國小高年級教師訪談紀錄（2-5屆）TKU93A彭立心、陳文淑整理

國小高年級教師訪談紀錄表

索引

分數…………………………………………………………………………………3

小數…………………………………………………………………………………9

二、數的計算……………………………………………………………………………11

整數的加、減法運算………………………………………………………………11

整數的乘法運算……………………………………………………………………11

整數的除法運算……………………………………………………………………12

小數的計算…………………………………………………………………………16

分數的計算…………………………………………………………………………34

數的四則運算………………………………………………………………………57

因數與倍數…………………………………………………………………………60

概數…………………………………………………………………………………73

代數…………………………………………………………………………………74

比……………………………………………………………………………………78

其他相關概念………………………………………………………………………81

三、圖形、形體概念……………………………………………………………………87

平面圖形……………………………………………………………………………87

立體圖形……………………………………………………………………………103

對稱…………………………………………………………………………………112

圖形變換……………………………………………………………………………116

空間…………………………………………………………………………………120

四、比較、測量、度量概念……………………………………………………………122

比較…………………………………………………………………………………122

長度…………………………………………………………………………………122

重量…………………………………………………………………………………124

容量…………………………………………………………………………………125

角度與速度…………………………………………………………………………130

五、時間概念……………………………………………………………………………137

時間…………………………………………………………………………………137

六、數量關係……………………………………………………………………………145

統計…………………………………………………………………………………145

機率…………………………………………………………………………………148

七、其他…………………………………………………………………………………149

八、文字理解……………………………………………………………………………162

九、課程銜接……………………………………………………………………………171

十、教學者班級經營的拿手絕活………………………………………………………173

一、數的概念

分數

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

對分數的概念無法確切掌握

例如:我的存款的兩倍是你的存款的三倍或你的身高是我的書櫃的一又二分之一倍。

教具的應用：利用圓形與扇形圖片卡或者是長條形積木來輔助解說分數的概念但成效仍是有限。

(老師在談到學生對於分數的理解困難時說到：「有的時候學生問題是出在語文理解能力上，即學生能否理解題意並將語文敘述轉成數學符號。」)

多一點的練習：每天我出大約十題的類題讓學生帶回家做特別是分數與小數的部分。

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

分數概念

「幾分之幾」的概念不懂。

用教具兼畫圖的方式，以實際情境帶入(如分蛋糕) 還有，把抽象化為具體，如:我有10元，你是我的一半，(二分之一)那你有幾元？

簡化數字:先用整數概念去理解題型;再遷移至分數並每解一題完就詢問同學，有無更好的答案;由此去了解學生的想法，並在之後的解題加入學生的解題方式。

【黃惠卿老師受訪，陳淑慧訪談】

分數概念

EX:何謂?

在學生剛接觸分數時就要讓學生對1的概念有清楚的了解和認識，在教學上，老師以一杯水來說明分數：一杯水不管裝七分滿或八分滿都還是一杯水。

EX： → 一杯水四等分裡的1等分。

【甯書瑞老師受訪，吳昀曇訪問】

將母數（基準量）及子數（單位量）搞錯。

老師解決策略是請小朋友全班重新念一次題目，請小朋友去思考題目中所指的單位量是什麼？題目要問的是什麼？重新整理小朋友的思考，作一個價值澄清。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

從整數跨到分數有瓶頸。

例如：三個西瓜分給8個人，每人分到多少西瓜？學生無法用分數表示為，可能會用8÷3去算，會有迷思將「數字大的放前面」，不能理解為何3可以除以8。

多練習相關題目，重新講解定義，帶出推理的過程。

【李幸儀老師受訪，黃羿菁訪談】

學生對於單位上不能理解。

例如：一個Pizza分成8塊，小明吃掉2塊，那是吃掉幾分之幾的pizza？答案應該是個pizza。但是學生沒有辦法分辨「塊」跟「個」的不同。意思就是學生不能了解「大單位」及「小單位」的差別。

老師認為現在的學生在數學方面的練習真的不夠，所以老師比較強調重複練習。

對於這種題目，老師就會在黑板上畫圖，讓學生可以從圖畫上了解「一塊」跟「一個」有什麼不一樣。這樣學生就可以知道這兩者的區別。

【陳惠娟老師受訪，詹恩琪訪談】

比值概念之不易掌握

例：與是不同分數，卻是等值。

教師以實際圖例來表示與是不同分數，卻是等值的概念。例：

【朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談】

最簡分數的約分：學生很容易忘記要將答案約分到最簡分數，要提醒很多次。

這都是同學粗心的表現，所以一開始就講清楚：沒有約分的答案就是錯。老師改到沒有約分的就畫個大叉，分數就沒了。多個幾次之後，他就會去注意到了。

【陳芳姿訪談】

約分不能約到最簡，且不太會判斷是否互質。

老師會加強概念講解如何判斷2、3、4、5……等的倍數，學生熟悉之後自然能夠加以檢驗分子分母是否可再繼續約分。

【張素蘭老師受訪，廖芳苓訪談】

等值分數的概念：課本中有談到幾倍的問題不能了解，無法做通分的運算，例如＝。

因為南一版本以前沒有學過因數倍數，到了五年級都還沒有上到，全校統一課程安排上自行增加因數倍數的教學。

【李幸儀老師受訪，黃羿菁訪談】

不了解為何異分母要通分才能相加減的概念

EX: - = - =

學生對於為何要通分一開始會很不能理解，所以老師會先喚醒學生的舊經驗，1===另外加上圖解= = = ，之後再解釋-= - = -亦以圖形呈現讓學生明白，等學生都能完全了解通分的概念後，才套入「分子、分母同乘相同數，其值不變的概念。」

【張櫻美老師受訪，陳加雯訪談】

例如：= 的擴分概念，學生很難理解，也易錯。

老師讓為所有的數學題目都可以用「圖解」來解題，所以非常鼓勵學生出題目來考驗老師畫出圖案，當然也鼓勵小朋友把文字轉換為圖形，這樣視覺化的感官比較容易領悟。此題也一樣，老師畫兩個一樣的東西，要他們了解等值的概念。

讓學生洞察其中的關係，看是否一樣大，然後有些聰明的學生會回答分母分子同乘以3就會變成右邊的了。

【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】

學生不易理解分數的擴分：

學生不懂為什麼。

老師會利用畫圖來讓學生理解，讓學生瞭解，分數之間的關係。例如下面的圖示：

【張素蘭老師受訪，鍾品正訪問】

分數的約分及擴分。

因為現行教材對於最大公因數與最小公倍數的概念只有點到而已，因此學生這方面的基礎相當薄弱。

加強最大公因數、最小公倍數。

先交學生這方面的概念，然後再不斷的重覆題型給學生練習，數學是一種感覺，要讓他們看到後就能立即反應。

【盧燕萍老師受訪，林貞夆訪談】

擴分問題

不了解＝＝＝

畫圖說明，畫圖如下：

問學生每個各為幾分之幾?
再問是否等於?學生若說沒有，老師會重疊塗黑部份，讓學生了解是一樣大的。
再問＝＝有何關係？讓學生發現，分子和分母各乘一個相同的數，之後它們仍是等值關係，而此即為「擴分」。

【洪素珍老師受訪，張如芬訪談】

擴分與約分的概念。

學生不明白為何會等於。

高老師會用畫圖的方式來向學生解釋和其實是相等的。

二者不同的只是切割的塊數。的圖形中共分割為二塊，的圖形則是分割為四塊。由二塊分為四塊是乘以2的結果(分母部份)，而藍色部分則是由一大塊變為二大塊，也是乘以2的結果(分子部份)。其藍色部分的形狀、大小皆無改變，僅是切割的方式不同而已。

【台北市義芳國小阿忠老師受訪，翁淑華訪談】

在分數方面，學生比較無法了解為什麼雖然同分子數，但分母越大，分數的值卻越小。

例如： □

對於學生而言，如果只是告訴他同分子數，但分母越大，

分數的值會越小，學生比較會從數字方面的大小來比較大小，因為從以前所學到的數字大部分所代表的意含都是數字越大其值越大的觀念。但是談到分母時則會相反，這時老師會以圖示的方式來讓學生了解其原因。

【林志宜老師受訪，許慧美訪談】

學生對約分和擴分的概念不清楚，以至做分數四則運算時會有困難(不知從何下手)。

老師在引導學生做任何分數四則[運算時，會先把「最大公因數、最小公倍數」的觀念再提醒一次，接著繼續引導學生將不同分母的分數利用最大公因數和最小公倍數來做約分或擴分的動作，一旦學生知道如何將不同分母化為同分母後，計算方面就比較沒問題了。

【林佳佳老師受訪，張思萍訪談】

公因數、公倍數與擴分、約分、通分之間的關係

由於新教材並未先行教授，由於學生缺乏公因數、公倍數的先備知識，所以必須先行指導、延伸經驗。

【王舒怡老師受訪，趙姿菁訪談】

何為通分、約分、擴分、最簡化容易造成混淆

例1：＋＝（　　　）

例2：和誰比較大？

例3：＋＝（　　）

例4：求最簡化分數

＋＝（　　　）

教師太多的名詞，使他們將整個概念混在一起。教師除澄清每一個的概念外，會以實例請同學發表這是屬於何種概念。

例：＋＝（　　　）

不同分母相加，要如何解題？

等同學討論過後，老師再綜合整理，不同分母相加，將分母化成同一基準的概念，稱為通分。

【朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談】

分數

a.約分

b.擴分

c.通分

教材的版本不同，並不是每位孩子都學過因數與倍數，當孩子不會找因數與倍數時，孩子就沒有辦法找出同分母，進一步計算異分母分數的加減。

先用圓餅圖帶給孩子等值分數的概念。
利用口訣：「分子與分母要坐同一艘船，才會有一樣的值。」方便小朋友記住等值分數的運算方法。
讓孩子多做練習，熟悉分數運算。

Ex： = = = = ……

×2

= ……

【何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談】

分數概念：

（特別是分數除法）

六年級的孩子還是有概念上的問題，對於分數上所指的「1」並沒有很清楚，老師通常會拿一杯水來舉例，告訴孩子七分、八分、九分滿的觀念，由此帶入。

另外老師覺得現階段還不用這麼早跟孩子解釋分數除法的完整概念，這個部分比較複雜，可以等國中再學；但是可先讓孩子學會該如何運算。另外他也提到其實老師本身常常沒有受過非常專業的訓練，所以在數學概念的解釋上可能無法相當清楚。

【甯書瑞老師受訪，黃雁琪訪談】

分數比大小：

例：請畫出的

對於分數觀念不清楚的學生容易認為比大

老師不會一開始就直接講解答案。

老師會請3至4位學生到台上解題，請每位學生將自己的解題過程呈現出來，再請台下學生分小組討論，討論哪一個答案最好，並且能清楚說出「好在哪裡」「錯在哪裡」「有哪些觀念」……等等藉由小組討論、發表，學生可以動腦筋思考，而老師也可以清楚知道學生學習的迷思在哪裡？

最後一定要由老師作總結給回饋。

【高菁霞老師受訪，曹雅芬訪談】

分數的大小：

例：小明剪了一段彩帶
公尺，小玉剪了一段彩帶，小花剪了一段彩帶，則何者較長？

小朋友會認為小明剪的公尺，其8比其它6、7大，所以認為小明剪的較長。

應先要學生找出分母8、7和6的最小公倍數為168，再做分子的通分，亦即分母有了一樣的基礎，才可以做比較大小。

【唐雅蘭老師受訪，黃珮伶訪談】

分數中「全部」與「單位數量」的替換：

例如：一盒有20顆蘋果，盒又等於十分之幾盒？又等於多少顆？

多數的小朋友知道等於，但是老師會加問等於多少顆，這樣再次轉換觀念很多小朋友就會不知所措。老師知道現在多數的小朋友思考都很簡單，而且還會懶得思考。因此，老師就會再用簡單的例子將題目分成兩階段解釋，等小朋友已經理解通分的觀念之後，再帶小朋友做「全部」與「單位數量」的變換。

【李怡靜老師受訪，林家溱訪談】

分數和小數的差別：

學生會認為分數跟小數是不同的東西

老師利用原餅圖或長條格子告訴學生分數跟小數是可以互換的

=0.1

【陳惠娟老師受訪，廖珮君訪談】

繪製分數數線：

異分母的加減不會用數線表達。

例如: +，小朋友會畫的數線，也會畫的數線，但兩者相加時，要他們畫出正確的數線則是一個挑戰，因為他們畫的與數線的單位刻度1，可能都畫的不一樣大。

教數線最重要的還是要讓他們實際去畫、實際去操作，可利用教具或老師實際畫在黑板上先講解給他們聽，讓他們有數線、等刻度才能相加的的概念後，再讓他們實際去畫。
也可先教導小朋友先通分做加減完後，再畫出正確的數線長，這樣就比較不會有單位刻度1不一致的問題。
在補救教學或回家作業就會盡量出此類的問題，讓他們回家多多練習畫數線。

【杜守正老師受訪，李瑞俞訪談】

等值分數：學生對於約分或要化成同分母才知道是否為等值分數時，必須知道是公因數、公倍數才能快速找到，但是此階段還未很清楚公因數、公倍數的概念。

老師會用口語話的方式，如：要找一個數共同除盡兩個數才能約分，要找一個數是兩個公同的倍數，來代替公因數及公倍數的用詞，但是會讓學生一樣去操作，所以還是能快速求算。
對於分數有些學生還是無法遷移，學了這提到那題又不行，所以老師會個別教導，一直不斷換生活情境直到他學會。

【宋屏麟老師受訪，陳小婷訪談】

約分和擴分

學生對約分和擴分的概念不清楚，以致做分數四則運算時會有困難。

老師在引導學生做任何分數四則運算時，會先把「最大公因數、最小公倍數」的觀念再提醒一次，接著繼續引導學生將不同分母的分數利用最大公因數和最小公倍數來做約分或擴分的動作，一旦學生知道如何將不同分母化為同分母後，計算方面就比較沒問題了。

【林冠嫺老師受訪，鄭詠文訪談】

數與量—

分數

「約分、擴分處理等值分數的換算」要特別注意計算過程的演練

【黃淑嬌老師】

這個單元依我的經驗而言，對學生並不困難，運用上上述所提及的原理即可，但要特別注意計算過程的演練。可把計算及應用題化為填充題來加強學生的基礎。

例如：

基礎增強後，最重要的是：很多學生的舊經驗很糟，也就是基礎很差，很多人以為要補過來很困難，但其實並不然，只要不放棄，進步指日可待。

【黃健哲訪談，黃淑嬌老師受訪】

數與量—

分數

【張琬婷訪談，高福明老師受訪】

數與量—

分數

例如：

老師會告訴學生的下面乘以2，就是每一小等分，再切成一半。再問學生，這樣每個再多切一刀，原來的圖形和現在一樣嗎？其實是一樣大小。所以，

圖一：

圖二：每一小份，再多切一刀。

【謝冠瑛訪談，高福明老師受訪】

數與量—

分數

例如：

老師將電腦中的合併儲存格，帶入數學的約分中。

如圖：

圖一：

將圖一的三小格合併，

圖二：就成了圖二的一大格，

也就是二分之一。

【謝冠瑛訪談，高福明老師受訪】

「通分和擴分的時候常出現問題」

有的學生常會將最小公倍數誤以為是最大公因數的約分。或是在遇到

此類問題時，學生們會常直接互相乘過之後，忘了還要約分。老師認為若是學生本身的程度並沒有那麼好，那麼也可以接受他不約分，並不會給予扣分，當然只不過還是要提醒他記得要約分。

【蘇惠英老師受訪，陳蒔萱訪談】

小數

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

小數位數的判定常有混淆的情形，尤其是小數點後的十分位、百分位、千分位。例如1.287，很多學生很容易把2當成百分位、8當成十分位(小數點的後面是287)。也就是說：以過去所認知的整數十進位制直接套用至小數概念所發生的謬誤。

余老師為了重新釐清學生們的小數概念，會先請同學回想看看和0.1、和0.01的關係。然後再拿出定位板告訴學生，十分位代表十分之多少，百分位代表百分之多少。讓學生知道小數由左至右依序是十分位、百分位、千分位，和整數一樣越右邊的數越小。

十

＝0.1

位

個

位

十分位

百

分

位

千分

位

十

＝0.01

位

個

位

十分位

百

分

位

千分

位

【余幸秋老師受訪，林怡伶訪談】

小數點的移位：

學生在計算小數乘以整數時沒問題，但計算小數乘以小數時，小數點卻常常點錯。

老師告訴學生數一數乘數和被乘數共有幾位小數，答案就有幾位小數的小技巧，讓學生在計算後能很快的檢視小數點位置是否正確。例如0.31×0.512=( )一共有5位小數，所以答案會有5位小數即0.15872。

【陳君虹老師受訪，蔡易儒訪談】

小數點對齊：

學生對於小數的除法之商數和餘數的小數點該對齊哪裡，往往搞不清楚。

先出沒有餘數的小數除法讓學生練習。

告訴學生「因為個位數的0無法除2，所以退到十分位的6來除2，因此在商數的個位數補上0，而商數的3也是十分位數所以對齊在6的上面，因此商數的

個位數0和十分位數3之間要點小數點」。

等學生多做一些練習之後，老師再出有餘數的小數除法。

老師要他們在算的時候對整齊，並告訴學生餘數的小數點是對齊被除數的小數點。

3.要學生們驗算，來檢查自己是否有算錯。

【郭嬪文老師受訪，蔡亭葦訪談】

小數

小數點位置常擺錯。

例如：0.5×0.7

因為0.5×0.7越變越小所以往後點，看有幾會就點幾位，並多出類似題型練習。

【朱雅芬訪談，林月梅老師受訪】

小數的除法

雖然是六年級的單元，我們在五年級的時候，老師都有共識覺得課程內容太少，就會補充。所以先學，後來教就還好。

多補充，補課程不足，爲國中課程作預備。
直接運用數學公式
了解題目的意思

【邱麗蓉訪談，黃惠卿老師受訪】

二、數的計算

整數的加、減法運算

不易掌握之概念 (常見迷思概念)	教學者之對策
加強直式計算的訓練：學生之前學習建構數學時，都是分步驟來解題的，所以計算過程很長，式子很多。 EX:352+279=? 學生解題：300+200=500 50+70=120 2+9=11 500+120+11=631	因為之前課本並沒有要求學生用直式的計算方法，但我上課的時候還是會用直式算法來教學生。 EX:352+279=? 直接用： 352 + 279 631 【陳芳姿訪談】
由減變加的計算概念　　以往的計算，例如：姐姐已經有6支筆，要再買幾支才會有10支筆，老師會直接用10-6=4的減法概念來教，現在則需用6+1+1+1+1的加法概念來教，容易造成教師教學上的困擾。	因為教學者本身所接受的教育和目前的數學教學策略有些出入，「由減變加」的概念很難改變，造成教師教學上的困擾，教育當局應該針對目前的教學方法培訓專門人才，負責專業的數學教學工作。【甯書瑞老師受訪，吳昀曇訪問】

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

加強直式計算的訓練：學生之前學習建構數學時，都是分步驟來解題的，所以計算過程很長，式子很多。

EX:352+279=?
學生解題：300+200=500
50+70=120

2+9=11

500+120+11=631

因為之前課本並沒有要求學生用直式的計算方法，但我上課的時候還是會用直式算法來教學生。

EX:352+279=?

直接用：

352

+ 279

631

【陳芳姿訪談】

由減變加的計算概念

　　以往的計算，例如：姐姐已經有6支筆，要再買幾支才會有10支筆，老師會直接用10-6=4的減法概念來教，現在則需用6+1+1+1+1的加法概念來教，容易造成教師教學上的困擾。

因為教學者本身所接受的教育和目前的數學教學策略有些出入，「由減變加」的概念很難改變，造成教師教學上的困擾，教育當局應該針對目前的教學方法培訓專門人才，負責專業的數學教學工作。

【甯書瑞老師受訪，吳昀曇訪問】

整數的乘法運算

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

九九乘法不熟練。

實施開放教育以來，課本的內容與往年相較之下，減少了許多。沒有補習的孩子，在九九乘法熟練度不足的情況相當嚴重。因此，利用推理的方式，使之理解，明白公式的用意。（如：乘法即由加法而來）

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

加強九九乘法的計算：很多學生因學習建構數學，缺乏練習題目，所以計算能力很差，九九乘法也會背錯。

加強九九乘法的背誦，在計算過程中要用乘法直接算出，不能一個加一個的加出答案來。

【陳芳姿訪談】

多位數的乘法：

進位方面會有問題。學生會不知道技巧、不知道該如何運用。

有的學生在作乘法問題時，常會忘了要進位。老師便會要求學生在作答時，將必須進位的地方註明，以提醒自己。
有的學生知道要進位的部分，可以在算式中寫小小的，以幫助記憶。但卻常常會加錯地方、應用錯誤。老師會利用下課時間，個別請小朋友來做一對一指導，且點出錯誤的地方，並要求學生當一次小老師，講解說明一次給老師聽，以確定真正了解。
老師會要求學生多練習，畢竟熟能生巧。

【宋屏麟老師受訪，彭立心訪談】

整數的除法運算

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

數的計算

小朋友的計算能力及速度慢。似乎深受建構式數學的影響。

如：35 4=8…3

但有些小朋友會先取中間值，24+4=28

28+4=32

32+4=36(超過了)

因此答案是8餘3。

或許是九九乘法表也不熟的原因。

對於之前基礎打的不夠好(如:九九乘法表)的小朋友，老師上課也不能一直複習以前的。因此為了要加強小朋友的計算能力，在班上放置一些分不同程度的數學學習單，讓小朋友在課餘或彈性時間，自行拿來做練習。

【范素月老師受訪，顧淑芳訪談】

兩位數以上的除法不會計算

例如:45000÷15000＝？

希望學生在化減形成45÷15＝？的簡單式子後進行演算但發現學生連45÷15＝？都不太會

對於學生不懂的題目當第二次的解說時我會試著簡化問題，例如將三位數的量簡化為兩位數的量，觀念不變，只是把量簡化。

(但，我的疑問是，如果有時是涉及到「量」的變換時呢？如：解說375÷72總不能化約成75÷4吧！畢竟兩者用到的概念不盡相同。)

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

學生在練習三位數除以一位數的題目（特別是整除且個位數為零）時，學生容易把除去十位數整除後個位的０捨去。

例如：

計算能力（如除法）

雖然現在講求建構式的教學法，但因為學生之前沒有背九九乘法表，加上中年級的數學只有二位數的加減乘除，導致有些學生的計算能力差，一題數學題就要花很多時間計算。

Ex：在直式乘法中，因為沒有背過九九乘法表，所以沒辦法一眼就看出要用多少來除，不但要花費很多時間，也容易做錯。

而因為在考試時有時間限制，這樣的學生常常會因此無法在時間內將題目做完，成績當然也因此不好，導致學生對數學失去信心，甚至放棄數學。

1 2 1 2 0

4 4 8 0 4 4 8 0

4 4

8 8

0 0

【陳奇勛老師受訪，陳姿伊訪談】

讓學生多做題目練習，以增強計算能力。在課堂上與學生討論，幫助學生可以快速解題。

【陳淑貞老師受訪，李佳謙訪談】

除法：2位數以上的除法，在寫直式計算時，商的對應位置會弄錯，例如100÷12。

教學生如何「估商」，幾倍才是最靠近但是不超過的數12的幾倍才是最靠近100但是不超過100的數。

【李幸儀老師受訪，黃羿菁訪談】

除法計算

學生的九九乘法沒背熟，乘法的不熟悉，導致除法計算速度慢。

加強學生乘法運算能力，提供不同類型的題型練習，以增進除法計算時的速度和能力。

【甯書瑞老師受訪，吳昀曇訪問】

三位數除以二位數的估商

當學生採用直式除法時，較無法準確估出商的數值大小。

鄒老師是採取讓學生自己多嘗試錯誤，讓他們從錯誤中累積經驗，久之，學生對於商應估數字會有感覺。

【鄒榮宗老師受訪，劉秀娟訪問】

不論是整數、小數、分數的四則運算，只要學生遇到除法的觀念，就會不知道該怎麼解題。例如：到了千位以上的除法，6135÷15=？答案應該是409，例如：

135

學生就會直接把135全部放下來一起除，這樣的話，商就會有錯誤。

老師會把出現這樣錯誤的學生一一輔導，讓學生可以重新再認識除法，老師會告訴他們先以除數為主，除數有幾位被除數就看幾位，看被除數裡面有沒有是可以先把除數除掉的，比他大的就可以，如果沒有，就再退一位。而除下來的數不可以直接把其他的數都一起放下來，還是要看除數夠不夠除，如果可以除，就還是以除數為主。

這樣反覆練習之後，學生的錯誤就會比較少，也知道在整數除法中應該要怎麼運算了！

【陳惠娟老師受訪，詹恩琪訪談】

在除法方面，學生對於直式、橫式運算能力大致上都還可以，但是當這是式子轉化成以應用問題型式時，學生會弄不清楚哪一個為除數、哪個是被除數。

例如：安安有30元，文文有90元，請問

安安的錢是文文的幾倍？

文文的錢是安安的幾倍？

林老師認為學生有這樣方面的問題產生很有可能是學生的邏輯發展上比較緩慢。所以老師會盡量以生活情境的情況來讓學生了解，或許學生比較容易接受。另外老師還是覺得數學多練習、還是多練習。

【林志宜老師受訪，許慧美訪談】

除法的應用題

學生在列算式時，知道是要用除法，但是不知什麼除以什麼，所以常常會將大的數字放在前面，小的數字放後面。

例如：一個工程修路要修2公里，總共要修5天才會修好，每天要修多少公里？

學生會寫成：5÷2=（）

1.在講解應用問題時，要釐清哪些被分、哪些分人家，哪個放前項、哪個放後項。

2.如前題，玉菁老師會跟學生說，題目問的是多少公里，所以全數是指全部總長2公里，應該被分成5天，一天做多少？要讓學生知道題目的意思，及算法合不合理。

3.可以利用圖解的方法，讓學生了解，如前題，可以用線段表示。 2公里

5天

算式：2÷5=

【郭玉菁老師受訪，吳照微訪談】

學生總是拿大數除以小數。

老師會請學生重新看題目，說明解題該照著題意解，而不是全拿大數除以小數。
再次強調各各不同的概念。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

除法：

由於小朋友之前九九乘法沒有背熟，所以除法的運算上會出現問題（速度很慢），老師能做的也只能先要求他們熟練九九乘法了。

【甯書瑞老師受訪，黃雁琪訪談】

除法：

學生認為那只是數學算式而已，所以沒有什麼興趣。

老師認為數學要跟生活結合，例如除法老師會帶入「/」符號，學生會因此產生興趣，因為外面賣東西的攤販都是用這符號，當學生覺得學習是有意義的時候，他就願意去學習了。

【黃茂樹老師受訪，朱珮禎訪談】

除法的邏輯差：

學生會算100÷5＝（）的題型，

但不會算100÷（）＝5的題型（若數字小的話，學生會用想的方式慢慢推出後者題型的答案，但是如果數字很大的時候，學生就不知道怎麼算）。

老師覺得學生是因為不知道100÷（）＝5的題型裡的（）求法可以用（　　）＝100÷5求出來，以致於當數字變大的時候，學生不會算。因此老師覺得高年級學生應多加強「邏輯思考」，不然國中課程會跟不上。

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

整數的計算：

學生在練習三位數除以一位數的題目（特別是對於除不進須補零的部分）時，學生容易把下一位的數字提到前面。

老師會加強學生對於位值的認識，並讓學生有多練習的機會，並確實做到檢討的工作。通常學生看到是遇到此類型的題目時，很容易忽略運算時位值意義。因此老師常於在課堂上讓學生實作練習。

【潘怡如老師受訪，蔡宜驊訪談】

除法計算：

因為九九乘法不熟或使用建構式的算法而導致計算緩慢。

5

老師除了會要求學生熟記九九乘法表外，也會在數學練習簿上，出練習題，如右圖，以加強學生的反應。
老師也會多出十位數以內的除法，如192，以訓練學生九九乘法的反應和增加學生的除法計算自信。
教學時，老師除了會以建構的方式讓學生明白除法計算過程的推導，也會教學生使用及了解短除法，讓學生對除法的計算有完善的建構及有效率的運算。

【王蘭亨老師受訪，張嘉群訪談】

小數的計算

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

小數點的移位常出現錯誤。

老師會將先用整數的觀念來講解，之後再將小數概念代入。
加強練習，以增加熟練度。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

比較有問題的是怕小朋友將小數點的位置放錯了，計算出來的答案就會不一樣。

如果能理清小朋友在整數及小數、分數之間的觀念，小朋友就比較沒問題。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

做三位小數和二位小數的加減時，小朋友會弄混小數點的位置。

例如3.123＋2.05＝

小朋友會把式子列成：

3.123

＋2.05

3.328

老師就會告訴小朋友：小數點的位置要對先對齊才能做加減。

所以應該是：

3.123

＋2.05

5.173

【顏秀芬老師受訪，歐維玲訪談】

小數計算對齊混淆
學生學完小數加減乘除之後，計算對齊方式會混淆。

例如：20000×3.14＝？

有的寫成~ 2 0 0 0 0

× 3.14

有的寫成~ 2 0 0 0 0

× 3.14

有的寫成~ 2 0 0 0 0

× 3. 1 4

有的寫成~ 2 0 0 0 0

× 3.1 4

因為建構式數學的關係，教師不強制學生一定要用何種方式計算才算是對的，不過教師會要求學生的概念要正確，即使方法不同，但其實計算的概念原理相同。
像20000×3.14＝？
▲有的學生很聰明會先去掉小數點(同時約化去掉零)，變成200×314去心算整數部分再補上多的零在後面。

▲有的會用直式對齊方式去計算。

像左邊表格中學生就有四種不同的對齊方式。

所以不論學生方式如何，只要學生推算過程概念正確，老師都同意，而上課時，老師每種方式都會講解，讓學生自己挑選覺得最好用的方式去計算。

【顏秀芬老師受訪，葉玟孝訪談】

小數×小數

老師會以施以小惠的口氣告訴他們小撇步；要他們先將前面乘數的小數點後面的數相加（答案是2個），答案的小數就是從數字後面向左數推兩位。或是帶入：「小數點向右移代表數字越大；向左移代表數字越小。」的概念。

0 . 5 6

2 1

【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】

小數乘以小數：學生有時候會不清楚小數點到底要點在哪裡。

例 0.7×0.8＝0.56

老師覺得在這『小數』這部分，學生最容易有一些迷失的。

例如：

42.3÷3.8＝11.......0.5
此算式的餘數是0.5，但是六年級的學生有的

會認為是5，他們會分不清楚是0.5還是5，這是對小數點的觀念不熟悉。

老師會先強調『小數點』的觀念，並請學生在做小數的題目時，要注意這位『小數點朋友』，讓他們以朋友的角度，來使學生不要隨便的遺忘『它-小數點』的存在。在小數相乘的部分，會以數數的方式，來確定全部有幾位數。

【賈永喆訪問，楊婉貞整理】

小數除小數的餘數問題；

小數乘小數的積小數點位置。

施老師先讓學生知道46.73÷3.1是指46.73被若干個3.1分，即

46.73 ＝ 3.1 ＋ 3.1 ＋…

再說明所以若有餘數，則一定會比除數3.1小，故不是23→所以小數點的位置要注意，不能丟；然後讓學生多做題目的練習，讓學生熟練。

【施雅倫老師受訪，楊宜穎訪談】

小數乘法：二位小數乘以一位小數

學生在計算小數乘以整數時沒問題，但計算二位小數乘以一位小數時，小數點卻不知該點何處。

鄒老師會使用學生已知的部分帶入未知的地方，如學生會小數乘以整數，不懂二位小數乘以一位小數的小數點該放何處。

【解決方式】：已知0.3×4=1.2 …

未知0.3×0.4=0.12 …

藉由與的不同，讓學生感覺到小數點的移動，注意中乘數是4，積是1.2，中乘數是0.4，積是0.12，從、中感覺乘數變成十分之一倍，積也變成十分之一倍，小數點向左方移動一個數字即便成十分之一倍。

【鄒榮宗老師受訪，劉秀娟訪問】

小數小數：

只會解題技巧，看到幾個小數點就會往前移，但其實不清楚真正原因。
搞不清楚移動的方向，遇到小數點計算時頭就昏了。

看圖說故事：生活中很少碰到小數乘法，因此，老師一開始一定先以題目，例如2.53.6請學生以看圖說故事的方式舉出小數在生活中的例子，以了解小數在生活上的意義。
逐步強調變化：先複習舊知識，也就是10倍、100倍、1000倍等的變化。
覺小數點的移動：從10倍、100倍至1000倍等慢慢引導到0.1倍、0.01倍及0.001倍，讓學生感覺到小數點移動的關係。例如2.5是25個0.1，所以有一個小數點，因此原本是25.0，此時要將小數點往前移一個，變成2.5。
熟記技巧：對於數學理解力差的學生，就請他記住技巧，也就是有1個小數點時，要往前移1位，以此類推。

【陳玫君老師受訪，林曉妘訪問】

小數的乘除，小數點的對位。

藉由數線的分割等，使學生更了解小數的意義，進而提醒小數點的位置。

【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】

小數計算

尤其對小數除以小數的計算題目常會出錯，另外，小數的餘數也常會寫錯。

將小數一起變成整數來計算（強調這是數值擴大），讓學生常練習，並在計算後「反證」給學生看，即計算出結果後，用除數乘以商加上餘數驗算看看是否是被除數。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

小數點除法的餘數or化成同一種單位後之餘數

ex：

8.36÷0.95=8...76

8.36÷0.95=8...0.76

5000÷400=50÷4=12...2

5000÷400=50÷4=12...200

利用平常的計算練習不斷的提醒。
講解題目時，故意在黑板上寫錯，由學生自己發現，在多次訓練後，學生多能自我警覺。

【陳方旼老師受訪,陳麗玉訪談】

數的計算

「整數÷小數」的計算

如: 1 0.1=10

但小朋友會不知為什麼，或寫成0.01

老師會問他們解釋式子的意思，如：1有幾個0.1?讓小朋友去思考。再出 10÷0.1（10有幾個0.1?）

100÷0.1(100有幾個0.1?）…

讓小朋友多做幾次。

【范素月老師受訪，顧淑芳訪談】

小數的除法：當除數和被除數都是小數時，學生往往無法對齊位子，而導致答案錯誤。例如:

3.48÷6.2=0.5…0.38

學生常會以為餘是3.8

老師除了要求學生要確實對齊位子之外，也教學生用驗算的方式，來確定答案是否正確。

商×除數+餘數=被除數

【郭慧萱老師受訪，羅瑞玲訪談】

當學生以直式進行小數除法運算時，不易發生太大的錯誤，但請學生於運算後報讀餘數時，他們容易忽略或錯放該餘數的小數點位置。

例：誤認該題餘數為1.1。

先澄清學生除數與被除數其位值所代表的意涵，例如9.3代表有93個0.1，由此提高學生對於數的位值的敏感度，則當學生在處理完小數除法運算後，亦能自然的加入位值觀念去報讀出正確的餘數。

【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】

小數的除法小數點位置會點錯：

學生在小數除以小數的處理上，容易產生錯誤。

1.2 3.8

3 .1

12 38

0.08

學生可能對於商的小數點位置，與在餘數小數點位置會混淆。

老師會先先從整數除以整數的部分複習，看看整數除以整數有餘數時，餘數的小數點位置會在哪裡。接著再看看整數除以小數、小數除以整數等情形小數點的位置，一步步帶著學生去看，最後再帶到小數除以小數的部分。另外，老師也會請學生做驗算的動作，看看以商數乘以除數再加餘數的值，會不會等於等於被除數，如果是一樣的話，這才是對的除法，所求出的商和餘數才正確。。

【張素蘭老師受訪，鍾品正訪談】

小數除法。餘數的小數點常會忘記加上去或亂點小數點。

告訴學生小數除法－商要對齊被除數移位後的新小數點，而餘數仍舊對齊原來的小數點。另外，老師會先看過所有教材以了解國小階段會運用到哪些知識，將相關概念連結起來一起教，讓學生能接收到完整知識並應用。

【盧燕萍老師受訪，王麗琴訪談】

小數除法

餘數的小數點常會忘記加上去，或是小數點亂點。

0.6

0‧4

0‧2‧5

0‧0 1

(商對齊新的小數點‧餘數對齊舊的小數點‧

)

基本上，老師都會先看過所有教材，知道學生在國小階段時，會運用到哪些能力，然後將相關的概念一次教給學生，使其能夠接收完整的概念，並能夠運用出來。

【盧燕萍老師受訪，林貞夆訪談】

除數中商及餘的小數位置。

例如：老師將各種難題畫在黑板上，全班一起來挑戰，每一組先討論，之後請有概念的孩子說一說、算一算，接著老師統整學生的方法（先同儕，後老師），兩次加強孩子的概念，再全班一起練習相似的類題。

同學不懂1.位數2.小數×小數的位數不知如何去點，解決方法是慢慢說，不斷的練習。

【江宜貞訪談】

小數的直式除法計算，餘數的表達偶爾有錯誤。

讓學生特別留意小數點的位置,並且輔以符號增加演練題數。

【許明峰老師受訪，鍾佳雯訪談】

學生對於小數的除法之商數和餘數的小數點該對齊哪裡，往往搞不清楚。

1.先出沒有餘數的小數除法讓學生練習。

例如：

告訴學生「因為個位數的0無法除2，所以退到十分位的6來除2，因此在商數的個位數補上0，而商數的3也是十分位數所以對齊在6的上面，因此商數的

個位數0和十分位數3之間要點小數點」。

2.等學生多做一些練習之後，老師再出有餘數的小數除

法。例如：這題的題目要他們算到小數第二位

老師要他們在算的時候對整齊，並告訴學生

餘數的小數點是對齊被除數的小數點。

3.要學生們驗算，來檢查自己是否有算錯。

【林盈弟老師受訪，林育秀訪談】

小數除以小數的小數點對齊位置容易發生混淆。

例如：1 .5

2 .13.2 21 32

11 0

10 5

0.0 5

學生可能會忽略餘數要對齊原來被除數小數點的位置。

先複習整數除以整數的部分若有餘數狀況時，餘數的小數點位置會在哪裡，接著再複習整數除以小數、小數除以整數等情形小數點的位置，最後再帶到小數除以小數的部分。此外也提醒學生要做到驗算的動作，若商數乘以除數再加餘數的值等於被除數則表示計算無誤。

【張素蘭老師受訪，廖芳苓訪談】

有小數的除法，當被除數比除數小時，學生往往會忘了補零。

老師此時可以運用位置對位置的技巧去教導學生，當位置對齊時，若是要補零的地放忘了補，就會有空隔，此時學生就會較易察覺。

【藍淑娟老師受訪，顧淑珍訪談】

小數的除法：

餘數和商數的小數點位置不清

楚。

15.0 →學生常寫成1.5

例： 3.1

157

155

2.3 →學生常只寫23

老師先演練一次，告知學生除法原理，再讓學生多演練幾次，並且要求學生在完成計算後，檢查一遍。

【王美齡老師受訪，劉又寧訪談】

小數除以小數的問題。

Ex：3.2 ÷ 1.1 ＝（）

2.9

1.13.2

2.2

1 0 0

9 9

學生在寫這種題目時，會因為習慣，而寫成

Ex：3.2 ÷ 1.1 ＝2.9…（1）

高老師會告訴學生在遇到分數除以分數的問題時，可以先將被除數及除數同時乘以十後再計算，變成：

2.9

1132

1 0 0

9 9

這時，基準量變成了0.1，32就是代表32個0.1，22代表了22個0.2，而相減下來的10加上了一個0後，成了100，就代表了100個0.01，所以100個0.01減99個0.01後得到的0.01，就是剩下來的餘數了。

Ex：3.2 ÷ 1.1 ＝2.9….（0.01 ）

【台北市義芳國小阿忠老師受訪，翁淑華訪談】

小數除法

例：3.6 ÷2.1

學生會不知道被除數與除數皆有小數的時候，要怎麼運用除法運算。

高老師會告訴學生在遇到分數除以分數的問題時，可以先將被除數及除數同時乘以十後再計算，變成：

2.9

1132

1 0 0

9 9

Ex：3.2 ÷ 1.1 ＝2.9….（0.01 ）

【台北市義芳國小阿忠老師受訪，翁淑華訪談】

小數除以小數的問題。

Ex：3.2 ÷ 1.1 ＝（）

2.9

1.13.2

2.2

1 0 0

9 9

學生在寫這種題目時，會因為習慣，而寫成

Ex：3.2 ÷ 1.1 ＝2.9…（1）

在黑板上舉各種題目實做，從有的是小數點後只有一位的除數，慢慢的增加到小數點後很多位數的，使學生能從做題目中建立觀念。到最後再請他們研究其中的關係。「除數的小數位數加上餘數的小數位數會等於被除數的小數位數」。

【林建志老師受訪，黃琪文訪談】

小數除以整數的迷思

學生面對商有缺位的除法稍有困難，例如:136.5公斤的米，分裝成13包，全部分完，平均每包重多少公斤?

