臺北市立三民國中108學年度第一學期
九年級數學科第三次定期評量試題卷
＿＿年＿＿＿班＿＿＿號姓名：＿＿＿＿＿
一、是非題：（每題2分）
若題目敘述正確，請在答案卡上畫記(A)!
若題目敘述錯誤，請在答案卡上畫記(B)
1. 已知四邊形 為菱形，則四邊形
一定有外接圓。
2. 正多邊形的外心、內心、重心會在同一點。
3. 若 是奇數， 也是奇數。
4. 三角形的內心一定在三角形內部；三角形的
外心也一定在三角形外部。
5. 任何一個多邊形一定有內心。
6. 三角形的重心為三邊中垂線的交點。
7. 三角形的內心為三角平分線的交點。
二、選擇題：（每題4分）
請在四個選項當中選擇最正確的答案!
並以2B鉛筆畫記於答案卡上
8. 如圖，若 為 重心， 面積為
，求 面積。
(A)
(B)
(C)
(D)
9. 如圖， 中， 、 、
， 為重心， 為外心，求 ？
(A)
(B)
(C)
(D)
10. 已知 的面積為 ，內切圓半徑為 ，
，求
(A)
(B)
(C)
(D)
11. 已知正 外接圓面積為 ，求正
內切圓周長。
(A)
(B)
(C)
(D)
12. 如圖， 為 的角平分線， 。
若 的周長為 ， ，求
的周長。
(A)
(B)
(C)
(D)
13. 如圖， 中， ， ，
， 。若 、
，求 。
(A)
(B)
(C)
(D)
14. 如圖，四邊形 中， 、 、 、 分別
為 、 、 、 的中點， 、
，下列何者錯誤？
(A) 四邊形 為菱形
(B) 四邊形 周長為
(C)
(D)
ABCD
ABCD
n
n2
G
△ABC
△BDG
5
△ABC
10
15
20
30
△ABC
AB = 3
BC = 4
CA = 5
G
O
OG =
5
3
5
2
5
6
5
4
△ABC
52
4
BC = 10
AB +CA
12
16
20
24
△ABC
100π
△ABC
10π
20π
25π
50π
BE
∠ABC
DE// BC
△ADE
12
BE = 8
△ABE
16
18
20
24
△ABC
AB =AC
ME ⊥AB
MD ⊥AC
BF ⊥AC
EM = 3
DM = 4
BF
5
6
7
8
ABCD
E
F
G
H
AD
BD
BC
AC
AB = 12
CD = 16
EFGH
EFGH
28
EH// CD
EF = 6
數學九年年級 第⾴頁，共3⾴頁1
15. 等腰 中， ，
，求外接圓半徑。
(A)
(B)
(C)
(D)
16. 三民市內有三條主要幹道：「民族路、民權
路、民生路」。三條幹道在於市中心圍成一
個三角形區域（如圖），其中民族路與民權
路互相垂直。三民市的莊市長為了強化三民
市大眾運輸系統，打算找到一個地點設立公
車總站，並開闢三條道路，使得公車總站通
往三條主要幹道的距離相等。已知在這三角
形區域內，民族路段長 公里、民權路段長
公里。請問：莊市長共需開闢幾公里的新道
路？
(A) 公里
(B) 公里
(C) 公里
(D) 公里
17. 如圖，正方形 中， 在 上， 在
的延長線上， ，下列何者正確？
(A)
(B)
(C)
(D)
18. 如圖，鈍角 中， 為外心， 為內
心。若 ，求
(A)
(B)
(C)
(D)
19. 如圖，平行四邊形 中， 、 分別為
、 的中點。若 的面積為 ，
求五邊形 的面積。
(A)
(B)
(C)
(D)
20. 平面座標上 、 、 。已知
， 的外心在第幾象限？
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
21. 如圖，菱形 中，兩對角線 、
。求菱形 的內切圓半徑。
(A)
(B)
(C)
(D)
22. 如圖，等腰 中， ， 點為外
心， 為正三角形， 與 交於
點。若 ，求 。
(A)
(B)
(C)
(D)
23. 如圖，箏形 中， 、 分別為 、
的內心。若 、 ，
