1
學科能力測驗（
111 學年度起適用）
數學
A 考科參考試卷
試題解析
試題編號：
1
參考答案：
(2)
學科內容：
N-10-2 絕對值
測驗目標：求解絕對值不等式。
試題解析：由
2
13
9
9
2
13
9
2
11
x
x
x
，得知：所求區間的長度為
9。
試題編號：
2
參考答案：
(5)
學科內容：
S-11A-1 空間概念、G-11A-2 空間坐標系
測驗目標：利用空間中兩點的距離公式求點坐標。
試題解析：因
P
點在
xy
平面上，故可設 ( , ,0)
P x y
。
由
13
PA PB
，可列式：
2
2
2
2
2
2
(
5)
12
(
5)
12
13
x
y
x
y
解得唯一解
0
x
y
，故所求的
P
點坐標為 (0,0,0) 。
試題編號：
3
參考答案：
(4)
學科內容：
N-10-6 數列級數與遞迴關係、N-10-3 指數、N-10-4 常用對數
測驗目標：計算等比級數和，並估算數的大小。
試題解析：依題意推得這
30 天所獲得的錢為
30
2
3
29
30
2
1
1 2 2
2
2
2
1
2 1
，
以下提供兩個方法估計
30
2
。
【解法一】
：
30
10 3
3
3 3
9
2
(2 )
(1024)
(10 )
10
。
【解法二】
：
30
log 2
30 log 2
30 0.3010
9.030
，推得
30
2
為
10 位數。
故答案為選項
(4)。
2
試題編號：
4
參考答案：
(5)
學科內容：
N-10-4 常用對數、A-11A-4 對數律
測驗目標：結合指對數概念，評量對數的計算。
試題解析：由題意
2
1
2
x
x
，可得
2
1
1
2
1
2
20 log(
)
20 log
20(log 2 log
)
20 log 2
2
2
2
x
x
x
y
y
。
試題編號：
5
參考答案：
(2)
學科內容：
G-11A-3 空間向量、G-11A-9 平面方程式、G-11A-10 空間中的直線方程式
測驗目標：評量空間直線參數式、直線與平面的交點
。
試題解析：過點 (1, 1, 1)
P
沿著方向 (1, 2, 2) 前進的直線參數式為
1
1 2
1 2
x
t
y
t
z
t
，
t
為實數。
1. 此直線與平面
3
28
x
y
z
相交時，
t
會滿足 (1
) (1 2 ) 3(1 2 )
28
t
t
t
，解得
5
t
，即當
5
t
時質點到達平面
3
28
x
y
z
上的點 (6, 11, 11)。所以每秒走
3
a 。
2. 因為 a
b
，所以質點將從點 (6,11,11) 沿方向 ( 2, 2, 1)
走
s
秒的位置為直線參數
式
6
2
11 2
11
x
s
y
s
z
s
，
s
為實數
，前進後碰到平面
2
x
時，
s
須滿足
6
2
2
s
，解得
2
s
。
故
2
s
秒即為所求時間。
試題編號：
6
參考答案：
(5)
學科內容：
A-11A-3 矩陣的運算、F-11A-3 矩陣的應用
測驗目標：評量線性變換的矩陣表示法及其性質。
試題解析：原直線的方向向量為 (2,3) 映至斜率為
2 的直線，其方向向量為 (1, 2) ，
故由
1
0
2
2
8
3
2
24
a
a
與 (1, 2) 平行，得
14
a
。也可取
L
上兩點，例如 (1,1)、(3,4)，
被此線性變換分別送到點 (1,
8)
a
、(3,3
32)
a
。由此兩點決定的直線斜率為
2，可列
式為
(3
32) (
8)
2
3 1
a
a
，解得
14
a
。
3
試題編號：
7
參考答案：
(4)
學科內容：
D-10-4 複合事件的古典機率、D-11A-2 條件機率
測驗目標：結合機率概念應用在生活中的血液檢驗，評量檢驗次數之期望值。
試題解析：
1. 9 件血液樣本所需要的檢驗次數可能 1 次或 10 次。其中若需要 1 次檢驗，表示這 9
件血液樣本都呈陰性反應，則其機率為
9
9
(1 0.1)
0.9
；而若需要 10 次檢驗，表示這
9 件血液樣本中至少一件呈陽性反應，則其機率為
9
9
1 (1 0.1)
1 0.9
。
2. 檢驗這 9 件血液樣本所需要的檢驗次數之期望值為
9
9
9
1 0.9
10(1 0.9 ) 10 9 0.9
。
試題編號：
8
參考答案：
(2)(3)
學科內容：
N-10-3 指數、N-10-4 常用對數、A-11A-4 對數律
測驗目標：評量指數、對數性質的應用。
試題解析：
【解法一】
1. 依題設可知
10
11
10
10
ab
、
2