136.5÷13=?

教師可透過問話暗示學生可以先補0，再換成較小的單位，繼續分完。

如:「6÷13的商不到1，要怎麼記?」

【陳秀真老師受訪，蔡宛蓉訪談】

小數除法

例如：6.3÷2.1

老師先以減的例子講解，並讓學生了解6.3÷2.1的意思是６．３被分為好幾個２．１，也就是６．３＝２．１＋２．１＋２．１，被分為３個２．１。對於小數的題目，學生常被小數點弄得觀念不清，應讓學生多練習，老師也必須清楚講解。

【楊淑惠老師受訪,游憶如訪談】

小數點除法

高年級的小數點除法學生在餘數的標記上，常常會忘記餘數必須對齊舊的小數點，所以老師必須要求學生將式子寫整齊以方便小數點的對齊。並讓學生了解小數點除法的真正意涵例如48÷0.5=480÷5=480個0.1÷5個0.1餘3個0.1所以餘數是0.3。

小數除法

玉菁老師在教小數除法時，會用最簡單的例子講解，先讓小朋友了解倍數關係，兩數共乘某個數，商是不變的概念。

例如： 10÷ 2=5

100÷20=5

當小朋友有了概念之後，才會講到小數除法，例如：0.6÷0.2=（），因為之前已經跟小朋友講解過，所以老師會把數字放大，變成6÷2=（）。但是有餘數時要特別提醒，例如：0.61÷0.2=（），通常小朋友在放大後相除時，餘數會寫1，所以此時要告訴學生，商是兩者之間的倍數關係，商是不會改變，可是因為把數乘大了100倍，所以餘數會變大100倍，所以算餘數時要還原回來。

玉菁老師讓小朋友寫小數除法時，都是讓小朋友放大倍數，以整數計算，而不是直接用小數計算。

【郭玉菁老師受訪，吳照微訪談】

小數除法

小數除小數的部分比較容易出錯，錯的不是小數的概念不懂，而是除法的概念不懂，或者是偷懶不管小數點的存在。由於是遇到有餘數的時候，根本會直接忘記剩下來的數是有小數點的。

面對除法學生本來就比較弱，遇到小數除法的時候，碰上小數點就很容易搞錯，由於我們的版本比較簡單，基本上學生的接受程度都還算可以。小數點題目容易搞混的就是小數點對齊和餘數的部分，不懂的地方要能夠多花時間複習，除了數學課之外，還需要其他時間來練習。第一次說明也許一半的人懂了，第二次說也許就有懂，接下來多做練習，再讓懂的人去教不懂的人，小朋友之間的話也有很大可以發揮的空間。

【蘇慧真老師受訪，賴姿穎訪談】

小數計算：

學生不曉得小數直式計算。例如0.6÷0.2=?

老師會利用整數整除給學生看，例如6÷2＝3，60÷20＝3，600÷200＝3，藉由整數的例子告訴學生除法其實就是倍數的關係，被除數與除數同時變大A倍的時候，商不會改變。所以0.6與02.能夠同時乘上10，變成整數計算的方式。

但是，如果碰上有餘數的話，記得還原你所乘的倍數。

【郭玉菁老師受訪，林思萍訪談】

小數加法與乘法：

例：小數加法與乘法計算時，小數點的位置會和乘法混淆：

例如：3.6 9 3.52

+ 3.8 ╳ 1.2

4.0 7 7 04

35 2

42.24

老師認為小朋友會常犯此錯並非不知道如何小數加法和乘法的計算方式，而是在計算時常出現的粗心，所以就讓小朋友多練習。平時回家作業會出一些數學的練習題讓小朋友多練習這樣的計算方式。

【李怡靜老師受訪，林家溱訪談】

小數點：

小數直式計算時，容易將小數點忽略，忘了要將小數點對齊。

老師說若是小數點後有相同位數的數字，如都是2位小數、3位小數的相加，ex：

0.32

＋0.57

這種問題學生通常叫不會錯，但若是遇到25.7+0.07，這種問題，學生不是寫成

25.7 就是 25.7

＋ 0.07 ＋ 0.07

老師說想這種問題也是要一再地強調，讓學生知道在做小數計算時，一定要將小數點對齊。

【李怡靜老師受訪，許維凌訪談】

→

學生會先將8除1得商是8，接著在補一個零來計算

老師會舉例子，比如8顆蘋果要分給12個人，每個人都不能分的到完整一顆蘋果，一定要切開才能平分，所以要先寫零，再接下去算。
強加運算，多些練習的次數

【蔡宜眞老師受訪，蔡佩蓁訪談】

小數點：

小數除法的計算時不曉得小數點要點在那兒。

老師教學生先將題目換成整數然後再算，最後再補上小數點。（老師強調換成整數的時候，必須讓學生清楚原因，也就是清楚是10倍或100倍或1000倍……等關係，這樣點小數點的時候，學生才能點在正確的位置上！）

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

小數點：

學生在做小數計算時會忘記點小數點或者不知道要點在哪裡

當學生在做小數乘法時

0.2×0.3=0.06

1 2

要他們先將前面乘數的小數點後面的數相加（答案是2個），答案的小數就是從數字後面向左數推兩位。或是帶入：「小數點向右移代表數字越大；向左移代表數字越小。」的概念。

【陳惠娟老師受訪，廖珮君訪談】

小數點：

小數的除法，小數點的位置時常點錯。

如：

1.先用簡單的例子，說明兩商數是不會變的，只是被除數與除數的倍數的關係，因此，

的商數也是同樣為2.5

2.將被除數與除數一起同乘10的倍數，變成整數後相除。

3.多加提醒學生商的小數點是對齊改變後的被除數的小數點位置。

4.若有餘數，要告知將餘數的小數點還原到的與被除數相同的位置（因為被除數的不夠被整除的數目）

【楊淑馨老師受訪，楊美亭訪談】

小數點：

小數除法，計算時隨便點
650÷2.5=2.5

（1）有的學生一邊乘10另一邊就忘記了

（2）有的學生算完除法就隨便點

老師在黑板上列出直式，並將兩邊先各乘10，讓兩邊平衡，只講一種算法，讓學生以一種算法做理解。

【曹雅雯老師受訪，賴奕璇訪談】

小數乘法：

(二位小數乘以一位小數)

學生在計算小數乘以整數時沒問題，但計算二位小數乘以一位小數時，小數點卻不知該點何處。

鄒老師會使用學生已知的部分帶入未知的地方，如學生會小數乘以整數，不懂二位小數乘以一位小數的小數點該放何處。

【解決方式】：已知0.5×7=3.5 …

未知0.5×0.7=0.35 …

藉由與的不同，讓學生感覺到小數點的移動，注意中乘數是7，積是3.5，中乘數是0.7，積是0.35，從、中感覺乘數變成十分之一倍，積也變成十分之一倍，小數點向左方移動一個數字即便成十分之一倍。

【鄒榮宗老師受訪，鄭筱芸訪談】

小數乘法：

(小數乘以純小數)

(1)學生在小數與小數相乘大都使用直式乘法，當兩個小數位數不同時，應取幾位小數點才正確呢？

Ex. 0.03X0.2=？

1.取幾位小數點取決於直式乘法的擺放位置。

0.0 3 0.0 3 錯誤版 0.0 3

x 0.2 0 x 0.2 x 0.2

0 0 0 0 0 6 0 0 6

0 0 6 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0 0 6 0 0.0 6 0

0.0 0 6 0

2.說明0的存在，如同小數加減法中的3是3+0、3-0，0是存在於記算中的，所以若將小數點對齊相乘，要注意對齊的方式。

3.一般應以第一種直式乘法為教學主軸，避免使用第二種的直式乘法，以免學生對小數乘法與加減法計算方式造成混淆。

4.最後亦可用分數模式驗證正確答案

0.03=百分之三 0.2=十分之二，兩數相乘=千分之六

換成小數即為0.006。

【林其楓老師受訪，林秀芬訪談】

小數乘法：

小數的乘法有困難

例如：2.5x3.06

教學生先算0.1x0.01再算25x306，最後再求出答案

【張天錫老師受訪，楊季芳訪談】

小數除法：

若是「小的÷大的」的題目，學生覺得這是不合理的，所以會算「大的÷小的」。（例如0.3÷0.6，學生會改算0.6÷0.3）

老師表示學生會覺得小的不能除大的，所以會將兩數的位置交換，但是算出來的答案根本和題意不合，不合邏輯。因此老師會和學生講解「題目中什麼東西被分」，藉由「看清楚題目」來「糾正學生的錯誤觀念」，並向學生說明「小的可以除大的」。

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

小數除以整數的計算：

例：學生面對商有缺位的除法稍有困難，例如:136.5公斤的米，分裝成15包，全部分完，平均每包重多少公斤?

136.5÷15=?

教師可透過問話暗示學生可以先補0，再換成較小的單位，繼續分完。另外還是要多做練習。

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

小數的計算(應用題)：

在應用問題中，如題面上皆出現小數，學生會不知道誰該和誰進行計算。

例：做一個大餅要用掉1.89公斤的麵粉，75.6公斤的麵粉，可做成幾個大餅？

老師會將題目中所提到的小數部分以整數來舉例說明。

EX：做一個大餅要用公斤，那麼公斤的麵粉，可以做成幾個大餅。

讓學生了解並知道應是「誰除以誰」的概念之後，再換回原來的小數，讓學生理解在一定的法則下，不論是整數或小數，作法都是一樣的。

【潘怡如老師受訪，蔡宜驊訪談】

小數乘法的計算

小數點點錯或直接不點，例如：3.2 x 10 = 320，這時老師會解釋是320個0.1，所以答案是32才對。但此方式只能講1、2次，學習較好的學生能馬上理解，但是學習較差的學生，多講幾次反而會讓他們搞混，所以在解釋幾次後，老師就會教他們一些數學的技巧，讓他們直接算算式中的小數點有幾位，然後再由答案的後面算回來點小數點。

【彭雅絹老師受訪，王姿懿訪談】

一位小數乘法：

學生會不清楚小數點的位置。

策略：直式運算不是小數點對小數點，是對齊最後一位，當成整數來乘。

先帶乘法的觀念 4╳8=32

再以直式計算 0.4╳8=3.2

直式算法：

0.4 -----小數點後有1位

╳ 8 ----小數點後有0位

有1位小數

請學生上台寫直式

如果式子出現一位小數就是一位小數的乘法。

【盧燕萍老師受訪，黃秋萍訪談】

小數除法

小數的除法，學生會對不齊位置。

12.6

37 80

0.55

老師先演練一次，告知學生除法原理，再讓學生多演練幾次，並且要求學生在完成計算後，檢查一遍。

12.60老師請學生將小數點去掉補零

37 80

0.55

【紀麗鳳老師受訪，林文瑛訪談】

小數Í小數

搞不清楚移動的方向

小數點不知該點何處

小數點的移位常出現錯誤。

老師教學生利用畫圓弧補零的方式，讓學生感覺小數點的移動。

【許曉芸老師受訪，陳文淑訪談】

小數退位之問題：

1÷4算到小數後一位，學生會不懂餘數該寫多少。

老師會先請學生將題目算出來，先解決除法的部份，然後再看餘數，在這題餘數是2，那老師會說2比原題目中的1大，所以餘數不可能是2 所以會將2退一位變為0.2。

【蘇惠英老師受訪，李燕青訪談】

小數除法

例如：8.4÷2.1

老師通常會先以減法的例子講解，並且讓學生了解其實8.4÷2.1的意思是8．4被分為好幾個２．１，也就是8．4＝２．１＋２．１＋２．１＋２．１，被分為4個２．１。對於小數的題目，學生常因為觀念不清小數點容易點錯位置，因此應讓學生多加練習，老師也必須講解清楚。

【梁文方老師受訪，鄭嘉川訪談】

小數

在做小數的加減計算時，有時題目的數字會有缺位的情形，應適時提醒孩子位值的概念，如果位值仍然容易混淆，則建議先在定位板上計算，等熟悉後再脫離定位板。

十位	個位	十分位	百分位	千分位

但脫離定位板後孩子的直式記錄格式應符合以下三點：
1.正確記錄題目所給的條件。
2.利用位值概念對齊數碼的位置。
3.一個位置上的數字不能超過9。
布題的順序上，先布沒有進(退)位，再布一次進(退)位，最後布二次進(退)位，以方便孩子的理解。當孩子有困難時，可建議使用定位板來輔助了解。

【余蕙如老師受訪，賴昀締訪談】

學生在小數乘法上容易計算失誤，而多數都是因為小數點點錯位置。

例如：6.8×2.84＝19.312

6.8是68的小數點往左移一位

2.84是284的小數點往左移二位

所以先算出68×284＝19312後，再將小數點往左移三位，

就可以得到6.8×2.84＝19.312。

【獅湖王老師受訪，陳怡君訪談】

計算二位小數乘以一位小數時會有問題，小數點不知道要點在哪裡。

一開始要先會算小數乘以整數，會對於小數點有初步概念。 0.12 × 3 ＝ 0.36
計算二位小數乘以一位小數，老師會和上者比較。

則 0.12 × 0.3 ＝ 0.036

讓學生比較這兩個答案，只是小數點移動的不同。

036比0.36的小數點向左移動一位數，所以是0.36的十分之一倍。

【坪頂賴宏禮受訪，張桂蓉訪談】

學生在小數的加減時，會常忘記要「對位」來計算。

老師會不斷的提醒同學要注意對位的問題。老師在黑板上解題目的時候，也會故意寫錯讓學生糾正老師的錯誤，加深學生的印象。

【洪文欽師受訪，吳艾臻訪談】

小數除以整數的計算

學生面對商有缺位的除法稍有困難，例如:136.5公斤的米，分裝成15包，全部分完，平均每包重多少公斤?

136.5÷15=?

老師會透過問話暗示學生可以先補0，再換成較小的單位，繼續分完。不過最重要的還是要多做練習，養成此習慣。

【洪文欽師受訪，林子嵐訪談】

小數點的乘法問題

對於小數的加減學生們做題目的時候已經習慣，知道要注意對齊小數點來進行加減。

換成小數乘法時，學生一下子會不太了解小數乘法是數小數點後幾位的算法。

老師的做法是讓學生們不斷重複的練習，讓他們熟悉小數加減及乘法的不同之處。

【蘇惠英老師受訪，李佳潤訪談】

小數除法

5 .2÷4=??

剛開始帶給小朋友小數除法的觀念時可以先使用積木當作輔助工具。

用代表1 用代表0.1

【蘇泓俊老師受訪，吳妮晏訪談】

學生會把餘數的小數點常會忘記加上去或亂點小數點。

策略：告訴學生小數的除法，商要對齊被除數移位後的新小數點，而餘數仍舊對齊原來的小數點。

老師會將相關的概念連結起來一起教，讓學生可以學到較完整的概念。

【盧燕萍老師受訪，黃秋萍訪談】

小數的問題：學生在算小數的乘、除法時，小數點的位置常常會點錯誤。

例如：3.2 × 10 =

學生答案可能會變成3.20

為了避免小數點放錯位置可以先將題目當作整數計算出來之後，看有幾位小數再點，就比較不會錯了。

【彭雅捐老師受訪，詹小瑩訪談】

利用直式除法時，當商數算出來是有小數時，學生常會忘了要加小數點。

建議學生在寫被除數時就先把個位數和十分位的間距分較開，以有利於看清楚小數點點在那，從中提醒學生要點小數點的位置。

【林尼珠老師受訪，邱淑君訪談】

小數

小數點位置常擺錯。

例如：0.5×0.7

因為0.5×0.7越變越小所以往後點，看有幾會就點幾位，並多出類似題型練習。

【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】

小數的除法

雖然是六年級的單元，我們在五年級的時候，老師都有共識覺得課程內容太少，就會補充。所以先學，後來教就還好。

多補充，補課程不足，爲國中課程作預備。
直接運用數學公式
了解題目的意思

【黃惠卿老師受訪，邱麗蓉訪談】

「小數點的乘法會出現問題」

像

1.89

+ .1.89

3.78

是小數的加減學生們多以習慣要對齊位數來進行加減。

但是若是小數乘法時，部分學生不太能夠了解小數乘法是往後數小數點後幾位的。

1.89

x .1.89

3.5721

面對此類問題時，蘇老師的做法是讓學生們不斷重複的運算，讓他們熟記小數加減翰乘法的不同之處。

【蘇恵英老師受訪，陳蒔萱訪談】

小數除法：在六年級還是有大多數的學生，不明白餘數的小數點位置，有些甚至不清楚餘數所代表的含意。

以驗算方式說明，餘數必須是要找被除數中的原始小數點，另外在說明餘數含意時亦可使用例子比較清楚，如：42.45公升的牛奶，每1.24公升裝成一瓶，可裝成幾瓶？剩下幾公升？42.45÷1.24＝34......0.29

學生常會寫成餘2.9公升，解釋餘數不可能比除數大。

【杜守正老師受訪，李姿儀訪談】

小數乘法問題

學生易將小數乘法與小數加、減法計算方式混合。

EX：

3.6

× 2.5

90.0

9.00

由於學生學習完小數的加、減法，難免會產生此部分的迷思，故只需給予此部份概念的澄清，並在進行小數乘法練習時，適當的提醒學生注意，養成學生的習慣即可。

【連亨宗老師受訪，林苔忻訪談】

數與量—

四則運算

小數除法

小數點的位置會補錯，這是在算小數除法上常出現的小錯誤。

老師會先用整數除整數的方式來教學生，讓學生了解後在帶入小數除小數，也讓學生看一看哪裡不一樣，這樣學生在計算時就比就不會出錯。老師也會強調在計算時每一位數都要對齊，提醒學生當被除數補0時，除數也要補上0，並將被除數的小數點垂直往下移。

【黃蘭筑訪談，邱瑞杰老師受訪】

分數的計算

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

無法理解抽象性數字的運算。

通常是指分數的運算，特別是分數的除法。在解分數的題目時，將分數的相關原理有系統的整理出來，配合圖形或其來由解釋清楚及推理。

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

當時，原本會等於，但學生常只會記的將分母擴分，而忘記將分子一起擴分，寫成。

老師用的方式就是比較傳統的精熟學習方式，不斷提醒同學在進行分數計算時，將分子也要做通分。

【李幸儀老師受訪，徐建榮訪談】

課本在分數的部分教得非常基本，老師也就額外多補充分數計算方面的題目，如不同分母分數的加減。但小朋友在計算這類題型的時候常會不知該如何下手。

Ex: ＋

遇到此題型得先找出7和9的最小公倍數，數字小的話如2和3的公倍數，小朋友很容易找出，但如果數字比較大的話，如7和9，他們就得花較多的時間。老師說，除了是因為在五上時候的因數與倍數學的不夠紮實之外，還有一點是他們的九九乘法背的不夠熟，不能立即反應出兩數相成的答案。

【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】

分數的加減,學生會忘記通分的概念。

E X：＋＝

老師先用圖解釋＝，所以＋＝＋＝。

但是高年級的孩子已經很大了，不能再一直使用實物或圖解，所以老師說明過觀念之後，還是或加強公倍數與短除法的概念，讓學生多加練習。

【許明峰老師受訪，鍾佳雯訪談】

通分

容易只通分母或只通分子，忘了通分是上下都要。

多做練習，請學生上台演練。講解完一題，立刻出題讓全班練習。

【黃惠卿老師受訪，陳淑慧訪談】

分數的運算（擴分、約分、通分）

利用實際物品來讓學生公平分配：

如：一份巧克力如下圖：

巧克力 ( 全長12 cm )

巧克力

一位學生希望吃塊的巧克力

另一位學生希望吃塊的巧克力

以此說明共同的“12”為此分數的通分

再以相似的應用題加深學生的概念

【李靖宜老師受訪，黃雅慧訪談】

「異分母分數加減」不會。

如

+=？

學生會作

+=【誤】

或是答

+=2【學生答自己加自己就是兩個自己】

+=【誤】

朱老師認為學生不會「異分母分數加減」

這類型題目，是因為不了解「分數的概念」

為了澄清學生觀念，這時候朱老師會用以下的方法：

【五年級】

拿出一個小麵包請學生「實地操作」切切看

讓學生親自感受異分母分數的意含

『之後告訴學生分母要切的一樣細才可以合併』

【朱鎮宇老師受訪，陳勇全訪談】

對於帶分數的加減，學生往往不會搞不清楚帶分數要如何相加減。例如：？學生都不知道前面的整數和後面的分數要如何處理。

分數的加減，當學生對於帶分數的加減出現問題時，老師就會再回到最簡單的純分數加減，讓學生在重新一步步在練習，再慢慢加入一個帶分數，最後在變成兩個帶分數。讓學生從最簡單的在慢慢練習到難的。

在講解時，老師也是利用畫圖的方式，講解是什麼意思，讓學生可以有具體物象的觀念。讓學生了解帶分數的意義之後在慢慢進入運算的部分。

老師不會強迫學生一開始就要會四則運算，要了解過程之後再進入運算階段。

【陳惠娟老師受訪，詹恩琪訪談】

異分母的分數的計算

如1-由於分母不同無法直接加減，學生需先求分母5、6的公倍數30，再進行擴分，擴分時會出現16-5及1-的錯誤，此時需釐清等值分數的概念，如正確擴分後1-=1-，此時學生發現-不夠減，於是將整數部分化成分數時，又有學生會出現-=，因為學生以為1=所以將1化成分數時就在分子+5，而未考慮分母已改變，此為學生常犯的錯誤，需一一加以釐清。

【黃玉貞老師受訪，陳芝仙訪談】

分數計算

學生對於分數乘以分數會難以理解，例如：學生對某數除以4沒問題，但對於某數乘以，就不容易瞭解。

用整體與部分的方式讓學生去看到其關係，輔以圖示說明。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

分數不了解：

整數×分數

分數×分數

整數÷分數

先問學生，三角形面積的算法，長×寬÷2＝面積，但現在有題目如下：12÷＝？告訴學生？×＝12

看成面積公式來計算 12÷3×2

12×2÷3

分數×分數先確定學生已經會乘法，在告知，要算小數位，再三提醒。

講完整數×分數、分數×分數，馬上乘勝追擊，利用上述的基礎，將整數÷分數講完。

【江宜貞訪談】

學生在進行分數乘法時，如果遇到帶分數，常常會有計算錯誤的問題。學生常乘了帶分數之中的分數部分，忘記乘帶分數之中的整數部分，例如：

3 ×(學生往往會忘記乘3之中整數部分的3)算出來變成3 ×＝3。

余老師除了請學生先把帶分數化成假分數再進行乘法計算之外，還提出另一個思考點：3＝3＋，所以可以把式子列為(3＋)×＝3×＋3＋× (整數的部分要乘，分數的部分也要乘)，這樣的算法比較不會出錯。

【余幸秋老師受訪，林怡伶訪談】

整數與分數的乘法：

整數與分數相乘時，常會把整數直接乘以分母

ex：3×會等於

畫圖

以圖解的方式，讓學生看看為什麼不是乘分母，而是乘分子。

【張麗香老師受訪，黃佳惠訪談】

分數的乘法

對於分數的乘法，無法理解整數是要乘以分子，有些同學會連分子和分母同時乘，例如：5×＝

老師會提醒學生四年級分數的概念，以圖式的方式說明分數，再者，整數乘的觀念是運用在分子上，讓學生自己去建構自己的想法，然後老師再歸納整理。最後希望學生把計算結果化約成最簡分數並且再複習因數、倍數和等值概念。由於周老師認為數學是以簡馭繁，最簡分數不僅可以讓學生較能體會量的概念，計算起來也比較容易。

【周勇老師受訪，林世健訪談】

分數的乘法

像是*2或者是*3甚至是後來學到的*這種分數乘以整數以及分數乘以分數的問題

老師會先在黑板上列出下列的式子：

+= *2=

++= *3=

+++= *4=

接著請學生去比較上面兩種式子有什麼規則可循，學生會發現分數的乘法就是分母不變，分子乘整數，但是老師會釐清*2就是乘以所以就是分子乘分子，分母乘分母

【江欣儒老師受訪,陳美蓮訪談】

分數倍的迷思

對於如的分數倍乘法當中，學童容易混淆如何相乘的計算過程

教師便會舉生活中的例子如一條繩子平分成五份，再從其中一份當中分割成七份……以此類推的從總分割份數的觀點，來進行分數的分數倍問題。

另外，也可用作成比例線段圖來幫助解題。

(1條)

1/5

【陳秀真老師受訪，蔡宛蓉訪談】

1 ÷5＝？或？

被除數除數

1÷5告訴孩子犯人（被除數）當然「被」放在前面，押犯人的士兵（除數）會站在後面，犯人「被」宰的人當然放在上面，士兵就在下面看，亦可連結直式除法，犯人被關所以在裡面，士兵看著所以在外面。

【張雅芳訪談】

分數的除法方面，小朋友的困難蠻多的。

老師實作教如何切，使小朋友了解觀念，也就是由具體的實物到抽象的概念。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

以線段圖表示分數除法的問題

例：先用線段圖以上下並排的方式畫出「3 又條白色緞帶接起來」和「2條紫色緞帶」一樣長。再求出1條白色緞帶和多少條紫色緞帶一樣長？

將分數和實體物結合的題目，讓學生容易產生混淆。

第一次教學生的時候，以實體物示範給學生看，再讓學生親自動手操作，以實體物帶入抽象的分數概念，最後再以文字敘述的題目讓學生多加練習。

【王美齡老師受訪，劉又寧訪談】

分數的除法：學生對於分數的除法，覺得很抽象，且教科書的解題方法較複雜，學生繞了大半天，也搞不清楚。

老師通常會講解完教科書的方法，再告訴學生可以用乘以倒數的方式，老師會先用整數的例子，再導入分數。例如：

6÷3=2 = 6÷=2

=6×=2

【郭慧萱老師受訪，羅瑞玲訪談】

分數除法

小朋友不知道為什麼除以分數會等於乘以分數的倒數。例如：3÷=3×2。

郭老師會先以3個蘋果分給2個人的例子告訴同學，3個蘋果分給2個人，那麼就表示個人可以得到3個蘋果，所以就是3×。當學生了解這個例子，也就會知道為什麼3÷=3×2。

【郭慧萱老師受訪，陳可倩訪談】

有的學生對於分數的乘除計算有困難。

Ex：÷＝？

學生不明白為什麼「÷」變成「×」，後面的分數則要「上下顛倒」。

Ex：÷

1 .先解釋的意義：一塊平分成兩等份，其中一塊就叫做。1÷2＝「一除以二」＝「二分之一」。

2. ÷

＝÷（1÷2）

＝÷1×2

＝×（2÷1）

＝×

【盧燕萍老師受訪，吳靜芬訪談】

分數的除法：

不易了解為何分數的除法，就是顛倒相乘

折紙

拿出色紙，讓他們實際上折折看

如：

【張麗香老師受訪，黃佳惠訪談】

除法概念

例如： 4÷=（）

玉菁老師說他會跟學生說分數除法計算時，除要變成乘，而且數字要顛倒，但是學生會有疑問，為什麼要這樣做，玉菁老師就會用圖解的方式講解，且跟學生強調÷是分的概念，然後會先用整數來引導，配合圖示。

例如： 4÷2=2

除以2是一次捉2個出來分，所以會捉2次。　

因為整數除法的概念比較容易理解，所以講完捉整數個之後，就將題目改成捉分數個。

例

１２３４

如：　　 4÷

５６７８每個拿出來，可以拿出幾次？

一個圓切一半就是，每分一次，總共要分8次才可以把東西分完

用圖講解概念之後，還是要教學生算法，因為不可能讓學生每個題目都畫圖，所以學生了解分數除法的概念後，還是要讓學生把計算方法記住。

4÷

=4×=8

【郭玉菁老師受訪，吳照微訪談】

見到題目數字就計算：學生在看題目時，最先的反應大多是找數字，一些學生常看到數字或重要詞就不加思索的開始算。

例：

(1)一盒雞蛋有12個。小明家每星期吃掉2盒的雞蛋，4個星期一共吃掉多少盒雞蛋？

學生算法：

2 ×12＝×12＝264

264×4＝1056….(×)

(2)一籠小籠包有10個，

籠小籠包平分給3人，每人得幾籠？

×10＝9 9÷3＝3….(×)

學生會看到數字就算，通常是不了解題意或被題目太多數字所混淆，老師教學時將題目抄在黑板上，用不同顏色粉筆標示關鍵字詞及數字，尤其是釐清題目問的問題，以圖示法把題目分步驟解析，培養學生詳讀題目與分析題意的習慣。

【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】

分數。

學生在分數上，比較無法去感覺幾分之幾的觀念，所以在運算上，就會有所困難。

例如：我有5 公斤的糖果，每公斤裝一包，可以裝幾包？剩下幾公斤？

(5 )÷( )=3，答案是裝3包，還剩公斤
學生會有除法的觀念，但是再加上『分數』，他們就比較無法瞭解原因。老師除了反覆多講解，讓學生多練習題目，還會請已瞭解的同學解說給大家聽，還有一種我覺得蠻特別的，就是寫「數學日記」，這是老師要讓學生回家自己去回想思考，今天講的內容他自己是否有弄清楚，藉此老師也可以知道學生的問題在哪。

【賈永喆訪問，楊婉貞整理】

數的迷思

六年級學生會面臨到分數除法的應用題，學生常常會搞不清楚被除數與除數，例如3公尺的水管重2公斤請問一公尺水管有多重?一公斤水管有多長?此時可先將題目化為整數例如:10公尺水管重5公斤，請問一公尺長的水管重幾公斤?讓學生利用整數進行思考，學生比較容易理解。

【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】

學生在進行完分數的運算之後，往往最後答案的部分會忘記約分，或是不知道該用分子分母之間該用多少約分。

老師就先將分子分母分開，讓學生分別寫出分子分母的公因數，之後再找出共同的因數進行約分。之後再讓學生多練習相似的題型。

【李中莉老師受訪，林季伶訪談】

分數加減：

分數加減比乘除難，現在只教到同分母相加，再教異分分，可是就得教最大公因數、最小公倍數，但這在國中才教，就告訴學生擴分、分母相等的概念，但數字一大也會出現難題。

【張天錫老師受訪，楊季芳訪談】

分數乘以整數：

分數×整數時，學生易將整數也乘於分母。

ex：＝

錯誤：＝

用分數的加法幫助學生理解這是屬於分數的倍數。

ex：＝＋＋＋表示有4個。

【楊淑馨老師受訪，楊美亭訪談】

分數的乘除：

少數學生可以輕鬆計算分數的加減相關問題，但如果涉及到乘除，就會無法正確計算答案。

安排小老師，讓這些小老師帶領對於分數乘除學習困難的同學參與學習，並於課後安排實習老師加以輔導。

【蔡佳芬老師受訪，黃嘉軒訪談】

分數除以整數時，會直接把分母除以2

康軒數學六下第一單元分數除以整數

當學生不了解分數除以整數的意義，如果一遇上如「個披薩平分給二人，每人分到多少個披薩？」的問題時，學生可能直接將分母除以2，而成為，說是每人分到個披薩。因為他覺得只要把八等份平分掉就可以了。

通常遇到這樣的問題，江老師會要求學生先解釋他之所以這樣列式的原因，然後再從中找到問題的癥結，然後加以幫助解決。

【江慧玲老師受訪，黃惠鈴訪談】

分數的乘法：

目前五年級的南一版數學上到分數乘以整數的部份，學生往往對於純運算的過程無法理解，舉例來說：×3=？老師會以生活中能夠用到的例子解說，例如將一塊pizza切成5等分，媽媽、妹妹、我3人各吃一塊，吃了這塊pizza的幾分之幾？將一個運算式解釋成能讓學生理解的生活經驗，再輔以圖示，才能讓抽象的數學題目讓學生有學習的樂趣。

【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】

一分數除以除數，等於乘以除數分之一。

康軒數學六下第一單元分數除以整數

班上有的學生會依照安親班老師所教的快速解題方式，將所除的整數換成單位分數。例如當題目為除以7時，學生會唸口訣：「當分子不能整除時，要變成乘以除數分之一」，也就是將乘以。

但是這樣的解題方式，學生往往知其然而不知所以然，所以，江老師往往會請學生先解釋會什麼要乘以除數分之一，它的意義是什麼。

【江慧玲老師受訪，黃惠鈴訪談】

擴分：

學生一開始學習擴分的觀念時，比較無法接受「擴分後的分數和原來的分數是一樣大小的。」

這樣的觀念老師可以先引起學生的疑問：「為什麼擴分之後的分數和原來分數的大小其實是一樣的呢？」

引起學生的疑問之後，老師可以藉由讓學生從實物操作中了解。

高老師建議可以利用切蛋糕來做這項實驗，讓學生拿一樣大的蛋糕，先均分成三等份，取走一等份，另一組將蛋糕均分成6份，取走兩等份。

再讓大家比較這兩份蛋糕是否大小相同。

這樣的觀念讓學生從實物操作中學習會比較清楚喔！

【高菁霞老師受訪，曹雅芬訪談】

分數的擴分：

例：做分數的擴分時，容易忽略分子、分母要「同乘」某個數。

課堂上重複講解例題。
請學生上台演練，盡可能讓所有學生都上台演練。
運用考試的方式增強學生記憶。

透過反覆的的操作，來加深學生印象。

【林歧旺老師受訪，王仁甫訪談】

約分、擴分、通分：

分數中約分、擴分、通分的概念不佳，學生對於將學過的因數和倍數的概念應用在分數作約分、擴分、通分的運用上不佳，所以在作分數加減乘除的運算上時常錯誤。

多做練習，老師多讓學生練習因數和倍數以及等值分數互換（例如= = = ）、通分題目讓學生多做複習。

【陳君虹老師受訪，蔡易儒訪談】

分數的約分、擴分：

例：學生對約分和擴分的概念不清楚，以至做分數四則運算時會有困難(不知從何下手)。

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

分數的計算：

學生容易將分子和分母混淆。

老師會擅加利用教具來釐清學生的觀念，並將分數的概念運用到生活中，並與生活結合，讓學生知道分數和生活是息息相關的。

【陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談】

約分、擴分、通分：

不懂得約分、擴分的概念

1、畫圖

藉由圖片說明1/2=2/4

2、說明約分、擴分的意思，即分子、分母同除或同乘一數。

【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】

分數的計算：

例：分數的加減運算－

分母都忘了要通分

以生活的例子為主，例如分蛋糕、批薩，或以畫圖來說明。除了習作上的習題練習，另外老師會自行出習題作業來加強練習，對於少數程度較差的學生，實以個別教學或請同學協助。

【盧慧凌老師受訪，林百慶婷訪談】

分數的四則運算：

異分母分數的加法

例如：＋＝

課堂上重複講解例題。
請學生上台演練，盡可能讓所有學生都上台演練。
運用考試的方式增強學生記憶。透過反覆的的操作，來加深學生印象。

【林歧旺老師受訪，王仁甫訪談】

分數除法：

學生在四年級學過同分母比大小和分數加減，到五年級學分數乘除，學生不能理解除法為什麼是除數反過來乘被除數

老師列式解釋

÷=2÷1 = 10÷1 =是計算過程

3÷5 15÷5

可發現

÷= ×=

答案相同故為了計算方便算分數乘法，直接用除數反過來乘被除數即為答案

【陳惠娟老師受訪，廖珮君訪談】

分數除法：

進、退位、借位的觀念不清楚。

老師會先用先用整數除以分數來導入，比方6個蘋果，每次分2/3個給朋友，最多可以分給幾個朋友?老師會先要求孩子列出這句話的算式，大部份學生一開始會用加法,減法或乘，加法或乘法原理是相通的,孩子會發現唯獨少了除法，這時就帶入除法，先畫出6個圓圈(或正方形也可)代表6個蘋果，要分2/3必須先把每個蘋果切成3等份，6個蘋果切完後一共有18等份(6*3=18) ，每次從裡頭拿去2份，18除以2=9，最後請他們把算式做整理,就成了6*3除以2。

【張宏成老師受訪，楊子君訪談】

分數除法：

在分數的除法部分，學生較不容易掌握計算的概念及方式。

所有分數的概念老師都會利用畫圖的方式來講解，將數字所代表的意義圖像化，等小朋友較容易了解之後再帶入計算的方法，不主張直接讓學生套用公式。

【劉艷雪老師受訪，李松燕訪談】

帶分數計算：

學生作帶分數計算時會忘記整數部分或是忘記把假分數化為帶分數

老師說一個故事<帶分數就像媽媽帶小孩，小孩比媽媽壯要化為帶分數，小孩跑到媽媽前面自己走，計算時別忘了要把小孩放到媽媽背上以免小孩不見了>，讓學生印象深刻算帶分數時要記得把假分數化為帶分數。

【陳惠娟老師受訪，廖珮君訪談】

分數計算：

--□X3=1/5，求□=？

學生對於移項後為何要變成除3感到困惑。

先利用簡單的算式代替

2x3=6 那等號兩邊都除以3則得到 2=6*3

在用已知數作示範

2/7x3=6/7 那如果等號兩邊都同除以3則得到

2/7=6/7*3

所以是由於等號的左邊除3所以等號的右邊也要除3

最後再將數字符號化，

ex. 2x3=6若變成□X3=6，就須將等號兩邊同除以3

得到□=6*3=2

2/7x3=6/7變成□X3=6/7，就須將等號兩邊同除以3

得到□=6/7*3=2/7 (分數除以整數以教過)

最後□X3=1/5將等號兩邊同除以3得到

=1/5*3=1/15

【林其楓老師受訪，林秀芬訪談】

分數計算：

由於分數是比較抽象的，學生容易混亂。

老師認為在解決學生分數的問題上，教具的使用是非常有用的，除此之外，林老師認為老師應該不斷的暗示學生，例如1是一個圓，那麼1/3就是一個圓平分成三等份後的其中一等份。老師運用口頭上的不斷提醒和教具的配合，學生對於分數的計算才能了解。

【林志宜老師受訪，江依璇訪談】

應用問題：

學生常常會被一些應用問題所搞混，

如：1盒鮮奶有3分公升。做奶茶用掉2 盒，做木瓜牛奶用掉1 盒，一共用掉幾盒？

題目中第一句話「1盒鮮奶有3分公升」，並不是解答的資訊，可說是沒有用的，但學生往會被這樣的話語搞混。老師說他通常會要學生鮮題目所要問的東西圈起來，想是這提的題目是要問「一共用掉幾盒」，所以，就注意「盒」的地方就可以了，要學生在有「盒」的地方圈起來，這樣的話學生就可以把握住有用的資訊，也能順利地將答案正確的寫出來。

