125
附錄四 三角形三心教學活動設計表與學習單
4.1 三角形三心教學活動設計
教材名稱 三角形的外心、內心與重心
姓名
服務單位
設計者
謝銘祥
北縣某國中
關鍵字
外心、內心、重心
適用年級 國中七年級與九年級
主 題 三角形的三心性質
能力指標 S-4-14 與 S-4-15
分年細目 9-s-07、9-s-08、9-s-09 與 9-s-10
教學目標
1. 知道三角形的外心、內心、重心的意義及性質。
2. 能利用外心、內心、重心的性質做簡單的計算。
設計理念
在課堂上幾何教學常常無法讓學生充分瞭解圖形的多樣化
與規律性，若能以生動的電腦輔助教學軟體來帶領同學了
解三角形外心、內心與重心，再搭配學習單的練習，相信
可以讓學生更了解三角形三心的特性，更有興趣積極參與。
設備說明
1.學校設備：
雖然學校有電腦教室四間，然因時間上只夠電腦課專
用，無法安排其他領域課程使用，故本課程設計資訊融
入教材上課地點為原上課教室，教室配有擴音器與白色
布幕各一個，資訊組有單槍投影機、音源線可供借用，
設備組有電源延長線可供借用。
2.使用軟硬體設備：
「三角形三心」flash 軟體與「圓與三角形」flash 軟體
單槍投影機
白色布幕
筆記型電腦
音源線
擴音器
電源延長線
126
附表 4.1 「外心與三角形關係」教學活動設計表
教師活動
學生活動
評量、提示與
注意事項
Duval 幾
何認知
理解模
式
van
Hiele
五階段
學習模
式
一、 準備活動
1. 先將「三角形三
心」Flash 軟體儲
存至筆記型電腦
中。
2. 至資訊組借單槍
投影機一部、音源
線與電源延長線
各一條。
3. 請學生幫忙將單
槍投影機、音源線
與電源延長線拿
至班級教室。
二、 引導活動
1. 教師說明此次上
課教材內容大要
與地位。
2. 發給學生三角形
外心學習單。
3. 教師簡單說明軟
體樣貌與操作方
式。
4. 引導題：若有
甲、乙、丙三戶
住家想共掘一口
水井來使用，水
井的位置應選在
學生分成二
人一組
先請一位學
生幫忙將器
材拿至教
室。
聆聽
觀看、聆聽
提供問題讓
學生思考，
藉此引入三
角形外心概
念
知覺性
理解
學前諮
詢
引導學
習方向
127
何處才能使三戶
住家與水井的距
離都相等？
三、 發展活動
1. 先備知識
(1) 中垂線性質：中
垂線上任一點到
兩端點等距離。
2. 先將上述引導題
簡化成兩戶住
家，將住家比喻
為端點，請學生
思考是否只要在
中垂線上取一點
當水井地點即可
到兩住家等距
離。
3. 回到原題目鼓勵
學生猜想並畫畫
看如何找出水井
位置。
4. 使用「三角形三
心」軟體解釋說
明水井位置在於
兩條中垂線的交
點上，即此交點
到甲、乙、丙三
地等距離。
5. 請學生猜想甲、
乙、丙三戶住家
若有人搬家移動
位置，是否還能
找到水井，使水
聆聽
思考與討論
瞭解應用中
垂線性質取
得水井地點
發表看法
觀看、聆聽
思考與討論
並發表看法
確定每個學生
都瞭解問題
知覺性
理解
操作性
理解
操作性
理解
知覺性
理解
解說
解說
自由探
索
統整
自由探
索
128
井與三戶住家的
距離都相等。
6. 使用「三角形三
心」軟體解釋一
定存在水井位
置，即存在兩條
中垂線的交點且
到三頂點等距
離。並請學生觀
察若將住家與水
井看做是地圖上
的點，將住家三
點連起來形成任
意三角形，則兩
條中垂線交點
（水井所在位
置）有何規律
性？
7. 使用「三角形三
心」軟體請學生
觀察若作三角形
第三邊的中垂
線，則是否會交
於前兩條中垂線
的交點上，即三
條中垂線是否共
點？
