cluster），欲透過調查了解該
縣市養雞戶的所得狀況，抽樣方法可採用一階段集體抽樣（single-stage
cluster sampling）或二階段集體抽樣（two-stage cluster sampling）。
若抽樣方法採一階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣（SRS）
抽出3個村里，就抽得的3個村里之養雞戶全數調查，調查結果村里內養
雞戶數及平均年所得列於下表：
村里
（cluster）
i養雞戶數
（
i
M
）
村里內養雞戶
平均每戶年所得（百萬元）
（
i
y
）
1 150 4
2 200 8
3 250 5.6
採用集體大小比率估計量（ratio-to-size estimator,
R
y
）估計該縣市養雞
戶平均每戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。（10分）
若抽樣方法採二階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣抽出3
個村里，再就抽得的3個村里之養雞戶以簡單隨機抽樣分別抽出1/10養
雞戶進行調查，調查結果養雞戶之平均所得列於下表：
村里
（cluster）
i農戶數
（
i
M
）抽出養雞戶數
（
i
m
）
村里內抽得之養雞戶平均
每戶年所得及標準差
（百萬元）
（
,
i i
y s
）
i
y
i
s
1 150 15 4 1
2 200 20 7 3
3 250 25 6 2
試問：（15分）
⑴本抽樣設計第一階段的抽樣單位（primary sampling unit, PSU）及第
二階段的抽樣單位（secondary sampling unit, SSU）分別為何？
⑵採用不偏估計量（unbiased estimator,
y
）估計該縣市養雞戶平均每
戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。
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三、欲了解某區域養殖漁戶營運狀況，該區域共有800家養殖漁戶，首先由該
區域抽得一個包含500戶（第一重樣本
500
n
）的簡單隨機樣本以取得養
殖型態（是否為漁電共生的層別資訊），調查得知其中100戶為漁電共生
戶，進而以簡單隨機抽樣由漁電共生及非漁電共生的養殖漁戶分別抽20%
以調查其營運成本資訊，調查結果整理如下表：
養殖型態（層別） 第一重樣本
（戶）
h
n
第二重樣本
（戶）
h
n
養殖漁戶年營運成本
平均年營運成本
i
y
（十萬元） 標準差
i
s
（十萬元
）
漁電共生（I）100 20 120 100
非漁電共生（II）400 80 50 60
合計 500（
n
）100（
n
）75（s）
估計該區域養殖漁戶平均年營運成本（
Y
）（以十萬元為單位）及該估計
量的標準誤。（10分）
如果此調查總預算為44,500元，取得養殖型態的單位成本為9元，調查
營運成本的單位成本為400元（
9, 400
h
c c
），有關標準差、各層權
重、各層平均年營運成本及標準差之母體資訊分別以前述樣本資料（s,
i
i
n
w
n
,
i
y
,
i
s
）取代。試求：（15分）
⑴決定分層雙重抽樣的最佳抽樣設計（Optimum double sample plan），
亦即求算
h
n n
、
。
⑵就⑴的抽樣設計求算平均年營運成本估計量（以十萬元為單位）的
變異數。
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四、欲了解2022年國內汽車銷售概況，就2000家汽車銷售業者進行調查，汽車
銷售業者分為兩大類：國產型（I）及進口型（II），業者家數分別為
1
N
=1500
及
2
N
=500。抽樣方法採用分層隨機抽樣，依類別分層，從每一層分別隨
機抽出10家業者進行調查。假設2021年（x）各類業者的年平均銷售量已
知為：
1
X
=220（輛）;
2
X
=140（輛）。
調查結果20家業者在2021年（x）及2022年（y）的銷售量統計如下：
層別
（h）變數 樣本均數
,
i i
y x
（輛）
比率
（
ˆ
h
R
）樣本共變異數
xyh
s
樣本標準差
h
s
Iy240 1.2 7200 100
x200 80
II y180 1.8 2200 60
x100 40
合計
y
s
=110,
x
s
=90,
xy
s
=9000
利用下列估計量估計年平均銷售量（
Y
）及該估計量的變異數：（15分）
⑴
st
y
，分層隨機抽樣結合簡單均數估計量（mean per unit estimator）。
⑵
Rs
y
，分層隨機抽樣結合分開比率估計量（separate ratio estimator）。
⑶
Rc
y
，分層隨機抽樣結合混合比率估計量（combined ratio estimator）。
求算估計量
st
y
、
Rs
y
、
Rc
y
對單位均數估計量（
y
）之相對效率（relative
efficiency），並說明那個估計量具有較佳精確度。（10分）