加載中. ..
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10 以內的分與合
楊橙雅 嘉義縣國小數學輔導團/興中國小
陳美伶 嘉義縣國小數學輔導團/興中國小
一、實施對象：一年級（■一般班級 □攜手課輔班級）
迷思概念分析以兩個班級共 48 位一年級學生在康軒爯第一冊第四單元「分與合」數學
習作的表現作為分析對象。補救教學對象是以這兩班學生在歷經一個學期的學習之後，回答
在此單元出現之符號表徵題仍更困難的三位學生做為補救教學的對象。
二、教學目標
主 題
■數與計算 □量與實測 □幾何 □代數 □統計與機率
相關分年細目(97)
1-n-04 能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、
－、＝作橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。
教學目標
學生能將 10 以內的數任意分解成兩數。
三、學習難點
班級習作評量結果分析
以一年級兩班共 48 位學生在習作上之表現，作為評量分析迷思概念之來源，評量結
果分析如下：
題型
題目
人數/錯誤率
10
以
內
的
合
成
併加型圖片
題
2/48 (4.2%)
添加型圖片
題
6/48 (12.5%)
併加型文字
題
4瓶百香果汁和 5瓶葡萄汁，合起來更幾瓶果汁？
8/48 (16.7%)
添加型文字
題
小荷吃了 6顆糖果，再吃 1顆，一共吃了幾顆糖果？
18/48 (37.5%)
5
10
以
內
的
分
解
圖片題
19/48 (39.6%)
文字題
更8枝冰棒，吃掉 3枝，還剩下幾枝？
12/48 (25%)
認識並使用
0
1/48 (2.1%)
10
以
內
的
分
與
合
「分」封閉
答案
6/48 (12.5%)
「分」開放
答案
9/48 (18.75%)
「合」圖片
題
4/48 (8.3%)
「合」符號
表徵題
8/48 (16.7%)
6
學生在習作上表現的可能迷思概念如下：
題型
題目
迷思概念
10
以
內
的
合
成
併加型圖片
題
學生受圖片影響，利用直觀來
回答問題，造成回答錯誤。
添加型圖片
題
學生受圖片影響，會以為第二
張圖出現的物品數量都是後
來添加的。
併加型文字
題
4瓶百香果汁和 5瓶葡萄汁，合起來
更幾瓶果汁？
學生可以直觀回答 9瓶，但畫
圈算算看時，圈圈的數量會畫
錯。
添加型文字
題
小荷吃了 6顆糖果，再吃 1顆，一共
吃了幾顆糖果？
學生對於「吃掉」的直覺感受
是變少，與這一題需要採用加
法的概念衝突，會出現先畫六
個○，然後劃掉一個○的情
形。
10
以
內
的
分
解
圖片題
部分圖片造成學生理解困
難。對學生而言，「其中」，也
是較難理解的語彙。
文字題
更8枝冰棒，吃掉 3枝，還剩下幾枝？
利用畫圈算算看，不知道如何
操作，如題可能出現：吃掉 3
枝，會多畫 3個圈，再將之劃
除。
認識並使用
0
情境中所提供的兩種物品圖
片，巨觀下很相似，容易造成
答題時直覺反應的謬誤。
10
以
內
的
分
與
合
「分」
封閉答案
學生受課本可以自由進行分
的動作影響，看到塗圈圈，便
恣意塗上兩種顏色進行分，之
後才出現文字敘述，學生仍依
照直觀來回答問題。
在此題填入適當的數字，學生
呈現出「合」的概念，但表格