8. 使用「三角形三
心」軟體說明因
三中垂線交點到
三頂點等距離，
故能以此交點為
圓心畫出三角形
聆聽、觀察
水井所在位
置的規律性
並發表看
法：可能在
三角形內
部、斜邊中
點或外面
觀察三條中
垂線是否共
點，交點是
否有規律性
聆聽、觀察
寫學習單
操作性
理解
操作性
理解
操作性
理解
自由探
索
自由探
索
統整
129
外接圓，因為此
交點為外接圓圓
心，故稱為外心
9. 請學生猜想是否
每個三角形都能
畫出外接圓？若
是，如何標出外
心位置？
10. 使用「三角形三
心」軟體操作說
明外心在三中垂
線交點上，每個
三角形都能畫出
外接圓並只能畫
出唯一一個外接
圓，另外直角三
角形的外心在斜
邊中點上，故斜
邊中點到三頂點
等距離。
四、 綜合活動
1. 指導學生針對學
習單問題實施分
組討論並歸納結
論。
2. 請學生分組報告
並針對學生的結
論作說明，順便
複習上課內容。
3.指派作業:提出相
關問題讓學生了
解外心性質應用
思考與討論
並發表看
法：每個三
角形都能畫
出外接圓，
外心在三中
垂線交點上
聆聽、觀察
寫學習單
分組討論並
加以融會貫
通
推派各組代
表報告
寫學習單的
例題
知覺性
理解
操作性
理解
論述性
理解
自由探
索
統整
自由探
索
與統整
統整
130
附表 4.2 「內心與三角形關係」教學活動設計表
教師活動
學生活動
教學圖例
Duval 幾
何認知
理解模
式
van
Hiele
五階段
學習模
式
一、 準備活動
1. 先將「三角形三
心」Flash 軟體儲
存至筆記型電腦
中。
2. 至資訊組借單槍
投影機一部、音
源線與電源延長
線各一條。
3. 請學生幫忙將單
槍投影機、音源
線與電源延長線
拿至班級教室。
二、 引導活動
1. 教師說明此次上
課教材內容大要
與地位。
2. 發給學生三角形
內心學習單。
3. 教師簡單說明軟
體樣貌與操作方
式。
4. 引導題：若有三
條山路交會成三
角形，欲在三角
形內部蓋一個涼
亭，如果要使涼
學生分成二
人一組
先請一位學
生幫忙將器
材拿至教
室。
聆聽
觀看、聆聽
提供問題讓
學生思考，
藉此引入三
角形內心概
念
知覺性
理解
學前諮
詢
引導學
習方向
131
亭到三條山路等
距離，請問應該
蓋在哪裡呢？
三、 發展活動
1. 先備知識
(1) 角平分線性
質：角平分線上
任一點到兩邊等
距離。
2. 先將上述引導題
簡化成兩條山
路，請學生思考
是否只要在角平
分線上取一點當
涼亭地點即可到
兩山路等距離。
3. 回到原題目鼓勵
學生猜想並畫畫
看如何找出涼亭
位置。
4. 使用「三角形三
心」軟體解釋說
明涼亭位置在於
兩條角平分線的
交點上。
5. 請學生猜想三條
山路若有山路因
地震而移動位
置，是否還能找
到涼亭，使涼亭
到三條山路的距
離都相等。
6. 使用「三角形三
聆聽
思考與討論
瞭解應用角
平分線性質
取得涼亭地
點
發表看法
觀看、聆聽
思考與討論
並發表看法
聆聽、觀察
知覺性
理解
操作性
理解
操作性
理解
知覺性
理解
操作性
解說
解說
自由探
索
統整
自由探
索
自由探
132
心」軟體解釋一
定存在涼亭位
置，並請學生觀
察若將涼亭看做
是地圖上的點，
將任意三條山路
交會成三角形，
則涼亭所在位置
有何規律性？
7. 使用「三角形三
心」軟體請學生
觀察若作三角形
第三個角的角平
分線，則是否會
交於前兩條角平
分線的交點上，
即三條角平分線
是否共點？
8. 使用「三角形三
心」軟體說明能
以三角平分線交
點為圓心畫出三
角形內切圓，因
為此交點為內切
圓圓心，故稱為
