二階段評量示例－絶對值的認識與應用
台中市安和國中 黃怡萍
台中市逢甲國小 陳兆君
壹、前言
九年一貫課程總目標強調的是能力的開拓，是要為國民的終身學習奠下基礎，以因應社會的變遷，這有別於傳統的教學著重於知識的傳授。這不但不減數學的重要性，反而能使數學課程顧及技術層面外，更重視與其他領域的連結，更強調解決問題，以及與他人溝通講理等各種能力的培養，這些能力就是幫學生發展如何學與樂於學的基礎。而為了培養學生具備這些能力，教師除了在教學方面改進外，評量也是重要的一環，如此方能符合教學與評量統合的課程精神。
傳統的紙筆測驗一般都傾向於教學後的總結性評量，而甚少考慮其他的評量方式，易形成學生「知其然而不知其所以然」的學習結果。「數學概念」猶如一棟數學建築物的基礎，萬丈高樓平地起，唯有使學生對它有充份的瞭解，日後才能學習得更紮實更深入。已往有些老師認為概念教學太簡單，往往簡單帶過，而將重點擺在艱深的題目上，深怕自己教得不夠多不夠廣，而忽略了學生是否真正了解。為了幫助學生學得更好，評量若能融入診斷性教學評量精神，去探討學生概念生的發展、常見的錯誤類型、以協助學生找出迷失盲點，並實施補救教學，提供學生成功的學習經驗機會。
為了讓學生具備「帶得走的能力」，評量也應有所改變，而二階段評量有別於以往的評量方式，是雙層式的診斷工具，有助於評量及診斷學生能力表現。以期在評量的過程中一方面瞭解學生的學習成效，另一方面瞭解學生的思考方向及認知程度，將評量結果作為提供教師安排後續教學活動或補救教學之參考。
絕對值在國中課程中為正負數觀念的延伸，並可作為距離觀念課程的先備知識，在國中一年級的數學課程中佔有相當的重要性，但是學生
在進行絕對值的認識與運算過程中往往會有概念不清與正負數渾淆的情形發生，為了改善此情形，因此針對絕對值進行二階段評量，以期能使學生對正負數與距離的認知與觀念更清楚。
貳、評量目標
一、評量目標
(一)認知方面：
1.檢驗學生的數學概念，以便適時進行補救教學。
1-1能理解絶對值的意義
1-1-1能知道絶對值的意義。
1-1-2能認識絶對值的符號。
1-1-3能理解絶對值在數線上的圖意。
1-2能比較絶對值的大小。
1-3能用絶對值的符號表示數線上兩點間的間隔(距離)。
1-3-1能將一數線上A與B表示為a、b
(a < b)，並兩點的距離表示為
=│b-a│
1-3-2能理解│b-a│即代表a、b兩點間的距離。
1-4能運算絶對值
1-4-1能計算含有絶對值的觀念題
1-4-2能處理含有未知數的絶對值求值題
1-5能理解絶對值的性質
1-5-1能知道正數的絶對值愈大，其值愈大，負數的絶對值愈小，其值愈小。
1-5-2能理解一數的絶對值必為正數或0(即一數的絶對值恆不為負數)。
1-5-3能知道兩數相等其絶對值必相等。但兩數的絶對值相等，兩數未必相等。
1-5-4能理解若甲數≧0，則│甲│＝甲；若甲＜0，則│甲│＝－甲
1-6能熟練絶對值的應用
1-6-1能熟練絶對值小於(不大於)正整數n的個數求法。
(二)情意方面：
1.提升學生的數學學習興趣並培養上課專心聽講的習慣。
2.幫助學生將所學過的數學反思。
3.培養學生說理的習慣及溝通的能力。
4.運用多元智慧原理，培養學生邏輯思考的能力。
二、與九年一貫相對應的能力指標
(一)新綱對應的能力指標：
N-3-10能理解絶對值的意義
(7-n-05)能認識絶對值的符號，並理解絶對值在數線上的圖意。
(7-n-06)能用絶對值的符號表示數線上兩點間的間隔(距離)。
(7-n-07)能運算絶對值並熟練其應用。
(二)舊綱對應的能力指標：
A-3-11能以「正、負」表徴生活中相對的量，並能操作負整數的合成分解。
參、適用年級
適用對象:國中一年級(實施對象:國中三年級學生)