【李怡靜老師受訪，許維凌訪談】

分數的計算（除法）

⅔÷1/2為什麼等於

⅔×2/1

老師先帶入1/2，由下面唸成『二分之一』；由上面唸成『一除以二』的關念。

所以 ⅔÷1/2

＝ ⅔÷（1÷2）

＝ ⅔÷1×2

＝ ⅔×2÷1

＝ ⅔×2/1

＝ 4/3

＝ 11/3

老師將整個演變的規則教給學生，讓學生了解原由，不要求學生死記公式。

【如果學生本來就習慣⅔÷1/2要換成⅔×2/1的算法，就依學生個別的習慣進行計算】

【盧燕萍老師受訪，張馨月訪談】

分數做除式計算

學生常不清楚當分數要化成小數，做除式計算時，分子與分母哪個是被除數，哪個是除數

老師會先說明分子、分母的意義，讓學生能了解分子就是「被分後的結果」，所以在除式中是「被除數」而分母則是「除數」。
為加速學生的反應，老師也會以前後、上下的文字排序讓學生記憶在「上面的分子」即是除式中「前項的被除數」，而「下面的分母」則是「後項的除數」。如此「前上後下」的記法也有助於「比與比值」單元的學習。

【王蘭亨老師受訪，張嘉群訪談】

分數的除法

學生計算分數除法時，難以法為何將除數的分子和分母顛倒。

于老師教分數除法時，會在課堂上不斷的舉例子，實際的操作做讓學生了解。
例如：=(通分，讓分母變成都一樣的)

=(33)(24)(分母相同後，便可以用

分子分子)

===

步驟進行的過程中，小朋友會自己發現已經變成，並且除數的分子和分母都顛倒了，理解此步驟後，學生對於除法計算時的除數顛倒相乘，不會感到無法明白。

藉由多做過程的練習，讓學生對於顛倒相乘理解更深，不易忘記。

【于秋雲老師受訪，翟嘉莉訪談】

分數的加減

面對未知數( )的題目時，學生對於減數和除數的問題，時常判斷錯誤、容易混淆。

例如：5- □ =3

15 ÷ □=2

這類的情形較常發生在小數和分數的解題時。

學生無法判斷該以誰減誰，或者以誰除誰時，于老師建議，先利用整數進行教學，因為整數是比較簡單的概念，學生可利用計算方式進行理解，在套入原式，逐步帶入分數與小數，並請學生牢記兩個簡單的式子，

如下：

18─ □=2

18 □=2

【于秋雲老師受訪，翟嘉莉訪談】

分數的約分：

不懂為何等於。

老師剛開始不會先教學生分數的約分，而是先用具體畫圖的方式幫助學生理解。

例如：

可以這樣表示

所以其實兩者是一樣的意思

【高福明老師受訪，黃千恩訪談】

分數

a.約分

b.擴分

c.通分

由於教材的版本不同，並不是每位孩子都學過因數與倍數，當孩子不會找因數與倍數時，孩子就沒有辦法找出同分母，進一步計算異分母分數的加減。因此老師必須教導有關因數、倍數的概念。

利用畫圖給學生等值分數的概念。
告訴學生：「分子與分母要同乘或同除相同的值。」方便學生記住等值分數的運算方法。
讓學生多做練習，熟悉分數運算。

Ex： = = = = ……

【梁文方老師受訪，鄭嘉川訪談】

分數的計算

在做分數的除法時，不知道為什麼必須把除數的分子和分母顛倒。

例如：學生對某數除以4沒問題，但對於某數乘以，就不容易瞭解。

在教到分數的計算時，老師在課堂上會用實際做題目的方式做給小朋友看。就像我們國中數學在背一些公式前，老師會先做證明題一樣，先讓學生了解來龍去脈，之後算題目，學生便不用在思考為什麼，可以直接反應回答出答案，當然前提是學生有了解老師的講解。

以下是老師的舉例：

例：=(通分，讓分母變成都一樣的)

=(33)(24)(分母相同後，便可以用分子

分子)

===

這是老師所舉的例子，我想到這邊學生應該可以從這連續的算式中，瞭解到被除數除以除數，要變成乘以被除數倒數的關係。然後，要讓小朋友多練習，並且在小朋友做練習的時候做巡視，去檢查每一位小朋友計算的過程。

有些老師會直接跟學生說，當數字移至等號另一邊時，加變減，減變加，乘變除，除變乘，我覺得這也是一個不錯的記憶方法。

【于秋雲老師受訪，羅心穎訪談】

分數的除法

對於分數的除法，學生有困難。

老師通常會講解完教科書的方法，再告訴學生可以用分子分母轉過來（乘以倒數）的方式來算，先用整數的例子，再導入分數。

【黃惠卿老師受訪，郭子嘉訪談】

分數的除法

分數的除法是分子與分母顛倒，舉一些例子或是用圖示解釋，有些小朋友還是不懂。

直接給學生分數除法的概念就是，分子與分母顛倒，有時用很多例子解釋學生還是不懂，不如直接給學生觀念，反而容易記住。

【黃惠卿老師受訪，盛家絹訪談】

分數的除法

例如：2個西瓜分給8個人，每個人分到多少西瓜？學生常會用大數÷小數，也就是8÷2。不能理解為什麼是2÷8。

實際畫圖給學生看。（圖解法）
依照學生所想的8÷2＝4，但是本來只有2個西瓜，怎麼分出去會一個人有4個西瓜呢？不合理呀！
多練習相關題目，讓學生了解。

例如：

一個工程修路要修2公里，總共要修5天才會修好，則每天要修多少公里？

【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】

分數的擴分與通分

擴分的等值分數換算

學生對於

1 2 3

6 12 18

不懂為什麼會相等。

利用畫圖來讓學生了解，可以拿實際的線來操作（較粗一點的），讓學生量出同長的線段的

1 2 3

6 12 18

都會等長。

再舉其他例子，像是把pizza分成幾個等份，讓學生多做幾次練習，就會了解。

【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】

分數通分的理解

Ex:＝和＝

PS:藉圖形由數字較小的分數開始解析。

題目為分母小的分數要變成大分母的分數。

ex:＝

ㄧ塊圖平均分一半＝。

ㄧ半的一半再分一半＝。

題目為分母大的分數要變成小分母的分數。ex:＝

原本等分為6份，佔其中3份，為。

將原本6等份改為2等份，佔其中1份，為。

【高福明老師受訪，朱怡蕙訪談】

對於為何在計算分數的除法時，必須把除數的分子和分母顛倒，無法理解。

教到分數的除法時，課堂上須舉幾題例子實際做給小朋友看。

例：=(通分，讓分母變成都一樣的)

=(33)(24)(分母相同後，便可以用

分子分子)

===

當做到此步驟的時候，小朋友會發覺到已經變成了，而且除數的分子以及分母都已經顛倒了。

切記！要讓小朋友都練習幾次，並在小朋友做練習的時候一定要到處巡視，去檢查每一位小朋友計算的過程，直接把變成，分子以及分母顛倒即可。

【于秋雲老師受訪，康珮甄訪談】

分數除法的概念

為什麼除以某數會變成乘以某數的倒數

例如：4÷=8

老師會用畫圖的方式來解釋。除以，就是再分成一半

因此最後總共有八份。

另外老師也說，其實課本就有相關的例子，課本採用先讓學生用觀察的方式，其實學生也都能夠接受。

【洪文欽老師受訪，吳艾臻訪談】

分數的約分、擴分

例：學生對約分和擴分的概念不清楚，以至於做分數四則運算時會有困難(不知從何下手)。

【洪文欽老師受訪，林子嵐訪談】

數的迷思

六年級學生會面臨到分數除法的應用題，學生常常會搞不清楚被除數與除數，例如3公尺的水管重2公斤請問一公尺水管有多重?一公斤水管有多長?此時可先將題目化為整數例如:10公尺水管重5公斤，請問一公尺長的水管重幾公斤?讓學生利用整數進行思考，然後再慢慢引導到本來的題目上。

【沈麗瑛老師受訪，黃瓊慧訪談】

5. ÷2 和 ×的答案一樣嗎？？要小朋友了解其中的意義

因為÷2就是平分成2份中的1份，而×是的倍，所以÷2 和 ×的答案一樣。

用畫圖的方式更容易了解：

【蘇泓俊老師受訪，吳妮晏訪談】

分數的四則運算時，不了解為什麼是乘或都除。(不了解題意)

如：班上有10個男生，女生是班上的2倍，孩子會很自然知道女生有10×2=20個。但當題目改為：班上有10個男生，女生是男生的倍時，孩子這時要乘或者除，就會出現不同的聲音了。

【黃來興老師受訪，陳俞君訪談】

分數的除法

學生對於分數中異分母的相乘，往往搞不清楚在分母的部分要通分，例如2/5× 2/3答案會寫成 4/8。

老師針對學生觀念不懂的部分，首要的便是澄清概念。老師的做法是先觀察實物，舉例如下：

題目：2/5 × 2/3 = 4/15

1.先畫出2/5。

2.再將2/5分為3分。

3.最後從2/5分為成的3分中取出2分。

4.15分中的4分，表示為 4/15。

當概念清楚後，重複練習，幫助同學熟悉概念。

【潘尚鳳老師受訪，郭鳳婷訪談】

分數的加減

等值分數學生很難去理解

等值分數可用畫圖的方式加強他們理解，也因為涉及擴分與約分的概念，所以老師在講解這個單元時，會先教他們因數與倍數的觀念，這樣他們在學約分和擴分的觀念就很容易懂。

【王蘭亨老師受訪，方郁琪訪談】

分數與小數的轉換

小數與分數的換算搞不清楚。EX： 0.03＝ 3/100。

老師告訴學生0.03不是有兩個0嗎，所以，分母即是”兩個”0也就是100 。那若是0.003，就是有3個0，所以就是3/1000。雖然老師有提到十分為百分位的觀念，但有些學生還是會忽略忘記。

【郭玉玲老師受訪，陳迪貞訪談】

分數的擴分與通分

異分母的加減會直接分母加分母，分子加分子。

實際畫圖讓學生了解為什麼要擴分。

【林尼珠老師受訪，邱淑君訪談】

分數加減

不知道分數加減是求最小公倍數的概念。

舉例：會直接乘另一個數的分母，再相加。如：，不會以最小公倍36當作分母。

導致計算過程數字變得很大，容易出錯。

教學時，會以求最小公倍數的概念帶入。

【徐惠琳老師受訪，李美珊訪談】

帶分數乘法

課本教的是分開相乘，但孩子會犯以錯誤。

例如：1×5=

5×1 + ×5

雖然課本上是教分開相乘，但老師還是會教假分數的乘法，並希望他們是學這一個方法，以好方便以後分數的計算。

事實上，假分數的算法利於分母數字小，若是數字大，帶分數會比較好計算，哪種方法的運用，就端看學生的運用。

【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】

分數乘法

沒有正確的約分概念，只要看到數字便約分，或者是亂乘。例如：會將二邊的分母做約分，或者是直接18×7或12×4。因此，需要多做題目做練習。

【徐惠琳老師受訪，李美珊訪談】

分數的除法

我們會解題，說明為什麼這樣，不過即使用簡單的圖說明，仍舊有同學不懂，但因時間的關係或有同學怎樣都轉不過來，我們就會直接告訴他們，看到分數除法就直接倒過來。

【黃惠卿老師受訪，邱麗蓉訪談】

分數

分數相除的計算問題：

學生對分數相除就是要乘其倒數的觀念，不明白。

例: ÷=×

1.利用畫圖的方式來說明→老師未清楚說明。

2.學生程度太差的，只能要求其死記。

【黃惠卿老師受訪，周家珍訪談】

分數的加法和減法

尤其是分母不同時，需要讓兩個不同的分母變相同，才能相加、減，學生容易忘記要把分母變相同，而是直接加減，或是知道分母要變相同，但忘記分子和分母需要同乘相同的某一個數。

邱老師說多給學生練習的機會。有時會請學生上台練習，同時會問學生這堤這樣算對不對，學生就會去思考和在小組裡討論，這樣學生自己發現知道錯在哪裡，下次就比較不會犯同樣的錯誤。同時也可以增強學生對於相類似題目做題時的敏感度，並加深印象

【邱瑞杰老師受訪，黃蘭筑訪談】。

異分母的加減乘除

計算有困難，不知道如何通分

老師認為觀念的理解與澄清很重要，要讓學生多多練習，按部就班地帶學生一步一步來做，並且利用實物或是圖形，讓學生觀察如何進行通分

【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】

分數的乘除

用通分的方式,先約到最簡分數,將數字變小,計算比較不容易錯

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

「通分和擴分的時候常出現問題」

有

2 3 6 1

3 4 12 2

的學生常會將最小公倍數誤以為是最大公因數的約分。或是在遇到此類問題時

，學生們會常直接互相乘過之後，忘了還要約分。老師認為若是學生本身的程度並沒有那麼好，那麼也可以接受他不約分，並不會給予扣分，當然只不過還是要提醒他記得要約分。

【蘇恵英老師受訪，陳蒔萱訪談】

分數與數線間的轉換：學生常常會混淆，就單純的分數轉成數線還好，但是例如分數的乘法要學生畫乘數線，則常常繪畫不出來。

先以畫圖的方式在黑板上教學，步驟要清晰講解要清楚，

如：2/3×4

另外要讓學生有常練習的機會，好讓他們能夠經熟，也在回家作業中，由簡至難得幫學生加強練習。

【杜守正老師受訪，李姿儀訪談】

分數四則運算：在這方面常牽扯到公因數與公倍數的問題，學生常因練習不足而顯得速度過慢。

除了讓學生多練習的方法外，另外亦可教導學生將不常見質數（如13、17、19等）的倍數列出，以加深學生印象，如此也能加快運算速度。

【杜守正老師受訪，李姿儀訪談】

分數乘除

有的學生對於分數的乘除計算有困難。

Ex：÷＝？

學生不明白為什麼「÷」變成「×」，後面的分數則要「上下顛倒」。

1.先解釋的意義：一塊平分成兩等份，其中一塊就叫做。1÷2＝「一除以二」＝「二分之一」。

2. ÷

＝÷（1÷2）

＝÷1×2

＝×（2÷1）

＝×

【賴宏禮老師受訪，黃卿如訪談】

學生對約分和擴分的概念不清楚，以致做分數四則運算時會有困難。

【林冠嫺老師受訪，鄭詠文訪談】

在分數的除法部分，學生較不容易掌握計算的概念及方式。

【林冠嫺老師受訪，鄭詠文訪談】

分數除法

學生無法理解為何分數除法，是乘以除數的倒數。

EX：

÷3＝×

以圓餅圖來進行解釋。

EX：÷3＝×

先將分成3等份

取中的

故寫作× =

【連亨宗老師受訪，林苔忻訪談】

數與量—

分數

分數的加法和減法

【黃蘭筑訪談，邱瑞杰老師受訪】。

數的四則運算

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

四則運算

四則運算，遇到數字大的題目就不想算。有幾個同學最基本的運算都仍不夠熟練。

先讓學生理解題意，強調有括號先做，由左至右算，先把乘或除的式子先做，之後再算加減問題。做熟練後，不斷把題目數字變大，並要求他們的計算過程要再檢查。

【黃惠卿老師受訪，陳淑慧訪談】

四則運算能力不足

老師說六年級四則運算的能力不好，比較常發生的不是不知道「先乘除、後加減」的步驟，而是九九乘法不知道也無法熟記，所以經常花很多時間在計算部分，也導致很多學生因為怕麻煩就直接略過懶的算，所以老師通常會要求他們班的學生務必熟記九九乘法表，偶爾來個臨時隨堂抽考，以測試學生是否記熟。

【林佑真老師受訪，鄭子盈訪問】

四則運算

a.文字問題

b.加減乘除的混算

c.計算的熟練度

九九乘法一定要背熟。
幫學生以口語化的方式唸題目。
同題型多練習。
提醒學生先乘除後加減及( )內的先算。

☆ 注意：對於運算的粗心，不要幫學生訂正，讓學生重新作一次計算，找出錯誤之處。

【何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談】

學生無法逆向思考：

例如：10÷□＝5，那□＝？，數字小時，學生會用10的一半等於5的思考方式，並不會知道10÷5＝2就是答案，所以當數字變大時，往往學生無法解題。

老師會先用簡單的數字建立起□＝10÷5，學生從中觀察出端倪後再把數字擴大，慢慢的可以培養他們的逆向思考。
作業不只派直線思考的題目【ex：10÷2＝□】，三不五時還會加點逆向思考的題型。
像10×7÷2的題目，老師會教學生先10÷2＝5再將5×7＝35，用一些小技巧，減少學生運算的時間。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

四則運算：

求未知數時，萬一要移項,不知要不要變號或不知哪個數字該變號。

Ex: □+3-5=18

□=18-3+5 ??

老師要先建立同學等號的兩邊是「等量」的觀念，然後告訴小朋友要維持平衡就是「用去」多少就要「加回」多少，「加上」多少也要「減去」多少。千萬記住一個移項法則:就是加→減、減→加；乘→除、除→乘。

不斷的出題目讓學生練習也是一種好方法

【徐惠琳老師受訪，吳致寧訪談】

四則運算：

求未知數時，萬一要移項,不知要不要變號或不知哪個數字該變號。

Ex： □+6-4=25

□=25-6+4

老師會先建立同學等號的兩邊是「等量」的觀念，然後告訴小朋友要維持平衡就是「用去」多少就要「加回」多少，「加上」多少也要「減去」多少。並用口訣幫助學生計住這項規則：加→減、減→加；乘→除、除→乘。

【高福明老師受訪，黃千恩訪談】

解未知數(□)方面，對於減數和除數的答案如何求出，常會判斷錯誤。

5- =3

1 5 =2

這種情形最常發生在小數和分數的解題時。

當小朋友無法判斷該拿誰減誰，或者拿誰除誰的時候，最好的辦法是請小朋友牢記兩個簡單的式子，如下：

10－ □ =2

10 □=2

這時小朋友通常能馬上反應出誰該減誰(10─2)，或者誰該除誰(10÷2)，再請小朋友回到原題目做計算，便可做出正確的判斷。

【于秋雲老師受訪，康珮甄訪談】

四則運算：

求未知數時，萬一要移項,不知要不要變號或不知哪個數字該變號。

Ex： □+6-4=25

□=25-6+4

在數字小時，例如：10÷□＝5，那□＝？這個問題，學生會用10的一半等於5的思考方式，並不會知道10÷5＝2就是答案，所以當數字變大時，學生就無法判斷該拿誰減誰，或者拿誰除誰，最好的辦法是請學生牢記這個簡單的式子，如下：

10÷□=5

這時候學生通常能馬上反應出答案，此時告訴學生說是誰該除誰(10÷5)，再請小朋友回到原題目做計算，便可做出正確的判斷。

所以老師可以先用簡單的數字建立起□＝10÷5，學生從中觀察出端倪後再把數字擴大，慢慢的可以培養他們的逆向思考。

【于秋雲老師受訪，羅心穎訪談】

四則運算中如果加上代數混和計算許多學生會有問題。

四則運算的除法，要求「原有」多少，學生常搞不清楚如何做答。

以前用國编版時，用「數線」方式來教，現在的學生領悟力高的人容易理解，比較差的學生會找許多具體的例子講解。
例如：一題題目先用簡單的數字帶入，先了解這一題問什麼之後，再回到原題解答。

【黃惠卿老師受訪，盛家絹訪談】

四則運算

有些學生會看不懂應用題的意思。有幾個同學最基本的運算都仍不夠熟練.

先讓學生理解題意,強調有括號先做,由左至右算,先把乘或除的式子先做,之後再算加減問題。

再做熟練後,不斷把題目數字變大,或變換題型，訓練學生計算能力。

【梁文方老師受訪，鄭嘉川訪談】

四則運算

四則運算會忘記先乘除後加減，於是計算錯誤。

老師在教學和學生寫題目時，時時提醒要「先乘除後加減」，學生聽久了多少會記住。

【張庭香老師受訪，朱惠卿訪談】

四則運算

小數除法

小數點的位置會補錯，這是在算小數除法上常出現的小錯誤。

【邱瑞杰老師受訪，黃蘭筑訪談】

四則運算

遇到加減乘除混合的題目，會計算錯誤。

1.強調先乘除後加減的基本觀念。

2.請學生看清楚題目(注意加減乘除的前後運算位置)。

3.讓學生多做例題練習。

【黃惠卿老師受訪，周家珍訪談】

四則混合運算的移向

這部分與四年級有關,老師無法顧及個別差異一直提醒學生,因此以大部分學生懂了為主。

1.方法也是多練習,練習多了觀念就會進來了。

2.如果有補救教學的話,可以利用那個時間教。

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

「先乘除後加減學生容易忘記」

每位學生的程度相異性很大，有的學生就是對數學不太了解，有的學生優秀的季真的很厲害，所以系上一些很基本的問題尤其是四則運算，就會發現竟然還有學生常忘了要先乘除、後加減，這個時候老師就只能要求他一定要熟被規則。

【蘇恵英老師受訪，陳蒔萱訪談】

乘法交換律的意義搞不清楚

ps.例如單位方面的問題

一瓶汽水25元，買了6瓶要多少元呢？

正確應該是25 X 6

但是有些學生會寫6 X 25

答案是一樣沒有錯，但是意義卻不同了。

請學生把題目要求的東西先一一的寫下來，例如：我要求的是”一共多少錢﹖”

那題目所給你的東西是什麼？也要寫下來。

例如：一瓶汽水25元，買了6瓶

應該是

[25元買了6瓶，因此記成25元x 6瓶]

而非

[6元買了25瓶，因此誤記成6瓶x 25元]

兩者意義是大不相同的。

【陳鈴瓊老師受訪，劉哲瑄訪談】

四則混合運算不熟練

ps1.學生長忘記要先乘除後加減的動作，當問題複雜的時候學生容易算錯

ps2.移項後要運算符號要變的概念學生搞不懂為什麼要這樣

多讓學生做題目是唯一的辦法

【陳鈴瓊老師受訪，劉哲瑄訪談】

不懂乘法交換律:

ex.一隻筆5元,三隻筆幾元?

錯誤3 X 5

正確5 X 3

學生不懂算出來的答案都一樣為什麼不可這樣算?

1.老師解說

必須以被乘數的單位為單位,不能以乘數為單位,因為必須符合題目所要求的單位。

2.多提醒

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

因數與倍數

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

因數及因數分解的概念並不十分了解。

採用『對半折』的方式來教。如：24的因數分解，先將24對半折成12

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
24	12	8	6	X	4	X	3	X	X	X	2

由此可知，24的因數有1、2、3、4、6、8、12。

如果是單數（如：15），可對半折7或8。

【周桂蘭老師受訪，羅竹平訪談】

求某數的所有因數時，經常會漏寫因數。例如：求28的所有因數，有1、2、4、7、14、28，共6個。學生可能因粗心，只找到4個或5個因數。

2 8→1、2、4、7、4、7、14、28。

2 8=1×28 =2×14 =4×7=7×4

從最小的因數1開始，利用一個對一個的方式聯想，直到有重複的數字出現( 4×7=7×4重複)即停止，這樣就不會有遺漏因數情況出現了。

【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】

因數

學生找因數時，當數字比較大時常會漏掉。

例如：24的因數是什麼？

玉菁老師會讓學生兩兩一組找，直到重覆那一組。

例如：24的因數

1 24

2 12

3 8

4 6

6 4

【郭玉菁老師受訪，吳照微訪談】

因數與倍數。

倍數的觀念學生尚易理解，然因數部分與生活較無直接關連，須多演練，增加印象。

【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】

因數倍數

因數倍數的問題讓許多頭痛不已，老師必須讓學生多練習，老師在講解的過程中必須讓學生知道他們之間的明確關係與不同的觀念。

【楊淑惠老師受訪，游憶如訪談】

因倍數。

加強九九乘法。

【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】

因數的概念

學生不太懂什麼是因數？

先引導孩子思考：因數的「因」是什麼意思？

因果、因為……  表示兩者之間是有「關係」的

再用生活例子說明，什麼叫「有關係的數」

例如：莊孝維、莊電燈、莊電池，三個人之間共同的關係是，都姓「莊」。

所以「莊」可以說是他們共同的因數。

導入數字的概念像4, 8, 二個數他們共同的關係是，都可以被2整除。所以2是他們的公因數

【劉穎明老師受訪，林佩君訪談】

學生對於何謂是因數，何謂是倍數的關念常常弄不清楚。

老師會告訴學生當他們做除法時，「整除」才是因數。除得盡並不一定是。如1÷5＝0.2，就無因數倍數的關係。

短除法雖然課本不教，卻很實用，但經常有學生弄不清楚短除法的用法，怎麼除是最小公倍數？怎麼除是最大公因數？

將題目遊戲化、生活化、口語化。

例如：求15、18、20的最大公因數？最小公倍數？

1 5 18 20

5 5 6 20求最大公因數，5、6、20除不

就算了

2 1 6 4

1 3 2

聯想法 ----最大公因數大人物不貪

心只要左邊相乘，而且有除不盡的就算了。

最大公因數= 3

聯想法 ----最小公倍數小人很貪心要左邊和下面一起相乘，而且有兩個數可除的就要除下去。

最小公倍數 = 3×5×2×1×3×2

【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】

因數倍數的概念較抽象，學生常不能理解。尤其是做應用題時，學生容易誤解題意而將因數和倍數混淆。

老師在教學時會用一些實際的教具，例如：小花片、小積木，讓學生自己去實際操作，老師在黑板出題，讓學生去排出正確的答案。利用活動加深他們對因數和倍數的概念。
在應用題的理解上，老師在課堂會要求學生解釋題意給全班小朋友聽，並且有時會請小朋友自己出題考自己，老師會從中挑選不錯的題目，拿來出成一張數學考卷，讓學生考試。學生都很有興趣出題考自己，有時甚至會出一些超水準的題目出來。老師說這樣的方法也是為了激發學生對數學的興趣。

【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】

最大公因數與最小公倍數常搞混。

例： 3 12 18 21

2 4 6 7

2 3 7 學生覺得最大公因數是252，最小公倍數3。

先找出兩位數某一範圍的所有公倍數與公因數，然後透過比較，找出其中最小的公倍數與最大公因數，再引入最大公因數與最小公倍數的意義。

例：12的倍數→12、24、36、48……

18的倍數→18、36、54、72……

12的因數→1、2、3、4、6、12

18的因數→1、2、3、6、9、18

【施雅倫老師受訪，楊宜穎訪談】

倍數方面比較不會出錯，

若找出某數的因數則會少掉一兩個因數，無法寫齊全。

例如﹕找出20的因數，則只寫出1、2、4、5、20，而少寫了10這個因數。

因倍數不會，大多是九九乘法不會，所以老師常常利用「反問」的方法讓他熟悉，唯有不斷的練習，加強九九乘法的基礎之後，然後再慢慢引導因數倍數的觀念。
要求學生一定要照順序的寫出因數，才不會漏了其中的一兩個。

例如﹕ 45=1 * 45

3 * 15

5 * 9

9 * 5

3 * 15

1 * 45

【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】

公因數、公倍數

九九乘法不熟悉

老師採取的分法如下：

強化九九乘法的背誦

以母雞或是小雞來比喻公因數與公倍數

【李靖宜老師受訪，黃雅慧訪談】

對於因數、倍數和直式除法的部分，因之前建構數學的影響，學生在學習過程中是會有較困難的情況發生。

老師也是利用精熟的學習方式來訓練學生，讓學生更正一些計算的習慣。因為有時對於一些程度較差的同學，很難建構他們的思考，在時間進度的壓迫下，有些不懂真正建構的老師就會勉強他們進行記憶，造成學生都會將算是寫成很複雜，而不知變通。

【李幸儀老師受訪，徐建榮訪談】

公因數方面，也會有像找

出因數一樣，會有漏寫其中一兩個的狀況。

依照上面的例子，老師會先要學生估算45的因數有哪些，1是一定會有的，然後45不是偶數，所以2不會有，至於3就可以估算看看是不是它的因數，然後有秩序的估算下去，等到5×9和9×5是重複的時候，此時就可以反寫過來，所以這樣有順序的依照順序寫下去才不會漏寫。

要能找出公因數一定要非常熟悉”會找出因數”，然後才能夠快速的找出兩者的公因數。

首先，先用下面的方式寫出因數。

20的因數 => 1 . 2. 4. 5. 10. 20

25的因數 => 1 . 5. 25

再者，先搞清楚哪個時候會有單數個因數，哪個時候會有偶數個因數，才不會漏寫。也可以此來讓學生自己“洞察關係”去知道何時有單數、偶數個因數。

最後，找出20和30相同的因數圈出來，這樣就不會漏掉了。

20的因數=> 1.2. 4. 5. 10. 20

30的因數=> 1.2. 3. 5. 6. 10. 15. 30

【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】

「倍數、公倍數、最小公倍數」的概念並不是非常清楚。因為學生的因數概念不是很清楚，所以使得倍數概念也不清楚。

如：（6,4）學生會算成

（6,4）=6×4=24

用『逐倍法』

6×1=6 4×1=4

6×2=12 4×2=8

6×3=18 4×3=12

因此（6,4）=12

找關係

6=2×3

4=2×2

因此（6,4）=2×3×2=12

【周桂蘭老師受訪，羅竹平訪談】

因數與倍數問題

學生針對因數部分，無法一次將所需求出的因式寫完全。同時題目數字若變大，學生也會因為運算能力不佳而做不出來(如200的因數)，老師認為是學生的九九乘法沒背好，所以他要求學生再次熟讀九九乘法，並提供學生利用驗算(頭尾相乘)的方式，檢查寫出來的因數是否齊全，並且老師會讓學生多練習同類型的題目，熟習這個單元的概念。

【張夢鑾老師受訪，杜陽蘭訪談】

公因數、公倍數

學生對於公因數、公倍數不容易了解，也不清楚公因數、公倍數的定義，陳老師認為因為在日常生活中學生很少會去運用到公因數、公倍數。

陳老師先說明因數與倍數，再說明公因數、公倍數的定義，讓學生了解公因數、公倍數的意思，例如將12個積木排成長方形，可能一邊是6個排了2排，來教導學生12是6或2的倍數，6或2是12的因數。之後在黑板上寫出12與16，請學生說出12的因數有哪些，12的因數有1、2、3、4、6、12；16的因數有1、2、4、8、16，在12與16的因數中請學生找出有哪些相同的因數1、2、4，介紹公因數的概念。陳老師在黑板上寫出12與16，請學生說出12的倍數有哪些，12的倍數有12、24、36、48……；16的倍數有16、32、48……，在12與16的倍數中請學生找出有哪些相同的倍數48……，介紹公倍數的概念。

【陳淑真老師受訪，莊靜詩訪談】

公因數和公倍數

學生對於此概念相當難以理解，例如：題目說桌上有很多糖果，3個一數剛好拿完，5個一數剛好拿完，7個一數也剛好拿完，請問桌上有幾顆糖果？像這樣的題目，學生很難聯想到是用公因數的概念來運算。

另外，在計算公因數和公倍數很吃力，例如：找出36和48的公因數，學生會先列出兩數因數再找公因數，然而，若數字大一點，時間就會花很多時間，而且很容易遺漏掉某個因數而算錯。

多練習解題，老師會從題目帶入概念，也就是用題目來說明概念，而不先直接說概念，因為說完了因數倍數的概念後，給學生題目，學生往往不會將此概念聯想到是此題目的解法，但是如果從題目來看，學生比較容易發現題目與概念間的關係，也更容易使學生瞭解此概念的意義。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

「質因數分解」不會

如：60的質因數分解=？

學生作答如下

方法一（正確）

方法二（迷失錯誤）

朱老師說，學生在高年級時大約有一半的學生，弄不懂這種問題。遇到這種問題，朱老師會用以下的方法：

以「短除法」做質因數分解

60=2×2×3×5

49=7*7

【朱鎮宇老師受訪，陳勇全訪談】

因、倍數間的相對關係

（數本身相當抽象，由於學生測量運思尚未發展完全，對於因、倍數間的相對關係常無法掌握）

透過判斷一個整數是否為其因數的整數倍的方式，讓學生察覺此整數為其所有因數的倍數；
透過先求出某數所有的因數，再判斷該數是否為其所有因數的倍數的方式，幫助學生察覺一數是其所有因數的公倍數。
透過解決兩數相乘問題，幫助學生察覺兩數相乘的積數為兩數的公倍數，並希望學生能不經過計算的過程，就直接能判斷兩數相乘的積數為兩數的公倍數。

【蔡明娟老師受訪，高嘉君訪談】

對於找出最大公因數和最小公倍數會有困難。

在找最大公因數時，老師會告訴小朋友先找出兩個數各自可被整除的數字。例如8和12：

8可被1、2、4、8整除

1 2可被1、2、3、4、6、12整除

而4就是他們兩個的最大公因數

在找最公倍數時，老師會要小朋友各自算出他們的倍數。例如6和8：

6的倍數有6、12、18、24、30、36、42

8的倍數有8、16、24、32、40、48、56

其中24就是他們的最大公倍數

【顏秀芬老師受訪，歐維玲訪談】

因數倍數概念：

求所有因數時，經常會漏寫因數。

Ex: 42的因數有1.2.3.6.7.14.21.42,小朋友可能就會漏了其中一個

老師會玩一種遊戲〝因數接龍〞，就是小朋友一個接一個講出這個數的因數，萬一誰漏掉因數、講錯了或不知道，誰就輸了，會有一點小處罰(講笑話、表演等) ，把因數變得很好玩，小朋友也比較容易學習。這樣的遊戲也可以用在類似的倍數、質數上，多方運用，蠻有趣的。

【徐惠琳老師受訪，吳致寧訪談】

因數倍數概念：

應用題型中，不清楚誰是誰的幾倍。

針對題目講解意思，要求學生先理解兩數間的關係，如誰多？誰少？再去運算。
加強學生因數和倍數的概念，並給予相關題目讓學生多加練習，培養判斷兩數關係的感覺能力。

【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】

因數倍數與公因數公倍數的關係：

因數、倍數概念

學生不了解因數、倍數、公因數、公倍數的定義與關係。

老師一樣是先以學生已經了解的知識來解說，所以老師會先說明因數與倍數的意義，再說明公因數、公倍數的定義，另外老師也會利用實物來說明因數的定義。

例如：

因數

將18個積木排成長方形，可能一邊是6個排了3排，來教導學生18是6或3的倍數，6或3是18的因數。

倍數

也是利用積木來讓學生了解，將積木12個一堆先排好，可能排個3堆，讓學生知道，三堆就是代表三倍的意思，然後在讓學生去計算一共有多少積木。

公因數

在黑板上寫出12與18，請學生說出12的因數有哪些？12的因數有1、2、3、4、6、12；18的因數有1、2、3、6、9、18，在12與16的因數中請學生找出有哪些相同的因數1、2、3、6，這些就是12和18的公因數。

公倍數

在黑板上寫出12與18，請學生說出12的倍數有哪些，12的倍數有12、24、36、48、60、72……；18的倍數有18、36、54、72……，在12與18的倍數中請學生找出相同的倍數，就是72。

【高婉玲老師受訪，曾文慧訪談】

短除法求最大公因數與最小公倍數：

短除法雖然課本不教，卻很實用，但經常有學生弄不清楚短除法的用法，怎麼除是最小公倍數？怎麼除是最大公因數？

老師用算式解釋

2 8 32

2 4 16

2 2 8

1 4

2×2×2×1=8

2×2×2×4=32

學生藉由比較以上兩個式子可以發現

2×2×2是兩個數字共有的

所以2是公因數

公因數相乘就是最大公因數

最大公因數乘以餘數就是最小公倍數

【陳惠娟老師受訪，廖珮君訪談】

因數與倍數概念：

老師認為學習因倍數有困難多為九九乘法的不熟悉，因此老師會利用早自習的時間加強學生九九乘法的基礎，在漸漸引導因倍數的觀念。

【張宏成老師受訪，楊子君訪談】

因數倍數計算：

對於找出某數的因數，學生往往會粗心而漏寫一兩個因數，因此老師會用下面方法：

例如：28=1Ⅹ28=2Ⅹ14=4Ⅹ7=7Ⅹ4

從最小的因數開始找起，一個一個慢慢找，直到有相同的數字出現就停止，如此就不會遺漏掉因數。

【張宏成老師受訪，楊子君訪談】

因數倍數計算：

因數及倍數的應用問題，有些學生的因數及倍數之單純計算題目，可以輕易解答，但一旦涉及到應用問題，便無法理解題型，進而出現錯誤的解題方向。

除了在課堂上對於因數與倍數的觀念加以清楚的解釋外，還是利用練習的方式，讓學生多做，多學習，如有不懂的地方，以抽題的方式，利用課堂五分鐘的時間，由老師親自解題講解，進而釐清學生的觀念。

【蔡佳芬老師受訪，黃嘉軒訪談】

公因數與公倍數：

公因數、公倍數的應用題

周老師表示，公因數和公倍數本來就是比較抽象的概念，要將這部分的原理原則說明清楚也不是一件容易的事情。在這樣的情況下，又要讓學生寫應用題，學生常常用「賭」的，反正現在在上這個單元，所以不是用公因數就是用公倍數。這樣的解題方式，常常讓周老師哭笑不得。不過周老師認為，最好的方式除了概念說明清楚之外，就是多做題目，讓學生自己體會其中的不同，因為學習是需要時間和努力的。

【周勇老師受訪，高愷璜訪談】

學生對於最大公因數與最小公倍數的概念薄弱。

策略：加強最大公因數、最小公倍數。

先教學生概念然後再不斷的重覆題型，讓學生反覆練習。

最大公因數與最小公倍數：

不清楚定義
計算方式

一部份學生因為在學習因數與倍數時，沒將定義弄清楚，所以這部分學習就教會有問題。
在剛開始教的時候，學生常常會搞混（因為加上它們的算法，所以學生常常會混亂），老師再這部分採取的方式就是針對“定義”，一定要讓學生非常清楚，之後再多做練習，記住計算的方式

【洪文欽老師受訪，劉昭堂訪談】

因數與倍數：

不清楚因、倍數的定義。
不知道公因、倍數的「公」字意涵。

老師會先讓學生「顧名思義」，思索「因、倍、公」這些字的涵義。
待學生大致了解這些字的意涵後，老師便會舉例，及歸納說明。例：因數，就是有因果關係的數字，如6=23，6是23的果，所以2跟3就是6的因數。而「公」就是大家都有的，如孫小毛(237)、孫協志(2511)，都有的是「孫」(2)，所以公因數就是「2」。對於倍數，老師會以九九乘法引導說明。

說明過後，老師會出題讓學生確認觀念。6、10、14因數各為何？(6=23、10=25、14=27)公因數為何？(2)；2的倍數2、4、6、8、10和4的倍數4、8、12、16、20的公倍數為何？(4、8)