內心，內心必在
三角形內部，且
到三角形三邊等
距離。
9. 請學生猜想是否
每個三角形都能
畫出內切圓？若
是，如何標出圓
涼亭所在位
置的規律性
並發表看
法：必在三
角形內部
觀察三條角
平分線是否
共點，交點
是否有規律
性
聆聽、觀察
寫學習單
思考與討論
並發表看
法：每個三
角形都能畫
理解
操作性
理解
操作性
理解
知覺性
理解
索
自由探
索
統整
自由探
索
133
心位置？
10. 使用「三角形三
心」軟體操作說
明每個三角形都
能畫出內切圓並
只能畫出唯一一
個內切圓。
11. 使用「圓與三角
形」軟體操作展
示切點與頂點連
線所形成的切線
長等長，並操說
明直角三角形內
切圓半徑=（兩股
和－斜邊）÷ 2。
12. 詢問學生三角
形面積公式為
何？
13. 透過三角形內
心與三頂點的連
線將三角形切割
成三個小三角
形，使用「三角
形三心」軟體將
三個小三角形重
新組合成一個與
原三角形面積相
同的新三角形，
詢問學生新三角
形面積公式為
何？
14. 透過軟體操作
出內切圓，
且圓心在三
條角平分線
交點上
聆聽、觀察
寫學習單
聆聽與觀察
回答三角形
面積公式為
底×除÷2
觀察、思考
與討論並回
答問題，瞭
解與小學不
一樣的三角
形面積求法
聆聽
操作性
理解
操作性
理解
論述性
理解
操作性
理解
論述性
理解
統整
統整
引導學
習方向
解說與
自由探
索
統整
134
讓學生觀察瞭解
到三角形面積公
式可寫成
rs
2
1
=
∆
，其中ｒ
為△ABC 的內切
圓半徑，s 為周
長，另一方面內
切圓半徑長也可
由
s
r
∆
=
2
求得。
四、 綜合活動
3. 指導學生針對學
習單問題實施分
組討論並歸納結
論。
4. 請學生分組報告
並針對學生的結
論作說明，順便
複習上課內容。
5. 指派作業:提出
相關問題讓學生
了解內心性質的
應用。
分組討論並
加以融會貫
通
推派各組代
表報告
寫學習單的
例題
論述性
理解
自由探
索
與統整
統整
135
附表 4.3 「重心與三角形關係」教學活動設計表
教師活動
學生活動
教學圖例
Duval 幾
何認知
理解模
式
van
Hiele
五階段
學習模
式
一、 準備活動
1. 先將「三角形三
心」Flash 軟體儲
存至筆記型電腦
中。
2. 至資訊組借單槍
投影機一部、音
源線與電源延長
線各一條。
3. 請學生幫忙將單
槍投影機、音源
線與電源延長線
拿至班級教室。
二、 引導活動
1. 教師說明此次上
課教材內容大要
與地位。
2. 發給學生三角形
重心學習單。
3. 教師簡單說明軟
體樣貌與操作方
式。
4. 引導題：小明拿
起課本在轉書，
若課本形狀是質
地均勻的三角
形，則要讓課本
學生分成二
人一組
先請一位學
生幫忙將器
材拿至教
室。
聆聽
觀看、聆聽
提供問題讓
學生思考，
藉由否定外
心與內心的
可能性引入
知覺性
理解
學前諮
詢
引導學
習方向
136
完全沒有傾斜且
平穩的旋轉，手
指必須要放在三
角形的何處呢？
詢問學生是否應
將手指放在某一
「平衡點」上，
這「平衡點」在
哪裡呢？應該會
有幾個點？是三
中垂線的交點外
心嗎？或是三角
平分線的交點內
心呢？
三、 發展活動
1. 猜想三角形任兩
條中線的交點就
是上述問題中
「平衡點」的所
在，使用「三角
形三心」軟體操
作說明第三條中
線是否會通過前
兩條中線的交
點，即三條中線
是否共點？
2. 請學生猜想若三
條中線共點，則
交點位於三角形
何處？
3. 使用「三角形三
心」軟體操作說
明三中線交點的
三角形重心
概念
觀察三條中
