古典機率與期望值
第四單元 古典機率與期望值
一、樣本空間與事件
生活總充滿著不確定性，從猜硬幣、買樂透到今天是否下雨，彷彿是老天爺一次次
地讓人們感受隨機的存在。若嘗試著分析這些隨機現象，從最簡單的開始試驗，歸納出
一些資訊並開始量化，進而比較這些可能性，甚至人們可以依據可能性的大小，做出合
適的選擇。
對於每個隨機試驗，我們收集所有可能結果所形成的集合，稱之為樣本空間。例如
投擲一粒六面骰子，所有出現的可能數字為
1
到 6 ；猜測同學的生日月分，會從
1
到
12
個
月之中猜某一個，諸如此類。
接下來更進一步的討論某條件下所發生的結果，收集這些結果所形成的集合，稱之
為事件。例如投擲六面骰子中，出現偶數點的事件為
{
}
2, 4, 6
，但出現質數點的事件為
{
}
2,3,5
。
主題 1：樣本空間與事件
1.
樣本空間：一項試驗中所有可能發生的結果所成的集合。
2.
事件：樣本空間的任一子集(包括空集合)。
(1)
S
：全事件。
(2)
φ ：空事件。
(3)
A′
：事件
A
以外的事件，又稱
A
的餘事件。
(4)
A
B
∪
：
A
與
B
至少有一個發生的事件，稱
A
與
B
的和事件。
(5)
A
B
∩
：
A
與
B
均同時發生的事件，稱
A
與
B
的積事件。
(6)
當兩事件
A
與
B
不可能同時發生，即
A
B
φ
∩ =
，稱
A
與
B
為互斥事件。
例題
1
投擲一枚10 元硬幣兩次，依正面與反面的順序，試寫出其樣本空間。
機率-1
古典機率與期望值
解答： {(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
隨堂練習
投擲一枚10 元硬幣三次，依正面與反面的順序，試寫出其樣本空間。
答案： {(正,正,正) , (正,正,反) , (正,反,正) , (反,正,正) , (正,反,反) , (反,正,反) , (反,反,正) ,
(
反,反,反)}
例題
2
從座號
1
到5的同學中選出兩人，試寫出所選出同學座號的樣本空間。
解答： {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}
隨堂練習
(1)
求從編號
1
到 3的卡片中，每次選一張，可以重覆選，共選兩次，試寫出其樣本空間。
(2)
投擲一粒四面骰子，其點數為
1
到
4
點，共擲兩次，觀察先後出現點數，試寫出其樣
本空間。
答案： (1){(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
(2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,4) }
例題3
從編號
1
到
12
的卡片中，任意取出一張，若
P
表示為 3的倍數之事件，
Q
表示為
4
的倍數
之事件，
R
表示為編號大於5 的事件。試求：(1)
R′
。(2)
P
Q
∪
。(3)
P
R′
∩
。
解答： (1)
R′
表示小於或等於5的事件，得
{
}
1, 2, 3, 4,5
R′
=
。
(2)
{
}
3, 6, 9,12
P
=
，
{
}
4,8,12
Q
=
，推得
{
}
3, 4, 6,8, 9,12
P
Q
∪ =
。
(3)
{ }
3
P
R
∩ ′ =
。
機率-2
古典機率與期望值
隨堂練習
投擲一粒六面骰子一次，若
P
表示出現點數為偶數的事件，
Q
表示出現點數為質數的事
件，
R
表示出現點數為小於
4
的事件，試求： (1)
R′
。(2)
P
Q
∪
。(3)
P
R
′ ∩
。
答案： (1)
{
}
4, 5, 6
R′
=
(2)
{
}
2, 3, 4,5, 6
P
Q
∪ =
(3)
{ }
1, 3
P
R
′∩ =
例題
4
若袋子內有五顆球，編號分別為
1
到5。每次取一球後放回，共取兩次。若
A
表示取得編
號為偶數的事件，B 表示為取得編號和為5 的事件，試問
A
與 B 兩事件是否為互斥事件？
解答：
A
事件表示取得兩次編號均為偶數，可能結果所成集合為{(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}。
B
事件表示取得兩次編號和為5 ，可能結果所成集合為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}。
故
A
B
φ
∩ =
，所以為互斥事件。
隨堂練習
擲兩粒骰子一次，觀察其點數。若
A
表示點數和為
4
的事件，B 表示點數積為 6 的事件。
試問
A
與 B 兩事件是否為互斥事件？
答案： 是互斥事件
二、古典機率
高中階段我們探討的機率，是以法國數學家拉普拉斯所提出的古典機率為主軸。古
典機率強調每個情況出現的機會均等，而這些情況所出現的機率總和為
1
。例如我們相
信硬幣是勻稱的，正、反面出現的機會為一半一半；又如投擲六面骰子，出現點數為
1
到
6
，其出現的機會應該要是公平的。
以下的學習過程中，若題目未特別說明硬幣或骰子等物品的狀況，我們都假設這些
物品是公正的。
機率-3
古典機率與期望值
主題 2：古典機率及其性質
1.
