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年公務、關務人員升官等考試、
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年交通
事業郵政、公路、港務人員升資考試試題
等 級：薦任
類科（別）：經建行政
科 目：統計學
考試時間 ：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
22150
頁次：
2
－
1
一、根據內政部統計，臺灣滿 65 歲以上之老年人口比率已在 2018 年達
到14.1%，臺灣已正式邁入「高齡社會」。某社會學學者研究發現臺
灣6個直轄市的家戶用在長期照護的年支出服從平均數為
µ
，變異數
為2
σ
之常態分配，此處
µ
與2
σ
皆未知。今由 6個直轄市隨機抽出 n
個 家 戶 ， 調 查 其 用 在 長 期 照 護 的 年 支 出 ， 得 到 隨 機 樣 本
n
XXX ,,, 21
…
。（每小題 10 分，共 40 分）
求出母體變異係數
µ
σ
之最大概似估計量（maximum likelihood
estimator）。
某衛生福利部官員提出未來補助上限擬定為
σ
µ
θ
3
+
=
，求出此上限 θ
之最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased
estimator）
θ
ˆ
。
假設 2
σ
已知，求出機率 )5(
1
>
XP 之 不 偏 估 計量 的 變異 數的
Cram’er-Rao 下限（Cram’er-Rao lower bound）。
假設 2
σ
已知，求出機率 )5(
1
>
XP 之信賴水準
)
1
(
100
α
−
%的信賴區間。
二、交通部檢討斷橋事件後，嚴格要求未來各單位在進行橋梁施工時，所使
用之鋼索的韌性的誤差值，必須符合平均數為 0，變異數為 1之常態分
配。今由符合規定之廠商隨機抽取二支鋼索，測其韌性之誤差值，得二
筆隨機樣本資料。（每小題 10 分，共 30 分）
求出此二筆觀測值中之較小者，小於分配之中位數的機率。
求出此二筆觀測值之全距 R之機率密度函數。
求出上述題中，全距 R的變異數。
代號：
22150
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2
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2
三、中美貿易戰一開打，台股就應聲跌了七百多點。某財經學者研究台股加
權指數（以 Y表示）與美元兌人民幣之匯率（以 X表示）的關係，考慮
建立下列迴歸模型：
iii xY
εββ
++= 2
10 ，
=
i
1, 2, …, n；其中 n
ε
ε
ε
ε
,,,, 321
…
為相互獨立且具常
態分配 ),0( 2
σ
N之隨機變數。（每小題 10 分，共 30 分）
求出 0
β
與
1
β
之最小平方估計量 0
ˆ
β
及
1
ˆ
β
。
求出上述 0
ˆ
β
及
1
ˆ
β
之共變異數 )
ˆ
,
ˆ
(10
ββ
Cov 。
求出 0
ˆ
β
+
1
ˆ
β
之變異數 )
ˆ
ˆ
(10
ββ
+Var 。