【王蘭亨老師受訪，張嘉群訪談】

最大公因數及最小公倍數之概念學生不容易瞭解

老師說學生在一開始的時候，碰到應用題會不知到要用

最大公因數還是最小公倍數計算，而且公因數、公倍數

的概念對他們來說會比較抽象，因此老師會先跟同學解

釋清楚，公因數就是大家都有的，而公倍數就是大家都

有的倍數。至於同學在使用短除法時，因為之前已經有除法的概念因此在使用短除法時同學很快就能夠接受。

【洪文欽老師受訪，吳艾臻訪談】

最小公倍數：

對於最小公倍數的意義以及算法易與最大公因數混淆。

在教的時候，老師會以三種方式循序漸進的教學生：

圖解

姊姊3天回家一次，妹妹2天回家一次，請問她們隔天會

在家見到面。

姊姊

妹妹

由以上圖可得知她們6天見一次面，所以3和2的最小公倍數是6

要求學生各列出3和2的倍數

3的倍數：3，6，9，12

2的倍數：2，4，6，8，

所以他們的最小公倍數是6

用算式解釋

1 2，3

2 3

因為1×2×3＝6，所以最小公倍數等於6

【高福明老師受訪，黃千恩訪談】

對於因數、倍數的概念，因之前建構數學的影響，學生在學習過程中是會有較困難的情況發生。

找出某數的因數則會少掉一兩個因數，無法寫齊全。

24→ 1、2、3、4、6、4、6、8、12、24。

24= 1×24 = 2×12 = 3×8= 4×6 = 6×4

從最小的因數1開始，利用一個對一個的方式聯想，直到有重複的數字出現( 4 ×6 = 6 ×4 重複)即停止，這樣就不會有遺漏因數情況出現了。

找出20和30相同的因數圈出來，這樣就不會漏掉了。

20的因數=> 1. 2. 4. 5. 10. 20

30的因數=> 1. 2. 3. 5. 6. 10. 15. 30

【余蕙如老師受訪，賴昀締訪談】

學生對於因數倍數的觀念容易搞混：如求12的公倍數是多少，很多學生誤以為是求公因數。

可以告訴學生1、2、3、4、6、12是12的因數，因數

是小寶寶，所以求最大公因數時，數字是不會超過12

的。利用這樣的方式可以幫助學生記憶。

【獅湖王老師受訪，陳怡君訪談】

最小公倍數：

對常見題目「姊姊兩天回家一次，妹妹三天回家一次，請問他兩哪一天能同時回家相遇。」的不了解。

此題在求「最小公倍數」。

算法一：

算法二：2倍數→2.4.6.8.10.12.14.16.18

3倍數→3.6.9.12.15.18

算法三：

【高福明老師受訪，朱怡蕙訪談】

最大公因數、最小公倍數之概念：

學生不容易瞭解

公因數、公倍數的概念對學生來說比較抽象，所以老師

會先跟同學解釋清楚定義，公因數就是共同擁有的因

數，而公倍數就是共同擁有的倍數。在短除法的使用

上，因為之前學生已經有除法的概念，所以老師說同學

很快就能夠接受短除法這東西。

【洪文欽老師受訪，林子嵐訪談】

有些學生會運用短除法

很多學生在低年級學最大公因數與最小公倍數的時

候，安親班都會將短除法的觀念帶入，所以常會出現學

生覺得學校所教的方式太簡單了，速度上也比較慢。蘇

老師採較開放的做法，讓學生使用短除法來做題目，尊

重每個學生不同的特性。

【蘇惠英老師受訪，李佳潤訪談】

公因數及公倍數的關係，同學常搞混。

以舉例的方式來解釋公因數與公倍數

【余文方老師受訪，吳偉立訪談】

最小公倍數

Q:姐姐2天回家一次，妹妹3天回家一次。請問姐妹一天回家的時候，會相遇？

算法一：

姐姐：

…

妹妹：

…

(由圖形解釋題意，適用天數小的題目)

算法二：

2的倍數：2，4，6，8，10，12，14…

3的倍數：3，6， 9，12，15…

算法三：

∴123=6

62=12

63=18

【高福明老師受訪，張琬婷訪談】

因數、倍數、公因數與公倍數

「因數、倍數、公因數與公倍數」易混淆

沒錯，這些名詞很容易混淆。所以，除了從理解著手，還得配合多練習及記憶。例如填充及選擇題中，會考到因數倍數相當於除式中的被除數或除數，可利用「同音」的方法，「倍」→「被」除數；相對的，因數→除數。在教學中要用「歸納」及「邏輯」的方式來幫助學生學習，而且，必須要有系統；其次，你應該常看到許多坊間幫助記憶的補習班，他們的策略是可行的。最重要的是：不可放棄學習。我最常安慰學生的方法之一，是「信心建立法」：現今的學習是日後的基礎，現在就算不理解，以後——就會了，但如果現在不學，以後永遠不會！很多數學單元未必「實用」，但卻是一種思考的訓練與腦力的激盪，有助於潛能的開發。

【黃淑嬌老師受訪，黃健哲訪談】

找兩個數公倍數（或公因數）時，常會有所遺漏。

要求學生先把兩個數的倍數（或因數）全由小到大寫

下，由小到大找出公倍數（或公因數）

【林尼珠老師受訪，邱淑君訪談】

因數倍數

課本上尚未教因數與倍數的概念，但分數上需要最簡分數、約分、通分和擴分。

老師認為課本上可以先教因數與倍數的觀念。

【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】

因數、倍數、公因數、公倍數搞不清楚什麼時候要求公因數、公倍數,尤其是通分的時後,2/3的學生懂,後半段的學生就不容易懂

多做實例,老師一題題教,做多了就比較容易理解,實際上的練習很重要

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

「有的學生會運用短除法」

短除法很多學生本身在安親班很早就有學到，因此經常會出現學生會覺得學校所教的方式對她們來說太簡單了。此時蘇老師會讓會的學生就運用短除法來求最大公因數，尊重每一位學生不同的特性。

【蘇恵英老師受訪，陳蒔萱訪談】

最大公因數與最小公倍數問題

遇到此問題時，學生常會搞混最大公因數與最小公倍數。

例： 3 12 18 21

2 4 6 7

2 3 7

學生會誤認為最大公因數是252，最小公倍數則是3。

會有這樣的問題最大的原因是「不了解最大公因數與最小公倍數的意義」，因此會先將其定義向學生再次釐清。

例題：

（12，18）和﹝12，18﹞

首先找出兩位數某一範圍的所有公倍數與公因數
然後透過比較，找出其中最小的公倍數與最大公因數，再引入最大公因數與最小公倍數的意義。

例：12的倍數→12、24、36、48… 36是12和18

18的倍數→18、36、54、72…的最小公倍數

12的因數→1、2、3、4、6、12 6是12和18

18的因數→1、2、3、6、9、18 的最大公因數

【賴宏禮老師受訪，黃卿如訪談】

學生分不清因數、倍數的概念。如：應用題型中，不清楚誰是誰的幾倍。

重複講解題意，要求學生先理解兩數間的關係，如誰多？誰少？再去運算。加強學生因數和倍數的概念，並給予相關題目讓學生多加練習，培養判斷兩數關係的感覺能力。

【林冠嫺老師受訪，鄭詠文訪談】

.因數與倍數應用題

例題：

姊姊2天回家一次，

弟弟3天回家一次，

請問他們幾天後會相遇？

學生常不懂哪些題目需要用最小公倍數來算，還是用最大公因數來算？

老師會先以【解一】畫圖，來讓學生理解題意，接著讓他們發現這是有跡可尋的！可是數字總不會那麼小，需要再加以推測，所以他用【解二】數字推理，來幫助他們更加確信他們的發現，也就是解題關鍵處，最後他會以最精簡的表達方式，來告訴學生用【解三】來解題，並說明這麼做是符合以上的發現。

【解一】畫圖以理解題意

姐姐○○○○○○ ○○○○○○

弟弟○○○○○○ ○○○○○○

6 12

【解二】數字推理

2的倍數：2,4,6,8,10,12

3的倍數：3,6,9,12,

所以凡6的倍數均會相遇！

【解三】最小公倍數

求【2,3】的最小公倍數

【2,3】=6

【謝冠瑛訪談，高福明老師受訪】

概數

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

概數

極大值和極小值對小朋友來說，在思考上有些困難，常常會弄不清楚怎樣判斷才能知道最大值或最小值。例如：一數經過概數計算，取到千位數後是47686000，請問其最大值與最小值？

郭老師的方法是：

無條件進入或是無條件捨去都無法左右其極大值與極小值，所以唯一可判斷的方式就是四捨五入。

47686000

因為4捨去，所以千位數6就保留，所以是47686400；因為5進入，所以千位數原本因該是5，這樣進入後才會是47686000，所以原本數應該是47685500。這樣看來47686400應該是極大值，所以十位數與個位數也要最大，那麼正確答案就是極大值是47696499；而相對的極小值是47685500。郭老師說，只要這樣一步一步地分析，學生就會了解。

【郭慧萱老師受訪，陳可倩訪談】

對於概數的觀念無法掌握，無條件『進入』或『捨去』容易搞混

可以舉生活周遭的例子如『身上有100元，一枝筆7元，最多可以買幾隻筆』又或『一個人可以提5公斤的水，12公斤的水需要幾個人去提』。

【藍淑娟老師受訪，顧淑珍訪談】

概數問題

５８１９元要付幾張１００元才夠？學生不知該要５９張。

告訴學生5000元要拿50張100，800元要拿8張，19元也要拿一張，所以50＋8＋1＝59(張)

【洪素珍老師受訪，張如芬訪談】

比較困難的是由概數去推回來原本數的範圍。

必須要清楚的講解概數的範圍，數字由小一直變大練習，數字小的時候，學生抓得住問題，反覆練習讓學生懂得其中的相關性後，就比較能夠得心應手。

【蘇慧真老師受訪，賴姿穎訪談】

定位問題：

例如答案是76256020四捨五入求到萬位，有學生會寫76256000，有的會寫76300000

老師用郵局存錢的票讓學生填，給學生單位的觀念，再請他們做四捨五入。

【曹雅雯老師受訪，賴奕璇訪談】

小朋友不了解詞語的意義：

例：四捨五入到萬位

938506四捨五入到萬位之後答案是920000

：學生容易認為3萬無法進位而減一萬

例：四捨五入到萬位

938506四捨五入到萬位之後所得到的答案是948506

諸如此類的題目老師要多讓學生練習。

剛開始題目練習由老師講解，接下來可以請中下程度學生上台解題，當此學生有錯，請台下同學給予建議告訴他是哪裡錯誤。

藉由學生彼此之間的互相學習，學習會變的更有趣而且有效果喔！

中下程度的學生在接受大家的疑問時，可以和大家討論，進而學習。

在台下的同學要思考台上的學生是否寫的正確，能說出錯在哪裡並教導正確觀念，就是真正的學習了。

【高菁霞老師受訪，曹雅芬訪談】

對於概數中的四捨五入概念模糊。

康軒數學六上第五單元【概數】

江老師發現班上有的同學在取概數時，會分兩階段，例如：當要求學生把〝13499〞利用四捨五入法取概數到千位時，他們會將〝13499〞取為〝14000〞，而非〝13000〞。這是因為學生會從個位數開始，逐步的以四捨五入法，往高位取數，所以13499會先被取為13500，然後再被取為14000。

【江慧玲老師受訪，黃惠鈴訪談】

定位問題：

例如一萬三千零八寫作：13008小朋友很容易只寫出一個0

老師可使用定位表，因為中間雖然有兩個0，我們讀的時候只讀一個0，所以要讓他們有「個十百千萬」的觀念，四位數一個逗點。

萬	千	百	十	個
1	3	0	0	8

【侯文智老師受訪，莊小玄訪談】

六年級的學生對於極大值和極小值的問題在思考上有些困難，常常會弄不清楚怎樣判斷才能知道最大值或最小值。

例如：一數經過概數計算，取到千位數後是47686000，請問其最大值與最小值？

無條件進入或是無條件捨去都無法左右其極大值與極小值，所以唯一可判斷的方式就是四捨五入。

47686000

【沈麗瑛老師受訪，黃瓊慧訪談】

代數

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

某數：□的題型

強調對文字的理解，並且多講解題目。
某數設為( )或是□的概念提昇至x的概念連接國中數學(代數)的課程。

【許明峰老師受訪，鍾佳雯訪談】

被乘數或乘數未知的小數計算

例：有一包糖果，0.5包分給小明，小明得8顆，請問這包糖果共有幾顆？

（　）×0.5＝8

教師先把0.5的概念做澄清，讓小朋友知道0.5是的意思，然後問在黑板圖示，一包糖果的是8顆，那麼一整包有多少顆，讓同學討論。

【朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談】

代數問題

在國小六年級銜接到國中課程中，數學有十個單元是課本沒有的，其中代數問題，是很多學生不懂的，例如：58=10X+8 求X等於多少？

關於代數問題老師通常都會拿實際的數字來對照，像是58=10X+8，老師就會告訴他們10X可以想成有五個十位數，所以X=5

【江欣儒老師受訪,陳美蓮訪談】

代數的部分很弱。
例如：豬有□隻，雞有18-□隻，請問豬和雞共有幾隻腳？
學生寫不出4□+2（18-□）這種式子。如果換成豬有3隻，雞有15隻，請問豬和雞共有幾隻腳？學生會很快樂地答42隻腳。

重新講解代數的基本觀念，並說明題意一步步帶著學生做一次之後，老師會再出類似的題目讓學生練習。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

未知數的假設：

常常不理解題意
未知數的假設錯誤

這部分學生遇到的問題是往往題目看不懂，不知道要算的是哪一個？要假設的是哪一個變數，所以答案常常算不出來，這部分老師採取的方法是，將問題分類（如：年齡問題，平均問題，追趕問題，雞兔問題等等幾類），分別對不同題型做說明，提醒學生要注意的是哪些部分（像雞兔的問題，學生常常會假設兩樣變數，例題：倉庫中有一種輪胎100個，可以裝在六輪小貨車上，也可以裝在四輪汽車上，今天裝配了22輛車子，剛好將輪胎都用光，請問這些車子中，有幾輛是六輪小貨車，有幾輛是四輪汽車？這邊學生常常會將四輪與六輪分開假設各有多少輛，而沒考慮到總共有“２２＂輛這個因子）

【洪文欽老師受訪，劉昭堂訪談】

未知數的運用：

應用題的列式

一開始學生連列式都不會，所以老師先克服學生的心理障礙，解釋就像之前的算式填充式（）一樣的方法列式就對了。把未知數當成一個符號，與（）不同的，不是把答案填進去而已。

【彭雅絹老師受訪，王姿懿訪談】

未知符號的使用：

學生大多在課後會去補習班做額外的學習，而補習班在此課程的教學上，常會教學生用x、y、z…來當作未知數。但學生常常不知道這些未知符號究竟代表什麼意思，因而常常都是在亂套用。

如：20個糖果100元，10個餅乾100元，請用未知數符號來表達。照理說糖果和餅乾是分屬不同的東西，應該用二種不同的未知數來表達。但學生卻常常都用同一個未知數來表示。這樣使得算出來的結果不知道哪一個是表示糖果？哪一個是表示餅乾？

老師會讓學生了解未知數代表的意義，讓他們搞清楚未知數究竟是要拿來做什麼用？該怎麼用？讓他們先有最基本的認識，才不會瞎用、亂套用。
老師在讓學生使用未知數來表示式子時，會將要表示成未知數的部份，先用圖示來表示，使學生更明白題意。

如：20個糖果100元

老師的表示方法20 × =100

但老師會告訴學生若每一題都用圖示法，實在太浪費時間了，所以可以用簡單的符號來表示，如□、△…等。因此這一題的表示方法便可改為：20×□=100

【宋屏麟老師受訪，彭立心訪談】

對於代數類的題目，學生不太會該假設何者為未知數。

最好的方法就是多算，訓練學生精熟度。此外，老師可以問學生這題要求的是什麼，列出相關數字線索，針對不足之線索判斷是否就是欲假設之未知數。

【黃惠卿老師受訪，郭子嘉訪談】

要假設什麼為x，或是列式子學生常常不懂。

老師會說明式子前後的關係，常常會舉兩個例子的方式講解，先用比較淺的題目講解，再講深一點的題目讓學生了解代數。

【黃惠卿老師受訪，盛家絹訪談】

代數應用題的理解

文字敘述不甚了解，所以再帶入式子時就會帶錯。

先提供一些較簡單的經典題目，配合直接畫圖，讓學生熟悉應用題的形式。然後多練習抽象的題目，其實多看幾次就會了解了。

【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】

在解未知數的列式方面，學生都不太能夠完整的列式。

EX：小名代108元去買一支8元的冰棒，而他買了X支，那請問找回多少元？答案是：108－8X

但學生卻會傷透腦筋不知從何下筆。

老師的做法是位學生，那若他買了兩支請問找回多少元？學生馬上回答：92元。所以，老師會告訴學生，你就先將X帶入某一個數字那式子基本上就都會出現了！

【郭玉玲老師受訪，陳迪貞訪談】

未知數□和假設未知的東西，學生沒辦解未知數的概念。

多練習就可以改善，彭老師要學生把未知數□當成以前學過的（）來列式子，就會比較好理解了，感覺會沒那麼困難。

【彭雅捐老師受訪，詹小瑩訪談】

代數應用題的理解

文字敘述不甚了解，所以再帶入式子時就會帶錯。

先提供一些較簡單的經典題目，配合直接畫圖，讓學生熟悉應用題的形式。然後多練習抽象的題目，其實多看幾次就會了解了。

【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】

代數

先要他們列出算式，了解要先算什麼，後算什麼，前後的關係。他們通常不懂要假設什麼，所以我會要他們了解題目。

多補充，補課程不足，爲國中課程作預備。
直接運用數學公式
了解題目的意思

【黃惠卿老師受訪，邱麗蓉訪談】

代數：使用未知數符號所列出的單步驟算式題。

括弧：學生於此會用括弧標記先算，但因為式子太長會，就會加上一層層括弧，容易眼花撩亂而算錯。

等於：不太懂等於的意義，計算時會將先前答案繼續加上後來的算式，就會造成兩邊不等式。

未知數的意義：學生對於未知數( )無法將他當作一個數，因而會算錯。

括弧問題，會加入中括弧及大括弧的用法還有意義，然後還會問學生有其他列式方法，可以不需要用中括弧及大括弧，因此作一比較，讓學生來討論優缺點，希望學生選用最適合的方法。
將等於比喻天平，所以讓學生自己求算等於的兩邊是否相等，若不是則引導學生檢驗哪裡出問題，後來學生就會注意該如何才能維持兩邊一樣。
告訴學生那是一個不知道的數，且讓學生自己設計符號代表那個未知數，但是別人不知道那個符號的意義，所以在答案一開始時，就要先「設□為未知數」

所以學生慢慢知道那個符號代表未知數。

【宋屏麟老師受訪，陳小婷訪談】

應用題中的未知數不會假設：

1.告訴學生未知數用一個符號代表，本身涵義是「不知道的數」。

2.帶著學生解釋題目，一邊把算式列出來，式子列出後交給學生解題。

3.挑幾題不錯的應用題給學生練習，培養解題的敏感度。

【張庭香老師受訪，朱惠卿訪談】

未知數的假設問題：

不知應如何來假設未知數。

1.向學生解釋說明未知數的概念。

2.邊讀題目邊列式，以輔助思考。

3.多用例題來練習。

【黃惠卿老師受訪，周家珍訪談】

不易掌握之概念 (常見迷思概念)	教學者之對策
小朋友正反比的概念比較模糊。	就用遊戲來帶，如：買東西、購物，先作統計、再做表格，讓小朋友可以實際體會正、反比。正、反比是用故事帶進來的：有一個國家，他們的人民不會算術，可是明明兩種東西價錢不一樣，假設其中一個是專門種蘋果的，另一個專門種香蕉的，但是兩個人都不想一直吃蘋果和香蕉，可是蘋果一個一個長，香蕉一串一串長，那怎麼辦？沒關係我用三個香蕉跟你換兩個蘋果，如果我拿六個蘋果可以換幾個香蕉？那個關係是一定的，所以小朋友就記得比值的關係是不變的。所以要把某些東西變成數列時，小朋友會記得蘋果比香蕉不會等於香蕉比蘋果。所以把文字變成數字也會記得，公尺比段會等於公尺比段。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】
小朋友覺得正、反比的方法運算起來很容易，所以很多時候不應該用正、反比的時候，還是用正、反比來解題，例如：150公克濃度20%的糖水要稀釋成為15%的糖水應該水要加多少？小朋友解題就變成150：20=□：15，□=？	乍看之下沒有問題，其實犯了嚴重的問題是基準量的錯誤，因為150公克是糖加水而不是題目所說還要加多少水？應該是畫數線給小朋友看，使小朋友一目了然較好。（橘色部分是在濃度20%下的糖，全單位糖加水為1，綠色部分是濃度20%下的水。所以可以先求出綠色部分的重量就可知全部的單位基準量1的重量，再用15%的濃度帶入算式即可，此可出成形成性評量。例如：甲說用150：20=□：15，□=答案，請問對不對？）【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】
比值常會寫成	同學可以理解比值的觀念，可是常常忘記分數的分子、分母都要整數。【林建志老師受訪，黃琪文訪談】
比的問題(交換問題)	如西瓜2公斤10元，那麼買10公斤要多少元？可寫成「10:2＝x:10」，如果剛好是整數倍關係，學生計算較沒問題，但如果反過來問10公斤50元，2公斤多少元(或10元可以買幾公斤)？或非整數倍則學生比較不會算。黃老師認為為避免學生搞混公斤和元，所以請學生先列式子；當作被乘數未知問題，先處理(5010)=5，即1斤5元，則接下來學生很輕易可算出2斤需10元。或10元可買2斤。此策略即將多比多換成1比多或多比1。【黃玉貞老師受訪，陳芝仙訪談】
比跟比值小朋友在算比值時，有時會忘記何者在前，何者在後，例如：A：B=5：6，比值為，但小朋友會弄不清到底是還是。	玉菁老師幫小朋友想了一個小口訣，例如：A：B=5：6 比值= 前後項項口訣是「後母」，小朋友忘記時，就會想到「後母」，就知道把後項放下面。【郭玉菁老師受訪，吳照微訪談】
3：5＝，學生常會不知道誰該放分子？誰該放分母？	老師會教口訣→後母，3為前項、5為後項，所以3要放分子，5要放分母，故得答案為。【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】
比例尺：學生會畫1:3的圖，不會畫1:5的圖。	老師在實務投影機上實際畫給學生看。【郭素貞老師受訪，陳筱薇訪談】
比值：將x：y寫成分數形式時，學生會寫成，應是才是正確的寫法。	前項：後項＝（）老師教學生口訣「後母」，讓學生自然而然地聯想到後項要放在分母的位置。【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】
比與比值：學生對於「倍」數的觀念較為薄弱，通常將比化為「比值」較為困難。	例如： A : B = 5 : 6 ，教導學生5為前項，6為後項，後項當作是「後母」，所以書寫成比值時，後項要放在「分母」。【郭玉菁老師受訪，王凱儀訪談】
面積的比例問題：學生對於線段的比例很快就了解，但面積的比例問題就有點轉不過來。	這種情況，老師會以圖示的方式幫助學生理解。例如：邊長2公分的面積是邊長1公分的幾倍？圖示：【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】
比例尺的部分：在平面圖形上，正方形邊長變n倍，面積是變為ｎＸｎ倍	這邊是一個比例尺的概念，不過這裡學生對於長度的比例還算可以，較有問題的是在面積，常常學生以為邊長變為２倍，面積就變為２倍，這部分老師的教學方式是實際在黑板操作圖形，利用實體物的引導，讓學生理解面積的變動！！１ 邊長１公分，面積１平方公分２ 邊長２公分，面積４平方公分ＰＳ：若能將圖形切割，學生會更明白【洪文欽老師受訪，劉昭堂訪談】
比例的概念：為什麼2：3＝4：6	老師用調飲料的方式進行比例概念的解說。例如：請學生調出老師最愛的奶茶，兩份奶精加三份紅茶。奶精：紅茶 2：3 老師要求學生一模一樣的比例再調一杯所以一共會有兩杯調好的奶茶老師請同學算一算奶精的部份占多少？紅茶占多少？結果奶精：紅茶 4：6 【盧燕萍老師受訪，張馨月訪談】
比例的概念：對於不是整數的數，學生在概念上就無法想像。以至於在分數的約分、擴分上有其困難度。	以學生所喜歡喝的奶茶為出發，引起學生願意學習的動機且更融入生活學生也較容意想像。（如：一杯奶茶的紅茶與牛奶比例為3：2，那要喝兩杯時總共需要多少匙的紅茶和奶茶 ×2＝6：4 3：2＝6：4…一杯奶茶的比例不變）【盧燕萍老師受訪，邱耀加訪談】
比與比值的部分：學生在換算上會有疑慮	比如說１０元能買１５公克糖果；２０元能買３０公克的糖果，以下類推，這樣她們的比是１：１．５；比值是２／３，不過學生不能理解「１０元可以買１５公克糖果」＝「１公克糖果２／３元」，這部分老師會先從前半不慢慢引導學生了解比和比值是都不會改變的，等學生清楚這項定義後，在對後面的問題，用計算的方式讓學生實際理解（都是１：１．５）【洪文欽老師受訪，劉昭堂訪談】
比例關於非整數的數，學生的概念模糊。	策略：以調配奶茶的例子引起學生的興趣，來學習比例的問題。調配奶茶，紅茶和奶茶的比例要3：2，若要兩杯時，紅茶和奶茶的份量是多少？ 3╳2：2╳2＝6：4 3：2＝6：4 【盧燕萍老師受訪，黃秋萍訪談】
比跟比值：小朋友在算比值時，有時會忘記何者在前，何者在後。例如：A：B=5：6，比值為，但小朋友會弄不清到底是還是。	老師教學生在「：」的地方畫一條斜線，就知道把後項放下面。【許曉芸老師受訪，陳文淑訪談】

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

小朋友正反比的概念比較模糊。

就用遊戲來帶，如：買東西、購物，先作統計、再做表格，讓小朋友可以實際體會正、反比。正、反比是用故事帶進來的：有一個國家，他們的人民不會算術，可是明明兩種東西價錢不一樣，假設其中一個是專門種蘋果的，另一個專門種香蕉的，但是兩個人都不想一直吃蘋果和香蕉，可是蘋果一個一個長，香蕉一串一串長，那怎麼辦？沒關係我用三個香蕉跟你換兩個蘋果，如果我拿六個蘋果可以換幾個香蕉？

那個關係是一定的，所以小朋友就記得比值的關係是不變的。所以要把某些東西變成數列時，小朋友會記得蘋果比香蕉不會等於香蕉比蘋果。所以把文字變成數字也會記得，公尺比段會等於公尺比段。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

小朋友覺得正、反比的方法運算起來很容易，所以很多時候不應該用正、反比的時候，還是用正、反比來解題，例如：150公克濃度20%的糖水要稀釋成為15%的糖水應該水要加多少？

小朋友解題就變成150：20=□：15，□=？

乍看之下沒有問題，其實犯了嚴重的問題是基準量的錯誤，因為150公克是糖加水而不是題目所說還要加多少水？

應該是畫數線給小朋友看，使小朋友一目了然較好。（橘色部分是在濃度20%下的糖，全單位糖加水為1，綠色部分是濃度20%下的水。所以可以先求出綠色部分的重量就可知全部的單位基準量1的重量，再用15%的濃度帶入算式即可，此可出成形成性評量。例如：甲說用150：20=□：15，□=答案，請問對不對？）

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

比值常會寫成

同學可以理解比值的觀念，可是常常忘記分數的分子、分母都要整數。

【林建志老師受訪，黃琪文訪談】

比的問題(交換問題)

如西瓜2公斤10元，那麼買10公斤要多少元？可寫成「10:2＝x:10」，如果剛好是整數倍關係，學生計算較沒問題，但如果反過來問10公斤50元，2公斤多少元(或10元可以買幾公斤)？或非整數倍則學生比較不會算。黃老師認為為避免學生搞混公斤和元，所以請學生先列式子；當作被乘數未知問題，先處理(5010)=5，即1斤5元，則接下來學生很輕易可算出2斤需10元。或10元可買2斤。此策略即將多比多換成1比多或多比1。

【黃玉貞老師受訪，陳芝仙訪談】

比跟比值

小朋友在算比值時，有時會忘記何者在前，何者在後，例如：A：B=5：6，比值為，但小朋友會弄不清到底是還是。

玉菁老師幫小朋友想了一個小口訣，

例如：A：B=5：6 比值=

前後

項項

口訣是「後母」，小朋友忘記時，就會想到「後母」，就知道把後項放下面。

【郭玉菁老師受訪，吳照微訪談】

3：5＝，學生常會不知道誰該放分子？誰該放分母？

老師會教口訣→後母，3為前項、5為後項，所以3要放分子，5要放分母，故得答案為。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

比例尺：

學生會畫1:3的圖，不會畫1:5的圖。

老師在實務投影機上實際畫給學生看。

【郭素貞老師受訪，陳筱薇訪談】

比值：

將x：y寫成分數形式時，學生會寫成，應是才是正確的寫法。

前項：後項＝（）

老師教學生口訣「後母」，讓學生自然而然地聯想到後項要放在分母的位置。

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

比與比值：

學生對於「倍」數的觀念較為薄弱，通常將比化為「比值」較為困難。

例如： A : B = 5 : 6 ，

教導學生5為前項，6為後項，後項當作是「後母」，所以書寫成比值時，後項要放在「分母」。

【郭玉菁老師受訪，王凱儀訪談】

面積的比例問題：

學生對於線段的比例很快就了解，但面積的比例問題就有點轉不過來。

這種情況，老師會以圖示的方式幫助學生理解。

例如：邊長2公分的面積是邊長1公分的幾倍？

圖示：

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

比例尺的部分：

在平面圖形上，正方形邊長變n倍，面積是變為ｎＸｎ倍

這邊是一個比例尺的概念，不過這裡學生對於長度的比例還算可以，較有問題的是在面積，常常學生以為邊長變為２倍，面積就變為２倍，這部分老師的教學方式是實際在黑板操作圖形，利用實體物的引導，讓學生理解面積的變動！！

１

邊長１公分，面積１平方公分

２

邊長２公分，面積４平方公分

ＰＳ：若能將圖形切割，學生會更明白

【洪文欽老師受訪，劉昭堂訪談】

比例的概念：

為什麼2：3＝4：6

老師用調飲料的方式進行比例概念的解說。

例如：

請學生調出老師最愛的奶茶，兩份奶精加三份紅茶。

奶精：紅茶

2：3

老師要求學生一模一樣的比例再調一杯

所以一共會有兩杯調好的奶茶

老師請同學算一算奶精的部份

占多少？紅茶占多少？

結果

奶精：紅茶

4：6

【盧燕萍老師受訪，張馨月訪談】

比例的概念：

對於不是整數的數，學生在概念上就無法想像。以至於在分數的約分、擴分上有其困難度。

以學生所喜歡喝的奶茶為出發，引起學生願意學習的動機且更融入生活學生也較容意想像。

（如：一杯奶茶的紅茶與牛奶比例為3：2，那要喝兩杯時總共需要多少匙的紅茶和奶茶 ×2＝6：4 3：2＝6：4…一杯奶茶的比例不變）

【盧燕萍老師受訪，邱耀加訪談】

比與比值的部分：

學生在換算上會有疑慮

比如說１０元能買１５公克糖果；２０元能買３０公克的糖果，以下類推，這樣她們的比是１：１．５；比值是２／３，不過學生不能理解「１０元可以買１５公克糖果」＝「１公克糖果２／３元」，這部分老師會先從前半不慢慢引導學生了解比和比值是都不會改變的，等學生清楚這項定義後，在對後面的問題，用計算的方式讓學生實際理解（都是１：１．５）

【洪文欽老師受訪，劉昭堂訪談】

比例

關於非整數的數，學生的概念模糊。

策略：以調配奶茶的例子引起學生的興趣，來學習比例的問題。

調配奶茶，紅茶和奶茶的比例要3：2，若要兩杯時，紅茶和奶茶的份量是多少？

3╳2：2╳2＝6：4 3：2＝6：4

【盧燕萍老師受訪，黃秋萍訪談】

比跟比值：

小朋友在算比值時，有時會忘記何者在前，何者在後。

例如：A：B=5：6，比值為，但小朋友會弄不清到底是還是。

老師教學生在「：」的地方畫一條斜線，就知道把後項放下面。

【許曉芸老師受訪，陳文淑訪談】

其他相關概念

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

未能將「=」與等價的概念聯結

在應用問題處理和、差、積併式時，常會出現等號左右不等的情形。如：12－(15－7)＝(15－7)＝12－8＝4

學生想說括號內先做，再將12減去括號內運算的結果8得到4，他的目的在得到結果，但未考慮「=」左右的等值概念。

黃老師認為此部分宜讓學生透過比大小的方式，再一次釐清＝、＞與＜符號的概念，如：

12－(15－7)  (15－7)

【黃玉貞老師受訪，陳芝仙訪談】

對於等號左右移位換算求答時，有些概念模糊。

ex：5×(12－□)＝50

 21÷□-5＝2

 15×3－□÷5＝41

記住括號要先算，先乘除後加減的概念，而且計算由左至右。
可以先行計算時先算出來，再依序移位。
將欲求之未知數變成單獨的一邊，而且未知數前的運算符號必須為＋或×

如左題：

 12－□＝50÷5＝10 □＝12-10＝2

 (21÷□)=2+5=7 □=21÷7＝3

 45－(□÷5)＝41

45－41＝□÷5 □＝4×5＝20

【陳方旼老師受訪,陳麗玉訪談】

植樹問題：兩端都種樹、兩端都不種、一端種、包圍起來的圖形…等，要加一或減一會搞不清楚。

例：一400公尺的圓形跑道，要種50顆樹，請問樹與樹間的距離應多少?

以相同情境，將數字作最簡化處理，讓學生類推，然後多做練習。

例： ↑ 兩棵樹，兩間隔→

↑ 400÷2＝200

↑ 三棵樹，三間隔→

↑ ↑ 400÷3＝400/3

所以50顆樹→400÷50＝8(公尺)

【施雅倫老師受訪，楊宜穎訪談】

植樹問題；學生不懂如果前後皆有種樹則樹木的總數等於間隔數＋1；如果前面種，後面不種，則樹木的總數等於間隔數。

對於植樹問題，老師會先以手指頭來作為解釋的教材（前後皆有種則五指全開；後面沒種則將拇指收下來。）讓學生自己能自己的手指來思考問題，比較能帶入植樹中的概念。

【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】

植樹問題方面，學生經常分不出何時要加一，何時要減一。

李老師此時會教導學生先將樹木的數字縮小至三左右的數字，之後再由這種縮小後的數字去觀察應該要加還是要簡。然後再以同理的方式去算數量較大的題目。

【李秀蓉老師受訪，曾建民訪談】

間距問題

種樹問題：

老實說這種問題我以前也常常搞不清楚，老師用的方式是先讓他們自己先將題目的數字縮小，去推算是否要+1，讓他們親身體驗自然他們很快就能懂了，老師說我們不要常常給他們用太多我們大人的觀念去解釋，只要讓他們去體驗就對了，比我們教n百遍還有效。

【許薇寧老師受訪，林君玲訪談】

植樹問題，如：『加1、減1』的概念。

用畫圖（線段）解的方式，由少數到多。如：前後都種。

【周桂蘭老師受訪，羅竹平訪談】

間隔數、距離、間隔長之計算

例：長方形土地一塊，長72公尺，寬48公尺，在其周圍每3公尺種樹一棵，四個頂點都要種，可種幾棵樹？

到底是要加1,還是加2,還是不要加呢？很多同學都死背公式，先算出長方形的周長，周長即為種樹的總距離，再利用距離÷間隔長＝間隔數，包圍起來的圖形～間隔數＝樹數。老師覺得剛開始教這部分的概念時，會出題目讓學生了解距離與間隔數的關係，如圖所示。

【朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談】

打折問題

學生不知道8折跟20%兩者之間的關係是相反或是相同？或是7折是什麼意思……，老師所採取的方法就是，讓學生了解所謂的8折，就是百分之八十的意思。然後會以打折大家搶購的觀念讓他們知道打折後的錢一定是少於原本的價錢，如果他們算的有錯馬上看價錢多或是少就可以知道了。

【許薇寧老師受訪，林君玲訪談】

打折的觀念

在做一些應用題型時，學生常會對於打幾折有迷思，例如打85折是什麼意思？7折是什麼意思……，老師所採取的方法就是，讓學生了解所謂的85折，就是百分之85的意思，至於打折後的價錢究竟是多少，用乘法還是除法，就讓學生自己體會。

【楊蔚如老師受訪，余曉婷訪談】

除數轉換成整數時，位數常會算錯。

剛開始時會使用定位板，並分析(以下題為例)1.25的100倍就是125，6的100倍是600，6÷1.25就是600；125……

如果仍然不了解的話，就會要他們借幾位，在除數借的地方畫上圈圈，而被除數也要相對的畫上圈圈(補0)。

【黃來興老師受訪，陳俞君訪談】

現今數學課本不再以數線的圖為教學準則，所以這方面學生變的要憑空想像、很難理解。

老師舉實體例子讓學生了解。

用簡化過的數字去算（例如650改成3…），學生了解之後再套回原題。

【黃惠卿老師受訪，郭子嘉訪談】

植樹問題。

學生不懂如果前後皆有種樹則樹木的總數等於間隔數＋1；如果前面種，後面不種，則樹木的總數等於間隔數。

對於植樹問題，老師會以畫圖的方式來作為解釋的教材，並以自己的手指為輔。這樣子學生可以比較好了解。

【沈麗瑛老師受訪，黃瓊慧訪談】

先備知識不足，導致進階的學習困難或是成效不彰。例如：

（1）分數概念

（2）九九乘法

由於原本在中年級應該學會的數學知識沒有完整的概念，因此學習進階的內容會容易模糊不清。

（1）分數概念

真假分數能夠分清楚，但是在分數的加減運算上出現問題，因此需要先複習，並且讓學生練習。

分數計算的乘除容易錯，除法需要分子分母顛倒，且將除變成乘，所以老師會不斷提醒學生，當看到除號時，要先將分子分母顛倒，並且立刻將除號變乘號。

（2）九九乘法

乘法影響到的不只是計算乘法的題型，也影響到全部的計算，不論是小數或是整數或是分數，老師會請他們回家背熟。

【紀麗鳳老師受訪，林文瑛訪談】

除法觀念不清

九九乘法不熟練，所以計算很慢，還有不知道商要怎麼取。

沒辦法將兩個計算步驟以上的合成一個算式。

九九乘法要在背熟，然後多做幾次題目計算給他們看，講解練習講解練習，用圖示法實際畫給他們看，讓他們慢慢找出規律來。多練習增加他們的計算能力。

老師跟學生說很多算式可以合併起來算，再慢慢算給他們看。

【王蘭亨老師受訪，方郁琪訪談】

在做「火車座位」推測時會有困難

巴斯卡三角形就是如下圖的一個金字塔形狀的數字三角形，應用在五年級的數學中，變成火車座位的推測：

火車座位

單號　　雙號

左窗　　左道右道　　右窗

1 3 4 2

5 7 8 6

．．．．．．．．．．．．．．

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 　5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

因為這種座位不是按照順序來安排的，所以老師會讓學生玩「對號入座」的遊戲，讓他們按照老師喊的號位來入座，藉以熟悉此座位的規則，因為學生都愛玩遊戲，所以效果很不錯

【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】

不懂乘法交換律:

ex.一隻筆5元,三隻筆幾元?

錯誤 3 X 5

正確 5 X 3

學生不懂算出來的答案都一樣為什麼不可這樣算?

老師解說

必須以被乘數的單位為單位,不能以乘數為單位,因為必須符合題目所要求的單位。

多提醒。

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

九九乘法表背不熟,導致算數很慢

若要求他背,但會背了,不見得能將他所背的運用出來。故也是慢慢來,也許有一天他就會了!

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

植樹問題：

關於植樹的問題其題型有很多種，像是：兩端都種樹、兩端都不種、或是一端種一端不種、包圍起來的圖形…等，要加一或減一常會搞不清楚。

例：一400公尺的圓形跑道，要種50顆樹，請問樹與樹間的距離應多少?