本單元教授對象應針對國中一年級的學生，但因研究者本學期任教班級都是九年級生，又一方面想瞭解九年級生在學習一年後對於該單元概念是否清楚，因此施測的對象是針對九年級任教的二班實施(這兩班為本校的特色班)。第一次評量時間是20分鐘，第二次評量時間是15分鐘。先選擇一班進行前測後，整理學生的理由選項，再由另一班一班學生進行測驗。
肆、編製流程
伍、實施流程
陸、評量內容
一、單元名稱
§ 2-2數的大小與絶對值(翰林版)
二、相關的能力指標
(一)新綱對應的能力指標
N-3-10能理解絶對值的意義
(二)舊綱對應的能力指標(八十九年版)
A-3-11能以「正、負」表徴生活中相對的量，並能操作負整數的合成分解
(三)新綱對應的分年細目
(7-n-05)能認識絶對值的符號，並理解絶對值在數線上的圖意。
(7-n-06)能用絶對值的符號表示數線上兩點間的間隔(距離)。
(7-n-07)能運算絶對值並熟練其應用。
三、教材與相關能力指標分析圖
四、題目架構
(一)試題與目標雙向細目表分析如下
知 識 認 知 | 知識 | 理解 | 應用 | 分析 | 綜合 | 評鑑 |
1-1-1能知道絶對值的意義 | 3 | |||||
1-1-2能認識絶對值的符號 | 2 | |||||
1-1-3能理解絶對值在數線上的圖意 | 3 | |||||
1-2 能比較絶對值的大小 | 1 2 | |||||
1-3-1能將一數線上A與B表示為a、b
(a < b)，並兩點的距離表示為 | ||||||
1-3-2能理解│b-a│即代表a、b兩點間的距離 | 3 | |||||
1-4-1能計算含有絶對值的觀念題 | ||||||
1-4-2能處理含有未知數的絶對值求值題 | 8 | |||||
1-5-1能知道正數的絶對值愈大，其值愈大，負數的絶對值愈小，其值愈小 | 7 | |||||
1-5-2能理解一數的絶對值必為正數或0（即一數的絶對值恆不為負數） | 4 | 10 | ||||
1-5-3能知道兩數相等其絶對值必相等。但兩數的絶對值相等，兩數未必相等 | 5 | |||||
1-5-4能理解若甲數≧0，則│甲│＝甲；若甲＜0，則│甲│＝－甲 | 6 | |||||
1-6-1能熟練絶對值小於(不大於)正整數n的個數求法 | 9 |
(二)試題與能力指標的雙向細目分析
| 正式綱要N-3-10 能理解絶對值的意義 | ||
7-n-05 | 7-n-06 | 7-n-07 | |
| ˇ | ||
2.3的絶對值大於-5的絶對值是否正確? | ˇ | ||
3.小明說:「符號│a│是表示數線上代表a的點和原點的距離」，你認為小明的說法是否正確呢？ | ˇ | ||
4.小賢說:「任何數的絶對值必大於零」，你認為小賢的說法是否正確呢? | ˇ | ||
5.小柳說:「若兩數相加等於零，則稱此兩數互為相反數」，小豪說:「我們由此可知互為相反數的兩數，它們的絶對值必相等」，你認為小豪的話是否正確？ | ˇ | ||
6.小花說:「若ａ、b兩數，│ａ│━│b│，ａ＞b，則ａ＋b＝0」，你認為小花的話是否正確? | ˇ | ||
7.小朱說:「甲＜乙＜0，則│甲數│＜│乙數│」，你認為小朱的話是否正確? | ˇ | ||
8.若甲數為整數，且滿足│-4 | ˇ | ||
9. 若絶對值不大於甲數的整數有13個，且甲為正整數，則甲數＝7，你認為這敍述是否正確? | ˇ | ||
10若│a－5│＋│7－b│＝0 ，則ａ＋b＝12，你認為這敍述是否正確? | ˇ | ||
│
│(三)二階段評量理由選項編製方式
二階段評量理由選項編製的方式有很多種，可以從課本例題選題或參考歷屆學測考題自行設計題目或從教師手冊、相關文獻、晤談學生及參考第一次施測學生所陳述的解題理由為設計二階段評量的依據。而在本次二階段評量中的理由選項編製方式是參考第一次施測學生所陳述的解題理由並晤談部分學生後所編製而成。二階段試題評量的試題題幹和第一次在收集理由選項的評量所採用的試題題幹相同，而作答方式是以事實選項及理由選項的方式所設計。