，則下列何者錯誤？
(A)
(B)
(C)
(D)
△ABC
AB =AC = 13
BC = 10
10
3
26
3
8
169
24
3
4
1
2
2.5
3
ABCD
E
CD
F
BC
AE ⊥AF
AE =AB
BF =DE
AF =A D
∠AFB =∠A DE
△ABC
O
I
∠BIC =∠BOC
∠A
108o
1200
144o
150o
ABCD
M
N
AD
CD
△PQB
10
PQ NDM
30
25
24
20
A(1,0)
B(0,5)
C(0, −3)
∠BAC > 90o
△ABC
ABCD
AC = 8
BD = 6
ABCD
2
2.4
3
4.8
△ABC
AB =AC
O
△COD
OD
AC
E
∠BAC = 40o
∠AED
110o
105o
100o
95o
ABCD
I
J
△ABC
△ACD
AB = 20
BC = 15
∠B=∠D= 90o
AC = 25
BD = 24
IJ = 12
BI = 5 2
數學九年年級 第⾴頁，共3⾴頁2
24. 如圖， 、 。求證：
。以下是阿哲證明的過程，請問哪
一個步驟開始出現錯誤？
(A) ，
(B) 又 （對頂角）
(C) （ ）
(D) （對應角相等）
25. 政府近年來大力推行「風力發電」，在台灣
西部沿海地區建造大量離岸風機（見圖）。
仔細觀察離岸風機的三個葉片，發現它有兩
大特色：一是三個葉片長度都相等，二是旋
轉時相當穩定，中央的旋轉軸應該是位於其
重心上。由此兩大特色可以推論，三個葉片
頂點所連成的三角形是？
(A) 一定是正三角形
(B) 任意等腰三角形
(C) 任意直角三角形
(D) 一定是等腰直角三角形
26. 如圖， 為一正方形， 、
為正三角形， 。 、 分別為
、 重心。求 ？
(A)
(B)
(C)
(D)
三、非選擇題：（共10分）!
請以黑色原子筆作答於答案卷上!
違者不予計分
1. 已知： 是一個正整數。
(1) 因式分解 !
（2分）
(2) 利用(1)的結果，證明：!
必為 的倍數。!
(hint：可分成奇數、偶數兩種情形討論。)
（3分）
2. 如圖， 中， 平分 、 平分
、 平分 ， 、 、 分別在 、
、 上。
(1) 若 、 、 。!
請根據內角平分線內分比性質，分別求
、 、 的值。（以 、 、 表示）
（3分）
(2) 承上題，證明： !
（2分）
————————試卷結束————————
挑戰一下：
非選題第2.題其實源自一個有趣的
定理「帥式定理」（又稱「西瓦定理」）
這個定理的敘述如下：
「若 三頂點與對邊上一點所
連成的三線段 、 、 相交於一點
，則
……公式(1)
反過來說，若 中， 、 、
上三點 、 、 滿足上列公式(1)，則
、 、 會相交於同一點。」
也就是說，利用這個定理與非選題
第2.題的結果，我們就可以證明三條角
平分線，三條中線會交於同一點。
辛苦做完這份考卷的你/妳，可以試
著證明「帥式定理」。沒有很難，利用
面積就可以證明囉！
祝大家期末考順利，寒假愉快！
AB =CD
AC =BD
∠A=∠D
∵AC =BD
∴AE =DE
EB =EC
∠AEB =∠DEC
∴ △ AEB ≅ △ DEC
ASA
∴ ∠A=∠D
ABCD
△ABE
△BCF
AB = 6
G
H
△ABE
△BCF
GH =
6 2
3 2 + 6
2 6
3 3 + 6
n
n4+ 2n3+n2
n4+ 2n3+n2
4
△ABC
AD
∠A
BE
∠B
CF
∠C
D
E
F
BC
AC
AB
AB =c
AC =b
BC =a
BD
DC
CE
EA
AF
FB
a
b
c
BD
DC ×CE
EA ×AF
FB = 1
△ABC
AD
BE
CF
O
BD
DC ×CE
EA ×AF
FB = 1
△ABC
BC
AC
AB
D
E
F
AD
BE
CF
數學九年年級 第⾴頁，共3⾴頁3