建議以相同情境，將數字作最簡化處理另外再加上畫圖，可以幫助理解，讓學生類推，然後多做練習。

例： ↑ 兩棵樹，兩間隔→

↑ 400÷2＝200

↑ 三棵樹，三間隔→

↑ ↑ 400÷3＝400/3

所以50顆樹→400÷50＝8(公尺)

【賴宏禮老師受訪，黃卿如訪談】

單位公尺的換算

例如：1立方公尺=1000000立方公分，推論的部份薄弱，且生活經驗中不易用到，也或許之前在建構上，都是屬於簡單的數字大小，遇到如此大的數字易太抽象。

可以有生活中舉例是最好，但是有也與學生不太相關，所以只能藉由題目練習來增加熟悉度。

【朱雅芬訪談，林月梅老師受訪】

單位的換算

如：立方公尺與立方公分的換算，數字太大，即使學會換算，但考試時容易緊張、時間不夠，往往因此而成績不佳。

1平常教學會舉生活實例，幫助學生換算。

2考試時，會建議學生一拿到考卷先寫下所背的換算單位，或許這個工具就可以幫他進行思考解題，老師覺得工具會影響解題，所以老師盡量幫助學生學習外相對也能得到成就感。

【陳小婷訪談，宋屏麟老師受訪】

數與量—

單位換算

立方公尺與立方公分的換算，公噸和公斤間的換算等等，尤其數字大時易算錯。

不常用的如公秉公畝等等換算倍老師不要求學生強記，比較常用的（如公斤公克、立方公尺公分）才要記住，平時學生做題目的時候，就時時提醒他們換算時要數清楚。

【朱惠卿訪談，張庭香老師受訪】

不會應用（缺少邏輯分析思維）

在教學過程中，老師已經教過最大公因數與最小公倍數的概念，但是當遇到應用題的時候，學生會完全忘記這些概念，而認為老師沒有教過。例如：在長與寬分別為28和24的長方形中，將這個長方形切割成許多等大的正方形，請問正方形的邊長最大可以是幾公分？這就是應用最小公倍數的概念，但是多數學生幾乎答不出這些題目，除非習作或課本有類似的題目，所以老師盡量會出一些課本沒有的題目，讓學生動動腦，訓練他們的推理能力。

另外，如有題目出現：霓虹燈有紅、黃、綠燈，紅燈3秒閃一次，黃燈5秒閃一次，綠燈7秒閃一次，請問三個燈同時閃一次要幾秒？這也是「最小公倍數」的問題，但是學生會認為老師沒教過。

【許庭瑤訪談，陳淑慧老師受訪】

推理能力不佳

在推理需多少根火柴棒時，無法推理出下列公式

主因為學生不會主動求知，等著老師說答案，或者只是懶的思考，認為學習的責任不在自己。只要說一句「不懂」老師便會想出其它的方法來教學。

4 4+3 4+3×2

代數

先要他們列出算式，了解要先算什麼，後算什麼，前後的關係。他們通常不懂要假設什麼，所以我會要他們了解題目。

多補充，補課程不足，爲國中課程作預備。
直接運用數學公式
了解題目的意思

【邱麗蓉訪談，黃惠卿老師受訪】

代數—

應用題中的未知數不會假設：

1.告訴學生未知數用一個符號代表，本身涵義是「不知道的數」。

2.帶著學生解釋題目，一邊把算式列出來，式子列出後交給學生解題。

3.挑幾題不錯的應用題給學生練習，培養解題的敏感度。

【朱惠卿訪談，張庭香老師受訪】

代數—

未知數的假設問題：

不知應如何來假設未知數。

1.向學生解釋說明未知數的概念。

2.邊讀題目邊列式，以輔助思考。

3.多用例題來練習。

【周家珍訪談，黃惠卿老師受訪】

單位換算的時候學生不易記住單位之間的關係，非常容易搞混或是換錯單位

老師說強制學生把基本的換算單位背下來，例如常用的單位：

公厘、公分、公尺、公里之間的關係
公克、公斤、公噸之間的關係

諸如此類……等等

另外，多舉例日常生活中的實物來舉例子讓學生感覺到之間的大小差異

例如：

學校操場(適合用來舉例公尺單位)

文具用尺(適合用來舉例公分單位)

養樂多(適合用來舉例立方公分單位)

從台北到基隆(適合用來舉例公里單位)

諸如此類……等等

多讓學生做題目，做多了熟練後就懂了

【陳鈴瓊老師受訪，劉哲瑄訪談】

「有的學生會運用短除法」

【蘇惠英老師受訪，陳蒔萱訪談】

植樹問題

關於植樹的問題其題型有很多種，像是：兩端都種樹、兩端都不種、或是一端種一端不種、包圍起來的圖形…等，要加一或減一常會搞不清楚。

例：一400公尺的圓形跑道，要種50顆樹，請問樹與樹間的距離應多少?

建議以相同情境，將數字作最簡化處理另外再加上畫圖，可以幫助理解，讓學生類推，然後多做練習。

例： ↑ 兩棵樹，兩間隔→

↑ 400÷2＝200

↑ 三棵樹，三間隔→

↑ ↑ 400÷3＝400/3

所以50顆樹→400÷50＝8(公尺)

【賴宏禮老師受訪，黃卿如訪談】

三、圖形、形體概念

平面圖形

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

對於「面積」的定義易與「周長」相混淆。

陳老師會讓學生再次釐清面積的概念－面積是指某一封閉二維區域的大小，也可以表示對此一特定區域被數個單位量所覆蓋的程度。讓學生對於表現於平面的面積概念及意義都能掌握清楚。如此一來，學生對於「周長」的概念也能一併釐清。老師也會在課堂上提供學生練習的機會。

【陳奇勛老師受訪，陳姿伊訪談】

平面圖形面積：

長方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積計算，學生常會搞混。

以圖解方式，用色紙剪貼移位，求得面積的公式算法，避免學生死背。
讓學生多加練習，並請學生上台說出自己的想法或做法，以釐清學生的概念。

【曾慧芬老師受訪，林珍伶訪談】

較複雜的面積計算對學生來說是容易出錯的。

老師在教複雜的面積時，如果學生無法明白，老師會利用紙去剪貼的方式讓學生實際去操作。學生親自去體驗過後，對於同樣的面積計算也會變的興趣大增。

【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】

複合圖形對小朋友比較難，有些小朋友可能空間概念比較差，用分割或填補的方法，有時轉不過來。

老師解決方式是先分開成小朋友易於了解的，老師覺得一些基本的圖形了解後，如果平時操作一下或是有小朋友小時玩過七巧板，這些問題比較不會碰到。或是玩一些圖形板，讓小朋友去了解原來圖形的分割概念，會對圖形比較清楚一點。（習作上都有附件，讓小朋友實際去剪下來操作組合起來，會比較了解。）

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

面積單位的換算：平方公尺、公頃、公畝之間的換算還是有同學會算錯。老師在解說的時候都聽的懂，但是只要放在一起作比較性的練習題時會寫錯。EX:比一比，填上 > 或 < 或 = 。

50.5公畝( )5050平方公尺。

3公畝( )0.003公頃。

【陳芳姿訪談】

面積、體積、容積、長度、重量等單位常弄錯。

【葉詠琪訪談】

這點應該是學生不用心才會算錯。要要求學生仔細看清楚，分辨誰大誰小，而不是只想趕快寫完。

【陳芳姿訪談】

注意學生粗心的毛病，多次的練習的機會。

【葉詠琪訪談】

學生對於平方公分、立方公分等觀念一開始會難以體會。

李老師會先拿實體的平面教具與立體教具給學生看，並且說明所謂平方就是平面物的面積，立方就是立體物的的體積。

【李秀蓉老師受訪，曾建民訪談】

對於算土地面積中算灰色陰影的部分產生困擾？

1.老師會利用剪紙來剪出圖形並且拼圖來理解有多少個圖形。

2.再運用學生已知的面積公式來解題。

3.多練習題目。

【鄭聿芬老師受訪，陳建成訪談】

線段vs面積vs體積的單位：有的學生對於三者㎝、㎝²、㎝³的單位會寫錯。

3㎝

2㎝

1.解釋三種單位所代表的不同意義。

2.列算式的時候將單位一起寫出來：

3㎝×2㎝＝6㎝²

（數字相乘，單位也相乘）

【盧燕萍老師受訪，吳靜芬訪談】

面積、體積的計算，可能是中年級時概念不清楚，單位會搞錯。例如：三角形面積是底×高除以2，會記成長×高除以2，或是正方形面積為邊長×邊長，還是會記成邊×高，會把不同公式的單位混在一起。

公式：多練習、多算題目。考試時單考公式，反覆的測驗。

體積：利用積木的操作，從頭講解一次定義。

【李幸儀老師受訪，黃羿菁訪談】

不了解三角形公式原因。

證明清楚。

【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】

三角形面積公式的記憶與應用：學生時常會忘記÷2

老師先以平行四邊形為例子

再說明三角形是平行四邊形的一半

對於較不常用的單位換算，常會出錯：
公升換算成毫公升，學生可以很快反應1公升=1000毫公升，但像1公畝=100平方公尺等較少用到的單位換算，學生常常會搞不清楚。

老師會繪畫圖輔助，讓學生更容易記起來之間的換算。

1 m²100 m²＝1公畝10000 m²＝1公頃多練習，學生就可以自然而然的背起來了。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

三角形公式會忘記除以2：

例如：底為3公分，高為4公分的三角形，其面積為多少？學生的式子常寫成
3×4＝12

忘記還要÷2這個動作

老師會先問三角形怎麼來的？學生回答平行四邊形後，老師畫出平行四邊形，接著問平行四邊形的面積怎麼求？再從圖中強調三角形只是個平行四邊形，所以要記得算三角形面積要除以2。
同樣題型的題目，請學生回家後多加練習。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

找三角形的高

學生找三角形的高，基本上沒什麼問題，但是鈍角三角形，學生常會找錯，如下圖所示：

玉菁老師說學生找鈍角三角形的高，通常都會忘記要把底延伸，才能找到正確的高，所以在教這個單元時，一定要跟學生強調鈍角三角形的不同，首先要找出兩點，然後把線拉長，才能找出正確的高，而且要讓學生不斷練習。

【郭玉菁老師受訪，吳照微訪談】

三角形與四邊形畫高。

90度直角的概念學生大致能釐清，但對圖形的高較不易理解，需藉由直尺及三角板輔助之。

【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】

幾何圖形面積的運算有些人對“高”的定義不清

以圖來輔助教學，讓學生時常利用直角三角板練習，學習作高。

【許明峰老師受訪，鍾佳雯訪談】

四邊形面積的計算不能舉一反三：計算四邊形面積部分，學生無法體會平方公分、平方公尺的差異，對面積的認識也很籠統模糊，多只會死背公式計算，一旦忘記公式，不知如何變通求出答案。

將學生帶至校園，利用可供教學的環境，讓學生選定定點分組練習先預估後再實測，使他們能實地體會大小、關係。在長方形、平行四邊形、梯形等四邊形的面積計算，則由學生自己利用同面積大小的三角形圖卡拼湊，了解彼此間相互關係，知道圖形可區分成數個三角形，接著，老師再帶入公式教學，學生較容易理解公式緣由及推理出面積算法。

【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】

四邊形概念

(分不大清楚四邊形的種類)

老師說三角形方面學生問題比較少，但在四邊形方面學生可能會有點搞混，看到她們作題時會發現他們對於平行四邊形、正方形、跟長方形有迷思，學生會認為正方形就是正方形，為什麼也會是平行四邊形，由此可知他們對於四邊形的概念還不是很清晰，所以老師經常在這部分會加強個種四邊形的定義，然後再給學生作題前也會再讓學生複習一下定義，然後才讓學生開始作題，並且有時也會抽問學生：「這個圖為什麼是正方形也是平行四邊形？」目的是為了了解學生是否釐清觀念並在加深他們的印象。

【林佑真老師受訪，鄭子盈訪問】

高

算面積時，三角形(底×高÷2)、平行四邊形(底×高)需要先學會畫「高」。

哪個是底邊？垂直畫高畫哪裡？什麼時候需要畫輔助線？這些都是小朋友常見的問題。

選取一邊為底邊。
提醒垂直的概念。
畫高(先從不需要畫輔助線的題目開始)。
加入需要輔助線的題目。(輔助線的需要應視底邊的選取而定，學生只要正確都應算對！)

Ex：

底邊

(☆ 注意：一定要在黑板上實際畫給學生看!)

【何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談】

學生在畫多邊形時，如果是三角形、四邊形、五邊形時，學生還能畫出來。但是一旦大於六邊形之後，學生常無法馬上畫出來，常畫得歪七扭八的，甚至無法完成。

余老師說這時她會請小朋友畫出圓形，再對圓形進行分割；例如為要求同學畫出八邊形，就請同學先在圓周上畫出8個點，再以直線聯接這8個點，這樣同學就能輕易畫出多邊形。

【余幸秋老師受訪，林怡伶訪談】

多邊形概念不清楚：

學生在學習多邊形單元，常會需要找出所包含的圖形有哪些或各有幾個，但解題時，無論由幾個三角形拼成或哪些圖形構成，多邊形對他們而言都很抽象，以致於答案的個數、圖形種類，易少算或重覆算。

例：下列圖片中有哪些正多邊形？

用信封、色紙做成各種多邊形的教具，在教學時輔助解說，並讓學生自己帶色紙實際操作，剪成幾個三角形，使學生分組討論，共同玩玩看、拼拼看，他們能發現各種多邊形的組成結構，經將抽象具體化的實作後，便可進一步讓學生觀察生活中具有多邊形圖形的物品與設備。

【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】

很多同學在分割多邊形時(分割為三角形算多邊形內角和)，會發生錯誤。因此算出來的內角和也跟著發生錯誤。

余老師說她會請同學利用剪紙的方式把多邊形所畫分出來的三角形剪下來，請學生檢驗自己的畫法是否合理。畫成圖一的學生便可發現，他們所算的角合起來恰好等同於四邊形的四個角(2個三角形內角和360度)；畫成圖二的學生則會發現他們多算了360度。

【余幸秋老師受訪，林怡伶訪談】

圓面積的計算缺乏保留概念：在計算圓面積時，學生能算出全圓、半圓的面積，但只要將圓略作變化，分作幾等分後組成圖形，學生一見由圓切割而成的複雜圖就不會算了，完全不知如何著手。例：

學生能算出左邊的答案，但遇到變化的右邊圖形時，通常都束手無策。

當學生具有全圓、半圓、1/4圓的圓面積計算基礎後，老師可特別設計一堂課，讓學生現場畫圓剪下，組合各種形狀，再藉由小組討論、全班分享中，發現這些是全圓、半圓拆開的圖，結合起來就是全圓、半圓，學生能具有形狀變、面積不變的保留概念後，就能分析題型了。

【劉莉雯老師受訪，吳佩玲訪談】

圓週率

學生平常以接觸方形為多，圓則較少接觸，且圓週率實屬抽象概念，學生不易理解。

鄒老師對於此問題也採實地操作的方式，協助學生建立圓週率的概念，利用實地測量生活中不同圓柱體的周長，如杯子、寶特瓶、鐵罐等，接著將測量出來的長度除以所測量的圓柱體直徑，所得結果即圓週率，且數字近於3.14…，透過這種實際測量並加以計算的方式，加強學生對於圓週率的概念。

【鄒榮宗老師受訪，劉秀娟訪問】

圓面積的變化題。（圖題）

【張雅芳訪談】

五下圓面積單元，屬半格的格子，不滿一格的算半格，學生很容易忘記算出來不滿一格的要除以二，而且也不知道為什麼要算半格的原理。

學生沒有先看課本內容以及老師也沒有看教學指引之下，老師以及學生用科學求證的精神來算半徑10公分的大約面積。

方法:

在方格紙上畫上半徑為10公分的圓。
要小組利用各種方法來算出此圓的面積。

結果:

各組學生利用不同的方法算出來，老師主要的用意是讓學生知道兩個半格可以湊出一個全格的原理。學生的估計方法之一如下圖﹕

學生不用老師教就知道某兩個可以湊成一格的「關係洞察」。

【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】

學生很難理解圓面積公式的原理中的排成的長方形為什麼是周長的一半，如右圖所示。學生很難去理解此部分，會以為那長應該是圓周長才是。

老師會以軟性磁鐵剪成這樣的形狀，將圓切成32塊，然後實際要學生上去貼，然後讓學生發現他的邊長只有用16塊組成的，用這樣讓小朋友親自去體會比較容易理解。

【陳淑鈴訪問，黃美惠整理】

學生對於題目要求的是圓周長或是圓面積常常會搞不清楚。

老師會再一次告訴他們圓周長與圓面積與何差異，之後再讓學生看一遍題目，看完題目之後，老師再講解一次題意。

【李中莉老師受訪，林季伶訪談】

求圓周長的問題

學生已知「圓周長÷直徑＝3.14」，若已知直徑求周長，學生會用「3.14×直徑」來算。但是題目若是已知半徑求圓周長,學生就感到困惑，不知要「半徑×2×3.14」

學生對直徑和半徑沒有很清楚，所以老師會先澄清半徑與直徑的概念。
再劃一個半徑３公分的圓，以實測的方式測量圓的周長，再用３×3.14的式子來算，看看答案是不是和實際量出的結果一樣。
若不一樣再和學生討論，為什麼？那應該要怎麼做？

【洪素珍老師受訪，張如芬訪談】

扇形面積

對於面積的計算部分會有很大的問題，譬如說：與正方形重疊的部分或者是二個形體緊靠的面積問題。

教師先讓學生畫大的正方形再將四個角改成1/4圓的扇形，同時以「你用哪些形狀的圖形拼成的?「它們的面積各是多少?」合起來多少來引導學生。

【陳秀真老師受訪，蔡宛蓉訪談】

扇形：周界都只算到圓弧的部分，忘了加上兩邊的半徑長。或是在計算圓心角的時候，常會忘記乘上扇形的比例，EX:1/8圓的扇形，求圓心角？學生會忘記去乘上〝1/8〞。

請學生細心閱讀題目的要求。並訓練學生在看題目時，將題目的重點畫線或圈起來。

【陳芳姿訪談】

扇形面積的計算：

學生對於扇形面積的計算常常會有混淆的形情產生。如右圖所示：

用圖形分解的方式讓學生了解：

如此一來學生能更加了解算法。

如何求得貓眼部份面積？

可看出學生對圖形的概念都不太清楚。

利用剪紙的方式，讓學生具體的知道貓眼的部分是如何形成的。

貓眼 = +-

【李中莉老師受訪，林季伶訪談】

學生對於算

像這種要求綠色部分

面積的概念並非容易

掌握。

1.老師會將這種題目的圓補畫出來，

讓小朋友明確的看出正方形中的扇形面積是圓的1/4

2.老師會拿出已做好的圖卡教具實際說明給學生聽，圖

卡如下：

這些都是拼圖式的圖卡，讓學生清楚的看出題目所要

求的綠色橄欖形面積，是二個扇形面積減去正方形面積就可求到。

【林盈弟老師受訪，林育秀訪談】

圓面積的計算

例：求藍色面積是多少？

學生對圖形之整體及部分常未能明確掌握，以致對圓形面積之計算不知如何下手。老師會製作圖卡，與同學一同討論，一同解題。以左邊例題為例，老師會先在黑板貼上一個半徑10公分的圓，再分成四等分，請學生計算這的圓面積是多少。然後再拿出一個直徑為10公分的圓，請同學計算的圓是多少。最後再請問同學如何算出藍色面積是多少？

【朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談】

圓面積相關問題

有甲、乙兩個圓，甲圓的半徑為乙圓的2倍，學生常常誤以為直徑就會為4倍，此時，可讓學生實際計算出兩個圓的直徑再進行比較，老師則必須強調直徑與半徑的倍數會一樣。此外，也必須強調圓周長及面積的倍數關係。

【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】

扇形(求周長)：

在求扇形的周長時，學生常常會忘記加上兩條半徑的部分，特別是半圓，常會忘了加上直徑。

如：

6 2 3.14=37.68

37.68 2=18.84

老師會請學生用繩子為成一個半圓，再以引導方式問答，讓學生了解到半圓是由一個半圓弧加上一條直線所圍成的，再導入半圓周長的公式→

→6 2 3.14=37.68

37.68 2=18.84

18.84+12=30.84

A：30.84cm

【潘怡如老師受訪，蔡宜驊訪談】

學生搞不清楚圓周周長與圓面積2。

學生覺得半徑的2倍跟半徑的平方(也就是半徑x半徑)是一樣的。因為他們認為都是2個半徑，所以算法相同。

老師直接計算讓學生看，證明，半徑x2與半徑x 半徑不相同。

【蔡宜真老師受訪，蔡佩蓁訪談】

扇形：

國小與圓有關的課程裡，學生小四學圓的半徑、直徑與面積的概念；小五級學圓周長；小六學圓弧、角度，小六時學生對於圓的概念尚未十分熟悉，又要學扇形的概念，使得學生在算圓與扇形兩個概念彼此轉換的題目產生問題。例如題目給圓周長要學生求扇形面積，學生無法活用圓與扇形的概念計算出正確答案。

將解題步驟一部部拆解，不斷地重複正確的解題步驟給學生知道。

【郭素貞老師受訪，陳筱薇訪談】

圓週率：

學生平常接觸方形為多，圓形則較少接觸，且圓週率實屬抽象概念，學生不易理解。

鄒老師對此問題也採實地操作的方式，協助學生建立圓週率的概念，利用實地測量生活中不同圓柱體的周長，如杯子、寶特瓶、鐵罐等，接著將測量出來的長度除以所測量的圓柱體直徑，所得結果即圓週率，且數字近於3.14…，透過這種實際測量並加以計算的方式，加強學生對於圓週率的概念。

【鄒榮宗老師受訪，鄭筱芸訪談】

圓的斜線面積：

學生對於斜線部分的面積之求法比較不清楚。

遇到計算斜線面積的題目，老師會教學生拆成數個圖，然後加加減減求出答案。（老師表示：偶有學生計算過程出錯，這種情形只能靠多練習來補強。）

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

不規則圖形計算面積：

學生對於不規則面積，不知要從何處下手。

由於課程設計會先教規則圖形的計算，所以計算不規則圖形時，指導學生畫成規則圖形，再進行計算。老師並且建議以累「加」數個圖形來計算，避免以一個大圖形「減」去數個小圖形，因為學生對於加減法的概念並不相同，加法較易被接受。

【郭玉菁老師受訪，王凱儀訪談】

三角形面積：

學生計算這種題目多會忘記÷2。

老師會向學生導原因（輔以圖示），讓學生了解三角形的面積是四邊形面積的一半，所以要÷2。

　　　　　　　　　四邊形面積＝長×寬

　　　　　　　　　三角形面積＝（長×寬）÷2

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

三角形面積及平行四邊形的面積：

三角形面積及平行四邊形的面積如何求。

老師慢慢解釋三角形面積及平行四邊形的面積如何算，其後，每天抽空，讓小朋友默寫公式，並且，藉著多做練習題，自然就把公式背起來。

【唐雅蘭老師受訪，黃珮伶訪談】

三角形的問題：

有些學生分不清鈍角或是銳角三角形。

老師說雖然這樣的學生並不多，但是還是要注意一下。對於在下定義的時候變要清楚明確，像是「鈍角」就是代表角的鈍鈍的，所謂的鈍鈍的就不是很尖的，只要3個角中有一個角是屬於這樣鈍鈍的，這個三角形就是「鈍角三角形」。老師說只要定義下的明確，學生便可以很快地就學會。

【李怡靜老師受訪，許維凌訪談】

多邊形概念：

分不清四邊形、梯形、平行四邊形。

實際拿出各邊形的圖形讓學生實際接觸。
向學生說明各邊形構成的條件，及和其他圖形的差異為何。

【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】

多邊形概念：

文欽老師說這時他會請小朋友畫出圓形，再對圓形進行分割；例如為要求同學畫出八邊形，就請同學先在圓周上畫出8個點，再以直線聯接這8個點，這樣同學就能輕易畫出多邊形。

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

對稱概念缺乏：

直接給學生一個圖形

E X：

請學生找出是否為對稱圖形？或是找出共有幾條對稱軸？

學生無法平空想像「對秤軸」的概念。

在五年級上學期時，有教過對稱圖形，當時老師採用的方式是讓小朋友做很多實作的練習，像是利用色紙、鏡子觀察對稱圖形，EX：

現在學的是直接在圖形上做觀察，老師同樣也利用各種方式讓小朋友從實作中體驗，以建立小朋友的概念。

【劉艷雪老師受訪，李松燕訪談】

混淆面積與體積的單位：

例如：計算面積後寫「立方」厘米；計算體積後寫的單位卻是「平方」厘米。

老師認為這樣的小朋友並非觀念有誤，而是在作答的時候不專心，並沒有真正了解題目在問些什麼，只是當時心裡想到什麼就寫什麼。所以老師教小朋友一個比較容易區辨平方和立方的方法：面積是平面的，所以它的單位就是平方；體積是立體的，所以它的單位就是立方。

【李怡靜老師受訪，林家溱訪談】

混淆面積與體積的單位：

例：學生常會搞錯長度、面積、體積的單位。

例如：平方公尺（㎡）與立方公尺（m³），學生在寫答時會分辨不清。

文欽老師會要求學生在寫算式時，要將單位寫出來，並常常提醒學生長度、面積、體積單位的不同。

例如：5公尺（m）×5公尺（m）＝25平方公尺（㎡）

3公尺（m）×3公尺（m）×3公尺（m）

＝27立方公尺（m³）

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

圓周長的概念

對圓周長的題目常會用不清楚，對圓周長的定義也不明白，比較薄弱。

如果再帶入觀念後，學生的觀念仍然沒有改善，除了會加強輔導外，也會讓他們背圓周長與直徑或是半徑的公式，可以藉由公式加快題目熟練度的表現。

【余文芳老師受訪，翁淑惠訪談】

圓面積的計算

學生對於圓面積的求法，比較容易出錯，或是思考不出解題的方式。

例如：求藍色面積是多少？

學生時常對於圓面積的計算不知如何下手，于老師表示，學生是對於圖形的部分和整體沒有完全理解。老師會畫圖形於黑板或製作圖卡。例如：學生計算的圓面積是多少時，老師會利用不同顏色講解，先畫出下面的大圓圖形，並算出大圓面積，再畫一個直徑為10公分的小圓於其上，並算出的小圓是多少，最後以大圓減去小圓，則為藍色面積的答案。

老師依步驟分解圓面積後，學生大都能夠理解，然而圓形面積可能有多種題型，學生容易思考不周密而無法解題，因此老師準備多到題目供學生回家練習，或在課堂分享自己解題的方式與過程。

【于秋雲老師受訪，翟嘉莉訪談】

面積：

不懂為何平行四邊行的面積等於底 × 高。

老師不主張讓學生直接背公式，而是畫圖幫助學生理解。

左邊那塊直角三角形可切割下來，填補右邊那一塊直角三角形，如此一來變成長方形，而長方形的面積等於長 × 寬，是學生已學習過的，此圖形便幫助他們理解為何平行四邊行的面積等於底 × 高。

【高福明老師受訪，黃千恩訪談】

圓面積：

A學生不了解圓周率的概念。

B學生不懂圓面積公式。

A教學順序：

1.高老師請每位學生從家裡帶一個圓筒型的罐子（PS:每個人的圓罐大小不一）。

2.請學生拿出一條線量圓罐的周長長度。

3.再量圓罐直徑。

4.每位同學將自己量圓筒的周長長度÷圓罐直徑（小數點算到第三位），並請每位同學説出自己的答案，老師將答案寫在黑板上。

5.學生漸漸發現大家的答案都接近3，3≒圓周率。

∴老師由實際操作說明「」的概念原理。

B教學順序：

2.若將8塊半圓排列在一起，則形成一個平行四邊形。

3.再將平行四邊形補成以下圖形，則形成長方形。

長方形其中一個寬＝一半的圓周＝圓周的；

長方形面積＝長×寬＝圓周 × r

又學生此時以知圓周長＝2r

∴長方形其中一個寬＝一半的圓周

＝圓周的＝2r × ＝r

∴圓面積＝圓周 × r＝r × r ＝r2

【高福明老師受訪，朱怡蕙訪談】

對於求面積的題型，學生容易搞混公式。

老師要求學生在遇到每一個求面積的題目時，要先把公式寫出，這樣就可以清楚知道學生是否有將公式記熟，再讓學生多做題目練習即可。

【獅湖王老師受訪，陳怡君訪談】

高：

不了解平行四邊形有長高和短高，且「高」為何可以出現在那麼多位置，甚至出現在圖形外。Ex:

平行四邊形最讓學生難以分辨出「高」的是類似以下圖形：

短高部分：

老師以圖形平行四邊形轉化為長方形，證明面積相等。

→

∴長方形的兩個寬長度＝平行四邊形的兩個短高長度。

且平行四邊形兩個長邊平行延長時，發現兩邊距離相等，且距離與高相等。

長高部份：與短高相同原理。

【高福明老師受訪，朱怡蕙訪談】

形狀

四邊形長方形正方形

正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形、箏形是屬於四邊形。而四個直角的四邊形有正方形、長方形，又正方形是屬於長方形的一種特殊例子，正方形的四個邊一樣長且四個角為直角。

為了讓小朋友可以更清楚了解四邊形，老師要多加利用圖形幫助小朋友學習。

【蘇泓俊老師受訪，吳妮晏訪談】

平面圖形面積，例如長方形、三角形、平行四邊形等的計算，因為公式各不同，所以學生常會分不太清楚。

讓學生多加練習，及在自然而然的環境之下熟背公式。

【余文方老師受訪，吳偉立訪談】

在平面上畫出兩條直線，線1和線2相交，再取一條鐵絲穿過兩條直線的交線。請問當鐵絲和平相相互垂直，鐵絲和線1相( )，鐵絲和線2相( )。

此題部分學生因不了解題意，且沒有空間概念，無法正確回答。

針對此題，老師的方式是老師實際操作給學生看。透過實地的觀察，學生比較能夠了解題目的意思為何。

【潘尚鳳老師受訪，郭鳳婷訪談】

面積計算

(1)無法理解計算三角形面積(底×高) ÷2時，會忘記÷2，因此，以在課本中的例題中，在格線上利用「補齊」的概念，再畫出另一三角形，而他們已知長方形為(底×高)故，三角形只有個三角形，因此應該(底×高) ÷2。

(2)在計算平行四邊形時，雖已知公式為(底×高)，但是若題目做點變化，也標示出邊的長度，則會計算成(底×邊)。.

正確6×4 錯誤6×5

因此，也是需要做較多的練習時，或者是提醒學生在解題時要特別的注意。

平面圖形

圓周長、面積公式來源

圓周長老師會請學生帶各種大小的圓來，先量其圓周並記錄，再請學生量其直徑並記錄，再將圓周除以直徑，全班不論大小的圓，均得到3倍多的數據，就證明了π。

圓面積公式

老師在黑板上畫一個圓，

告訴學生把圓切成8塊，

並上下顛倒放置，如右圖

這個圖看起來像是平行四邊形，

其底為圓周之半，其高為半徑。

將其相乘，為（平行四邊形）圓面積。

圖片來源：

http://cd.ed.gov.hk/maths/mathweb_c/REF%20&%20RESOURCE/ld_c/Circlec.pdf#search='?蝛撘?

圓形面積動畫：

http://web.chsh.chc.edu.tw/bee/oldmath/flash/901117.htm

【高福明老師受訪，謝冠瑛訪談】

平面圖形

「切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式」同時介紹容易搞混

關於「切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式」這個細目，學生大多能透過圖形切理解公式來源，但因一個單元內同時介紹平行四邊型與梯型的公式，

學生容易搞混，無法很快的辨別，搭配應用的公式，因此運算速度會較慢，我還是使用紙筆測驗來增加練習次數。

【林達立老師受訪，黃健哲訪談】

平面圖形

平行四邊形的高

Q：為什麼高在圖形外？



長方形

長寬=長高

【高福明老師受訪，張琬婷訪談】

面積公式易混淆

當個別運算時可以,但若將不同圖形混在一起求面積時,小朋友會忘記面積的公式ex.求四個三角形,組成菱形的面積該怎麼算?