柒、評量標準
以本次評量為例：
(一)第一次評量（收集理由選項）：開放性試題給分標準
1.題目共10題，每題10分，共100分。
2.事實選項答對給4分。
3.理由答對給6分。
(二)二階段試題評量：二階段式試題給分標準
1.題目共10題，每題10分，共100分。
2.事實選項答對給2分。
3.理由選項為複選題，每答對一選項給2分，共8分。
捌、學生表現分析
本次測驗分為兩次，第一次評量（收集理由選項的試題評量）人數47人，二階段試題評量人數41人。
一、第一次評量（收集理由選項的試題評量）試題分析
選 項 題 號 | 正確答案 | 事實選項 錯誤人數 | 理由 錯誤人數 | 理由錯誤類型 | |
理由說明 | 人數 | ||||
第1題 | 是 | 0 | 11 |
| 1 |
| 10 | ||||
第2題 | 否 | 4 | 5 | 1.未作答 | 1 |
2.│3│>-5，│-3│>-5，所以3的絶對值大於-5的絶對值 | 1 | ||||
3.絶對值裡的數都代表正數 | 1 | ||||
4.│3│=3，3>-5 | 1 | ||||
5. 3的絶對值等於-3，所以大於-5 | 1 | ||||
第3題 | 是 | 6 | 13 |
| 7 |
| 3 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
第4題 | 否 | 16 | 17 |
| 1 |
| 12 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
第5題 | 是 | 1 | 12 | 1.未作答 | 4 |
2.負數從絶對值出來變成正數，正數出來還是正數，所以相等 | 2 | ||||
| 3 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
第6題 | 是 | 6 | 9 |
| 4 |
| 3 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
第7題 | 否 | 4 | 6 |
| 1 |
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
第8題 | 是 | 16 | 23 |
| 9 |
| 3 | ||||
| 4 | ||||
| 3 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
第9題 | 否 | 20 | 28 |
| 7 |
共13個 | 11 | ||||
| 3 | ||||
| 2 | ||||
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 1 | ||||
8.甲應為14，因為絶對值後的數不可能是負數 | 1 | ||||
第10題 | 是 | 6 | 11 |
| 3 |
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
| 1 | ||||
二、二階段評量試題分析
（一）學生作答分析
以次測驗是以九年級學生為施測對象，班級人數41人，平均：73.6分
分數 | 未滿40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 | 合計 |
人數 | 0人 | 4人 | 4人 | 4人 | 13人 | 11人 | 5人 | 41人 |
百分比 | 0% | 10% | 10% | 10% | 31% | 27% | 12% | 100% |
評量結果分析
1.事實選項答對率與理由選項答對率的落差
