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108
年公務、關務人員升官等考試、
108
年交通
事業郵政、公路、港務人員升資考試試題
等 級：簡任
類科（別）：物理
科 目：力學研究
考試時間 ：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
16430
頁次：
2
－
1
一、設某行星可視為一密度均勻之球體，其質量為 M且半徑為 R，萬有引力
常數為 G。
請找出距離球體中心 r的引力場強度。（7分）
如圖一所示，在上述行星中挖掘出一條狹小隧道（其直徑與質量可忽
略）。請證明在隧道內質量為 m的點質量會進行簡諧運動，並找出其
運動週期。（18 分）
圖一
二、如圖二所示，兩個質量為 m與3 m 之點質量被三條相同彈簧於兩牆壁間
連在一起，彈簧常數為 k。考慮在小振幅條件下作一維小震盪，並以 η1
和η2來標示兩個質量距離平衡點的位移。
請寫下此系統的彈性位能函數。（5分）
請找出此系統震盪的特徵頻率（eigen-frequencies）。（10 分）
請找出此系統的振動正常模態（normal modes）。（10 分）
圖二
η
1
η
2
R
r
m
x
m
3
m
k
k
k
代號：
16430
頁次：
2
－
2
三、考慮如圖三所示由兩個相同點質量m，線長為L1和L2組成的雙擺（double
pendulum），所有擺動皆在同一垂直平面上，並以 θ1和θ2來標示兩個質
量離垂直平衡的角度。
請分別寫下此系統的動能和位能。（10 分）
請寫下此系統的拉格朗日量（Lagrangian），並推導出 θ1和θ2所滿足
的運動方程。（15 分）
圖三
四、如圖四所示，一個質量為 M且半徑為 R的均勻圓柱體沿著固定之斜面
無滑動地滾下。設重力加速度為 g。
請問圓柱體轉動慣量 ICM（旋轉軸穿過圓柱體之質心，並平行於滾動
圓柱體之長軸）為何？（4分）
求圓柱體質心之加速度。（9分）
在圓柱體滾下而不滑動條件下，求圓柱體與斜面之最小摩擦係數。
（12 分）
圖四
θ
2
R
M
θ
1
θ
L
1
L
2
m
m