多練習

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

立體圖形

不易掌握之概念 (常見迷思概念)	教學者之對策
空間問題學生容易把平行面和垂直面的概念混淆。	讓學生多練習幾次。【王美齡老師受訪，劉又寧訪談】
許多學生對於黑板上畫的立體圖形，很難了解，無法想像它的形狀概念。	此時李老師就會利用實體教具來教學，讓學生在親身觸摸、近距離觀看實際立體狀的教具後，希望藉此能較清楚黑板上所畫的圖形意義。【李秀蓉老師受訪，曾建民訪談】
透視圖	老師可利用泥土及牙籤製作出各種體積的透視圖，藉以增加學生的具體印象。【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】
對於立體的圖形沒有空間感。	孩子對於如左下圖般的立體圖形，較難辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題，可利用生活中可拿到的紙盒，讓孩子們實際觸摸，而後將之展開從而了解盒子從何而來，是如何由點、線、面構成。【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】
對立體圖形沒有空間感：學生對於立體圖形的概念較難理解，也不容易辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題。	利用生活中可拿到的紙盒，讓學生們實際觸摸、操作，而後將盒子展開去看其展開圖，從而了解盒子是如何從點、線、面而構成立體圖形的。利用保利龍球及牙籤做成立體圖形，讓學生可以清楚看見其透視圖形，以幫助學生建立空間的概念。【曾慧芬老師受訪，林珍伶訪談】
對於立體的圖形沒有空間感。	孩子對於立體圖形，較難辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題，可利用生活中可拿到的紙盒，讓孩子們實際觸摸，而後將之展開從而了解盒子從何而來，是如何由點、線、面構成。【劉穎明老師受訪，林佩君訪談】
學生的空間量感不好。【例】：問學生”教室的學習角”約幾立方公尺？學生大多估計約2或3立方公尺，但實際上應該有5立方公尺。	圍出1立方公尺的實際大小，讓學生站進去，讓學生體驗一立方公尺的大小，並知道一立方公尺約可站進5至6個學生那麼大。【張志成老師受訪，林麗卿訪談】
對於立體的圖形沒有空間感。	學生對於立體圖形，就感到很難很陌生，較難辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題，可利用生活中可拿到的紙盒，讓孩子們實際觸摸，而後將之展開從而了解盒子從何而來，是如何由點、線、面構成。【葉詠琪訪談】
立體空間數格子	普遍說來學生的立體空間感都不好，無法想像格子分布的狀況。老師用過實務操作，親自以教具讓學生去觀察，但是反應還是沒有非常好，老師只有讓他們多練習去熟悉概念。【張夢鑾老師受訪，杜陽蘭訪談】
立體圖形畫成平面比較困難	延續舊經驗進入新觀念—以前教過平面、現在教立體，都要有具體實物操作來讓小朋友理解，以實物幫助小朋友學習。（老師讓小朋友利用廢紙、牙膏盒等，作實際展開圖的介紹及製作）【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】
立體圖形：容易出錯的地方是，問立體圖形中，哪一邊和哪一邊平行或垂直哪一面，因為學生無法看到不透明的另一面，尤其要畫透視圖對一些學生更是困難。	老師認為立體空間與智力發展有相當的關係，有些學生會學的較辛苦。他會利用習作附件的模型，要學生和自己同步操作，剛開始的練習題他還准許學生拿實務操作，而後再讓學生熟練後不倚靠實物。另外，他也會使用像牙籤的棒子讓學生自己去感受那看不見的一面。【高文旭老師受訪，鍾君華訪談】
立體圖形 區辨柱體及錐體 角柱體和角錐體的面數、頂點數和邊數例：下列圖形是屬於何種立體圖形？	例１：利用模型及展開圖，讓學生直接觀察及區辨柱體及錐體的不同。並讓學生計算角柱體和角錐體的面數、頂點數和邊數。例2：教師出示圓錐體、三角錐體及四角錐體，學生試從一堆圖形中找出相同者配成一對【朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談】
柱體表面積（常會與柱體體積混淆）	釐清學生對體積與表面積的概念，透過實物與圖片，辨認柱體體積與柱體表面積。解題的技巧為先找到底面積。加強學生將立體圖形展開為展開圖的概念，學生在觀察展開圖時，可以形成視覺的面的旋轉接合。了解公式進而熟用。【蔡明娟老師受訪，高嘉君訪談】
無法立即區辨角柱與角錐。	老師利用各式角柱、角錐教具，反覆詢問學生「這是什麼？是角柱（錐）？是幾角的角柱（錐）？」，讓學生經此反覆的動作，去熟練並歸納出角柱與角錐的定義與異同。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】
柱體和椎體的判定，學生容易混淆。	老師會利用利用生活中的實物，例如：各式各樣建築物的圖片，來show給學生看。或者是讓學生分組去收集個式各樣在生活中會出現的柱體和椎體，讓學生建立概念。除此之外，老師表示摺紙也是一個不錯的方法。學生也可以透過摺紙來加強概念。【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】
形體的迷思對於立體圖形如長方體、圓柱體的拆解較不容易了解	請學生拿出生活中所用到的物品如「冰淇淋甜筒包裝」、「餅乾盒」來觀察與拆解並且分組製造不同型體的模型，教師並且用圓柱體與圓錐體類似的來做比較的教學。另外，學生在觀察方體時，一邊畫下透視圖將自觀察的立方體畫下來，便可幫助學生對於立體概念的推理與連貫的思考。【陳秀真老師受訪，蔡宛蓉訪談】
圓柱體	學生對於圓柱體側面形狀常常無法辨別，由於圓柱體側面成曲面狀，所以學生會認為展開圖也應該是曲面，而無法了解到圓柱體的側面為長方形，此外長方形的長剛好為底面的圓周長。此時，可讓學生練習利用色紙剪裁出圓柱體的側面，在把它黏貼到圓柱體的側面上，讓學生了知道圓柱體的側面為長方形。【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】
體積的概念三度空間對學生而言是一大困難。	教導立方體時，最好是拿教具，讓學生自己動手摸、翻轉，瞭解面與面的關係，進而瞭解面與邊的關係和垂直等等的定義等。也可請學生自己帶牙籤或火柴盒棒，讓他們自己組成各種立方體，再詢問需要多少根棒子才能組合，最後由老師歸納各種可能而清楚定義各類名詞，如邊、垂直……等。【周勇老師受訪，林世健訪談】
體積的運算：立方的概念學生比較無法體會，一看到「立方公尺」就會覺得題目變得很難。	老師認為要教學生「立方公尺」的觀念時，他會從線段（公尺）、面積（平方公尺）進一步講到體積（立方公尺）。在黑板上一字排開解說觀念，老師認為這樣由學生已知的舊觀念去堆砌新知識接受度會更高。【高文旭老師受訪，鍾君華訪談】
各種立體圖形的求體積	學生尤其對於不完全的立體圖形感到迷惑，老師會給學生灌輸的觀念是遇到這種題目，不管給的圖形多奇怪，用任何方法，切割或是補滿圖形，只要找出求體積的必要條件長、寬、高即可，並讓學生能有實物觀看，去模擬比較。【張夢鑾老師受訪，杜陽蘭訪談】
認識立方公分與立方公尺的關係：學生雖了解公分與公尺間的關係，但將其引導至體積時，無法直接理解當初長度間的100倍關係為何變成1000000倍。	老師會先詳加解釋1立方公尺＝1公尺×1公尺×1公尺＝100公分×100公分×100公分＝1000000立方公分。若有些學生還是不易理解時，則可以藉由問學生「1公尺的邊可以排幾個1立方公尺的正方體？可排成幾排？有幾層？」等問題以澄清學生的觀念。【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】
單位學生常會搞錯長度、面積、體積的單位。例如：平方公尺（㎡）與立方公尺（m³），學生在寫答時會分辨不清。	秋媚老師會要求學生在寫算式時，要將單位寫出來，並常常提醒學生長度、面積、體積單位的不同。例如：2公尺（m）×2公尺（m）＝4平方公尺（㎡） 2公尺（m）×2公尺（m）×2公尺（m）＝8立方公尺（m³）【黃秋媚老師受訪，鄧舒薇訪談】
空間、體積方面：像小朋友如果遇到用一個個方形的小立方體A，求一個水槽的容積時。本應該水槽的長、寬、高分別除以小立方體A的長、寬、高，應該是沒有問題，但是小朋友如果除不盡時，就會直接進位。	其實這是很嚴重的認知錯誤，因為除不盡的長、寬、高是無法拼成一個小立方體A的體積的。老師的解決策略是畫圖形講解或是實際拿立體圖形來說明。【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】
立體圖形中的點、線、面以及邊長或表面的垂直、平行概念容易混淆例如： a.學生表示邊長時，會把邊ㄅㄆ寫成邊ㄅ，忘記ㄅ只是一個頂點，一邊長應該有兩個頂點。 b.學生會把柱、錐體的各頂點、邊長、面有多少個混在一起，分不清楚。 c.看立體透視圖時，判斷垂直與平行的邊或面易弄錯。	教師上課時可以拿骨架教具教學，讓學生建立一個邊長有兩端的概念(教具：一棒子和兩粒小球代替)。教師可以利用展開圖幫助學生數數看各立體圖形各有幾個面，通常學生的習作附件中有，可以讓學生實作。教師先確定學生已清楚垂直、平行的概念之後，再拿出立體圖形的教具及搭配骨架圖、教具輔助教學。可以先從平面中的線段幫學生建立垂直、平行的概念，再切入立體圖形的教學。【顏秀芬老師受訪，葉玟孝訪談】
體積與表面積混淆	學生常常會把表面積與體積算法搞錯，此時，可利用紙盒讓學生實際畫出表面積讓學生真正了解到表面積的意義為何。【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】
體積&表面積兩者的概念與計算都易混淆	利用積木去排橫、排直、排高，讓學生發現長寬高為整體體積的算法，而表面積則讓學生觀察有幾個面，只算每個面的面積該怎麼算？【張櫻美老師受訪，陳加雯訪談】
矩形表面積計算學生理解矩形表面積是由三組長方形面積組成的概念不佳，且填寫面積單位時常發生混淆。	學生對這方面的不足，鄒老師由習作與評量測驗中發現，鄒老師認為可能是學生實際操作不夠，對立體圖形的展開陌生，所以採用具體操作的方式，將矩形的立體圖形變成平面展開圖，讓學生實際多看，也讓學生自己動手將展張的平面圖摺成立體圖形加以固定黏貼，透過實作讓學生體驗矩形表面積是由三組長方形面積組成。至於單位表示方面則是採用提醒的方式幫助學生書寫正確的面積單位。【鄒榮宗老師受訪，劉秀娟訪問】
在教材裡面除了教體積，也教了表面積，但是學生對於這兩個名詞很難連貫。此外，在有些題目中會把一部份給挖掉，給學生算體積及表面積，學生就沒有辦法對這樣的圖形作理解並要如何解題。	老師會先說明什麼叫做表面積，讓學生先對表面積有所體認，知道面積怎麼算就可以再進一步知道表面積如何做，對於學生沒有辦法知道要如何把一個固體拆成展開圖，老師就只好一一解釋，展開給學生看，讓學生可以從實體中獲圖畫中去理解展開圖的構造。對於挖掉一部份的題目，其實熟悉之後，就會知道這樣的題目就是上、下相抵，即可算出表面積。老師說學生一開始沒有辦法理解挖掉之後的圖形變成怎樣，而且對於挖掉之後的圖形也沒有辦法直接透視到這樣的固體如何算表面積。所以老師的方式就是一步步教，先算一個面的面積，在算其他面，直到六個面都算出來為止。這樣學生就比較會循序漸進，不會出錯了！【陳惠娟老師受訪，詹恩琪訪談】
立體(柱體和錐體)的表面積計算：學生對於立體的表面積是由平面圖形面積組成的概念不佳。	學生對這方面的不足，是老師由習作與評量測驗中發現到的，有些學生對於將立體的東西展開是較陌生雨抽象的，所以利用實際操作的方式，將抽象的東西具體化。課本附件有柱體和錐體的展開平面圖，讓學生自己動手將展張的平面圖摺成立體圖形加以固定黏貼，透過實作讓學生體驗可以幫助學生理解。【陳君虹老師受訪，蔡易儒訪談】
透視：由於空間是屬於比較抽象的東西，若是直接看課本的平面圖，立體圖形的另外一面就會隱藏起來而看不見。	為了讓小朋友能對立體圖形更加有概念，杜老師光讓小朋友做課本後面的附件(自己製作立體圖形的附件)，就整整花了一節多課的時間，藉由附件的輔助，可讓小朋友能真正看到那個圖形的實體，藉此可使他們更能有3度空間概念，建立小朋友從具象到抽象的轉換，基本上讓他們能實際操作看看後，幾乎百分之80或90的小朋友就比較沒問題了。【杜守正老師受訪，李瑞俞訪談】
立體圖形：某些學生對立體概念及圖形的觀念，比較難以建立或難有空間感。	老師可從面積的觀念開始帶起，以換醒學生舊記憶，再說明從平面圖形延伸到立體圖形所需要注意的關鍵點。在教導立體圖形時，ㄧ定拿實際物品示範說明，最好也讓學生親自觸摸並丈量物體，對於建立學生的空間感及物體是由點、線、面所組成關係的會有幫助。【黃怡嘉老師受訪，許靖宜訪談】
體積的求法：例：小朋友不懂為什麼長方體體積的求法為長×寬×高。 Ex：求下列長方體的體積。	老師會運用積木的教具，先讓小朋友動手去排出與圖形大小一樣的第一層面積形狀，再請小朋友去計算第一層的面積，讓他們了解面積的求法為長×寬＝5cm×3cm；接著再讓他們繼續依此類推排出四層大小一樣的長方體，告訴小朋友同樣的東西有四層所以必須再乘以4，由此得知長方體體積的求法為長×寬×高。【黃武德老師受訪，張思婷訪談】
對立體圖形沒有空間感：例：學生對於立體圖形的概念較難理解，也不容易辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題。	利用生活中可拿到的紙盒，讓學生們實際觸摸、操作，而後將盒子展開去看其展開圖，從而了解盒子是如何從點、線、面而構成立體圖形的。利用保利龍球及牙籤做成立體圖形，讓學生可以清楚看見其透視圖形，以幫助學生建立空間的概念。多練習實做。【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】
沒立體感：許多學生對於黑板上畫的立體圖形，很難了解，無法想像它的形狀概念。	此時郭老師就會利用實體教具來教學，讓學生在親身觸摸、近距離觀看實際立體狀的教具後，希望藉此能較清楚黑板上所畫的圖形意義。【郭嬪文老師受訪，蔡亭葦訪談】
柱體與錐體的混淆：	利用教具中的實物來加深學生的印象，並由學生舉出實例生活中有哪些所見是柱體與錐體的形狀。【陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談】
表面積的運算：例：小朋友計算時，往往只從肉眼看的到的那三面作運算，忽略了一個正方體其實有六面，（不具備對立體圖形的透視感）。 Ex：求此正方體的表面積。	老師利用了課本附件所附的正方體展開圖作解說，也會請小朋友回家準備任何一個正方體的盒子帶到學校，在課堂上讓她們自行拆解並展開，數一數正方體一共有幾個面，講解完再請他們將展開圖組合回原本的正立方體，使其具有立體與展開的概念。並在運算時拿起正方體紙盒告訴小朋友正立方體一共有〝上、下、左、右、前、後〞六個面，所以表面積計算時需乘以6。【黃武德老師受訪，張思婷訪談】
體積－表面積與展開圖：	學生不懂什麼展開圖能組成什麼樣的體積。老師多以實物（如牙膏盒、粉筆盒）來加強概念。【盧慧凌老師受訪，林百慶訪談】
體積概念：分不清長、寬、高。	以實物操作讓學生實際體驗，如將飲料等盒子拆開，說明點、線、面，從面積概念延伸成體積。畫體積圖形讓同學指出何為長？何為寬？何為高？【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】
對立體圖形沒有空間感學生對於立體圖形的概念較難理解，也不容易辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題。	利用生活中可拿到的紙盒，讓學生們實際觸摸、操作，而後將盒子展開去看其展開圖，從而了解盒子是如何從點、線、面而構成立體圖形的。利用保利龍球及牙籤做成立體圖形，讓學生可以清楚看見其透視圖形，以幫助學生建立空間的概念。多練習實做。【洪文欽老師受訪，林子嵐訪談】
學生對於三角錐、四角錐、五角錐等等的角錐體，會搞不清楚它們的底面形狀為何，部分同學會把四角錐、五角錐以上的底面形狀寫成多邊形。	老師的做法是以實物教學，教科書所附的教具裡有三角錐、四角錐等的角錐體，其特色是底面和上面的錐體可以拆開，讓學生更清楚的看到底面的形狀為何種。有了實體的概念後，還需要不斷地提醒和複習。至於把四角錐、五角錐以上的底面形狀寫成多邊形，老師會和學生加以釐清，四邊形以上都稱多邊形，因此，這樣的答案過於含糊，並不完全正確。
立體物共有幾個面？幾個點？幾個邊？六角柱共有幾個面？幾個點？幾個邊？	讓學生自己利用厚紙板做出柱體，並帶至課堂上觀查。【林尼珠老師受訪，邱淑君訪談】
單位換算的問題，例如：1立方公尺＝？立方公分等	老師對於平方、立方的概念澄清，即運用例子輔助教學。【余文方老師受訪，吳偉立訪談】
單位公尺的換算例如：1立方公尺=1000000立方公分，推論的部份薄弱，且生活經驗中不易用到，也或許之前在建構上，都是屬於簡單的數字大小，遇到如此大的數字易太抽象。	可以有生活中舉例是最好，但是有也與學生不太相關，所以只能藉由題目練習來增加熟悉度。【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】
單位的換算如：立方公尺與立方公分的換算，數字太大，即使學會換算，但考試時容易緊張、時間不夠，往往因此而成績不佳。	平常教學會舉生活實例，幫助學生換算。考試時，會建議學生一拿到考卷先寫下所背的換算單位，或許這個工具就可以幫他進行思考解題，老師覺得工具會影響解題，所以老師盡量幫助學生學習外相對也能得到成就感。【宋屏麟老師受訪，陳小婷訪談】
體積、表面積倒推回去有問題，不會與生活做連結。例如：正方形體積一立方公尺，那邊長是多少？	運用到生活上，例如：宅及配運送包裹需要利用體加大小來算價錢；送出去的禮物需要包裝，就要算到表面積。【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】
椎體與柱體有時在判斷底面形狀時，會有錯誤，或是用「多邊形」來涵蓋所有柱體或柱體的底面形狀	老師會利用教具或附件中的圖卡，讓學生有觀察或實際操作的機會，在平面變成立體的過程中，學生對各椎體與柱骿的展開圖就會比較有印象，進而理解每個椎體與柱體的組成與展開形狀，例如：【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】
面積、體積計算的單位問題 EX：長50公分、寬10公分、高1公尺的長方體體積是多少？學生：會直接將50×10×1，未顧慮到單位不同的問題。同時在答的部分也較難分辨平方及立方單位。	老師先進行解釋，面積是指平面的物，因此是使用平方公分、公尺…；而體積是立體的物品，因此是使用立方公分、公尺…。經由解釋釋學生了解後，在讓學生以口訣方式記下。面積：平面平方公分、公尺…。體積：立體立方公分、公尺…。【連亨宗老師受訪，林苔忻訪談】
空間概念差有時在看立體圖形時，因為空間感較差，容易判斷錯誤	例如在下圖中，無法辨別平行四邊形中交叉的兩條直線，而會認為那兩條線是「斜線」，此時老師會讓他們看實物，幫助他們建構立體空間【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】
長度、面積、體積剛開始沒有這樣的概念。尤其是體積的高的部分	圖解實例做比較表面積【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

空間問題

學生容易把平行面和垂直面的概念混淆。

讓學生多練習幾次。

【王美齡老師受訪，劉又寧訪談】

許多學生對於黑板上畫的立體圖形，很難了解，無法想像它的形狀概念。

此時李老師就會利用實體教具來教學，讓學生在親身觸摸、近距離觀看實際立體狀的教具後，希望藉此能較清楚黑板上所畫的圖形意義。

【李秀蓉老師受訪，曾建民訪談】

透視圖

老師可利用泥土及牙籤製作出各種體積的透視圖，藉以增加學生的具體印象。

【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】

對於立體的圖形沒有空間感。

孩子對於如左下圖般的立體圖形，較難辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題，可利用生活中可拿到的紙盒，讓孩子們實際觸摸，而後將之展開從而了解盒子從何而來，是如何由點、線、面構成。

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

對立體圖形沒有空間感：

學生對於立體圖形的概念較難理解，也不容易辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題。

利用生活中可拿到的紙盒，讓學生們實際觸摸、操作，而後將盒子展開去看其展開圖，從而了解盒子是如何從點、線、面而構成立體圖形的。

利用保利龍球及牙籤做成立體圖形，讓學生可以清楚看見其透視圖形，以幫助學生建立空間的概念。

【曾慧芬老師受訪，林珍伶訪談】

對於立體的圖形沒有空間感。

孩子對於立體圖形，較難辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題，可利用生活中可拿到的紙盒，讓孩子們實際觸摸，而後將之展開從而了解盒子從何而來，是如何由點、線、面構成。

【劉穎明老師受訪，林佩君訪談】

學生的空間量感不好。

【例】：問學生”教室的學習角”約幾立方公尺？學生大多估計約2或3立方公尺，但實際上應該有5立方公尺。

圍出1立方公尺的實際大小，讓學生站進去，讓學生體驗一立方公尺的大小，並知道一立方公尺約可站進5至6個學生那麼大。

【張志成老師受訪，林麗卿訪談】

對於立體的圖形沒有空間感。

學生對於立體圖形，就感到很難很陌生，較難辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題，可利用生活中可拿到的紙盒，讓孩子們實際觸摸，而後將之展開從而了解盒子從何而來，是如何由點、線、面構成。

【葉詠琪訪談】

立體空間數格子

普遍說來學生的立體空間感都不好，無法想像格子分布的狀況。老師用過實務操作，親自以教具讓學生去觀察，但是反應還是沒有非常好，老師只有讓他們多練習去熟悉概念。

【張夢鑾老師受訪，杜陽蘭訪談】

立體圖形畫成平面比較困難

延續舊經驗進入新觀念—以前教過平面、現在教立體，都要有具體實物操作來讓小朋友理解，以實物幫助小朋友學習。（老師讓小朋友利用廢紙、牙膏盒等，作實際展開圖的介紹及製作）

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

立體圖形：

容易出錯的地方是，問立體圖形中，哪一邊和哪一邊平行或垂直哪一面，因為學生無法看到不透明的另一面，尤其要畫透視圖對一些學生更是困難。

老師認為立體空間與智力發展有相當的關係，有些學生會學的較辛苦。他會利用習作附件的模型，要學生和自己同步操作，剛開始的練習題他還准許學生拿實務操作，而後再讓學生熟練後不倚靠實物。另外，他也會使用像牙籤的棒子讓學生自己去感受那看不見的一面。

【高文旭老師受訪，鍾君華訪談】

立體圖形

區辨柱體及錐體

角柱體和角錐體的面數、頂點數和邊數

例：下列圖形是屬於何種立體圖形？

例１：利用模型及展開圖，讓學生直接觀察及區辨柱體及錐體的不同。並讓學生計算角柱體和角錐體的面數、頂點數和邊數。

例2：教師出示圓錐體、三角錐體及四角錐體，學生試從一堆圖形中找出相同者配成一對

【朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談】

柱體表面積

（常會與柱體體積混淆）

釐清學生對體積與表面積的概念，透過實物與圖片，辨認柱體體積與柱體表面積。
解題的技巧為先找到底面積。
加強學生將立體圖形展開為展開圖的概念，學生在觀察展開圖時，可以形成視覺的面的旋轉接合。
了解公式進而熟用。

【蔡明娟老師受訪，高嘉君訪談】

無法立即區辨角柱與角錐。

老師利用各式角柱、角錐教具，反覆詢問學生「這是什麼？是角柱（錐）？是幾角的角柱（錐）？」，讓學生經此反覆的動作，去熟練並歸納出角柱與角錐的定義與異同。

【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】

柱體和椎體的判定，學生容易混淆。

老師會利用利用生活中的實物，例如：各式各樣建築物的圖片，來show給學生看。或者是讓學生分組去收集個式各樣在生活中會出現的柱體和椎體，讓學生建立概念。除此之外，老師表示摺紙也是一個不錯的方法。學生也可以透過摺紙來加強概念。

【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】

形體的迷思

對於立體圖形如長方體、圓柱體的拆解較不容易了解

請學生拿出生活中所用到的物品如「冰淇淋甜筒包裝」、「餅乾盒」來觀察與拆解並且分組製造不同型體的模型，教師並且用圓柱體與圓錐體類似的來做比較的教學。

另外，學生在觀察方體時，一邊畫下透視圖將自觀察的立方體畫下來，便可幫助學生對於立體概念的推理與連貫的思考。

【陳秀真老師受訪，蔡宛蓉訪談】

圓柱體

學生對於圓柱體側面形狀常常無法辨別，由於圓柱體側面成曲面狀，所以學生會認為展開圖也應該是曲面，而無法了解到圓柱體的側面為長方形，此外長方形的長剛好為底面的圓周長。此時，可讓學生練習利用色紙剪裁出圓柱體的側面，在把它黏貼到圓柱體的側面上，讓學生了知道圓柱體的側面為長方形。

【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】

體積的概念

三度空間對學生而言是一大困難。

教導立方體時，最好是拿教具，讓學生自己動手摸、翻轉，瞭解面與面的關係，進而瞭解面與邊的關係和垂直等等的定義等。

也可請學生自己帶牙籤或火柴盒棒，讓他們自己組成各種立方體，再詢問需要多少根棒子才能組合，最後由老師歸納各種可能而清楚定義各類名詞，如邊、垂直……等。

【周勇老師受訪，林世健訪談】

體積的運算：

立方的概念學生比較無法體會，一看到「立方公尺」就會覺得題目變得很難。

老師認為要教學生「立方公尺」的觀念時，他會從線段（公尺）、面積（平方公尺）進一步講到體積（立方公尺）。在黑板上一字排開解說觀念，老師認為這樣由學生已知的舊觀念去堆砌新知識接受度會更高。

【高文旭老師受訪，鍾君華訪談】

各種立體圖形的求體積

學生尤其對於不完全的立體圖形感到迷惑，老師會給學生灌輸的觀念是遇到這種題目，不管給的圖形多奇怪，用任何方法，切割或是補滿圖形，只要找出求體積的必要條件長、寬、高即可，並讓學生能有實物觀看，去模擬比較。

【張夢鑾老師受訪，杜陽蘭訪談】

認識立方公分與立方公尺的關係：學生雖了解公分與公尺間的關係，但將其引導至體積時，無法直接理解當初長度間的100倍關係為何變成1000000倍。

老師會先詳加解釋1立方公尺＝1公尺×1公尺×1公尺＝100公分×100公分×100公分＝1000000立方公分。若有些學生還是不易理解時，則可以藉由問學生「1公尺的邊可以排幾個1立方公尺的正方體？可排成幾排？有幾層？」等問題以澄清學生的觀念。

【黃俊儒老師受訪，陳靜儀訪談】

單位

學生常會搞錯長度、面積、體積的單位。

例如：平方公尺（㎡）與立方公尺（m³），學生在寫答時會分辨不清。

秋媚老師會要求學生在寫算式時，要將單位寫出來，並常常提醒學生長度、面積、體積單位的不同。

例如：2公尺（m）×2公尺（m）＝4平方公尺（㎡）

2公尺（m）×2公尺（m）×2公尺（m）

＝8立方公尺（m³）

【黃秋媚老師受訪，鄧舒薇訪談】

空間、體積方面：像小朋友如果遇到用一個個方形的小立方體A，求一個水槽的容積時。本應該水槽的長、寬、高分別除以小立方體A的長、寬、高，應該是沒有問題，但是小朋友如果除不盡時，就會直接進位。

其實這是很嚴重的認知錯誤，因為除不盡的長、寬、高是無法拼成一個小立方體A的體積的。老師的解決策略是畫圖形講解或是實際拿立體圖形來說明。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

立體圖形中的點、線、面以及邊長或表面的垂直、平行概念容易混淆
例如：

a.學生表示邊長時，會把邊ㄅㄆ寫成邊ㄅ，忘記ㄅ只是一個頂點，一邊長應該有兩個頂點。

b.學生會把柱、錐體的各頂點、邊長、面有多少個混在一起，分不清楚。

c.看立體透視圖時，判斷垂直與平行的邊或面易弄錯。

教師上課時可以拿骨架教具教學，讓學生建立一個邊長有兩端的概念(教具：一棒子和兩粒小球代替)。
教師可以利用展開圖幫助學生數數看各立體圖形各有幾個面，通常學生的習作附件中有，可以讓學生實作。
教師先確定學生已清楚垂直、平行的概念之後，再拿出立體圖形的教具及搭配骨架圖、教具輔助教學。
可以先從平面中的線段幫學生建立垂直、平行的概念，再切入立體圖形的教學。

【顏秀芬老師受訪，葉玟孝訪談】

體積與表面積混淆

學生常常會把表面積與體積算法搞錯，此時，可利用紙盒讓學生實際畫出表面積讓學生真正了解到表面積的意義為何。

【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】

體積&表面積

兩者的概念與計算都易混淆

利用積木去排橫、排直、排高，讓學生發現長*寬*高為整體體積的算法，而表面積則讓學生觀察有幾個面，只算每個面的面積該怎麼算？

【張櫻美老師受訪，陳加雯訪談】

矩形表面積計算

學生理解矩形表面積是由三組長方形面積組成的概念不佳，且填寫面積單位時常發生混淆。

學生對這方面的不足，鄒老師由習作與評量測驗中發現，鄒老師認為可能是學生實際操作不夠，對立體圖形的展開陌生，所以採用具體操作的方式，將矩形的立體圖形變成平面展開圖，讓學生實際多看，也讓學生自己動手將展張的平面圖摺成立體圖形加以固定黏貼，透過實作讓學生體驗矩形表面積是由三組長方形面積組成。至於單位表示方面則是採用提醒的方式幫助學生書寫正確的面積單位。

【鄒榮宗老師受訪，劉秀娟訪問】

在教材裡面除了教體積，也教了表面積，但是學生對於這兩個名詞很難連貫。

此外，在有些題目中會把一部份給挖掉，給學生算體積及表面積，學生就沒有辦法對這樣的圖形作理解並要如何解題。

老師會先說明什麼叫做表面積，讓學生先對表面積有所體認，知道面積怎麼算就可以再進一步知道表面積如何做，對於學生沒有辦法知道要如何把一個固體拆成展開圖，老師就只好一一解釋，展開給學生看，讓學生可以從實體中獲圖畫中去理解展開圖的構造。

對於挖掉一部份的題目，其實熟悉之後，就會知道這樣的題目就是上、下相抵，即可算出表面積。老師說學生一開始沒有辦法理解挖掉之後的圖形變成怎樣，而且對於挖掉之後的圖形也沒有辦法直接透視到這樣的固體如何算表面積。所以老師的方式就是一步步教，先算一個面的面積，在算其他面，直到六個面都算出來為止。這樣學生就比較會循序漸進，不會出錯了！

【陳惠娟老師受訪，詹恩琪訪談】

立體(柱體和錐體)的表面積計算：

學生對於立體的表面積是由平面圖形面積組成的概念不佳。

學生對這方面的不足，是老師由習作與評量測驗中發現到的，有些學生對於將立體的東西展開是較陌生雨抽象的，所以利用實際操作的方式，將抽象的東西具體化。課本附件有柱體和錐體的展開平面圖，讓學生自己動手將展張的平面圖摺成立體圖形加以固定黏貼，透過實作讓學生體驗可以幫助學生理解。

【陳君虹老師受訪，蔡易儒訪談】

透視：

由於空間是屬於比較抽象的東西，若是直接看課本的平面圖，立體圖形的另外一面就會隱藏起來而看不見。

為了讓小朋友能對立體圖形更加有概念，杜老師光讓小朋友做課本後面的附件(自己製作立體圖形的附件)，就整整花了一節多課的時間，藉由附件的輔助，可讓小朋友能真正看到那個圖形的實體，藉此可使他們更能有3度空間概念，建立小朋友從具象到抽象的轉換，基本上讓他們能實際操作看看後，幾乎百分之80或90的小朋友就比較沒問題了。

【杜守正老師受訪，李瑞俞訪談】

立體圖形：

某些學生對立體概念及圖形的觀念，比較難以建立或難有空間感。

老師可從面積的觀念開始帶起，以換醒學生舊記憶，再說明從平面圖形延伸到立體圖形所需要注意的關鍵點。在教導立體圖形時，ㄧ定拿實際物品示範說明，最好也讓學生親自觸摸並丈量物體，對於建立學生的空間感及物體是由點、線、面所組成關係的會有幫助。

【黃怡嘉老師受訪，許靖宜訪談】

體積的求法：

例：小朋友不懂為什麼長方體體積的求法為長×寬×高。

Ex：求下列長方體的體積。

老師會運用積木的教具，先讓小朋友動手去排出與圖形大小一樣的第一層面積形狀，再請小朋友去計算第一層的面積，讓他們了解面積的求法為長×寬＝5cm×3cm；接著再讓他們繼續依此類推排出四層大小一樣的長方體，告訴小朋友同樣的東西有四層所以必須再乘以4，由此得知長方體體積的求法為長×寬×高。

【黃武德老師受訪，張思婷訪談】

對立體圖形沒有空間感：

例：學生對於立體圖形的概念較難理解，也不容易辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題。

利用生活中可拿到的紙盒，讓學生們實際觸摸、操作，而後將盒子展開去看其展開圖，從而了解盒子是如何從點、線、面而構成立體圖形的。
利用保利龍球及牙籤做成立體圖形，讓學生可以清楚看見其透視圖形，以幫助學生建立空間的概念。
多練習實做。

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

沒立體感：

許多學生對於黑板上畫的立體圖形，很難了解，無法想像它的形狀概念。

此時郭老師就會利用實體教具來教學，讓學生在親身觸摸、近距離觀看實際立體狀的教具後，希望藉此能較清楚黑板上所畫的圖形意義。

【郭嬪文老師受訪，蔡亭葦訪談】

柱體與錐體的混淆：

利用教具中的實物來加深學生的印象，並由學生舉出實例生活中有哪些所見是柱體與錐體的形狀。

【陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談】

表面積的運算：

例：小朋友計算時，往往只從肉眼看的到的那三面作運算，忽略了一個正方體其實有六面，（不具備對立體圖形的透視感）。

Ex：求此正方體的表面積。

老師利用了課本附件所附的正方體展開圖作解說，也會請小朋友回家準備任何一個正方體的盒子帶到學校，在課堂上讓她們自行拆解並展開，數一數正方體一共有幾個面，講解完再請他們將展開圖組合回原本的正立方體，使其具有立體與展開的概念。並在運算時拿起正方體紙盒告訴小朋友正立方體一共有〝上、下、左、右、前、後〞六個面，所以表面積計算時需乘以6。

【黃武德老師受訪，張思婷訪談】

體積－表面積與展開圖：

學生不懂什麼展開圖能組成什麼樣的體積。老師多以實物（如牙膏盒、粉筆盒）來加強概念。

【盧慧凌老師受訪，林百慶訪談】

體積概念：

分不清長、寬、高。

以實物操作讓學生實際體驗，如將飲料等盒子拆開，說明點、線、面，從面積概念延伸成體積。
畫體積圖形讓同學指出何為長？何為寬？何為高？

【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】

對立體圖形沒有空間感學生對於立體圖形的概念較難理解，也不容易辨認出長、寬、高因此對於計算體積也常出現問題。

利用生活中可拿到的紙盒，讓學生們實際觸摸、操作，而後將盒子展開去看其展開圖，從而了解盒子是如何從點、線、面而構成立體圖形的。
利用保利龍球及牙籤做成立體圖形，讓學生可以清楚看見其透視圖形，以幫助學生建立空間的概念。
多練習實做。

【洪文欽老師受訪，林子嵐訪談】

學生對於三角錐、四角錐、五角錐等等的角錐體，會搞不清楚它們的底面形狀為何，部分同學會把四角錐、五角錐以上的底面形狀寫成多邊形。

老師的做法是以實物教學，教科書所附的教具裡有三角錐、四角錐等的角錐體，其特色是底面和上面的錐體可以拆開，讓學生更清楚的看到底面的形狀為何種。有了實體的概念後，還需要不斷地提醒和複習。至於把四角錐、五角錐以上的底面形狀寫成多邊形，老師會和學生加以釐清，四邊形以上都稱多邊形，因此，這樣的答案過於含糊，並不完全正確。

立體物共有幾個面？幾個點？幾個邊？

六角柱共有幾個面？幾個點？幾個邊？

讓學生自己利用厚紙板做出柱體，並帶至課堂上觀查。

【林尼珠老師受訪，邱淑君訪談】

單位換算的問題，例如：1立方公尺＝？立方公分等

老師對於平方、立方的概念澄清，即運用例子輔助教學。

【余文方老師受訪，吳偉立訪談】

單位公尺的換算

可以有生活中舉例是最好，但是有也與學生不太相關，所以只能藉由題目練習來增加熟悉度。

【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】

單位的換算

如：立方公尺與立方公分的換算，數字太大，即使學會換算，但考試時容易緊張、時間不夠，往往因此而成績不佳。

平常教學會舉生活實例，幫助學生換算。
考試時，會建議學生一拿到考卷先寫下所背的換算單位，或許這個工具就可以幫他進行思考解題，老師覺得工具會影響解題，所以老師盡量幫助學生學習外相對也能得到成就感。

【宋屏麟老師受訪，陳小婷訪談】

體積、表面積

倒推回去有問題，不會與生活做連結。

例如：正方形體積一立方公尺，那邊長是多少？

運用到生活上，例如：宅及配運送包裹需要利用體加大小來算價錢；送出去的禮物需要包裝，就要算到表面積。

【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】

椎體與柱體

有時在判斷底面形狀時，會有錯誤，或是用「多邊形」來涵蓋所有柱體或柱體的底面形狀

老師會利用教具或附件中的圖卡，讓學生有觀察或實際操作的機會，在平面變成立體的過程中，學生對各椎體與柱骿的展開圖就會比較有印象，進而理解每個椎體與柱體的組成與展開形狀，例如：

【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】

面積、體積計算的單位問題

EX：長50公分、寬10公分、高1公尺的長方體體積是多少？

學生：

會直接將50×10×1，未顧

慮到單位不同的問題。同

時在答的部分也較難分辨

平方及立方單位。

老師先進行解釋，面積是指平面的物，因此是使用平方公分、公尺…；而體積是立體的物品，因此是使用立方公分、公尺…。

經由解釋釋學生了解後，在讓學生以口訣方式記下。

面積：平面平方公分、公尺…。

體積：立體立方公分、公尺…。

【連亨宗老師受訪，林苔忻訪談】

空間概念差

有時在看立體圖形時，因為空間感較差，容易判斷錯誤

例如在下圖中，無法辨別平行四邊形中交叉的兩條直線，而會認為那兩條線是「斜線」，此時老師會讓他們看實物，幫助他們建構立體空間

【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】

長度、面積、體積剛開始沒有這樣的概念。尤其是體積的高的部分

圖解
實例
做比較表面積

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

對稱

不易掌握之概念 (常見迷思概念)	教學者之對策
不知如何畫線對稱圖形。	讓小朋友回想：對稱軸與對稱兩點的連線的關係如何？線對稱圖形的其中一半在什麼情況下會與另一半重合？【劉穎明老師受訪，林佩君訪談】
對稱 a.線對稱 b.點對稱	有關幾何形方面的問題，都讓學生實際動手操作，如此學生的概念較清楚，也不用憑空想像。 1.線對稱讓學生把圖形剪下，依照對稱軸對折，看看兩邊的圖形是否一樣。 2.點對稱將圖形畫下，壓住對稱點，轉180度，看看圖形是否和剛剛畫下的圖形重合。 Ex： 1. 2. 【何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談】
對稱和全等的觀念	老師會同時教對稱和全等的觀念，並且說明兩者之間的關係及不同，像是全等部不一定代表對稱。例如此圖形，以虛線為對稱軸此圖形不對稱，但他會全等在教到對稱觀念的時候，除了課本或是教具所附的圖形之外，老師還會以實際的人體示範，請班上一位小朋友上台，實際講解原來人體是最自然的對稱圖形，也會帶入平衡的觀念。【陳慧君老師受訪，林佩育訪談】
對稱圖形中找不到對稱軸：學生拿到一個對稱圖形時，常常會找不到其對稱軸，或是找錯對稱軸。	老師會教學生找出圖形的對應點與對應邊，讓學生明確知道對稱圖形根據對稱軸對摺之後，對應點會重疊在對應點上、對應邊會重疊在對應邊上。並告訴學生在找對稱軸的時候，可以試著轉動圖形，用不同的角度去看，也會幫助找出對稱軸。【張素蘭老師受訪，鍾品正訪問】
線對稱圖形，學生容易因線條的區塊而誤識有線對稱。例：（國旗中的線段是學生所畫的）。 EMBED Word.Picture.8 （英國國旗） EMBED Word.Picture.8 （瑞典國旗）	事實上，英國國旗沒有線對稱圖形，所以不會有對稱的線。（如果有線對稱：則圖中的A所在的紅色線條對過去，B所在的區塊應是紅色而非白色。）而瑞典的國旗也只有一條，及黑色的那條（A）才是。老師說：其實線對稱就像照鏡子，鏡中完全是與實物相對稱的。【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】
線對稱：學生無空間概念	用鏡子實體觀察線對稱後的圖形。多一點說明、檢討。個別指導多一點，且速度放慢的教。教學生口訣：先畫垂直線(在對稱軸上垂直於對稱軸的線)、將對秤點指出來、依序連起來。【陳玫君老師受訪，林曉妘訪問】
對稱的應用：	在教到對稱觀念的時候，除了課本或是教具所附的圖形之外，老師還會以實際的人體示範，請班上一位小朋友上台，實際講解原來人體是最自然的對稱圖形，也會帶入平衡的觀念，如果能夠對稱並平衡的圖形往往會有整齊劃一的美感。【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】
線對稱圖形：	老師會用照鏡子，以及摺紙剪成圖形後再打開等方式，來呈現對稱的現象接著讓學生多舉一些生活中的例子,在平常有哪些東西有對稱的現象?之後老師可以在黑板上畫出多個圖形(無法對摺),看看學生是否能從中找出有對稱的圖形，並能描繪出對稱軸從具體操作，生活情形的聯結到最後就是建立架構，才能達到概念整理的目的。【張宏成老師受訪，楊子君訪談】
線對稱圖形：	除了利用各種圖形讓學生更了解以外，也會運用人體的方式來講解，例如：自己的身體有哪些部位是線對稱的概念，以及利用剪紙的方式讓學生可以剪出線對稱的圖形。【陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談】
線對稱：學生在描繪線對稱圖形時有些人會有困難，特別是不規則圖形與對稱軸不為垂直線的題目。學生容易作直線連接，如下圖紅線‧	1.旋轉考卷至對稱軸為垂直線 2.註明題目圖形的端點 3.只看其點與對稱軸的關係，點出其對稱點。 4.描繪除對稱點的連線【林其楓老師受訪，林秀芬訪談】
線對稱拿到一個對稱圖形，常常找不到對稱軸或是找錯。	讓學生了解兩邊對稱的話會有對稱點和對稱邊。所以先試著找出對稱軸後，再確認是否符合對稱的原則，可想像圖形翻過來是否相同。【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】
線對稱不清楚。	實際畫給他們看，因為太抽象的東西，他們看不大出來，所以要畫出來讓他們視覺上看到，比較容易懂。
對稱：對稱與全等的概念容易弄混淆，因為對稱的兩邊圖形也是全等，而且課本也是認為一樣的。	實際操作比畫圖更容易懂。老師從廣義與狹義來定義對稱，告訴學生課本是從廣義來定義，所以對稱圖形也可以是全等；但是規定不能翻轉的條件，就是狹義的角度，因此就能清楚與全等的概念區分出來。【宋屏麟老師受訪，陳小婷訪談】
不知線對稱或點對稱	使用實物操作，將課本中的圖形直接折起來，解釋線對稱。再者，以翻轉的概念解釋點對稱。【徐惠琳老師受訪，李美珊訪談】
對稱線對稱圖形學生無空間和對稱的概念。	邱老師會多舉一些與生活週遭相關的例子，來幫助學生來了解，例如老師會以人體為例來問學生，人體哪裡是左右對稱的，學生就會看一看、想一想回答老師。邱老師也會利用剪紙的方式來讓學生了解，另外邱老師會帶著學生以玩遊戲的方式來了解什麼是線對稱圖形，即以部份猜全部的方式，例如拿一些各種圖形的一半來猜猜看原來它是什麼圖形，再來邱老師會先拿一些只有一半的字來讓學生想一想並猜一猜這是什麼字，如中、古..等學過的國字，學生可以透過這些文字遊戲來了解什麼是線對稱圖形。學生也可以從其中了解原來線對稱圖形就是將他對折兩邊會一樣。【邱瑞杰老師受訪，黃蘭筑訪談】
對稱「線對稱」容易粗心	這個概念不難處理，尤其現今課本已把線對稱及點對稱分開，難度減輕許多。線對稱中最常犯的錯誤是把直的或橫的對稱軸粗心沒弄清楚就寫對應邊或對應點的答案。另外，線對稱圖形畫錯的一班三十五人中大概不到五人，專有名詞像對應點、對應邊、對稱軸…都不難，只要由陌生而熟悉即可。在所有的單元中，這算容易的單元。【黃淑嬌老師受訪，黃健哲訪談】

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

不知如何畫線對稱圖形。

讓小朋友回想：

對稱軸與對稱兩點的連線的關係如何？
線對稱圖形的其中一半在什麼情況下會與另一半重合？

【劉穎明老師受訪，林佩君訪談】

對稱

a.線對稱

b.點對稱

有關幾何形方面的問題，都讓學生實際動手操作，如此學生的概念較清楚，也不用憑空想像。

1.線對稱讓學生把圖形剪下，依照對稱軸對折，看看兩邊的圖形是否一樣。

2.點對稱將圖形畫下，壓住對稱點，轉180度，看看圖形是否和剛剛畫下的圖形重合。

Ex：

【何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談】

對稱和全等的觀念

老師會同時教對稱和全等的觀念，並且說明兩者之間的關係及不同，像是全等部不一定代表對稱。

例如此圖形，以虛線為對稱軸此圖

形不對稱，但他會全等

在教到對稱觀念的時候，除了課本或是教具所附的圖形之外，老師還會以實際的人體示範，請班上一位小朋友上台，實際講解原來人體是最自然的對稱圖形，也會帶入平衡的觀念。

【陳慧君老師受訪，林佩育訪談】

對稱圖形中找不到對稱軸：

學生拿到一個對稱圖形時，常常會找不到其對稱軸，或是找錯對稱軸。

老師會教學生找出圖形的對應點與對應邊，讓學生明確知道對稱圖形根據對稱軸對摺之後，對應點會重疊在對應點上、對應邊會重疊在對應邊上。並告訴學生在找對稱軸的時候，可以試著轉動圖形，用不同的角度去看，也會幫助找出對稱軸。

【張素蘭老師受訪，鍾品正訪問】

線對稱圖形，學生容易因線條的區塊而誤識有線對稱。例：（國旗中的線段是學生所畫的）。

EMBED Word.Picture.8

（英國國旗）

EMBED Word.Picture.8

（瑞典國旗）

事實上，英國國旗沒有線對稱圖形，所以不會有對稱的線。（如果有線對稱：則圖中的A所在的紅色線條對過去，B所在的區塊應是紅色而非白色。）而瑞典的國旗也只有一條，及黑色的那條（A）才是。老師說：其實線對稱就像照鏡子，鏡中完全是與實物相對稱的。

【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】

線對稱：

學生無空間概念

用鏡子實體觀察線對稱後的圖形。
多一點說明、檢討。
個別指導多一點，且速度放慢的教。
教學生口訣：先畫垂直線(在對稱軸上垂直於對稱軸的線)、將對秤點指出來、依序連起來。