針對以下的事實選項答對率與理由選項答對率分析表可以看出，十道題目中事實選項的答對率皆比理由選項的答對率高，可見學生在答對題目的同時是會有概念上錯誤的情形發生，而以二階段評量的題目設計是可以發現學生學習上的落差。
另外，事實選項與理由選項落差較大（大於10%）的分別為第二題、第三題、第四題、第五題、第六題及第七題，從幾題可發現這些題目應是學生容易有觀念偏差的類型，其中落差最大的第二題（9%）由於理由選項的正確答案有三個，所以理由選項的答對率偏低。
事實選項及理由選項答對率一覽表
第一題 | 第二題 | 第三題 | 第四題 | 第五題 | 第六題 | 第七題 | 第八題 | 第九題 | 第十題 | |
事實 選項 | 100% | 93% | 89% | 66% | 93% | 87% | 91% | 66% | 68% | 87% |
理由 選項 | 78% | 9% | 12% | 36% | 33% | 11% | 60% | 64% | 65% | 85% |
2.四種答題類型的比率
由於每一道題目學生都必須選擇事實選項及理由選項，所以就會有四種答題組合的產生，而針對此次學生答題類型的比率我們以下表呈現，從表中可以看出除了第一題外，四種類型以「事實選項對；理由選項對」及「事實選項錯；理由選項錯」兩種類型的比率最高，可見解題的概念還是影響學生答題正確與否的主要因素，第二、三、五、六題中「事實選項對；理由選項錯」的答題組合比率高，則顯示學生有概念上的迷失；第二、三、四、五、六題「事實選項及理由選項皆選對」的比率不高的原因在於理由選項的都是複選，而第一題的答題情況良好沒有事實選項錯及理由選項對」及「事實選項錯；理由選項錯」兩種類型。而「事實選項及理由選項皆選錯」的學生在各題的比率都30%以下，可見學生對於本單元完全不了解的學生占少數，但「事實選項對；理由選項錯」的比率占多數，可見學生並未真正理解該單元。
四種答題類型比率一覽表
第一題 | 第二題 | 第三題 | 第四題 | 第五題 | 第六題 | 第七題 | 第八題 | 第九題 | 第十題 | |
事對 理對 | 78% | 9% | 10% | 29% | 30% | 11% | 60% | 60% | 62% | 82% |
事對理錯 | 22% | 84% | 79% | 37% | 63% | 76% | 31% | 6% | 6% | 5% |
事錯理對 | 0% | 0% | 2% | 7% | 3% | 0.0% | 0% | 4% | 3% | 3% |
事錯理錯 | 0% | 7% | 9% | 27% | 4% | 13% | 9% | 30% | 29% | 10% |
(三)學生的錯誤類型
1.任何數的絶對值未必都大於0
在本次評量中，有多數學生認為「任何數的絶對值必都大於0」，而忽略了0本身的絶對值還是0的概念。
2.能從數線上了解絶對值的概念也是本單元的一個評量重點
從第三題答題的情況可觀察出學生對於符號│a│是表示數線上代表a的點和原點的距離的概念並不清楚，只是死記「加上絶對值的數就是正數的口訣」的錯誤想法。
玖、分享與建議
一、就教師教學方面而言
二階段評量能幫助教師檢驗學生的數學概念是否正確理解，瞭解學生數學的學習狀況，找出學生迷思概念及容易犯錯的類型後，以學生為本位，尊重學生的的不同想法，因材施教加以補救教學。一方面可以使學生學得夠好，同時也助於教師瞭解自己教學上的盲點外，並可在未來的教學當中，適當的調整教學方法、步驟與時間，正如所謂的「教學相長」。
教學與評量是教師專業的一環，二階段式試題評量除了可將評量結果作為給分依據及後續教學活動安排或實施補救教學及輔導學生學習之參考外，在安排教學活動或輔導學生之際，除了結合教師的教學經驗，改進評量及教學，更可以讓教師發揮專業自主權。老師有豐富的教學經驗，結合對學生學習知識的瞭解與應用，相信對於學生的能力開拓必有很大的擴展空間。
