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年公務、關務人員升官等考試、
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年交通
事業郵政、公路、港務人員升資考試試題
等 級：薦任
類科（別）：統計
科 目：統計學
考試時間 ：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
21440
頁次：
2
－
1
一、為了避免斷橋事件再次發生，針對各單位在未來進行橋梁的施工和檢
測，交通部作了許多檢討，其中針對橋梁鋼索的壽命，交通部制定了一
些新規定。已知某鋼索製造商生產之鋼索壽命服從具有平均數 50 年的
指數分配。今由該製造商之生產線隨機抽出一組樣本數為二之隨機樣
本，分別以 X1與X2表示。令隨機變數
{
}
2
1
,min XXS
=
及
{
}
2
1
,max XXT
=
分別代表此組樣本中之最小值及最大值。
求出變數 S與T之聯合累積分配函數（joint cumulative distribution
function），F(s,t)。（10 分）
求出變數 S與T之共變異數
)
,
(
T
S
Cov
。（10 分）
求出機率
)
100
,
50
(
>
>
T
S
P
。（10 分）
二、中美貿易戰開打後，造成各國間匯率跟著波動。某經濟學家長期研
究新臺幣兌美元的匯率（以 X表示）、兌人民幣的匯率（以 Y表示）、
兌泰銖的匯率（以 Z表示），發現三者間有密切的關係。經濟學家發
現(X,Y,Z)具有三元常態分配，且其平均數分別為
30
)
(
=
X
E
、
4
)
(
=
Y
E
、
1
)
(
=
Z
E
，變異數分別為
1
)
(
=
X
V
，
4
)
(
=
Y
V
，
9
)
(
=
Z
V
，共變異數分別
為
1
)
,
(
−
=
Y
X
Cov
，
0
)
,
(
=
Z
X
Cov
，
1
)
,
(
=
Z
Y
Cov
求出給定
8
=
Y
之下，(X,Z)之條件機率密度函數。（10 分）
令變數 2
2
)1( )30(9
−
−
=Z
X
W，求出變數 W之分配。（10 分）
求出條件期望值的變異數
(
)
]|[ YXEV 及條件變異數的期望值
(
)
]|[ YXVE 。（10 分）
令變數
Z
Y
X
U
−
+
=
3
2
，
Z
Y
X
V
+
−
=
2
，求出給定
23
=
V
之下，U之
條件機率分配。（10 分）
代號：
21440
頁次：
2
－
2
三、除了少子化的危機之外，臺灣多年來一直存在「出生性別比」較正常值
略高的疑慮。某社會學學者為了瞭解臺灣是否有重男輕女的狀況，隨機
抽樣觀察 n個新生兒的性別。令變數 Bi代表第 i個新生兒為男孩的個數，
θ代表新生兒為男孩的機率，則 B1,B2, …, Bn為一組具有白努利分配
（Bernoulli distribution）的隨機樣本。
求出變數 Bi的變異數 Var(Bi)之最小變異不偏估計量（uniformly
minimum variance unbiased estimator）。（10 分）
求出上述 Var(Bi)之不偏估計量的變異數的 Cram’er-Rao 下限
（Cram’er-Rao lower bound）。（10 分）
求出勝算（odds）
θ
θ
−
1
之最大概似估計量（maximum likelihood
estimator）。（10 分）