【陳玫君老師受訪，林曉妘訪問】

對稱的應用：

在教到對稱觀念的時候，除了課本或是教具所附的圖形之外，老師還會以實際的人體示範，請班上一位小朋友上台，實際講解原來人體是最自然的對稱圖形，也會帶入平衡的觀念，如果能夠對稱並平衡的圖形往往會有整齊劃一的美感。

【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】

線對稱圖形：

老師會用照鏡子，以及摺紙剪成圖形後再打開等方式，來呈現對稱的現象接著讓學生多舉一些生活中的例子,在平常有哪些東西有對稱的現象?之後老師可以在黑板上畫出多個圖形(無法對摺),看看學生是否能從中找出有對稱的圖形，並能描繪出對稱軸從具體操作，生活情形的聯結到最後就是建立架構，才能達到概念整理的目的。

【張宏成老師受訪，楊子君訪談】

線對稱圖形：

除了利用各種圖形讓學生更了解以外，也會運用人體的方式來講解，例如：自己的身體有哪些部位是線對稱的概念，以及利用剪紙的方式讓學生可以剪出線對稱的圖形。

【陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談】

線對稱：

學生在描繪線對稱圖形時有些人會有困難，特別是不規則圖形與對稱軸不為垂直線的題目。學生容易作直線連接，如下圖紅線‧

1.旋轉考卷至對稱軸為垂直線

2.註明題目圖形的端點

3.只看其點與對稱軸的關係，點出其對稱點。

4.描繪除對稱點的連線

【林其楓老師受訪，林秀芬訪談】

線對稱

拿到一個對稱圖形，常常找不到對稱軸或是找錯。

讓學生了解兩邊對稱的話會有對稱點和對稱邊。所以先試著找出對稱軸後，再確認是否符合對稱的原則，可想像圖形翻過來是否相同。

【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】

線對稱不清楚。

實際畫給他們看，因為太抽象的東西，他們看不大出來，所以要畫出來讓他們視覺上看到，比較容易懂。

對稱：對稱與全等的概念容易弄混淆，因為對稱的兩邊圖形也是全等，而且課本也是認為一樣的。

實際操作比畫圖更容易懂。
老師從廣義與狹義來定義對稱，告訴學生課本是從廣義來定義，所以對稱圖形也可以是全等；但是規定不能翻轉的條件，就是狹義的角度，因此就能清楚與全等的概念區分出來。

【宋屏麟老師受訪，陳小婷訪談】

不知線對稱或點對稱

使用實物操作，將課本中的圖形直接折起來，解釋線對稱。再者，以翻轉的概念解釋點對稱。

【徐惠琳老師受訪，李美珊訪談】

對稱

線對稱圖形

學生無空間和對稱的概念。

邱老師會多舉一些與生活週遭相關的例子，來幫助學生來了解，例如老師會以人體為例來問學生，人體哪裡是左右對稱的，學生就會看一看、想一想回答老師。邱老師也會利用剪紙的方式來讓學生了解，另外邱老師會帶著學生以玩遊戲的方式來了解什麼是線對稱圖形，即以部份猜全部的方式，例如拿一些各種圖形的一半來猜猜看原來它是什麼圖形，再來邱老師會先拿一些只有一半的字來讓學生想一想並猜一猜這是什麼字，如中、古..等學過的國字，學生可以透過這些文字遊戲來了解什麼是線對稱圖形。學生也可以從其中了解原來線對稱圖形就是將他對折兩邊會一樣。

【邱瑞杰老師受訪，黃蘭筑訪談】

對稱

「線對稱」容易粗心

這個概念不難處理，尤其現今課本已把線對稱及點對稱分開，難度減輕許多。線對稱中最常犯的錯誤是把直的或橫的對稱軸粗心沒弄清楚就寫對應邊或對應點的答案。另外，線對稱圖形畫錯的一班三十五人中大概不到五人，專有名詞像對應點、對應邊、對稱軸…都不難，只要由陌生而熟悉即可。在所有的單元中，這算容易的單元。

【黃淑嬌老師受訪，黃健哲訪談】

圖形變換

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

線段與面積的比值會忽略平方的觀念，如線段為1cm的正方形和線段為2cm的正方形，其線段比值為 1:2，但面積比值為1:4(即2×2)，但學生仍會認為面積比為1:2。

老師在導入這個觀念的時候就會用畫表格的方式讓學生比較，如:邊長2cm與邊長4cm的正方形。

	邊長2的正方形	邊長4的正方形
邊長	2	4
邊長比	1：2(即2：4)
面積
面積比	1：4(即4：16)

【林佳佳老師受訪，張思萍訪談】

學生易以格子為圖形的放大和縮小的基準點，只將格子放大，或是只將圖形做上下的縮放，而忘了橫向的縮放。

老師會先在黑板上畫一個原圖和縮放圖(放大或縮小二倍)，請學生看看二個圖有何不同？在學生觀察的過程中，老師會請學生注意將每一個線段所佔的格數在縮放後的變化，然後歸納出畫縮放圖應以線段為基準點，而非格子。

【林佳佳老師受訪，張思萍訪談】

縮圖(比例、比例尺)。

線段：面積

例如：4：16

正確答案應該是2：4

但學生沒有概念，對於之間的轉換都會直接乘2或除2。

.(題目) (學生的迷思) (正確的)

要讓學生不容易出錯，最好的方式是利用線段放大或縮小。

例如：三角形的面積為底乘以高。利用底和高的線條直接放大，這樣就不會搞混了。

擴大圖。

建議由垂直線做擴大幾倍的延伸不要由斜線延伸，如三角形底和高的延伸，圓形半徑的延伸，菱形對角線的延伸。

【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】

縮圖與擴大圖：

學生將綠色部分當作是紅色部分的擴大圖，直接以面積的兩倍來畫擴大

說明圖形的每一邊都要擴大倍數。
由於斜線部分的格子較容易數錯，所以要求學生由底和高或是垂直的對角線之格子數先著手，再將擴大後的各點連接起來。

【盧燕萍老師受訪，吳靜芬訪談】

擴大圖與縮圖

例如：平行四邊形每邊的邊長要擴大為原來的3倍，學生知道只考慮到上下底要擴大為原來的3倍長，容易忽略「高」的部分也要擴大為原來的3倍。

先將平行四邊形的面積分割成三部份(如下圖所示)，將圖形分割好之後再一一說明：平行四邊的底由長方形的長和三角形的底所組成，而高則可看做是長方形的寬或三角形的高，首先考慮的是中間的長方形每邊的邊長增為原來的3倍長，將中間的長方形各邊增為3倍長的距離畫出來之後，接著是第一個三角形的底邊就可沿著長方形的長畫出原來的3倍距離，同理第二個三角形的底邊也可沿著長方形的長畫出原來的3倍距離，最後連接三角形的兩頂點就完成啦！

【張素蘭老師受訪，廖芳苓訪談】

擴大圖與縮小圖

ex:學生只注的意高乘以幾倍忘記長度也要乘以相同的倍數

學生通常只會注意到對應邊的長度變換，不容易注意對應角度的不變性，所以畫出來的圖形，總是怪怪的，因此老師採取的

策略：先讓學生體驗後再告訴他們原理，才會是正確並且讓他們深刻牢記的。

做法：要求學生用描圖紙先把原圖的角度畫下來。

【許薇寧老師受訪，林君玲訪談】

縮圖與擴圖

對應邊與對應角

學生對於縮圖、擴圖只會注意到對應邊的長度變換，通常不容易注意對應角度的不變性，所以畫出來的圖形，總是怪怪的，因此老師採取的策略是要求學生用描圖紙先把原圖的角度畫下來，再讓學生做對應邊的長度變化，這樣讓學生經驗角度的不變性，印象會更深刻。

【楊蔚如老師受訪，余曉婷訪談】

比例問題。學生對於放大或縮小的比例長度會搞混。

直接利用線段的放大或縮小來做比例圖的問題，較不易混淆，例如一個三角形要做放大，為避免學生會用方格子的倍數做放大，應直接將底長和高的比例放大來畫。

【盧燕萍老師受訪，王麗琴訪談】

比例尺

例如：

請問比例尺是多少？ 1 : ( )

小朋友會寫成1：(100 )。

老師會告訴學生公分和公尺是不同單位，就像公斤和公克單位是不同的，不能相比較，所以要把一公分換成0.01公尺或是將1公尺換成100公分，再做比較。那麼這題的正確答案應該是1：(10000)。除此之外，小朋友會對邊長比與面積比很容易混淆，郭老師的方法是先讓小朋友自我澄清，也就是將對的與錯的答案寫在黑板上，讓小朋友自己判斷哪個對，之後老師再做講解。

【郭慧萱老師受訪，陳可倩訪談】

比例尺的計算容易出錯，尤其在應用題的部分。例如：已知比例尺為1：30(單位：公分)，也已知實際的長度是900公分，要反推實際的900公分代表地圖上幾公分時，學生就不知該如何算了。

透過練習讓學生實際操作測量並從中體驗比例尺的概念：假設把桌椅的實際長度每10公分都當作1公分，在課堂上讓學生實際量桌椅的長度，並透過比例尺的假設練習推算桌椅的長度。

【張素蘭老師受訪，廖芳苓訪談】

比例概念

在放大及縮小的單元中，兩個相似圖形的邊必須成比例，而角度必須相等，學生常會有放度2倍則角度變大2倍的迷思因此老師在教學時必須特別注意。此外，老師可以利用各種錯誤的相似圖形針對學生的迷思概念予以澄清。例如；只有長變大或只有寬變大。

【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】

比例尺，關於長度和面積的比例問題。

利用圖示的方法，例如：把邊長各1的正方形的邊長增加2倍，那面積會是原來的正方形的幾倍呢？把長度和面積的方式用畫圖方式表現。使學生懂其原因和理由。而不單只是要學生背「面積為長度的平方比」。

【林建志老師受訪，黃琪文訪談】

比例尺—縮小與放大圖。

Ex：請畫出下圖之二倍放大圖。

學生會只注意到高度要×2，而畫出下列的放大圖：

這時，高老師會告訴學生，除了要將高度乘上二倍外，也要注意到底的長度也要增加二倍，這樣畫出來的放大圖才會是正確的：

【台北市義芳國小阿忠老師受訪，翁淑華訪談】

比例尺概念混淆

常在縮圖的比例與實際比例換算間迷失。

如：

1：500與500：1

【學生認為是不一樣的比例尺】

1：500的地圖上量到3公分問實際距離有幾公分

學生容易誤將解題為

1：500=□：3【誤】

或者將公分、公尺、公里間的換算用錯。

朱老師認為學生比例尺概念攪混，是因為學生並未有實際的距離感，為了澄清學生觀念，朱老師會用以下的方法：

【五年級】

請學生拿出「尺或皮尺」，以教室或操場為例實做一次。

【朱鎮宇老師受訪，陳勇全訪談】

比例尺：

生活中不常見，有單位要換算而且有3種形式(比、比值、線段圖)，學生搞不清楚；此外，線段圖的畫法與比是顛倒的。

老師會先以自己在家裡移動家具擺設的例子，告訴學生比例尺的生活妙用。

以或變給學生看，例如生活中的5公尺代表比例尺上的5公分。

學生自己換算。

縮圖與擴大圖方面，以生活中的10元是1元的10倍，1元是10元的倍強調倍數的關係。

強調縮圖與擴大圖是邊長的變化。

例如： 3cm 1cm

甲乙

(大)甲是乙的倍擴大圖。

(小)乙是甲的倍縮小圖。

1倍是原來的，比1小的是分數，擴大是比1大。

【陳玫君老師受訪，林曉妘訪問】

縮圖：

老師把一張圖縮小並轉換圖的方向，再讓學生辦別圖方向，學生無法辦別。

實地拿一張圖操作加講解。

【郭素貞老師受訪，陳筱薇訪談】

縮小圖和擴大圖：

學生在進行縮圖與擴圖的課程時常需要實做，但總有學生直記得把長寬加倍或減半而忘了角度的問題，或角度丈量不準確，導致縮放圖變形。

老師可利用透明描圖紙來進行此課程，待學生熟悉縮放比例時，再改以普通的試卷紙進行教學，此作法可減省學生摸索與犯錯；也可減省老師挑錯的時間。讓學生先將困難與易犯錯的角度先描繪起來，再做改變長度的動作，並在教學中強調角度不變、長度會點的原則，以釐清學生的迷思觀念。

【黃怡嘉老師受訪，許靖宜訪談】

空間

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

空間這方面對小朋友比較難，因為五年級在上y斜線，不用把名詞給小朋友，但是由於他們已經做出一個立體的東西了，在找互相平行對應的情形時，小朋友會不清楚，不了解其中的關係。

老師解決策略是請小朋友各拿一隻筆，一隻尺，去把它延伸出來就知道了，尺是面、筆是線。（可以解釋直角、平面的概念）如果有兩個人的尺便可以形成面的擴大，小朋友不會想到延伸來想，如果小朋友手上已經有東西，那東西是自己做的，會更有印象。也可以把附件全部組合起來成為立體圖形。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

垂直與平行。

高年級對空間概念不足，因此對垂直與平行的概念容易分不清，需以實體輔助之。

【鐘菊英老師受訪，陳家樂訪談】

空間概念

對於非具體物會較難體會，例如：對稱。

利用圖解的方式解釋說明。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

空間概念差

有時在看立體圖形時，因為空間感較差，容易判斷錯誤

例如在下圖中，無法辨別平行四邊形中交叉的兩條直線，而會認為那兩條線是「斜線」，此時老師會讓他們看實物，幫助他們建構立體空間

【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】

四、比較、測量、度量概念

比較

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

小朋友不了解基準量和比較量時，小朋友不會畫圖。

必須讓小朋友分別清楚它們之間的關係，是如何累積、建立起來的，必須要有統整的概念，老師認為可用圖解化的方式讓小朋友了解。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

基準量與比較量

例：公斤的黑輪賣幾元時，公斤的黑輪才會賣39元？

＝＞學生會不知道哪一個是基準量，哪一個是比較量。

把實際的狀況演練一遍給學生看，讓學生能了解基準量與比較量的概念。

【王美齡老師受訪，劉又寧訪談】

長度概念

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

文字題目不了解題意：

例如：甲一分走20公尺，乙一分走30公尺，同向走相差幾公尺?反向走相差幾公尺?

對於換個方式講的文字題目，學生常常不能拐個彎想，老師只能儘量多講，也讓學生多做題目來熟悉題型。

【張天錫老師受訪，楊季芳訪談】

單位問題：

單位換算錯誤，在公尺換成公分，常會粗心看錯題目是要公尺還是公分

題目不像過去都可以整除，有些題目是故意要求小數的形式，就會要學生求出答案是幾公尺，學生常算完就算了，沒有注意到題目要求的是什麼，另外題目不夠生活化，學生興趣缺缺，在看題時也沒有多加注意，老師就是在考前多加提醒學生。

【曹雅雯老師受訪，賴奕璇訪談】

單位問題：

不同單位換算混亂

周老師認為現在的學生幾乎都是聰明有餘努力不足，像單位的換算其實在概念上並沒有特別困難之處，需要的只是多加的練習，讓單位間的關係能夠更加釐清。然而現在的教學卻對「熟練」這個名詞畏懼三分，反而是矯枉過正。因此，周老師建議，在教到這部分時，能夠給學生適量練習題讓學生有熟習單位換算的機會。

【周勇老師受訪，高愷璜訪談】

單位問題：

題目1秒跑5米，換算成1分跑幾公里不會。

1.將班上學生分類，一類是會算該類問題的，一類是不會算的，請會的學生教不會的學生。

2.程度較差的學生由老師與實習老師個別指導。

【郭素貞老師受訪，陳筱薇訪談】

長度、面積、容積等單位換算。

由於孩子們通常對於單位沒有具體的概念，可藉由實際的操作來讓孩子們了解。

ex：

以目測來比較桌子的長度與黑板的長度，可延伸到與教室、學校大樓的比較因而能有較具體的距離感。
算一算到學校的路上有多少根電線桿、操場中的100公尺直線距離要幾步才能走完。

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

長度、重量、面積之換算：

公頃、公畝、平方公里單位對學生而言太過於抽象，因為不常聽，因此量感不易建立。

製造量感：以學校面積讓學生體會，例如1平方公里大概是多少個學校籃球場地。
複習面積層次變化：

1 10 100

=0.01 =0.01

馬上隨堂考：單位換算亦與小數點進位、退位有關，因此，再次解說完平方公里、公頃、公畝之倍數差異後，隨即考試，以測驗出學生理解力。例如3平方公里=300公頃、11公頃=1100公畝、1公頃=0.01平方公里、5公畝=0.05公頃。
跳動方式解說：解說完1跳2的層次關係(平方公里與公頃、公頃與公畝、公畝與平方公尺)，就以1跳3或1跳4等關係讓學生觀察，例如平方公里與公畝或公頃與平方公尺等等間的不同。

【陳玫君老師受訪，林曉妘訪問】

單位問題：

學生常常搞不清楚千米、米、毫米、厘米

老師會利用家族概念幫助學生記憶。例如長度王國裡，有4個成員，爺爺是叫做千米、爸爸叫做米、兒子叫做毫米、孫子叫做厘米。

【林月梅老師受訪，林思萍訪談】

大單位面積的丈量

請學生利用日常生活中隨手可得的工具來代替標準量。例如：丈量教室大小時，若使用30公分的小尺來丈量，相當的不便，也容易產生誤差，故可以讓學生先用雙手張開的長度來丈量，在將丈量的單位轉換成標準量。

【王舒怡老師受訪，趙姿菁訪談】

重量

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

保留概念：

沒有重量和液量的保留概念。

例如：

重量：學生認為同樣的物體經過變形或是切割，則重量會改變。
液量：學生誤認為不同形狀的容器，會影響液量；或是液體位置越高，一定就表示液量越多。

實際操作：利用實體實際操作加以釐清。

重量：利用方便變形的黏土，來實際秤重測量，檢視是否隨形狀或是切割改變重量。
液量：利用有刻度且不同形狀的量杯來測量相同液量時，雖然水位改變但液量不變。

【陶文杰老師受訪，林雅凰訪談】

重量的比較：

學生會認為體積較大，則重量必然較重，兩者呈正相關的關係。

例如：一公斤的鐵與一公斤的棉花；因棉花體積較大，就誤以為棉花較重。

生活實例

因國小課程當中僅教到「重量」、「體積」，雖然二者相關，但其中更牽涉到「密度」的問題；因此舉生活實例(一大包的棉花還不一定比一顆石頭重)讓學生了解，提醒學生不能單以視覺作判斷。

【陶文杰老師受訪，林雅凰訪談】

量與實測

學生對於公尺和公分等長度單位沒問題。但對於較少用到的公畝、公頃、公噸會有問題。

盡量舉一些生活上的例子，學生比較會記得住。像是學校操場中央的球場大約是一公畝多一點，學生就可以馬上了解了！然後讓學生利用課本來量球場周圍，培養其量感。
至於公噸，讓學生觀察一般電梯旁邊都會寫「限乘幾人，載重幾噸」所以學生會知道電梯可以載很多人，噸的單位是很大的。也可以觀察小貨車。

【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】

單位換算

孩子記不起來

1公噸=1000公斤

1公尺=100公分

公畝、公頃

老師不強調一定要小朋友背

會運算比較重要,因為生活上很少用到,要求公噸換算公斤、公斤換算公克要背

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

容量

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

單位問題：

抽象的單位

像是公斤、公升這些單位，和形狀、長度這些單元，是比較抽象的內容，對於學生的學習是比較困難的部份。

張老師認為在教學上會多多運用出版商提供的教具，像是柱體、錐體…等實物，可以幫助學生很快地建立概念，畢竟在黑板上無論畫得多麼立體，它終究還是個平面，本來就有概念的學生自然是沒有問題，但立體觀念較差的學生，有教具的輔助就可以讓他們得以加強觀念，追上其他的同學，且學生儘管到了高年級還是對於可以實際摸到的東西較有興趣，讓他們都能實際操作實物，可以大大提高學習的意願。

而幾合圖形的教學，老師認為電腦的動態圖形呈現效果非常好，可以就圖形的各個角度觀察，不過以電腦編寫教學所必須花費的心力很大，圖形的精確繪畫也不容易，不過老師其實可以利用現成編寫精美的網站來「輔助」教學，張老師的做法是，在上課時把相關的網站先開好在電腦上，下課的時間就開放學生可以過去操縱網頁，讓學生有多元的學習機會。

【張淑琦老師受訪，黃上殷訪談】

名詞混淆：

學生對於這些名詞常不解其意，容易混淆名詞的意義與誤用。

例如：認為容量就是液量、容積就是體積，體積等於容量、容量等於容積…。

解釋名詞與實際操作

解釋名詞配合具體的實際操作，利用空體裝水，來釐清各名詞意義。

容量vs.液量：容量指容器能裝的最大量，有別於液量；例如一個杯子最多可裝300c.c.的水，300c.c.指的是杯子的容量；同樣的杯子裝150 c.c.，則150c.c.指的是水(液體)的量。
容積vs.容量：容積指容器內部的體積，容量指容器最大能裝載的液量；觀察兩者之間使用的單位不同(例如：cm³ vs. ml)，可發現兩者的意義不同，但兩者之間因為液體密度的關係，可透過單位換算來比較和計算。
容積vs.體積：容積指的是容器內部空間的體積，體積則指物體在外部空間所佔大小；因此兩這不相等，不是所有物體都有容積，除非其具有可承裝的內部空間。

【陶文杰老師受訪，林雅凰訪談】

容量的概念：

陳老師會先讓學生實際操作，例如：當倒1分公升的水時，由學生依自己的感覺認為1分公升是多少再倒入大容器中，最後老師再公佈正確的量是多少。

【陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談】

單位換算：

a.知道1公升=1000毫公升，但1000毫公升=？公升，就不知道

b.各單位間關係不清楚。

將重量、容量、長度等的單位量都列表，讓學生一目了然，並告知學生單位間的可逆關係，如小單位換成大單位，同時大單位也能換算成小單位。

【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】

容積：

學生對於具有厚度的容器計算容積易混淆厚度的計算。

老師指出對於此種概念，繪出立體的空間透視圖是最好的方法，以透試圖來指導學生去觀察「厚度」的存在，與有無厚度的差異，對於容積的影響。

【郭玉菁老師受訪，王凱儀訪談】

容量的單位換算：

例：小朋友對於各個容量單位之間的關係搞不清楚。

Ex：1公升＝？分公升＝？毫公升

老師用了一個「七字訣」，請小朋記住「秉、石、斗、升、合、勺、撮」，公合＝分公升（dl）、公撮＝毫公升（ml.），碰到單位換算時，將七字訣依序寫出，並依照題目所問，在其單位下列出數字，其餘的字下面補0，即可得出單位換算後的答案。

【黃武德老師受訪，張思婷訪談】

容量的化聚與量感：

如小朋友知道1公升等於1000分公升，但卻對於一公升到底是多大的瓶子沒有概念

老師會請小朋友拿生活中用到的各種茶杯等用具，分組估測可以裝多少水，以競賽方式，看看哪組猜的最準確，猜的最接近的一組即可獲得獎勵章一個，藉此訓練小朋友的量感。

【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】

單位換算不清

dl跟ml搞不清楚。

老師用單位板，以表格的方式來方便學生記憶運算。

l	dl	ml
1	0	0

讓學生填，學生可以填上，馬上就以知道差多少。老師個人覺得這是個很好的方法。

【王蘭亨老師受訪，方郁琪訪談】

學生會對於一些數學單位名詞難以理解，沒有量感。例如當老師在解說一公秉到底有多大時，學生比較難以去想像一公秉到底是有多大。

由於1公秉=1立方公尺，所以當老師在講解1公秉到底有多大時，林老師會實際做出一個1立方公尺的教具，來讓學生能夠實際看得到體驗得到，使學生對於1公秉有所量感的感覺。

【林志宜老師受訪，許慧美訪談】

容積的具體觀念

學生對於容積的大小或是單位沒有具體的觀念

對於這一類的教學問題，老師應該利用具體的事物來教課，如此學生才能在具體的事物中有明確的觀念，而且老師最好可以結合現實的物品，例如寶特瓶、養樂多等等。

【楊淑惠老師受訪,游憶如訪談】

體積與容積易混淆

由於從一個長方體、正方體等……立方體的容器內的長、寬、高，可以算出容積，與算體積的方式長寬高一樣，所以有學生會誤以為體積=容積，此時宜找一個有厚度的盒子，實際讓學生測量其盒子裡面與外面的在長、寬、高的不同，所以體積與容積是不同的。

例如：長邊14公分、寬邊7公分、高是8公分的長方體盒子，盒子的底及四邊厚1公分，這個盒子可放（　　）個１立方公分的積木，共是（　　）立方公分。

【黃玉貞老師受訪，陳芝仙訪談】

學生在面積與體積的測量概念有一些共同的迷失概念：學生對容積與體積的了解不足。

解釋容積與體積的名詞，並以圖形來加強學生的印象。

如體積：物體在空間所佔的大小

容積：中空的容器或其他物體所能容量的體積

加強容積與體積在計算單位上的不同。

多以圖形式的題形演練

容積與體積的單位換算易搞混，不知何大何小。

老師會讓學生實際去丈量學校的操場，讓學生實際操作並去做換算，讓學生對大小有一個較具體的映像。

【藍淑娟老師受訪，顧淑珍訪談】

單位換算

例如：1立方公尺＝？立方公分

1立方公尺等於1000000立方公分，對學生而言，一百萬的數字實在太大，比較無法體會其量感，於是老師會用日常用品，如2公升汽水和家裡浴池的容量來帶入立方體容量的概念。

此外，對於平方、立方的概念也要澄清。

容積單位

高年級學生必須學習到各種容積的單位，老師可以利用表格或規律的方式讓學生記憶單位。例如：

公秉

立方公尺

公升

分公升

公撮

毫公升(ml)

立方公分

毫代表：

分代表：

此外，應多利用生活實際物品介紹各種單位量例如：養樂多，易開罐、寶特瓶等較大的單位則可利用例如公秉則可利用浴缸、游泳池等加以介紹

【王素卿老師受訪，王雅慧訪談】

單位換算。

將零碎學習的各種單位，系統性的整理，並配合實際的操作。

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

單位換算

由小單位換成大單位，實在讓學

生搞不清楚！

1. 依照順序將單位寫在黑板上。

2. 將各單位之間的關係標明清楚。

3. 多出題目讓學生練習。

教學撇步：對於高年級的學生，老師在讓學生練習時，可以點不同的學生上台作答，作答學生除了作答還必須講解給全班同學聽，也必須回答同學所提出來的問題。如此老師便可了解學生程度，看看學生對於學科是否了解，也可以訓練學生表達的能力。
教學撇步：在課堂上如果要了解全班學生的了解情形，可出題目讓學生練習，問學生「寫對的舉手」，便可知道大約的狀況；而問「會的舉手」比較不準。

【何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談】

單位化聚

若只是死背公式，學生很難理解

老師利用教具實際操作給學生看，例如，一公升的水可以倒成10杯1分公升，所以1公升=10分公升，先讓學生理解，再以此類推其他的單位，等學生理解後，遇到1公升=1000毫公升這類數目比較多的換算，可以讓學生直接記憶大單位化小單位則乘1000，小單位化大單位則除以1000，ex:4726毫公升=4.726公升。

【張櫻美老師受訪，陳加雯訪談】

量概念及測量

對於單位的換算，小朋友　　常有迷思。

如：公升、公克的換算。

基本上老師還是採多做練習的方式。並在講完之後馬上做課堂上的形成性評量，立即了解小朋友了解程度。

【范素月老師受訪，顧淑芳訪談】

量與實測

學生對於公尺公分這些常用的單位都有一定的量感，但是像公畝、公頃、公噸這類的單位，學生都覺得很難想像。

像學校的躲避球場大約就是一公畝多一點，所以老師就利用上課時間，帶著學生到躲避球場去實測。

學生準備了許多十公分長寬的積木和數學課本以及尺，實際去量測躲避球場的長寬是多少，原本學生是用積木去測量，但發現速度太慢了，所以就改用數學課本去測量，一本數學課本長大約有三十公分，經過這樣的測量之後，學生就對公畝這單位有了量感。

公噸方面，老師是請學生去注意路上的小貨車，看他們大約可以載重多少，培養他們對公噸的量感。

【江欣儒老師受訪,陳美蓮訪談】

課本的單位和生活實際運用的不同，課本可能是「千公斤」，日常生活則是說「公噸」。

發給每人一張對照表，包含了九年一貫課本使用的（大陸用法）和日常通用的（82年版國編本用法）。

【李幸儀老師受訪，黃羿菁訪談】

體積：

遇到問題時，不會運用公式。

老師會實際操作的方式，像是一排有幾個、有幾排、有幾層，所以總共是幾個積木，讓學生先有這樣的觀念，之後才帶出體積的公式：長×寬×高。

【李怡靜老師受訪，許維凌訪談】

容量化聚：

學生雖已懂得公升、毫升、分公升，也清楚1公升=1000毫升，但各單位在做換算時，還是常混淆不清。
對各容量單位較無量感。

老師會先讓學生了解單位間彼此的大小，尤其是分公升與毫公升，老師會讓學生記誦「分(絲)毫不差」，以認知到分公升比毫公升大。
在教導換算時，因為這些單位名詞與學生的生活較無連結，所以學生會感到相當陌生。因此老師會將1公升比喻成1千元，1分公升為1百元，而1毫公升為1元，使學生更能了解公升是比毫升大的容量單位，要1000毫升(1000個1塊錢)，才累積1公升(1千元)。
為了讓學生能更精確的做換算，老師也會教導學生用表格的方式記憶。如下圖：

公升	分公升		毫公升(ml)

對於量感的體會，老師則是多以實物為例，如以公升記的大寶特瓶、洗衣精罐，約一分公升的養樂多瓶，一毫升則以一滴水代替，讓學生有其單位量感。

【王蘭亨老師受訪，張嘉群訪談】

單位換算：

公秉、公升、公撮、…等，，一但超過三個以上的單位要做換算，學生就會搞錯，甚至亂湊答案。

由於這是死的東西，所以老師會讓學生反覆、做機械式的練習與換算。
老師會請學生將公式背起來（如：1公秉=1000公升）。而在寫考卷時，第一個動作便是先把這些基本公式寫在考卷空白處，作為提示性的小技巧。這樣才不會因為一時緊張而通盤忘記。

【宋屏麟老師受訪，彭立心訪談】

容積

學生對於容積的大小或單位的概念不清楚。

多利用具體的東西舉例，像是養樂多大約100ml，寶特瓶大約500ml，讓學生多看幾種不同大小的容積，培養學生量感。

【賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談】

單位換算

立方公尺與立方公分的換算，公噸和公斤間的換算等等，尤其數字大時易算錯。

【張庭香老師受訪，朱惠卿訪談】

容量與體積

對於容量與體積之間的換算，學生常會犯錯，例如多一個零或少一個零，或者單位會寫錯

老師認為要讓學生常操作，配合實物的觀容，讓他們達到熟練，進而能夠朗朗上口，變成自動化的反應

【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】

角度與速度

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

在測量角度時運用量角器，會比較不知道它的起始點為何？

老師解決的方法是：現在從零開始看，從這裡走一圈到最後還是會回原點，我可以在這裡停，也可以在這裡停，但是我又從同一個點出發，所以等一下從這邊看，當然答案就不一樣了。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

量角度

有黑紅兩種刻度，分別從左右端開始為起點，學生往往會看錯

告訴學生無論角在哪一邊，都是以零為起點開始量，並讓學生以不轉紙的方式量三角形的三個角，這樣學生才能練習到不論以左邊或右邊開始量都能找出正確的角度。

【張櫻美老師受訪，陳加雯訪談】

量角器：

學生測量角度時，易將角度錯看，如將誤以為是。

老師解決方式是在介紹角的時候，老師會一再提醒學生注意頂點、始邊、終邊，一開始在畫角的時候，老師會要求學生將頂點、始邊、終邊表示出來，並且強調角度的測量是由始邊開始往終邊的方向量。另外還會提醒學生使用量角器時，將0擺在頂點，橫線對準始邊，讀取是從始邊延伸對到0度的那一邊。

終邊

頂點

始邊

【陳君虹老師受訪，蔡易儒訪談】

平角＝180度的概念：

例：小朋友不了解為什麼一個半圓形的平角是180度。

老師會在黑板上畫一個大的半圓形，並拿起一個直角三角板放在半圓形之上並在直角處畫出一條線，接著再拿起另一個直角三角板放在另一邊，讓小朋友以觀測的方式得知一個平角是由兩個直角所構成的，所以平角的角度為90度×2＝180度。

【黃武德老師受訪，張思婷訪談】

量角器：

學生測量角度時，易將角度錯看，如將誤以為是

鄒老師解決方式是跟學生強調角的起點與終點，提醒學生角度是由起點開始往終點方向看。

【鄒榮宗老師受訪，鄭筱芸訪談】

角度

學生測量角度時，易將角度錯看，如將誤以為是。

鄒老師解決方式是跟學生強調角的起點與終點，提醒學生角度是由起點開始往終點方向看。

【鄒榮宗老師受訪，劉秀娟訪問】

速度、速率的實際超練

由於學生對於兩者間的概念不足，例如：速度是有方向而速率是無方向、對於速率與速度無法理解其所代表的意義…等等，皆可以結合自然科的教材與教具來輔助。

【王舒怡老師受訪，趙姿菁訪談】

速度、距離、時間：這些對學生來說有點抽象，學生有點難以理解。

郭老師認為，首先要簡化題目，以免學生混亂。另外，也可舉和學生較接近的例子當題目，例如：老師會實際請學生從教室的一端走到另一端，看一步走多長，又花了幾秒，共走了幾步…等，來讓學生了解。

速率、距離、時間的應用問題，學生無法理解題意與三者乘除之間的關係。

例如：從台北到嘉義約300公里，爸爸開車花了5個小時才到，請問時速是多少？

300公里

台北嘉義

1小時 1小時 1小時 1小時 1小時

利用圖解的方式讓學生了解速率、距離、時間的乘除關係，因為共花5小時，依圖示分成5等份所以用300 ÷5。

先換簡單的數字，簡化問題，待釐清觀念之後再回到原問題。

【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】

速度、時間、距離的關係常搞混

由於學生常常背公式，距離=速率時間、速率=距離時間、時間=距離速率，最後看到題目時跟本搞不清楚該乘還是該除。此時黃老師認為應先釐清速率的概念，以賽跑為例，舉例說明只知道距離一個人跑400公尺、一個人跑100公尺，無法得知速度快、慢。再舉例說明只知道時間亦無法判別速度快慢，如一個人跑了1分鐘，一個人跑了12秒，因為速度是一段時間內所移動的距離，所以速率的單位是距離/單位時間。

【黃玉貞老師受訪，陳芝仙訪談】

速度、距離、時間：這些對學生來說有點抽象，學生有點難以理解。

老師認為，首先要簡化題目，以免學生混亂。另外，也可舉和學生較接近的例子當題目，例如：當要上這個觀念時，老師會在課堂上設計一個簡單的比賽，像是請兩個學生比賽折一架紙飛機，然後計時，藉此來說明這就是速度。或是以學生跑一百公尺要多少秒的觀念來帶入主題，但這個觀念大部分還是都學不好。

【陳慧君老師受訪，林佩育訪談】

速率是每小時幾公里或是每分鐘幾公里……等的單位換算容易出錯。

粗心答錯一定要有所懲戒，下次才不會再犯。
一定要用嘴巴念題目 (不發出聲音 )，並將單位圈起來，題目有多少個問號，就要有多少個答案。

【黃嘉貞老師受訪，李冠儀訪談】

速率的問題對學生來說比較難瞭解，因為牽涉到時間、距離單位的換算。

老師在教這單元時，會先複習時間的單位換算、距離單位換算，經過多次的操作與解說，讓學生能比較熟悉之後。再讓學生做此類的題型。

【李淑貞老師受訪，李勉禛訪談】

速度

(並非每種教材都有)

速度是一種較抽象的概念，老師概念講解方面，可幫助聽的懂得學生理解，對於沒有辦法理解的學生，老師只能其次幫助學生熟背公式，讓學生能套用公式作答。

Ex：距離÷時間 = 速率

【何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談】

「速度」和「速率」是不一樣的，學生常將兩者混唯一談。

老師教學時強調「速度」是具有方向的，而「速率」則是沒有方向限制的。老師會進行一個活動，規劃一個路線，讓學生分組派一位學生實地走完，其他的人測量時間，之後在小組一齊討論出來速度和速率各是多少？學生經由活動的進行可以知道速度和速率的不同。

【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】

時間換算vs 速率換算

學生容易將時間和速率的換算混淆

ex：24分＝（0.4）時

分速24km＝時速（0.4）km

分速24km＝時速（1440）km

多數學生錯誤在速率的換算會變成換算時間，而時間的換算大致都正確，所以教師會藉由應用題型的變換，在題目中不斷的演練與說明速率和時間的不同意義。

【陳方旼老師受訪,陳麗玉訪談】

小朋友會搞錯題目求的是秒速，但是小朋友粗心就用分速來回答。

老師會再提醒小朋友，並且作一個延伸，如：行程問題方面—1.相向而行2.相背而行3.同向而行（追逐問題），而且老師還會利用一些思考性問題給小朋友在知識上的加深、加廣。

題目：A、B兩地相距28Km，今甲以時速3 Km從A地出發，乙同時以時速4Km從B地出發，請問幾小時後兩人相遇？若兩人至A、B兩地再返回，那第二次相遇在哪裡？

問題如上，但老師會把題目作轉換：假設現在的追逐問題是變成圓圈的追逐，會繞幾圈？。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

速率的問題：

秒速、分速、時速

釐清學生速率的定義
加強學生速率計算的重要觀念

如：時間和速率成反比

時間和距離成正比

速率和距離成正比

加強時間上小單位換大單位或大單位換小單位的練習。
從低階單位（例如：分）累成高階單位叫做「聚」，由高階單位（例如：日）分成低階單位叫做「化」；學生因先有累進的經驗，之後才有分的概念。所以教學活動的布題配合學生的認知發展先做「聚成」部分，再做「化成」部分；各部分題目的層次採由簡到繁有結構的安排。

【郭嬪文老師受訪，蔡亭葦訪談】

速率的問題

秒速、分速、時速

A.兒童常把速率說成速度，不易區分速率和速度。

B.由於在時與秒的化聚上概念不足，影響到時速與秒速的化聚關係

釐清學生速率的定義
加強學生速率計算的重要觀念

如：時間和速率成反比

時間和距離成正比

速率和距離成正比

加強時間小單位換大單位或大單位換小單位的練習。
從低階單位（例如：分）累成高階單位叫做「聚」，由高階單位（例如：日）分成低階單位叫做「化」；學生因先有累進的經驗，之後才有分的概念。所以教學活動的布題配合學生的認知發展先做「聚成」部分，再做「化成」部分；各部分題目的層次採由簡到繁有結構的安排。

【蔡明娟老師受訪，高嘉君訪談】

速度

秒速、分速、時速這三個是新的語彙，學生有時候懂的題目卻不懂得要求的主要東西。秒速、分速或時速之間的換算倍數是60，所以當題目來的時候，學生容易猜猜看，不是除以60就是乘以60，若數字不符合就再換另一種。

文字敘述題，題目敘述過多，考驗學生的耐性，還有閱讀能力。例如：小英從家裡出發，以每分鐘走60公尺的速度去上學，走了600公尺，姊姊才騎腳踏車以每分鐘180公尺的速度送東西去給小英，經過幾分鐘才會送到？

秒速、分速、時速之間的換算，需要反覆的講解，若是秒變分，因為分比較秒久，所以當然走的也會比較遠，所以就會乘以60，若是分變秒，因為時間變短走的距離也會變少，所以是除以60。