二、就學生學習方面而言
在許多國內數學相關的研究報告都顯示：「數學」是多數人討厭、恐懼學習的科目之一。影響的原因：除了可能和教材內容、老師上課方式有關以外，另一原因可能是學生害怕考試，感覺學習沒有成就感。以往的評量方式大都採用傳統的「紙筆測驗」，著重於總結性評量，而忽略了學習的過程。長久以來處於單一的評量方式，使得學生養成死背，被動的學習習慣，而欠缺了自我反省、思考能力而影響的學習的興趣。
二階段評量可以讓學生思考「為什麼」，找出自己學習上有那些概念不懂的地方，再加強學習，化被動為主動，培養獨主思考與主動求知的能力。
三、實施中遭遇的問題
1.在二階段評量中，試題出現的文字敊述比例高，對於語文能力及耐心不足的學生較不利，也因此有必要加強學生的閱讀能力。
2.因為本次研究的施測對象為本校的特色班，學生的程度為中上程度，在實作上較不易發現錯誤類型。礙於時間，下次可再針對常態編班的班級實施。
3.二階段評量和其他評量最終的目的都是為了使學生「有效學習」，但因此種方式而秏費較多時間，故教師可依單元實際需要實施。
四、對於未來教師針對「絕對值」的評量內容設計的建議
針對本次評量實施後發現，大部分的學生在學習絶對值單元時，都把絶對值當作是一個符號背誦，而忽略了絶對值的真正涵義是距離的概念，因此建議老師在教授本單元時能從數線引入絶對值距離概念，讓學生從數線真正理解絶對值的概念，同時在評量時也能設計開放性的問題，了解學生的概念想法，而非只著重在絶對值式子的計算。
拾、參考文獻
教育部(92.11.14)台國字第0920167129號《國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域》，教育部印製。
教育部(2000年九月)《國民中小學九年一貫課程暫行綱要數學學習領域》，教育部。
教育部九年一貫課程推動工作小組(2004年一月)《數學學習領域多元評量手冊》，教育部印行。
拾壹、附件
附件一：第一次評量（收集理由選項的試題評量
二階段式評量試題─單元：絶對值
班級:座號:姓名:
開放式題目
1.請判斷式子│-3│
>│-2│是否正確?
□是 □否
你的理由是
2.3的絶對值大於-5的絶對值是否正確?
□是 □否
你的理由是
3.小明說:「符號│a│是表示數線上代表a的點和原點的距離」，你認為小明的說法是否正確呢？
□是 □否
你的理由是
4.小賢說:「任何數的絶對值必大於零」，你認為小賢的說法是否正確呢?
□是 □否
你的理由是
5.小柳說:「若兩數相加等於零，則稱此兩數互為相反數」，小豪說:「我們由此可知互為相反數的兩數，它們的絶對值必相等」，你認為小豪的話是否正確？
□是 □否
你的理由是
6.小花說:「若ａ、b兩數，│ａ│━│b│，ａ＞b，則ａ＋b＝0」，你認為小花的話是否正確?
□是 □否
你的理由是
7.小朱說:「甲＜乙＜0，則│甲數│＜│乙數│」，你認為小朱的話是否正確?
□是 □否
你的理由是
8.若甲數為整數，且滿足│-4
│<甲數≦│-8
│的甲數共有4個，你認為這敍述是否正確?
□是 □否
你的理由是
9. 若絶對值不大於甲數的整數有13個，且甲為正整數，則甲數＝7，你認為這敍述是否正確?
□是 □否
你的理由是
10若│a－5│＋│7－b│＝0 ，則ａ＋b＝12，你認為這敍述是否正確?
□是 □否
你的理由是
附件二：二階段評量試題
二階段式評量試題─單元：絶對值
班級:座號:姓名:
二階段式題目
1.請判斷式子│-3│
>│-2│是否正確?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.負數加上絶對值會變成正數，所以│-3│
>│-2│
B.由絶對值出來的數為正數，所以│-3│
>│-2│
C.-3到0的距離比-2到0的距離長
D.