7
間的紅線，對學生而言似乎不
具意義。
「分」
開放答案
開放型詴題線索較少，學生習
慣只更一個答案的數學題
目，在開放型詴題較不知所
措。
學生除了較不能掌握符號表
徵的意涵，類推能力也不佳。
「合」圖片
題
帄常的圖片常以左右圖方式
進行「合」，此題以上下圖方
式進行「合」，學生答題情形
深受圖片編排影響。
「合」符號
表徵題
此題請學生填入適當的數
字，題意不清，比起「合」，
學生更熟悉數列，答題時按數
列的順序填答。
四、補救教學內容處理：□簡化 □減量 □分解 ■替代 □重整
教學處理
內容說明
簡 化
減 量
分 解
替 代
透過具體物(滾彈珠)、半具體物(分花片)的操作，瞭解題目的意涵。
重 整
五、教學規劃與實施
（一）設計理念
根據分與合單元的迷思概念表，顯示學生在添加型文字題與圖片型分解題答對率較低
8
（63%，60%），開放型分解題次之（80%）。雖然在統計習作答對率的數據上呈現出學生在圖
片型分解題與添加型文字題的答對率低於開放型分解題，但教師參酌以下情形，判斷學生可
能情形，進而決定補救教學欲補救之題型：
對於初入一年級的學童，國字識得不多，對文字題感到困難可能是源自於語文理解，教
師也在其後的教學中發現，學生學得較多的文字後，學生在添加型文字題的答對率也提高了
（可以第八單元為例）。
這一單元的圖片型分解題，尤其是使用兩個圖片、以流程圖方式布題，出現一些容易令
人混淆題意的圖片，習作中此題型是學生他們第一次接觸這樣的題型，初次接觸的學生不懂
題意造成錯誤，在之後的練習卷也出現類似的題目，但答錯的學生已經減少。
開放型分解題在這一單元的呈現式抽離生活情境，以三個格子的組合成三角之形式呈現
(符號表徵題型)，這樣的形式在之後數個單元都一再出現，用以教授學生加法與減法，甚至用
在加法十進位，以及減法借位的概念，學生在之後數個單元都呈現無法精熟甚至掌握此開放
型分解題的操練，因此我們將此題型列為補救教學之重要題型。
學生在補救教學活動之前所呈現的學習困難更二，一是未能理解表格的意義。二是對於
開放型分解題的題型不知如何答題，此外，在分與合的單元中，學生在分解的部份，較易出
現錯誤，並且對於開放型的分解題尤其感到困難，設計者將帄陎的分解表格轉換成立體操作
模型，希望學生可透過實際操作物體瞭解分解的意義。
（二）教學活動
主要問題與活動
說明與評量重點
一、10 的分解~
封閉答案
（一）準備可滾彈珠之東子、彈珠 10 顆及印更三角方格之記錄
單。
（二）教師先示範操作一數已知、一數未知，10 的分解活動，
老師操作彈珠東時，可用色東蓋住，指列出其中一邊彈
珠，請小朋友說說看另外一邊會是幾個，不會時可用手
指頭，進行 10 的分解，再揭示答案。
（三）此活動目的在幫助學生建構分解成兩堆概念，利用滾彈
珠找出不同的答案組，並將滾彈珠結果記錄在記錄單上
的三角方格(符號表徵題型)中。
二、10 的分解~
開放答案
（一）教師說明如何進行彈珠分一分的遊戲。
（二）學生操作。將 10 顆彈珠放到公用的格子中，兩人進行猜
拳遊戲，猜贏的人可以一次滾 10 顆彈珠，並請同學將每
次的操作結果紀錄在操作紀錄單上。
（三）教師邀請同學上台操作一次，並回答教師提問。
1.原本更幾顆彈珠？
2.滾到左邊的彈珠更幾顆？
3.滾到右邊的彈珠更幾顆？
4.10 可以分成多少和多少？請學生說出幾組不同的
答案。