10
10
a
b
，
同 取 對 數 可得：
10
10
10 log
log
11
a
b
..................... (i)
10
10
1 log
log
2
a
b
......................... (ii)
2. 由(i)(ii)兩式相加除以 2 得：
10
5.5 log
6.5
a
。
3. 可知
a
為
6 位數或 7 位數。
【解法二】
1. 依題設可知：
10
11
10
10
ab
............................................. (i)
2
10
10
a
b
.................................................. (ii)
由
(i)(ii)兩式相乘可得：
11
2
13
10
10
a
，即
5.5
6.5
10
10
a
。
2. 可知
a
為
6 位數或 7 位數。
4
試題編號：
9
參考答案：
(3)(4)
學科內容：
F-10-2 三次函數的圖形特徵
測驗目標：評量三次函數的對稱性概念及圖形的平移。
試題解析：選項
(1)： (1) 2 6 10
5
1
f
k
k
。
選項
(2)：點
( , )
r s
在
( )
y
f x
的圖形上的充要條件為點
(2
,10
)
r
s
也在
( )
y
f x
的
圖形上。
選項
(3)：由題意可設
3
( )
2(
1)
(
1) 5
f x
x
b x
，比較係數後得
4
b
。得
3
( )
2(
1)
4(
1) 5
f x
x
x
，可推得近似直線為
4(
1) 5
y
x
。
選項
(4)：將
( )
y
f x
往左平移一單位，可得
3
2
4
5
y
x
x
的圖形。
選項
(5)：可以從圖形判斷沒有交點，也可解方程式
3
2
3
2
6
10
1 2
4
5
x
x
x
x
x
，即
2
1
0
x
x
，方程式無實數解，判斷兩圖形沒有交點。
試題編號：
10
參考答案：
(1)(5)
學科內容：
D-10-2 數據分析
測驗目標：判讀與處理一維數據。
試題解析：選項
(1)：直接讀表，四個年齡範圍中，以 40~44 歲的失業率(13.17%)最高。
選項
(2)：僅由失業率的高低，無法判讀哪一個年齡範圍的勞動力人數較多。
選項
(3)：因為不知道 40~44 歲與 45~49 歲的勞動力人數是否相同，所以在計算 40~49
歲的失業率時，不可以直接取上述兩範圍的失業率的算術平均數。
選項
(4)：一個年齡範圍失業率的改變，不見得是另一個年齡範圍失業率變化的原因。
選項
(5)：【解法一】
如果
35~39 歲與 40~44 歲的勞動力人數相同，則 35~44 歲的失業率會是 9.80%與 13.17%
的平均，即
11.485%。但 35~44 歲的失業率 12.66%，比 11.485%大，故 40~44 歲的勞
動力人數較
35~39 歲為多。
【解法二】
假設
35~39 歲與 40~44 歲的勞動力人數分別有
,
m n
人，
35~39 歲失業人數為
9.8%m
，
40~44 歲失業人數為
13.17%n
，
且由失業率的定義知
35~44 歲失業率應為
9.8%
13.17%
12.66%
m
n
m
n
，
展開化簡後得 9.8
13.17
12.66(
)
m
n
m
n
，整理得
2.86
0.51
m
n
，
即勞動人數比
:
0.51: 2.86
m n
，故得
40~44 歲的勞動力人數較多。
5
試題編號：
11
參考答案：
(2)(4)
學科內容：
G-11A-1 平面向量
測驗目標：運用向量的加法及係數積的運算及線性組合的意涵來解決問題。
試題解析：
ABCD
是一平行四邊形，因此滿足
AX
AB
AD
p
q
的點
X
在
BCD
的內部
(不含邊界)
之充要條件為
0
1
p
，
0
1
q
且
1
p q
。
(1)
1
2
3
3
AX
AB
AD
的點
X
在邊
BD
上。
(2)
2
2
3
3
AX
AB
AD
的點
X
在
BCD
的內部。
(3)
1
2
2
3
3
3
AX
AB
AC
AB
AD
的點
X
在邊
BC
上。
(4)
1
3
4
3
5
5
5
5
AX
AB
AC
AB
AD
的點
X
在
BCD
的內部。
(5)
2
1
1
1
3
3
3
3
AX
AB
BD
AB
AD
的點
X
在
BD
A
的內部，會在
BCD
的外部。
試題編號：
12
參考答案：
(1)(3)
學科內容：
F-11A-1 三角函數的圖形、F-11A-2 正餘弦的疊合