線是否共點
討論思考三
中線交點是
否有規律性
觀看與聆
聽，瞭解交
點的規律
知覺性
理解
操作性
理解
解說
自由探
索
統整
137
規律性。
4. 基於平衡的概
念，請學生猜想
三角形被三中線
切割成六個小三
角形，其面積是
否均相等？
5. 使用「三角形三
心」軟體操作說
明六個小三角形
面積均相等，所
以將三角形三中
線的交點稱為此
三角形的重心
（或幾何中心）
6. 使用「三角形三
心」軟體舉例說
明重心在中線上
的比例位置（重
心到頂點的距離
等於重心到對邊
中點距離的兩
倍）
。
7. 請同學猜想是否
任意三角形的重
心在中線上有相
同的比例位置？
8. 使用「三角形三
心」軟體操作說
明任意三角形重
心到頂點的距離
等於重心到對邊
中點距離的兩倍
性：必在三
角形內部
思考與討論
觀看與聆
聽，瞭解三
中線將三角
形切割成六
個等面積的
小三角形
寫學習單
聆聽、觀察
討論思考
聆聽、觀察
寫學習單
操作性
理解
操作性
理解
知覺性
理解
操作性
理解
自由探
索
統整
解說
自由探
索
統整
138
並舉內心為例操
作說明內心無此
性質。
9. 請同學分別猜想
等腰三角形與正
三角形中外心、
內心與重心的位
置關係為何？
10. 使用「三角形三
心」軟體操作說
明等腰三角形與
正三角形中其外
心、內心與重心
的位置關係。
四、 綜合活動
1. 指導學生針對學
習單問題實施分
組討論並歸納結
論。
2. 請學生分組報告
並針對學生的結
論作說明，順便
複習上課內容。
3.指派作業:提出相
關問題讓學生了
解內心性質的應
用。
思考與討論
聆聽、觀察
寫學習單
分組討論並
加以融會貫
通
推派各組代
表報告
寫學習單的
例題
知覺性
理解
操作性
理解
論述性
理解
自由探
索
統整
自由探
索
與統整
統整
139
4.2「外心與三角形關係」學習單
姓名： 班級： 座號：
一、 問題探索：
1. 透過軟體的操弄，觀察三角形三邊中垂線是否會交於一點？
2. 從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三邊中垂線的交點在何種情況下會在
三角形內部？請將您觀察的圖形描繪於下面。
3. 從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三邊中垂線的交點在何種情況下會在
三角形邊上？請將您觀察的圖形描繪於下面。
4. 從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三邊中垂線的交點在何種情況下會在
三角形外部？請將您觀察的圖形描繪於下面。
5. 請問外心是否到三角形三頂點等距離？請簡單描述原因？
6. 運用外心到三角形三頂點等距離的特性，請舉生活例子說明之。
7. 觀察直角三角形斜邊中點到三頂點的距離有何關係？
8. 請問是否每一個三角形都可畫出外接圓？為什麼？若是，如何標出圓心位置？
9. 觀察每一個三角形可畫出幾個不同的外接圓？
10. 觀察外心與任兩頂點連線的夾角與第三個頂點內角度數有何規律性？請回答
下列問題：
140
(1) 如圖一，在銳角三角形中，弧 BDC＝ ∠BOC，
弧 BDC＝ ∠BAC。
(2) 所以∠BOC＝ ∠BAC。
(3) 如圖二，在鈍角三角形中，∠BOC＝ 弧 BAC，
又弧 BAC＝360°－弧 BDC，弧 BDC＝ ∠BAC。
(4) 所以∠BOC＝360°－ ∠BAC。
(5) 結論：在銳角三角形中，∠BOC＝ ∠BAC。
在鈍角三角形中，∠BOC＝360°－ ∠BAC。
二、 例題：