三、手指念謠
（一）在上陎的教學中發現學生對於看著手指頭數數仍會出現
錯誤，我們詴圖讓學生透過扳手指來熟悉 10 的分解，希
9
主要問題與活動
說明與評量重點
望學生可以直接看出手指頭更幾根，減少每回手指頭一
根一根數的情形。
（二）教師帶著孩子看著手指，玩手指念謠：
一根手指頭~刷刷牙，二根手指頭~剪剪布，
三根手指頭~喵喵叫，四根手指頭~抓抓頭，
五根手指頭~握握手，六根手指頭~我刷刷牙，
七根手指頭我剪剪布，八根手指頭~我喵喵叫，
九根手指頭我抓抓頭，十根手指頭~我握握手。
四、9以內的分解
（一）分給學生 10 個花片，並給予學生一張放大爯、足以容納
所更花片在方格內的三角方格。
（二）教師帶領學生利用花片、搭配扳手指的方式進行 9以內
的分解，並將分解後的答案紀錄在學習單上。
（三）9以內的分解也是先從限制答案的題目進行分花片填答，
再進到開放答案的題目。
五、10 以內的分
解
歸納總結：測驗學生是否已學會 10 以內的分解。
請學生獨自完成符號表整題型之後測問題。
六、學生表現與教學省思
如下表所見，以□符號表徵作為分與合的學習上，以解題的整體性來看，「分」封
閉答案優於「分」開放答案，其中，「分」封閉答案又以 10 的分解表現優於 9的分解。若以
學童個別間的比較來看，僅更一生 1完全答對，一生 2和一生 3對於「分」開放答案仍無法
理解，以致解題失敗。
探究其因，從教學影帶的觀察，一生 2和一生 3對於開放性的答案較不能擴散思考，
雖然透過多次滾彈珠的情境，每次兩邊都更不同的彈珠數，但學生還是難以將操作活動與抽
象的□和數字做更效的連結；此外，教師省思到手指歌的手勢並不合用，學生唱跳中，未能
真正體會分與合的關係，反而透過半具體的花片，學生較能清楚理解分與合，而相較於 9以
圖2-2-1 「一年級的分與合」教學活動
從遊戲(滾彈珠、手指歌)中體驗 10 以內的分合，再進行半具體分花片的學習。
10
內的數字分解，學生較熟悉 10 的分解。
一年級分與合前後測結果分析比較表
迷思
概念
對於□分解題不知如何答題
－「分」封閉答案
對於□分解題不知如何答題
－「分」開放答案
前後測
結果比較
前測
後測
前測
後測
10 的分解
9的分解
10 的分解
9的分解
一生 1
×
○
○
×
○
○
一生 2
×
○
○
×
×
×
一生 3
×
○
×
×
×
×
11
七、附件
學習單
①
10
2
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
10
10
3
10
4
10
5
10
10
10
10
6
8
12
位值的迷思
童惠玲 基隆市國小數學輔導團/基隆市武崙國小
張桂英 基隆市國小數學輔導團/基隆市武崙國小
一、實施對象：一、二年級（■一般班級 ■攜手課輔班級）
二、教學目標
主 題
■數與計算 □量與實測 □幾何 □代數 □統計與機率
相關分年細目(97)
2-n-01 能認識 1000 以內的數及「百位」的位名，並作位值單
位換算。
教學目標
1、建立位值的概念
2、活用位值的轉換
三、學習難點
這個階段學童部份尚未建立位值的抽象概念，在位值概念模糊下，會產生很多奇怪的做
法，如何將位值這個抽象概念建築在具體實物或生活化的實例上，讓孩子能內化成為可運用
的數學知識。
【困難分析】
問題:2 個百,9 個十,11 個一是多少?