測驗目標：評量三角函數的疊合與其函數圖形。
試題解析： ( )
3sin(
) sin(
) = 3
2
2
2
2
f
，
( )
3sin
sin(
) = 3sin
cos
2cos(
)
2
3
f x
x
x
x
x
x
，
故最大值為
2，最小值
2
，週期為
2
，
圖形經過左 移
3
會與
2cos
y
x
重合。
試題編號：
13
參考答案：
(4)(5)
學科內容：
G-10-2 直線方程式、G-10-3 圓方程式、G-10-4 直線與圓
測驗目標：評量坐標平面上圓、點與直線的距離關係與二元一次不等式。
6
試題解析：
1. 設圓心為 ( , )
x y ，半徑為
r
。依題意
,
x y
須滿足
2
2
2
x
y
r
，
2
2
2
(
2)
(
6)
x
y
r
。由
前兩式可得
2
2
2
2
(
2)
(
6)
x
y
x
y
。所以
,
x y
滿足不等式
4
12
40
0
x
y
，化簡可
得
3
10
0
x
y
。
2. 這個區域（
3
10
0
x
y
）與第二象限有交集；與第三象限無交集；與第一象限交集
可到無窮遠處；與
x
軸交點的
x
坐標
10
x
。事實上，直線
3
10
0
x
y
為兩點 (0,0)
與 (2,6) 連線段的中垂線。
3. 圓心可能在第四象限，此時圓心到 (2,6) 的距離必大於點 (10,0) 到 (2,6) 的距離 10。
試題編號：
14
參考答案：
5
學科內容：
D-10-3 有系統的計數
測驗目標：利用樹狀圖分類計數或列式解題。
試題解析：設選購
1 組踏板
x
元
、1 組輪架 1200 元及 2 組相同的滑輪各
y
元。
依題意得：
1200
2
3000
x
y
，其中
300, 400,500
x
,
600,700
y
。
因此，
2
1800
x
y
。當
600
y
時，
x
有
3
種選擇；當
700
y
時，
x
有
2
種選擇。
故由加法原理，可有
5
種不同的搭配方式。
試題編號：
15
參考答案：
1,
4,
1,
2
a
b
c
d
學科內容：
A-11A-2 三元一次聯立方程式
測驗目標：評量高斯消去法的運算。
試題解析：此方程組之增廣矩陣
1
2
3
0
2
1
3
6
1
1
0
6
1
2
1 8
，利用列運算，第一式乘 ( 2)
加到第二式，第一式
乘 ( 1)
加到第三式，第一式乘 ( 1)
加到第四式，
1
2
3
0
1
2
3
0
1
0
1
4
0
3
3
6
0
1
1
2
0
1
1
2
0
3
3
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
8
0
0
0
0
0
0
0
0
，得
1,
4,
1,
2
a
b
c
d
。
7
試題編號：
16
參考答案：
3 2
學科內容：
G-10-7 三角比的性質
測驗目標：評量正弦與餘弦定理的應用。
試題解析：
【解法一】
ABC
外接圓的半徑
4 2
7
R
。令
BC
x
。
由餘弦定理，得
2
2
2
2
2
4
20
cos
2 2 4
16
x
x
A
。
又由正弦定理，得
7
sin
2
8 2
x
x
A
R
。
因此，
2 2
2
4
2
2
2
(20
)
7
26
400
1
cos
sin
256
128
256
x
x
x
x
A
A
，
即
4
2
26
144
0
x
x
。分解得
2
2
(
8)(
18)
0
x
x
，故
2
8
x
或
2
18
x
，
可得
2 2
x
或
3 2
x
。當
2 2
x
時，
ABC
為鈍角三角形(其中
B
為鈍角)，
不合；而當
3 2
x
時，
ABC
為銳角三角形；故所求
3 2
BC
。
【解法二】
由外接圓的半徑
4 2
7
R
，由正弦定理知
2
4
8 2
2
sin
sin
7
R
C
B
，
所以
7
1
sin
cos
8
8
B
B
，
7
5
sin
cos
32
32
C
C
，
推得
5
7
1
cos
cos(
)
cos
cos
sin
sin
16
16
8
A
B
C
B
C
B
C
，
利用餘弦定理
2
2
2
1
2
4
cos
8
2 2 4
BC
A
，故
3 2
BC
。
8
試題編號：
17
參考答案：
6
25
學科內容：
D-10-3 有系統的計數、D-10-4 複合事件的古典機率
測驗目標：結合整數點的奇偶性應用在打地鼠遊戲的情境，評量機率的計算。
試題解析：將
25
個格子點依奇偶性分成四類，使每一類中的任兩點之中點仍為格子點：
1.
