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年公務人員升官等考試、
100
年關務人員升官等考試試題
代號：
16330
等 別： 簡任
類 科： 物理
科 目： 力學研究
考試時間： 2小時
座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
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一、考慮一個質量為 m的粒子因為受到下列的向心吸引力 的作用，而作等速率圓周運動。
F
v
0,
ˆ
)(
ˆ
)( 2>−=−= k
r
k
rrfrrF v
v
這裡
r
v
表示粒子的位置向量，
|
|
r
r
v
=
表示位置向量的長度，單位向量
r
ˆ則定義為
r
r
r
/
ˆ
v
=，k表示大於零的常數。如果參數 k突然間降為原值的一半，利用軌道方程
式（令
r
u/1)( ≡
θ
，
θ
為粒子的位置向量和運動平面上的 x軸的夾角。）
)(
2
2
2
2rf
L
mr
u
d
ud =+
θ
證明此粒子的運動軌道會變成拋物線的形狀。（30 分）
二、如圖，一個質量為 m的粒子被限制只能在半徑為 R的均勻圓環上運動。此圓環以
角速率 ω繞著圓環上的一個固定的樞軸（pivot point）旋轉。圓環上有一個虛擬的
參考軸由樞軸處穿過圓心直到圓環的另一端。在不考慮重力場的情形下，試證明此
質點在圓環上的運動，等同於一個處於均勻重力場下的平面擺（plane pendulum）
的運動。（40 分）
ωm
pivot
point
三、考慮一個多粒子的系統。令 a
r
v
以及 a
F
v
分別代表第 a個粒子的位置以及所受到的力，
T代表此粒子系統的總動能。依據 virial theorem，以下等式成立
∑⋅−=
aaa rFT v
v
2
1
等式裡括號〈〉表示該數量的時間平均值。請證明此 virial theorem。（30 分）