∵│-3│＝3，│-2│＝2 ∴│-3│
>│-2│
E.其他
2.3的絶對值不大於-5的絶對值是否正確?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.負數加上絶對值會變成正數，所以│3│<│-5│
B. ∵│3│＝3，│-5│＝5 ∴│3│不大於│-5│
C. ∵│3│＝3，│-5│＝5 ∴│-5│不大於│3│
D.-5到0的距離比3到0的距離長
E.其他
3.小明說:「符號│a│是表示數線上代表a的點和原點的距離」，你認為小明的說法是否正確呢？
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.a點可能為零
B. ∵兩點距離不能是負數，∴│ａ│表示ａ點和原點的距離
C. ∵兩點距離都是正數，∴加上絶對值變成正數
D.不管 a點是正數或負數，在數線上與原點的距離都一様
E.其他
4.小賢說:「任何數的絶對值必大於零」，你認為小賢的說法是否正確呢?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.因為任何數加上絶對值後，都不可能為負數
B.0的絶對值等於0
C.因為加上絶對值後的數都變為正數
D.任何數的絶對值必大於零，但│0│的絶對值還是0
E.其他
5.小柳說:「若兩數相加等於零，則稱此兩數互為相反數」，小豪說:「我們由此可知互為相反數的兩數，它們的絶對值必相等」，你認為小豪的話是否正確？
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.加上絶對值之後的數都是正數
B.相反數到原點的距離是相等的，所以絶對值也相等
C.ａ＋(-ａ)＝0，│ａ│━a │-ａ│＝ａ，│ａ│━│-ａ│
D.兩數相加為0時，代表兩數一正一負，且兩數到0的距離相等
E.其他
6.小花說:「若ａ、b兩數，│ａ│━│b│，ａ＞b，則ａ＋b＝0」，你認為小花的話是否正確?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.a、b兩數絶對值相等，則ａ、b為異號數，兩數相加為0
B.∵ a>b，ａ為正數、b為負數，且數字部分相同，所以
ａ＋b＝0
C.不知道a、b那一個是正數那一個是負數
D.a大於b，a和b和原點距離相等，代表ａ、b互為相反數
E.其他
7.小朱說:「甲＜乙＜0，則│甲數│＜│乙數│」，你認為小朱的話是否正確?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A. 甲＜乙＜0，表甲到0的距離比乙到0的距離長
B.甲＜乙＜0，表甲到0的距離比乙到0的距離短
C.因為甲、乙都為負數，所以│甲│＜│乙│
D.因為甲、乙都為負數，負數愈小，絶對值愈大
E.其他
8.若甲數為整數，且滿足│-4
│<甲數≦│-8
│的甲數共有4個，你認為這敍述是否正確?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.甲數可能為正數或負數，所以共有8個
B.甲數不只4個，應有無限多個
C.原式為4
<甲數≦8
，則甲等於5、6、7、8共4個
D.甲數介於
到
之間，所以應有9個
E.其他
9. 若絶對值不大於甲數的整數有13個，且甲為正整數，則甲數＝7，你認為這敍述是否正確?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A.加上絶對值後小於7的整數有0、
1
2
3
4
5
6共13個
B.絶對值不大於甲數7，但有可能等於7，所以應該有15個
C.絶對值不大於甲數7的整數有0、
1
2
3
4
5
6共6
個，所以甲數應該是6
D.應該只有7個，因為絶對值無負數
E.其他
10若│a－5│＋│7－b│＝0 ，則ａ＋b＝12，你認為這敍述是否正確?
你覺得上面的敍述正確嗎? □是 □否
你的理由是( )
A. a＝-5，b＝-7，所以ａ＋b＝-12
B.a＝5，b＝-7，所以ａ＋b＝-2
C.a＝-5，b＝7，所以ａ＋b＝2
D.a＝5，b＝7，所以ａ＋b＝12
E.其他