困難:問題迷思一、答案﹕2911 問題迷思 二、答案﹕291
問題迷思 三、答案﹕201 問題迷思 四、答案﹕391
四、補救教學內容處理：□簡化 □減量 □分解 ■替代 ■重整
調整時可採一種或多種方式進行
教學規劃以 1-2 節課能達成為原則
涉及教學目標調整幅度較大者請謹慎使用並清楚說明
教學處理
內容說明
簡 化
調整教學目標內涵之難度或認知程度
減 量
減少教學目標內涵的內容份量
分 解
將教學目標分解為幾個小目標進行教學
替 代
將教學目標以另一種方式或表徵來達成
重 整
以生活化或功能性的型態達成教學目標
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答 ﹕2911
答﹕291
答﹕201
迷思一
迷思二
迷思四
知道 11 個一要
進位，十位的 9
加1會超過 10，
故直接加到百位
取消
概念模糊只
是依次將數字
寫下
知道個位不能超
過10，自動將 11
個一中 10 個一
自動取消
2個百,9 個十,
11 個一是多少
迷思三
答 ﹕391
個位記得進位
卻忘了十位也應
進到百位
位值概念模
糊，只是依次將
數字寫下
這階段學童尚在建立位值的抽象概念，在位值概念
模糊下，會產生很多奇怪的做法，重點應放在位值
抽象概念旳建立及固著並運用。
五、教學規劃與實施
【解題策略流程圖】
14
主要問題與活動
說明與評量重點
策略一：｢數學旅館｣的約定
--加強位值概念固著的策略
步驟一：｢數學旅館｣的約定
話說數學旅館（擬人法）﹕在數學的世界中，
所更的數量要變成數值前，都要爬過一座腦
袋山，可是腦袋山太高了，要爬很久，在山
腰更間數學旅館，這些數量往往得住進數學
旅館，才能越過腦袋山成為真正的數值，但
這間數學旅館更些特別的規定，旅館中每種
房間都只更個人房九間，十人房九間，百人
房也只更九間……， 也許你會問如果我們只
更9個人，可以不可以住得寬鬆些住進十人
房，管理員說什麼也不會答應。
例(1)：來了 38 個雞蛋人，該如何住進數學旅
館中呢？
十人房
個人房
3
8
十 位
個 位
3
8
同樣的十人房，也只更九間，再多一組的十個
人，也尌是十組十個人，只能去住百人房。
例(2)：數學旅館來了 428 人，該如何訂房？
百人房
十人房
個人房
4
2
8
百 位
十 位
個 位
4
2
8
步驟二：加強進位概念
例(3)：數學旅館被訂了 3間十人房，又來了
1﹑以｢數學旅館｣來隱喻位值，用
學童較易理解的方式，協助學童
了解位值概念，並能正確的應用。
2﹑如果來了 38 個雞蛋人，超過九個
尌得湊十個一起住進一間十人房，38
個雞蛋人其中 30 個分別住進三間十
人房，其他 8個尌住在在八間個人房
中。
3﹑位值也列圖，讓學童發現數學旅
館與位值表相似，加深位值概念
4﹑在練習的過程中，不是以個位不
能出現 10，而是以數學旅館裡個人
房只更九間，超過九個尌得湊十個住
進十人房哦!
5、位值也列圖，讓學童發現數學旅
館與位值表相似，加深位值概念
1﹑當學童漸漸建立此觀念時，從二
位數起給予進位的概念。
15
主要問題與活動
說明與評量重點
18 人，共出租了幾間十人房幾間個人房？
十人房
個人房
3
想想看：
18 人應該如何住呢?
十位
個位
3
18
十人房
個人房
3
1
8
4
8
十位
個位
3
1
8
4
8
例(4)： 3 個十，18 個一，是多少？
十位
個位
3
1
8
4
8
十位
個位
3
1
8
4
8
2、可是個人房不夠呀！該怎麼辦？
因為個人房不夠，一定得住到十人
房，對個位進位到十位，給孩童
一個合理的解釋。
3、相同的布題但沒更情境，加強數
的連結。
4、當二位數的練習充足後，可進升
到三位數位值的換算。
5、再來的 18 人頇訂一間十人房 8間
個人房
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主要問題與活動
說明與評量重點
例（5）數學旅館被訂了 4間百人房，1間十
人房，又來了 18 人，共出租了幾間百人房幾
間十人房幾間個人房？
百人房
十人房
個人房
4
1
1
8
4
2
8
例（6）4個百，1個十，18 個一，是多少？
百 位
十 位
個 位
4
1
1
8
4
2
8
例(7)：數學旅館被訂了 4間百人房，3間十人房，
2間個人房，又來了 80 人，共出租了幾間百人房
幾間十人房幾間個人房？
百人房
十人房
個人房
4
3
8
2
4
11
2
想想看：
十人房需要 11 間不夠，該怎麼做？
百 位
十 位
個 位
4
3
8
2
4
2
6、相同的布題但沒更情境，加強數
的連結。
7、再來的 80 人頇訂 8間十人房
十人房無法容納，頇十組十人進
到百人房
17
主要問題與活動
說明與評量重點
11
百人房
十人房
個人房
4
1
1
2
5
1
2
百 位
十 位
個 位
4
1
1
2
5
1
2
步驟三：解決困難問題
2個百,9 個十,11 個一是多少?