古典機率：設樣本空間 S 有 n 個元素，且每個元素出現的機會均等，事件 A 有 k 個元
素，則事件 A 發生的機率定義為
( )
( )
( )
n A
k
P A
n S
n
=
= 。
2.
機率性質：φ 表示空事件， S 表示全事件，
A
與
B
均為事件。
(1)
( )
0
P
φ
=
，
( )
1
P S
= 。
(2)
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
∪
=
+
−
∩
。
(3)
( )
( )
1
P A
P A
′ = −
。
例題5
投擲一公正骰子一次，試求各小題的機率：
(1)
擲出點數為 6 。
(2)
擲出點數為偶數。
(3)
擲出點數大於
4
。
解答： (1)點數為 6 的事件=
{ }
6
，機率為
1
6
。
(2)
點數為偶數的事件=
{
}
2, 4, 6
，機率為
3
1
6
2
= 。
(3)
點數大於
4
的事件=
{ }
5, 6
，機率為
2
1
6
3
= 。
隨堂練習
從1~25 的數字中，任選一個數字，試求各小題的機率：
(1)
選出的數字恰為質數。
(2)
選出的數字恰為 5 倍數。
(3)
選出的數字恰為 3 倍數。
答案： (1)
9
25
(2)
1
5
(3)
8
25
機率-4
古典機率與期望值
例題 6
袋中有大小相同的紅球
4
顆與白球3顆，試求下列情況的機率：
(1)
任取 1 球，取出為紅球。
(2)
每次取 1 球，取後不放回，任取二次，第一次取出為紅球，第二次取出為白球。
(3)
一次取出兩球為
1
紅球及
1
白球。
解答： (1)樣本空間為 7 球取
1
球
7
1
C
=
，
4
紅球取
1
球
4
1
C
=
，機率為
4
1
7
1
C
C
=
4
7
。
(2)
第一次取出紅球機率
4
7
，第二次取出白球機率
3
6
，機率為
4
7
3
2
6
7
× = 。
(3)
樣本空間為 7 球取
2
球
7
2
C
=
，取出
1
紅球與
1
白球
1
3
4
1
C C
=
⋅
，機率為
4
3
1
1
7
2
C C
4
C
7
=
⋅
。
隨堂練習
擲一公正的骰子三次，試求各小題的機率：
(1)
第一次出現點數為 6 。
(2)
三次皆出現相同點數。
答案： (1)
1 6 6
1
6 6 6
6
× ×
=
× ×
(2)
6
1
C
1 1
1
6 6 6
36
× ×
=
× ×
例題 7
擲一公正的骰子兩次，試求各小題機率：
(1)
兩次點數均大於 3 。
(2)
第一次的點數大於第二次的點數。
(3)
至少一次出現點數為 6 。
解答：(1)樣本空間元素個數為 6 6 36
× =
，點數大於 3 的事件=
{
}
4,5,6
，機率為
3 3
1
6 6
4
×
=
×
。
(2)
選出兩個不同點數，數字大的為第一次，另一個為第二次，機率為
機率-5
古典機率與期望值
6
2
C
1 1
5
6 6
12
× ×
=
×
。
(3)
至少一次出現點數為 6 =全事件 −兩次沒有 6 點，機率為
5 5
11
1
6 6
36
×
−
=
×
。
隨堂練習
袋中有8 顆大小相同的球，其中紅球5 顆，白球
2
顆，黃球
1
顆。今自袋中任取 3 球，試
求以下各小題的機率：
(1) 3
球均為同色。
(2)
三種顏色各 1 球。
(3)
恰有
2
球顏色相同。
答案： (1)
5
28
(2)
5
28
(3)
9
14
例題8
設 A 、 B 為樣本空間 S 中的二事件，且
( )
1
2
P A
= ，
( )
1
3
P B
= ，
(
)
1
10
P A
B
∩
=
，求下列
各小題的值：(1)
(
)
P A
B
∪
。 (2)
(
)
P A
B′
∩
。
解答： (1)
(
)
( )
( )
(
)
1
1
1
11
2
3
10
15
P A
B
P A
P B
P A
B
∪
=
+
−
∩
= + −
=
。
(2)
(
)
( )
(
)
1
1
2
'
2
10
5
P A
B
P A
P A
B
∩
=
−
∩
= −
= 。
隨堂練習
設
A
、
B
為樣本空間 S 中的二事件，且
( )
3
4
P A
= ，
( )
1
3
P B
= ，
(
)
1
5
P A
B
∩
= ，試求各下
列小題的值：(1)
(
)
P A
B
∪
。 (2)
(
)
P A
B
′∩
。
答案： (1)
53
60
(2)
2
15
機率-6
古典機率與期望值
例題9
自 6 位男生、
4
位女生中選出一個 5人委員會，試求以下各小題的機率：
(1)
男、女生至少各
2
人。
(2)
男生最多
2
人。
(3)
女生至少
1
人。
解答： (1)男生 3 人女生
2
人的機率+男生
2
人女生 3人的機率
6
4
6
4
3
2
2
3
10
5
C C
C
C
C
⋅
⋅
+
=
5
7
= 。
(2)
男生
1
人女生
4
人的機率+男生
2
人女生3 人的機率
6
4
6
4
1
4
2
3
10
5
C C
C
C
11
C
42
⋅
+
⋅
=
=
。
(3)
全事件 −沒有女生的機率
6
5
10
5
C
41
1
C
42
= −
=
。
隨堂練習
將
, , , ,
A B C D
等八名學生平均分到甲、乙、丙、丁這四個班，試求
A
與
B
二人不同班
的機率。
答案：
6
7
三、期望值
在生活中，只以這件事發生的機率來做為選擇的依據有時是不足夠的，仍必須加上
這件事所帶來的好處(或壞處)影響，亦即若能預測取得(或喪失)的好處有多少，就能夠
讓我們的選擇更加合適。同時考慮機率的大小與所取得的好處，就形成了期望值的概
念。
主題 3：期望值
1.