1. 有 A、B、C 三村莊，不在同一直線上，且彼此距離都不相等，今要設立一所國
中，離三村莊等遠，則國中的位置應在△ABC 的哪裡？ (A) 重心 (B) 外心 (C)
內心。
2. 三角形的外心是什麼線的交點？ (A) 三邊中垂線 (B) 三內角平分線 (C)
三中線 。
3. 若有一圓通過三角形的三頂點，則圓心是否都在三角形內部呢？
(A) 是，必在內部 (B) 否，必在外部 (C) 不一定 。
4. 三角形外接圓的圓心可能在三角形的內部、外部或邊上是與下列哪個要素有
關？ (A) 三角形角度 (B) 三角形面積 (C) 三角形周長。
5. 如右圖，△ABC 中，∠ABC＝90°， AB ＝6，
BC
＝8，O 點為△ABC 的外心，求
OB
＝？
6. 若△ABC 中，∠BOC＝140°，O 點為△ABC 的外心，求∠A 的度數。
7. △ABC 中，∠A＝90°， AB ＝5 公分，
AC
＝12 公分，試求△ABC 外接圓的面積。
圖一
圖二
O
A
B
C
141
4.3「內心與三角形關係」學習單
姓名： 班級： 座號：
一、 問題探索：
1.
透過軟體的操弄，觀察三角形三內角平分線是否會交於一點？
2.
從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三內角平分線的交點在銳角三角形中
有何規律性？請將您觀察的圖形描繪於下面。
3.
從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三內角平分線的交點在直角三角形中
有何規律性？請將您觀察的圖形描繪於下面。
4.
從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三內角平分線的交點在鈍角三角形中
有何規律性？請將您觀察的圖形描繪於下面。
5.
請問內心是否到三角形三邊等距離？請簡單描述原因？
6.
運用內心到三角形三邊等距離的特性，請舉生活例子說明之。
7.
請問是否每一個三角形都可畫出內切圓？為什麼？若是，如何標出圓心位置？
8.
觀察每一個三角形可畫出幾個不同的內切圓？
142
9.
請簡單描述如何利用內切圓半徑求三角形面積呢？（可用文字敘述或畫圖表示）
10.
觀察內切圓半徑與直角三角形邊長有何關連性？請回答下列問題：
(1) 如右圖，圓 O 為直角三角形 PQR 的內切圓，半徑為 r，由切線長性質知，
QA ＝ QC ， RA ＝ ， PB ＝ 。
(2) 又
+
= QA
QR
，
+
= PB
PR
，
+
= PC
PQ
(3) 所以兩股和－斜邊＝
PQ
RP
QR
−
+
＝（ QA ＋ ）＋（ PB
＋ ）－（
PC
＋ ）＝ RA ＋ RB
(4) 又四邊形 ARBO 中，∠OAR＝90°＝∠OBR＝∠ARB，
r
OB
OA
=
=
，所以四邊形 ARBO 為 形。
(5) 所以 RA ＝ RB ＝
r
OB
OA
=
=
，由(3)知兩股和－斜邊＝ RA ＋ RB ＝
r。
(6) 所以內切圓半徑 r＝
( )
斜邊
兩股和
−
。
11. 觀察內心與任兩頂點連線的夾角與第三個頂點內角度數有何規律性？請回答
下列問題：
(1) 如右圖，I 點為△ABC 的內心，在△IBC 中，
∠BIC＝180°－∠2－∠
＝180°－（∠2＋∠ ）
(2) 又∠1＝∠2＝ ∠ABC，∠3＝∠4＝ ∠ACB
(3) 所以∠2＋∠3＝ ∠ABC＋ ∠ACB
＝ （∠ABC＋∠ACB）
＝ （180°－∠ ）
＝
(4) 由（1）、（3）得∠BIC＝180°－（ °－ ∠ ）