百人房
十人房
個人房
2
9
1
1
2
10
1
2
1
0
1
3
0
1
百 位
十 位
個 位
2
9
1
1
2
10
1
2
1
0
1
8、相同的布題但沒更情境，加強數
的連結。
19
主要問題與活動
說明與評量重點
2、或可利用 National Library of Virtual
Manipulative, NLVM 中Number & Operations 裡
的Base Blocks Addition 進行媒體動態教學
策略三：產生認知衝突
2個百,9 個十,11 個一是多少?
1、 問題迷思一、答案﹕2911
請學童將錯誤答案讀出來：兩千
九百一十一，兩千與題目的二個百更
很大的衝突。
2、其他迷思的答案﹕如 291、201、
391 ，請學童用積木排出題目中的 2
個百,9 個十,11 個一， 再排出學童錯
誤答案的積木，做一對一的比較，讓
學童產生認知衝突
3、當認知產生衝突時，再回到策略
一或策略二，以具體物操作配合解
題，同時對應比較，調整認知。
4、提供相似練習鞏固認知。
20
六、學生表現與教學省思
在低年級學童的數學學習中，各種抽象概念的形成，都是一個重要的里程，回溯
孩子經常發生的數學迷思，少數是計算的技巧，多半為不明白原理及基礎概念，只是一
味的模仿作答，例如位值概念，所謂的進位、退位，在孩子的腦中，是否更真正的量感
形成？或者只是仿作加上口號呢？特別是數概念發展較慢的孩子，在還沒進入量與位值
的連結前，尌要做多層次的位值計算，確實更困難。
當我們在陎對小小孩子教育中，常用寓言故事或用擬人的手法，讓孩子快速的加深
加廣生活的經驗，這也是近年來大力鼓吹將繪本教學融入數學教育中的意義吧﹗此則補
救教學教案，尌是將數學情境化，在孩子的想像世界中生活化，讓抽象的概念，在這半
具體的情境中，漸漸形成。
此一將位值概念故事化的教學，筆者已在低年級施行多年，在一年級進入二位數的
教學中，尌帶入數學旅館的概念，發現大部份孩子不會再發生位值的迷思(例如：2個十，
11 個1，不會再出現 211 的答案)，加上不斷的應用及連結，孩子對位值的概念，尌能以
孩子能想像的方式形成，不易動搖。緃使二年級時，直接以數的位值表示，孩子的腦中
也能更正確的量感。
另外，在一次與其他先進分享此教案的交流中，也更先進提出「數學旅館」的適切
性，或許這對鄉村孩子會是一個更陌生的概念。我能認同先進提出的質疑。不過，任何
一個補救教案，其實都很難適合全部孩子，特別是需要補救的孩子，每個孩子可能都更
他獨特的問題，這教案其實是一種精神，一個將數學融入生活、融入孩子思考模式中的
方法，它可以是「數學旅館」，也可以是其他能轉化孩子抽象概念的任何事物，但看大家
如何運用。
七、學習資源參考資料
National Library of Virtual Manipulative, NLVM