,
:
x y 為 奇,偶
1
(1, 2),(1, 4),(3, 2),(3, 4),(5, 2),(5, 4)
A
；
2.
,
:
x y 為 偶,奇
2
(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)
A
；
3.
,
:
x y 為 奇,奇
3
(1,1), 1,3), 1,5), 3,1), 3,3), 3,5), 5,1),(5,3),(5,5)
A
(
(
(
(
(
(
；
4.
,
:
x y 為 偶,偶
4
(2, 2),(2, 4),(4, 2),(4, 4)
A
因此，所求的機率為
6
6
9
4
2
2
2
2
25
2
72
6
300
25
C
C
C
C
C
。
試題編號：
18-19
參考答案：
18.(1)(2)(3)(4)；19. 7 萬元
學科內容：
A-10-2 多項式之除法原理、F-10-1 一次與二次函數、F-10-2 三次函數的圖形特徵
測驗目標：結合多項式函數應用在成本與獲利情境，利用因式定理找出函數模型，並能用配方法求
二次函數的最大值。
試題解析：
1. 因為 ( )
C x 是三次多項式函數，可設其首項係數為
0
k ，故函數
( )
( ) (18
4 ( ))
f x
C x
x
g x
也是三次多項式函數，且首項係數為
0
k
。
另一方面，由條件： (1)
(2)
(3)
0
f
f
f
及因式定理，可得：
( )
(
1)(
2)(
3)
f x
k x
x
x
。
因此， ( )
(
1)(
2)(
3) 18
4 ( )
C x
k x
x
x
x
g x
。
…..…….(*)
令
4
x
代入上式，得 51
(4)
6
72
4 (4)
C
k
g
，解得
21 6
21
(4)
4
4
k
g
(萬元)。
選項
(4)利用 ( ) 0
f x
的三根為
1, 2, 3
x
及三次多項式函數圖形特徵，當
0
k
時，
(0)
0
f
且 (4) 0
f
；而當
0
k
時， (0)
0
f
且 (4) 0
f
；故可得 (0) (4) 0
f
f
。
9
2. 【解法一】
由
(*)式以及題意所給
3
2
1
1
( )
5
2
2
C x
x
x
x
知
1
2
k
，且
2
1
( )
(
1)(
2)(
3) 18
( )
6
2
4
g x
k x
x
x
x C x
x
x
2
(
3)
7
7
x
；
即進貨
3 台儀器時，該經銷商可獲利的最大金額為 7 萬元。
【解法二】
設
2
( )
g x
ax
bx
c
，並以
1,2,3
x
分別代入 ( ) 18
4 ( )
C x
x
g x
，得
6
(1) 18
4(
)
12
(2)
36
4(4
2
)
26
(3)
54
4(9
3
)
C
a
b
c
C
a
b
c
C
a
b
c
。
解得
1,
6,
2
a
b
c
，即獲利函數
2
( )
6
2
g x
x
x
。
又
2
2
( )
6
2
(
3)
7
7
g x
x
x
x
，即進貨 3 台儀器時，該經銷商可獲利的最大
金額為
7 萬元。