＝ 。
(5) 結論：∠BIC＝ 。
二、
例題：
1. 下列哪一個三角形可畫出內切圓？
(A) (B) (C)
143
2. 三角形的內心是什麼線的交點？ (A) 三邊中垂線 (B) 三內角平分線 (C)
三中線 。
3. 若有一圓與三角形的三邊相切，則圓心是否必在三角形內部呢？
(A) 是，必在內部 (B) 否，必在外部 (C) 不一定 。
4. 如右圖，I 為△ABC 的內心，∠A＝70°， AB ＝
AC
，試求∠BIC＝？
5. 如右圖，I 為△ABC 內心，且 AB ＝7，
BC
＝6，
CA
＝5，△ABC 面積為 90 平方
單位，試求（1）ΔAIB 面積：ΔBIC 面積：ΔAIC 面積＝？（2）內切圓半徑＝？
6. 一三角形三邊長為 6、8、10，求內切圓半徑及外接圓半徑。
4.4「重心與三角形關係」學習單
姓名： 班級： 座號：
一、
問題探索：
1. 透過軟體的操弄，觀察三角形三邊中線是否會交於一點？
2. 從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三邊中線的交點在銳角三角形中有何
規律性？請將您觀察的圖形描繪於下面。
A
B
C
I
144
3. 從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三邊中線的交點在直角三角形中有何
規律性？請將您觀察的圖形描繪於下面。
4. 從三角形三內角的度數變化，觀察三角形三邊中線的交點在鈍角三角形中有何
規律性？請將您觀察的圖形描繪於下面。
5. 如右圖，三角形被中線切割成六塊小三角形，透過軟體的操弄，試問您觀察到
哪些圖形的面積和△BDG 的面積一樣呢？又哪些圖形的面積和△BDC 的面積一
樣呢？
6. 觀察在銳角、直角與鈍角三角形中重心在中線上的比例位置是否固定？比例為
何？
7. 生活當中何時會談到重心或用到重心性質，請舉例子說明之
8. 觀察等腰三角形中外心、內心與重心有何關係？為什麼？
9. 觀察正三角形中外心、內心與重心有何關係？為什麼？
10. 觀察直角三角形中外心與重心的距離和斜邊長有何關係？請回答下列問題：
(1) 如右圖，直角△ABC 中，∠B=90°，因為 O 點為外心，所以
OA
＝
OB
＝
OC
＝
AC
。
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(2) 因為 G 點為重心，所以
OG
＝
OB
＝
AC
。
(3) 所以外心與重心的距離＝ × 斜邊長。
二、
例題：
1. 直角三角形的重心在哪裡？ (A)三角形內部 (B)三角形外部 (C)斜邊中點上。
2. 重心是什麼線的交點？ (A) 三邊中垂線 (B) 三內角平分線 (C) 三中線 。
3. 欲將一塊三角形蛋糕平均分給 6 人，可沿下列何者來切？(A) 沿三角形蛋糕的
三中線切 (B) 沿三角形蛋糕的三中垂線切 (C) 沿三角形蛋糕的三內角平分
線切 (D) 沿三角形蛋糕三邊上的高切。
4. 如右圖，△ABC 的三中線 AD 、 BE 、
CF
相交於 G，且 AD ＝12、 BE ＝15、
CF
＝21，試求
GA
＋
GB
＋
GC
＝
？
5. 如右圖，G 為△ABC 的重心，且△BGD 的面積為 6，試求△ABC 面積＝？
6. 直角△ABC 中，∠B=90°，G 為重心，O 為外心，若 AB =4，
BC
=3，則(1)
OB
=？
(2)
OG
=？
7. 如右圖，正△ABC 的邊長 AB ＝6cm，O 為重心，則（1）外接圓半徑
OA
＝？（2）
△BOC 的面積是多少？