若一隨機試驗有 k 種不同的結果，各種結果的報酬分別是
1
2
,
,
,
k
m m
m
，分別的機率為
1
2
,
,
,
k
p p
p
且期望值為
E
。則
1
1
2
2
k
k
E
m p
m p
m p
=
+
+ +
。
2.
若一隨機試驗所取得的好處是公平的，即會有正報酬與負報酬且該試驗的期望值為 0。
機率-7
古典機率與期望值
例題
1
0
袋子裡有3 顆球，其中兩球標記5 元，另一球標記10元。若從袋中一次任取
2
球，即可
得球上標記的金額之和，試求取球一次取得金額的期望值。
解答： 取得10元的機率
2
2
3
2
C
1
C
3
=
= ，取得15元的機率
2
1
1
1
3
2
C
C
2
C
3
×
=
= ，
期望值
1
2
40
10
15
3
3
3
=
× + × =
(元)。
隨堂練習
擲一公正的骰子，若依擲出的點數給予該點數的金額，則擲骰子一次取得金額的期望值
為多少？
答案：
7
2
(元)
例題 11
擲一公正的骰子，若擲出
1, 2
或 3點可得10元，擲出
4
或 5點可得 20 元，擲出 6 點須損失
50
元，試求擲骰子一次所得金額的期望值。
解答：
(
)
3
2
1
20
10
10
20
50
6
6
6
6
3
×
+ ×
+ × −
= −
= −
(
元)。
隨堂練習
本次考試為單一選擇題，每題各有五個選項，每題答對可得 5分，答錯倒扣1.5分，試求
學生隨機亂猜一題所得的分數期望值。
答案：
1
5
−
分
例題 12
擲一公正骰子兩次，若出現點數和為 k 時，可得10k 元，試求此隨機試驗所取得金額的
期望值。
機率-8
古典機率與期望值
解答：
點數和 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
機率
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
金額 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
期望值
1
2
3
4
5
6
5
4
20
30
40
50
60
70
80
90
36
36
36
36
36
36
36
36
=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
3
2
1
100
110
120
36
36
36
+
×
+
×
+
×
(
)
10
640
2 6 12 20 30 42 40 36 30 22 12
36
9
=
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
=
(
元)
隨堂練習
袋中有編號
1
號至10號的卡片各一張，今任取一張，若取出 k 號，則可得
2
k
元，試求取
一次卡片所得金額的期望值。
答案：
77
2
元
機率-9
古典機率與期望值
習題
1.
擲一均勻的硬幣8 次，求恰在第8 次時出現第3 次正面的機率。
答案：
21
128
2.
投擲一公正骰子3 次，試求下列個小題的機率：(1)點數越來越大。(2)點數均不相同。
答案：(1)
5
54
(2)
5
9
3.
班上同學共有10名男生，5名女生，推派3 名參加畢冊製作，有男生也有女生的機率。
答案：
5
7
4.
袋子中裝有編號1~4 的卡片，若隨機從袋中取卡片，試求以下各方法之樣本空間：
(1)
取一次，只取出一張。
(2)
取一次，同時取出兩張。
(3)
取二次，每次一張，取出後不放回。
答案：(1){1,2,3,4}
(2){(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) }
(3){(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
5.
擲一公正骰子一次，若
P
表示點數為
2
的倍數之事件，
Q
表示點數為3的倍數之事件，
R
表示為點數大於
4
的事件，試求：(1)
P
Q
∪
。 (2)
Q
R′
∩
。
答案：(1)
{
}
2, 3, 4, 6
P
Q
∪ =
(2)
{ }
3
Q
R′
∩
=
6.
擲一枚硬幣三次，若出現一次正面得 5元，一次反面賠
2
元。試求擲完後取得金額的期
望值。
機率-10
古典機率與期望值
答案：
9
2
元
7.
擲一公正的骰子三次，若擲出點數愈來愈大，則可得獎金100 元。試求擲完後獲得獎
金的期望值。
答案：
500
54
元
8.
袋中有相同大小的金色與銀色代幣，其中金色代幣有 3枚，銀色代幣有 7 枚，已知每枚
金色代幣可換取100 元，每枚銀色代幣可換取10元，今自袋中任取
2
枚，試求所得金
額的期望值。
答案：
222
3
元
機率-11