問題敘述太長，老師都會以學生示範題目敘述的狀況，把文字變成現象，學生就容易清楚題目，再來才是教如何解題。學生容易不懂的地方還包括不曉得要把兩人的速度相減，但是透過示範，可以了解若不相減，便無法知道到底姊姊快妹妹多少，所以中間的計算尚不難，只要學生懂得題目是最重要的

【蘇慧真老師受訪，賴姿穎訪談】

時間、距離、速率例如：

2公里

小英對著對面2公里遠的山大叫一聲，當小英聽到回音時，已過了10秒，請問音速是多少？

小朋友知道計算音速是距離除以時間，但是會弄不清楚是距離要乘以2，還是時間要除以2。

郭老師的教學方式是以實際的方式，操作給學生看。例如：請同學到講台上，以1秒1步的速率，從前們走到後門，老師計算他走的時間，其他同學數他走的步數。老師利用這樣的方式，讓同學們了解「距離」、「時間」和「速率」之間的關係，進而釐清回音所需的時間，是經過來回的距離，所以時間要除以2，或者是把距離乘以2。郭老師說，學生們只要經過實際地演練一次，大部分的同學都能了解，就算題目在怎麼變，學生都會寫出正確答案。

【郭慧萱老師受訪，陳可倩訪談】

不了解速率的意思：

速率的公式距離=時間×速率

這個公式非常的不易了解，以日常生活中的事件代入，此時老師會問小朋友當有緊急的事件發生時，你會慢慢的走來告訴老師，還是快跑過來告訴老師。(學生：快跑)為什麼呢？(學生：因為比較快、才能早一點告訴老師)引發孩子來思考。

【黃來興老師受訪，陳俞君訪談】

速率：

不清楚速率的意涵。
由於速率含有秒、分、時速，而學生在時、分與秒的換算上仍混淆不清，所以常計算錯誤。(不知何時要以24或60做進位，何時該除60或乘60。)

老師說，由於速率對學生來說是一抽象的概念，所以一開始先要多舉例，如以一分鐘計算所跑步的距離、一百公尺跑多少秒，而一秒跑多少公尺、機車或汽車的儀表等，讓學生了解其定義為「單位時間(一小時、分、秒)所行走的距離(公里、公尺、公分)」。
了解意涵後，老師則會強調速率計算的概念，即速率、時間與距離三者間的關係。因為老師讓學生記誦公事或三者正反比的關係只會讓學生的概念更加混淆，所以老師只列出速率=距離/時間，接著引導學生去推導三者的關係變化(距離=速率時間、時間=距離速率)。
對於秒速、分速、時速之間的換算，老師認為需要反覆的講解(若是秒變分，因為分比較秒久，所以當然走的也會比較遠，所以就會乘以60，若是分變秒，因為時間變短走的距離也會變少，所以是除以60。)同時，也要加強單位換算的練習。

【王蘭亨老師受訪，張嘉群訪談】

速度轉換的問題：

在習作裡可以發現很多1秒可以走5公尺，那一分鐘、一小時可以走多少，這種要學生做換算的題目，有時學生會不清楚什麼時候要使用乘法，什麼時候要使用除法。

先帶給學生秒、分、小時的觀念：

第一：60秒=1分鐘 60分鐘=1小時

第二：1小時=60分鐘=60*60=3600秒的這種觀念。

第一步是讓學生了解秒<分<小時，第二步是讓學生在了解三者的大小後，再如何計算，碰到將〝小時換成秒或分鐘〞的這種題目，因為秒<小時，所以求速度要使用除法，碰到將〝秒或分鐘換成小時〞，因為秒<分<小時，所以要用乘法。

一再的強調三者的關係讓學生理解，這類題目就可以很容易解出又不出錯了。

【蘇惠英老師受訪，李燕青訪談】

速度、距離、時間：這些對學生來說有點抽象，學生有點難以理解。

速度是一種較抽象、難以理解的概念，老師講解概念方面，可幫助一些學生理解，對於沒有辦法理解的學生，老師只能幫助學生熟背公式，讓學生能套用公式，此外也只能多做題目、了解題型。

Ex：距離÷時間 = 速率

【梁文方老師受訪，鄭嘉川訪談】

時間、速度、距離間的關係亦忽略題目所要求的

ex.告訴時間,問哪一個速度比較快

提醒看清楚題目。
觀念釐清。

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

五、時間概念

時間

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

小朋友有時會忘記時間是二十四小時制的，就用十二小時來當成一天的單位量。

老師教學策略是再提醒一下小朋友就可以了。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

日期的推算
(例：3月15日到4月20日共有多少天？)

老師說通常學生對於月份天數的概念都不會有問題，只是在運算過程中學生都會忘記再把3月15日當天加回去，以致於算出來的天數都會少一天。老師為了加強學生這個觀念，遇到日期推算題目的時候都會經常說：「當天減掉要加1。」利用口訣式的方法提醒學生要記得加1的觀念。

【林佑真老師受訪，鄭子盈訪問】

時間的轉換：一小時有60

分鐘，60進位，並非十進位。

將十進位的歷史簡單講給孩子聽，接著舉例不一樣的進位方式，如長度、時間。

【張雅芳訪談】

時間的計算

對於時間的乘除，學生不了解『時』變『分』的觀念

例如：一片CD連續撥放8遍，花了10小時又8分，請問平均撥放一遍需要多少時間？

學生的迷思做法：正確做法：

1時 3分 1時 16分

10時 8分 8 10時 8分

8 8時

8 2時8分

2 4 ＝120分＋8分

＝ 128分

4 8

學生因為對於時間的單位換算不夠了解，所以當讚做這種時間的乘除時，老師會強調學生一定要把時間的單位寫上，遇到不同的單位乘除，就要同化為一樣的單位，再讓學生多做練習。

【楊蔚如老師受訪，余曉婷訪談】

時間的化聚

　　　３５分２４秒

　＋　２８分５７秒

首先讓學先了解時間之間的關係。

１日２４時

１時６０分

１分６０秒

　　在計算方面學生並無太大的問題，可是學生已經習慣十進位的方法，或是總是認為１００才能再進一位，所以學生常常在１００秒才進一分鐘。這一些問題必須常常提醒學生，讓學生明白日時分秒之間的換算關係。

【楊淑惠老師受訪,游憶如訪談】

時間的算法是採六十進位，但一般計算的進位都是採十進位，也因此常使學生混淆。

Ex: 20. 2時

＝（）時（）分

學生：（20）時（0.2）分

不知道時化分

要乘60

老師說這類型題目會寫錯的，第一無非是學生粗心，想都沒想就填答案。第二就是還未完全建立起時化分、分化秒等的概念。因此她採用了一策略來加深學生的印象：如此讓學生心中熟記此方式，以便即時做出反應。

×24 ×60 ×60

日時分秒

÷24 ÷60 ÷60

【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】

時間是六十進位，異於平常算術的十進位

多讓學生演算，加強六十進位的概念。

【張櫻美老師受訪，陳加雯訪談】

時間的換算：

學生對日、時、分、秒的換算觀念不易掌握，不知何時使用24制、60制的時間化聚，題目中又參雜不同數的表現方式（分數、小數等），很容易混淆學生的觀念。

老師認為得要學生區分什麼是24制、60制的意思，在時間的換算中，他會先要學生把時間都先化成分數的表示方式，例如：題目為20分鐘=（）小時，老師不認為先告訴學生遇這種題目把20÷60就好，他會要學生建立起每累進60分鐘，就為1小時的觀念。當遇到此題走了20分鐘後，就等於走了其中的20格故為小時，進一步再化成小數。這樣學生才可清楚掌握其觀念。

【高文旭老師受訪，鍾君華訪談】

時間

學生對於日、時、分、秒的轉換，即24進位60進位不易掌握。

例如：

（1）0.4日＝（）時

學生可能出現的答案：

答：4時。

（2）0.4分＝（）秒

學生可能出現的答案：

答：4秒。

秋媚老師會根據學生的舊經驗來引導到一個新概念。

例如：秋媚老師會先問學生1小時等於幾分呢？學生回答60分。再問學生2小時等於幾分呢？學生能知道是60×2＝120，所以兩小時等於120分。接著老師就會問那0.1小時等於幾分呢？慢慢引導學生知道是60×0.1＝6所以是6分。

【黃秋媚老師受訪，鄧舒薇訪談】

對時間的換算並不是相當的了解，因為以往都是一百進位的觀念。

例如：小明去爬山，上山時花了3時25分，下山時花了2時45分，來回共花了幾時幾分？

學生的想法：

有的學生會做出

3＋2＝5

25＋45＝70

所以共花了5小時70分

老師的解決法：

因為本題是「時和分」複名數加法的問題：

1.這時老師會詢問學生：「題目是問花了幾時幾分？那麼你是否有把問題中的幾時幾分記下來嗎？」

2.「要怎麼記，才能讓人家看的懂回答的是幾時幾分？」

3.因為學生在-以往學算數的過程中往往都是100進位的，

因此同學不知道過了60分就算一小時的情形，因此老師就需要利用小時鐘的實際操作，了解到說60分鐘即為1個小時，因此

本題的70分就應記為1時10分

→因此本題為

3＋2＋1＝6

又多10分因此共花了6時10分

4.老師說應該鼓勵學生使用二階段分開的方法（即時和時計算，分和分計算）來進行解題。

【鄭聿芬老師受訪，陳建成訪談】

時間

因為之前所學的皆為十進位，所以學生對於日、時、分、秒的轉換，即24進位60進位不易掌握

例如：

（1）0.6日＝（）時

學生可能出現的答案：

答：6時。

（2）0.6分＝（）秒

學生可能出現的答案：

答：6秒。

老師認為這些進位制對於學生來說較為陌生，而之前學的都是十進位，要學生適應這些觀念需要一段時間，剛開始老師會慢慢的教，讓學生能夠更加熟悉觀念，並且要求學生要常常練習、計算，老師會要求學生要把每一題的計算過程詳細寫下來，時間的加減直式計算也要寫，因為這樣可以從中了解學生到底是哪一個地方不懂，針對這些地方在去加強輔導、說明，且多利用和學生生活相關的事務來說明，像是讓學生看月曆、看手錶等等，加強學生的概念。

【陳慧君老師受訪，林佩育訪談】

時間的單位換算混淆

學生學完全部跟時間有關的概念 (年/月/日/時/分/秒)之後，很容易混淆。
例如：學生換算時間時，會把一天本來應等於24小時的，換算成一天有60小時。

教師除了上課時可用教具輔助教學外，其實平常就常提醒學生時間的概念。
如：今天來學校約8小時，放學回家睡前活動7小時，睡覺加隔天起床上學到校9小時，所以一天共24小時，或是這堂課上了50分鐘，還有10分鐘就剛好一小時，日漸點滴累積加深學生的概念，就比較不會忘記或混淆。

【顏秀芬老師受訪，葉玟孝訪談】

時速分速秒速換算

學生常常將36分在乘以60得出幾時，不會思考他們之間的關係。

ex:36分等於幾時？

對於時間的換算仍是搞不清楚，老師起初先利用大小的比較關係，沒有讓他們作題目，純粹思考練習與操作，現在他們就比較不會看到數字隨便亂乘了。

【許薇寧老師受訪，林君玲訪談】

時間與時刻：

對於時間與時刻常搞不清楚

告訴小朋友時間與時刻，這兩個名詞並不通用，時間是一段距離，時刻是一個定點；時刻=時候。

Ex：8點是時刻；2個小時是時間

【張麗香老師受訪，黃佳惠訪談】

學生對於時間轉換成分數。

【例如】：一小時是二十四分之一日，將時間轉換為分數的過程中學生不容易轉換，陳老師認為這與學生對於分數的概念不是很清楚有關。

陳老師先幫學生複習分數的概念，讓學生認識分數的概念後再教導學生時間轉換成分數。在一小時轉換為分數是幾日題目中，陳老師先問學生一天有幾小時，引導學生先將一天換算成小時，再去思考一小時是二十四小時分之一，因此一小時是二十四分之一日。陳老師認為學生對於數學遇到一些困難，也會與學生的數學基礎有關，因此會從基礎上複習先前所學過的數學概念，再介紹新的數學知識。

【陳淑真老師受訪，莊靜詩訪談】

時間的換算：

（1）5小時16分要算成幾小時，或是算成幾分鐘，學生會不曉得什麼時候要乘60什麼時候要除60

（2）小明跑操場一圈需要1小時25分，今他跑了三圈，問需跑幾小時，學生在進位及換算成「時」都會算錯

學生在做題目的時後思考不周，常常看到題目就直接做，例如看到5小時16分，他會知道不是×60就是÷60，隨便猜一個，所以常算錯，另外有些學生在進位部份知道60進位，但可能分寫對而時忘了加上，老師只有一再的叮嚀學生，並用直式計算給學生看，並舉出學生常犯的錯誤。

【曹雅雯老師受訪，賴奕璇訪談】

時間的換算：

例：學生對於日、時、分、秒的轉換，即24進位60進位不易掌握。

例如：

（1）0.5日＝（）時

學生可能出現的答案：

答：5時。

（2）0.8分＝（）秒

學生可能出現的答案：

答：8秒。

文欽老師會根據學生的舊經驗來引導到一個新概念。

例如：老師會先問學生1小時等於幾分呢？學生回答60分。再問學生2小時等於幾分呢？學生能知道是60×2＝120，所以兩小時等於120分。接著老師就會問那0.1小時等於幾分呢？慢慢引導學生知道是60×0.1＝6所以是6分。其他的題目也是依此種方法類推。

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

時間的換算：

學生容易忽略時間換算的規則。

學生都知道：

1日＝24時

1時＝60分

1分＝60秒

但在實際運算時，常會忽略這些規則。例如：人造衛星繞地球一週要1日12時，繞地球5週要花多少時間？

1日12時

× 5

5日60時………………….＝（6日）

我們無法要求學生一定要記住1日＝24時等規則，因為這是他們的基本常識，我們只能多提醒他們，當在演算這樣的題目時，一定要記住「日」與「時」的關係是24，「時」與「分」的關係是60等等。因為這些都是屬於常識性的問題，我們無法再進一步告訴學生這些規則是怎麼來的，只能提醒學生使用時要特別注意。

【林歧旺老師受訪，王仁甫訪談】

時間的換算：

例：日、時、分、秒

學生在運算時造成的錯誤以粗心為多，常把1日換成60個小時來運算。老師認為熟練是最好的方法。

【盧慧凌老師受訪，林百慶訪談】

時間的換算：

學生對於日、時、分、秒的轉換，（24進位、60進位）計算時容易出問題。

例如：

（1）0.5日＝（）時

學生可能會把答案寫成5時。

（2）0.5分＝（）秒

學生可能會把答案寫成5秒。

老師會先以學生的舊經驗作為基礎再引導到一個新概念。例如：

老師會先問學生1小時等於幾分呢？學生回答60分。再問學生2小時等於幾分呢？學生能知道是60×2＝120，所以兩小時等於120分。接著老師就會問那0.5小時等於幾分呢？慢慢引導學生知道是60×0.5＝30所以是30分。

【高婉玲老師受訪，曾文慧訪談】

時間的換算：

時間的換算對有些小朋友而言可能是一個問題

小老師制度或找一些像我們淡大學程的學生去做補救教學。
不會的放學留下來，老師再個別教導，並把錯的地方仔細訂正，直到寫對正確的答案為止，尤其是習作的訂正杜老師特別重視，訂正對了後，老師會再出類似問題，讓小朋友多多練習，當然有錯的地方也一定要確實訂正。

【杜守正老師受訪，李瑞俞訪談】

時間的換算：

再時間換算時容易將對於一小時60分鐘，一天24小時，60進位或24進位容易搞混。

如： 1時25分

× 5

5 時125分

2 5

7時 5分

對於學生會把24進位及60進位搞混，老師說必須不斷的重複：一小時60分鐘，一天24小時，讓學生非常熟練，一但熟練之後就可以改善這個問題。

【李怡靜老師受訪，許維凌訪談】

時間的換算：

當時間與小數混合的時候，學生容易出錯。例如0.5個小時是幾分鐘，學生會回答50分鐘。

老師會利用圖解的方式，畫出一個時鐘，讓學生知道0.5個小時是30分鐘而不是50分鐘。

【郭玉菁老師受訪，林思萍訪談】

時間的換算：

25分37秒

　＋　38分34秒

首先讓學先了解時間之間的關係。

１日２４時

１時６０分

１分６０秒

　　在計算方面學生並無太大的問題，可是學生已經習慣十進位的方法，或者總是認為１００才能再進一位，所以學生常常在１００秒才進一分鐘。這一些問題必須常常提醒學生，讓學生明白日時分秒之間的換算關係。

【鄒榮宗老師受訪，鄭筱芸訪談】

時間的換算：

共經過幾個小時、幾天。
時間進位不能掌握：如天等等於幾個小時。

若題目為2點15分到7點15分共經過幾個小時，將中間間隔時間點都畫出來，一個一個數。
強調一天等於24個小時，24的為？

【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】

時間的換算：

像是題目問420秒是( )時，單位由「秒」跳過「分」直接到「時」，如此的題型，學生容易反應不過來

學生出現這樣的問題，多半是不細心的原因，而非是觀念上有不解，所以老師在檢討題目時會特別要學生再仔細看一看題目問的是什麼，而關鍵還是要學生多算，多算就能多了解題型和克服題目的陷阱。

【張淑琦老師受訪，黃上殷訪談】

時間天數的計算：

例如3/28～3/31有幾天，學生會用31- 28= 3，而忘了再加1，就少算一天。
若天數少時，可以用點算的方法。
食物的保存期限，有標出時、分時，就很清楚，就不用多算一天。

【彭雅絹老師受訪，王姿懿訪談】

時間的換算：

學生對日、時、分、秒的換算觀念不易掌握，不知何時使用24制、60制，題目中又參雜不同數的表現方式（分數、小數等），很容易混淆學生的觀念。

老師認為得要學生區分什麼是24制、60制的意思，在時間的換算中，他會先要學生把時間都先化成分數的表示。
拿時鐘撥給學生看，讓學生明白一小時等於60分鐘再開始計算。

【紀麗鳳老師受訪，林文瑛訪談】

時間換算

由於時間是非十進位系統，所以在進行時間的四則運算教學時，余老師建議應適度的複習日、時、分、秒間的關係。當孩子在化聚上有迷思概念時，也應反問孩子日、時、分、秒間的關係，藉此養成孩子反思重要概念的習慣。

【余蕙如老師受訪，賴昀締訪談】

時間的換算

例：學生對於日、時、分、秒的轉換，即24進位60進位不易掌握。

例如： 0.8分＝（）秒

學生可能出現的答案：8秒。

老師會根據學生的舊經驗來引導到一個新概念。

例如：

老師會先問學生1小時等於幾分呢？學生回答60分。
再問學生2小時等於幾分呢？學生能知道是60×2＝120，所以兩小時等於120分。
接著老師就會問那0.1小時等於幾分呢？

慢慢引導學生知道是60×0.1＝6所以是6分。

【洪文欽老師受訪，林子嵐訪談】

時間換算vs 速率換算。學生容易將時間和速率的換算混淆。

ex：36分＝（0.6）時

分速36km＝時速（0.6）km

分速36km＝時速（2160）km

大部分學生的錯誤在於速率的換算會變成換算時間，而時間的換算大致都正確。因此教師會藉由應用題型的變換，在題目中不斷的演練與說明速率和時間的不同意義。並且多做練習。

【沈麗瑛老師受訪，黃瓊慧訪談】

時間的計算問題：

和天數有關的問題也是學生比較無法理解的。

例如：3月日28日～ 3月31總共有多少天？

方法：學生常常答案會少計算一天，所以採用理解的方式，如果包含的話，答案就要加一天。但是如果是保存期限的問題，因為保存期限有時和分所以就不用加一天了。

【彭雅捐老師受訪，詹小瑩訪談】

時間的除法

例如：１６分２０秒÷４０秒

因為生活中不太會這樣用，所以學生對時間的運算會有些許困難。

請學生多練習解釋題目，並也可以請學生自己列情境。例如：＋代表「保存期限」，－代表「賞味期限」，×代表「某供做重複做幾次」。

【林月梅老師受訪，朱雅芬訪談】

時間的換算

（1）學生對於日、時、分、秒的轉換，在計算上容易出錯。

-- 24進位、60進位

（2）時間的加減法的進位或是借位容易以十進位來計算。

老師剛開始會一直提醒學生時間的計算是24進位、60進位，而且學生也知道1日有24小時、1小時有60分鐘、1分鐘有60秒，但常常在計算時就是會忘記。

例如：花了1日16小時 × 3 ＝ 3天48小時

0.5小時＝ 50分

常常計算都對但是忘了換算回來，或是忘記時間不是十進位。老師用學生有的舊經驗反覆不斷的讓學生做練習，以加強學生對於時間的記憶和觀念。

【邱瑞杰老師受訪，黃蘭筑訪談】

時間

學生對於日、時、分、秒的轉換，即24進位與60進位的轉換不易掌握。

例如：

（1）0.4日＝（）時

學生可能出現的答案：

答：4時。

（2）0.4分＝（）秒

學生可能出現的答案：

答：4秒。

老師會根據學生的舊經驗來引導到一個新概念。

例如：

老師會先問學生1小時等於幾分呢？學生回答60分。
再問學生2小時等於幾分呢？學生能知道是60×2＝

120，所以兩小時等於120分。

接著老師就會問那0.1小時等於幾分呢？慢慢引導學生知道是60×0.1＝6所以是6分。

【賴宏禮老師受訪，黃卿如訪談】

學生對於日、時、分、秒的轉換，（24進位、60進位）計算時容易出問題。

老師會先以學生的舊經驗作為基礎再引導到一個新概念。例如：老師會先問學生1小時等於幾分呢？學生回答60分。再問學生2小時等於幾分呢？學生能知道是60×2＝120，所以兩小時等於120分。接著老師就會問那0.5小時等於幾分呢？慢慢引導學生知道是60×0.5＝30所以是30分。

【林冠嫺老師受訪，鄭詠文訪談】

時間與速率

1小時60分鐘

1分鐘60秒

以小時做題目,但要求秒數,小朋友很容易忽略

時間部分比較複雜,因為是60進位

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

時間、速度、距離間的關係亦忽略題目所要求的

ex.告訴時間,問哪一個速度比較快

提醒看清楚題目
觀念釐清

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

六、數量關係

統計

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

不清楚如何看圖表和製表

從一大堆數字中讓學生自己分類，然後數數（次數），在畫成長條圖，在此部分比較重要的是「步驟」，每一步驟都很重要，不可或缺。至於在機率方面，從簡單的數數到機率的推論即可，利提最好用日常生活的例子，學生比較能瞭解。

【周勇老師受訪，林世健訪談】

統計圖表無法聯結生活經驗。

老師會拿些火車時刻表、電視節目表，讓小朋友知道表格圖與實際中生活運用的關係，也會設計一些活動讓學生自己來製作統計圖表，讓學生更加了解統計圖表的意義，例如選舉班級幹部、投票表決班上的一些事務，利用這些事情來作成圖表，讓學生更能夠在生活上應用。

【陳慧君老師受訪，林佩育訪談】

小朋友容易錯誤的地方是間格：有時會忽略這是代表3這是代表4、或是代表5。

提醒學生注意要歸零開始計算。那半格又是多少？一格代表5格等比較容易錯，要提醒小朋友不要粗心。

【張美惠老師受訪，許鳳琪訪談】

加權平均數和平均數。

解釋清楚。

【盧燕萍老師受訪，陳啟煜訪談】

平均數與加權平均數的迷思

學生雖然都會做這兩個的計算，但是無法了解為何要如此麻煩算出兩個平均數，老師會解釋因為課程的節數不同而有不同的重要性，或許老師可以再帶入更多的實際例子舉例，讓學生更明白加權平均數的妙用，如有的學生英文最好，數學最差，那麼他考試一定是英文能夠加重計分對他最有好處等等。

【張夢鑾老師受訪，杜陽蘭訪談】

學生對於百分數的意義不懂，例如分數轉成百分數：

例：等於百分之幾？

1.老師的做法是先講解分數分數放到百分數的圖，告訴學生先要將分母擴大變成一百格，而且利用學生先前學過的經驗＜比與比值＞即可以理解。

2.也就是說依據比與比值的關係分子可以佔百格裡的格子佔幾格。

3.最後得知是佔80格因此即是等於百分之八十。

【鄭聿芬老師受訪，陳建成訪談】

百分數

學生看到數字就會直接亂除，所以算法通常都是對的，只是答案不正確，老師採取讓他們了解總數跟個數是哪一個，在以全部的為基準下去做運算，這樣子學生明顯的進步了多。所以老師主張無法從體驗中學得的知識要讓學生從最基本的知識基礎建立起才是重要且正確的。

【許薇寧老師受訪，林君玲訪談】

百分數的觀念

學生對於百分數與分數的轉換，通常有些障礙，所以老是就先從教學學生『讀』開始下手，讓學生熟悉百分數後，在開始教其轉化，例如 4/5＝＝0.08＝＝80﹪

4÷5 ×100

【楊蔚如老師受訪，余曉婷訪談】

平均數：

學生對於平均數的定義不容易了解，學生容易用死背公式的方式來運算平均數。

【例如】：五年級甲班舉辦捉泥鰍比賽，甲班學生捉到的結果是沒有捉到的有5人，捉到1隻的有3人，捉到2隻的有8人，3隻的有6人，4隻的有2人，5隻的有1人，問每位學生捉到泥鰍的平均數是多少？

學生常犯解題錯誤

學生容易將沒有捉到的人當作0人，在全班總人數上忽略沒有捉到泥鰍的人數，因此學生將式子列為

（1×3＋2×8＋3×6＋4×2＋5×1）÷（3＋8＋6＋2＋1）＝50÷20

＝2.5（隻）

※學生常犯解題錯誤

學生很容易沒有看清楚題目的問題，只看到數字就將數字作運算。

陳老師請學生將「每位學生捉到泥鰍的平均數是多少」畫線，陳老師提醒學生先看清楚題目要問的問題，之後陳老師問學生怎麼算，在黑板寫出（如下）

平均＝總和÷個數，陳老師解釋總和代表全班共捉到泥鰍的數目；個數代表全班人數

陳老師在黑板上寫出（如下）

沒有：5人

1隻：3人

2隻：8人

3隻：6人

4隻：2人

5隻：1人

陳老師列出算式（如下）

5×0＝0

3×1＝3

8×2＝16

6×3＝18

4×2＝8

5×1＝5

接著算出全班共捉泥鰍的數目

0＋3＋16＋18＋8＋5＝50（隻）

學生容易忽略寫0

然後算出全班總人數

5＋3＋8＋6＋2＋1＝25（人）

學生容易忽略寫5（以為沒有捉泥鰍的人不算在全班總人數中）

最後答案 50÷25＝2（隻/人）

【陳淑真老師受訪，莊靜詩訪談】

平均數的次數

在平均數題目中學生容易把次數的意思弄混。

【例如】：

次數	1	2	3	4	5	6
得分	3	4	0	2	4	5
次數	7	8	9	10	11	12
得分	3	4	1	2	4	4

學生容易將得分為3的次數算成有1＋7＝8次；得分為4的次數算成有2＋5＋8＋11＋12＝38次。

學生因為次數算錯，所以在算平均數時也會算錯。

陳老師將得分相同的次數用相同顏色的筆圈起來，提醒學生題目所求的次數意思，之後問學生得分為3的次數有幾次，在第1、7次皆為得分為3，所以共2次；得分為4的次數有幾次，在第2、5、8、11、12次皆為得分為4，所以共5次。

次數	1	2	3	4	5	6
得分	3	4	0	2	4	5
次數	7	8	9	10	11	12
得分	3	4	1	2	4	4

【陳淑真老師受訪，莊靜詩訪談】

百分比

學生不知如何將0.12化作百分比(12%)

告訴學生百分比的意思就是要先將東西分成100等份來看，比如將一塊長型蛋糕分成100塊，12塊就是佔全部的，化作百分比就是要乘100，所以x100=12%

【蔡宜真老師受訪，蔡佩蓁訪談】

統計圖表：

統計圖表無法聯結生活經驗

老師會拿些火車時刻表、電視節目表，讓小朋友知道表格圖與實際中生活運用的關係，也會用分組競賽方式提高學生的學習興趣。

【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】

統計圖表：

有時候無法把物品歸類做成統計圖表

像一堆東西要分類然後再畫統計圖表好看出有多少，學生會不知道怎麼分才好，老師剛開始就會帶他們分，之後舉例怎麼分，再讓他們自己去分類看看。

【宋屏麟老師受訪，黃綺紋訪談】

機率

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

機率：

學生不易理解機率問題

例如:2個骰子會有幾種情況，老師就先把所有可能發生的情形先列出，讓台下的小朋友看一次後，再讓小朋友實際隨機去玩骰子試試看，雖然每次的情形可能都不一樣，但是玩很多次之後就真的會有特定排列的情形出現，小朋友可藉由此更加了解。

【杜守正老師受訪，李瑞俞訪談】

機率：

例如題目問在6個小球抽出黑球的機率是多少，學生在用分數表示機率時，常把樣本空間36寫成100，其他計算機率的題目學生也常會把樣本空間寫作是100。

1.實際拿真的球抽給學生看，請學生看老師抽球時在旁邊運用表格做紀錄以找出規率。

2.告訴學生因為只有6顆球被抽，所以算機率時分母不能放100只能放6。

【郭素貞老師受訪，陳筱薇訪談】

七、其他

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

缺乏學習動機：

因過去不佳的學習經驗而產生對數學的恐懼，甚至有放棄數學的情形。

進行教學與舉例時，儘量與生活相結合，藉由生活化情境的建立拉進彼此的距離，使數學對學生而言，不再是陌生的數字符號。

【盧燕萍老師受訪，陳慧珍訪談】

學習意願

對於學習低成就學生，考試分數會造成其惡性循環，引不起學習興趣。

在進行形成性評量時，儘量以課本的習題或例題型態來出題，可讓學習低成就學生從中獲得學習信心；而理解度較高的學生，老師可將題目做延伸、變化，或提供不同類型的題目，兼顧大多數學生的程度。

【甯書瑞老師受訪，吳昀曇訪問】

與生活經驗落差

課本上所學到的單位和生活上常見的單位的名稱不同，所以學生在作答的時候，常常會使用生活上慣用的名稱。

不強制學生一定不能用，生活上慣用的單位名稱，但是會不斷要求學生使用課本上學到的單位名稱。

【葉潔陵老師受訪，何雅雯訪談】

先備知識不夠：

之前的基礎沒建立完備。例如：沒有加減乘除的概念，如何作四則運算。

進行補救教學。

【翠玲老師受訪，劉憶如訪談】

先備知識不足

高年級的數學會教到比較難的計算，若學生在中年級時數學基礎沒打好，在高年級的數學就容易遇到挫折，例如「中年級小數的加法基礎不好，高年級的小數乘法不易學好」。故到高年級的數學學習易呈現極好與極差的兩極化反應。

需透過補救教學來加強學生數學基礎。

【張志成老師受訪，林麗卿訪談】

先備知識不足或不夠熟稔，導致進階的學習困難或是成效不彰。

例如：99乘法

5×7=?無法直接反應，必須從5×1、5×2……開始背誦。

比較起中低年級的學生而言，高年級學生對文字敘述的題目大都已經能夠理解，也比較少出現不了解題意的情況，但是另外一方面，學生的運算能力不足(尤其是乘除法)，往往是造成學習困難或效果不彰的主要原因‧為了兼顧學生需求和教學進度的掌控，老師通常會選擇利用課後時間幫學生加強。

【郭慧萱老師受訪，呂宇璿訪談】

先備知識不足或不熟練：

高年級的題目通常會需要一定程度的計算，但是學生如在之前沒有概念（例如：不會除法）或是不熟練（例如：無法立即反應9 x 7＝？），對學生之後的學習會有影響。

因為老師不可能在課堂上為幾位同學，停下教學進度來再教之前的課程，所以在教新的進度時，老師會把舊的複習一下，讓學生找回之前的概念，並在課後進行補救教學，利用午休或是早自修的時間，請班上小老師或是同學幫忙教導跟不上的學生，或者就是請補救教學的學程同學幫忙輔導。

【張素蘭老師受訪，鍾品正訪談】

學生的先備知識不一，所以在有些內容上，吸收的程度也就會不一樣。

老師覺得並不是每一個學生都能完全聽懂課程，特別是六年級的學生，因為他們的部分先備知識是不盡相同的，所以有些學生覺得課程很容易，有些則不是這樣，反倒覺得難。
面對不同的學生反應情形，老師就只好看多數孩子是否清楚。如果清楚的少，就會反覆的多講解課程內容、讓他們多練習題目、或者是叫已瞭解的同學解說給大家聽，以這樣的方式來幫助學生學習，盡量減少學生間的差距。

【賈永喆訪問，楊婉貞整理】

學生的計算能力不足，計算時容易粗心大意。

老師規定做數學作業時禁用計算機，學生不可以偷懶用計算機求得答案。
老師在改考券時會分段給分，如果做法對，但是答案錯，老師也會部份給分，減少學生對數學的挫敗感。
嚴格要求訂正考卷，因為考試只是為了讓學生學習而已，不是只為了分數。

【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】

計算能力低落且計算式子排列混亂。

老師會請小朋友背九九乘法表，並且要求他們算式的式子要條列清楚。

【顏秀芬老師受訪，歐維玲訪談】

計算能力弱：

高年級的學生，由於中年級時建構式數學的影響，很多學生的計算方式不同，有學生不會直式除法，他往往列出一長串的解題式子，導致寫得很慢。有些學生拒絕接受新的方法，寧願加加減減慢慢做。

另外，到了小六，學生的專注力更差，可能是由於現在的課程內容，活動的部分偏多，且往往太依賴具體的操作，只有部分的學生能夠作較抽象的思考，這也是國小、國中無法銜接的原因之一。

和舊課程比較起來，新課程的內容有時會太簡單，有些學生會覺得很容易，往往在作題目時就容易粗心，且學生也疏於練習，他們有些人會花時間在補習、大部分則是在打電動上，因此，現在學生的學習會學不好，往往不是由於課程的難度高，而是外在甘擾、誘惑多，學生無法專心所致。

老師通常會告訴學生有很多種解題的方式，學生可以找到一種最快速、又能理解的方式來照著做。老師認為現在的學生接受挫折的能力太低，他寧願是自己不願意做，也不要是自己失敗的。

老師認為，在做了很多的活動之後，老師最後要記得歸納，否則學生很容易記得活動很好玩，而忘了最重要要學的是什麼。

【郭慧萱老師受訪，羅瑞玲訪談】

計算能力普遍不好

因為現在的學生，都不喜歡有太多的回家作業，而且平時也不會主動作題目練習，所以在題目練習不夠多的情況下，當然計算能力就好不到哪去。

老師會盡量多出題讓學生有練習計算的機會，但是不會一次就出很多，這樣學生看了會煩會不想做，會隨便應付。

【葉潔陵老師受訪，何雅雯訪談】

學生計算時容易粗心大意，常錯不該錯的地方。

學生在算數學計算時，很容易會因為粗心而將答案算錯。並不是因為他不會，是學生不夠細心。

【賈永喆訪問，楊婉貞整理】

邏輯：

老師表示：高年級不該還在用遊戲式教學，他們在這年紀應該要有深入思考、主動發現問題的能力，但是卻可以發現他們並沒有這些能力。

老師會給一些邏輯訓練，如：燒開水10分鐘、倒茶葉2分鐘、洗茶杯2分鐘，那真的是全加起來就是完成這些事情所花的時間嗎？不是吧！因為燒開水時可以順便一起洗茶杯。

【黃茂樹老師受訪，朱珮禎訪談】

邏輯：

學生對於應用問題的了解程度不高，當遇到不了解的問題時，學生總是會看到什麼數字就加減乘除混在一起算。

文字方面：老師在這方面的補救方法是每天早上到

學校時，老師都會出應用題來讓學生練習，讓學生對於應用問題能多加熟悉與熟練。當然，如果仍有學生對於這樣的問題還有疑問的話，老師會採分步驟的方式來解題，分別是：

步驟一：你先算什麼
步驟二：接下來你要求什麼
步驟三：你應該算到什麼地方

把繁雜的文字轉換成較白話的文字讓學生了解。也就是強調學生對於題目的理解。

在圖形方面：例如求圓形內三角形部分以外的面積，老師會先告訴學生，要先求他們算圓的面積，再算三角形的面積，接著將原面積減掉三角形面積。因次也就是說老師在培養學生的圖解能力。

【林志宜老師受訪，江依璇訪談】

粗心大意，尤其是回答題組時，時常會由於式子太長、太多或太亂而作答錯誤。

高年級的數學題目都比較艱深，列式比較繁複，許多粗心的學生常常開頭解正確，解到後來卻因為引用式子錯誤而解錯答案；或者是因為式子太亂，檢討考卷完畢，學生來跟老師要分數。

為了避免這些情況的發生，老師不但實行嚴刑峻法—錯一題抄10次，同時也要求學生作答實在橫式旁加註，

例如：529×3=1587……船走的距離

【郭慧萱老師受訪，呂宇璿訪談】

容易計算錯誤

高年級的學生多數對於四則運算的計算太過於自信，以致於即使了解題意，式子列式也正確，最後在計算時卻經常發生錯誤，或是計算過程正確，答案卻寫錯及單位錯誤。

教師認為這是比較令人困擾的情況，因為學生並不是不理解，而是粗心大意所致，想解決學生的這種情形，教師曾採取重寫方式，但效果並不是非常理想，粗心的學生還是不易改進。

【陳方旼老師受訪,陳麗玉訪談】

算數

多層次的計算方式，如30倍，會以10倍10倍來累加的概念來計算，使得上高年級的同學在面對數字較大的題目常會計算錯，計算速度慢，缺乏練習。另外，單獨只有加減運算沒有什麼問題，但是如果加減加上乘除的運算，學生就容易計算錯誤。

簡化算式，讓學生多加練習題目，達到精熟學習。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

心智成熟度與邏輯思考還沒發展完全

【例】：有些學生在學習期間，還無法對某些數學概念完全了解吸收，但等到較高年級或學到更深的數學時，對以前不懂的地方就能理解而豁然開朗。

【例】：以前學「雞兔同籠」的數學問題時，當時覺得很難懂，但漸漸學的越多越深之後，自然理解了。

對於一些學習上一直無法開竅、一直無法理解的學生，不要過於要求他一定要達到高水準，而是可以讓他先聽課、先盡量吸收、累積計算能力，常常到了某個階段，學生理解力發展夠成熟時，再加以複習便能理解。

【張志成老師受訪，林麗卿訪談】

心智與邏輯尚未成熟：

學生對於應用問題方面，並非單純語意上的不了解，而是邏輯概念尚未成熟。

針對此一問題，老師認為現階段讓他們多做練習，並且分析解釋題意或做相關的題型，漸漸的讓他們熟悉了解。之後，等到心智與邏輯更為成熟，將會更容易了解。

【陳傑夫老師受訪，徐爽喨訪談】

抽象概念學生不容易懂。

例如：加權平均數。

以皮亞傑的認知概念而言，這階段的孩子是在形式運思期，可是仍有部份的孩子對抽象意念不清楚，當以實物去操作，他就比較容易明白。

【翠玲老師受訪，劉憶如訪談】

學生的認知能力。

有時候就是中國人所謂的開竅問題，當學生的能力不夠時，暫時讓他背下來，有一天就忽然懂了。

【翠玲老師受訪，劉憶如訪談】

不會進階思考：

數學課本是分單元教授的，很多學生在某單元就會全用那個單元所教的方法去計算，所以如果遇到需要綜合判斷的問題就答不出來了。

老師會解釋檢討考卷或作業，從中做綜合性的技巧解題，一一分析學生是哪個地方不懂。
將各單元整合起來，灌輸學生不可以因為教某單元而全用那個單元的算式，其實也可以用不同的方式解答。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

無法推測答案與問題的關聯性：

學生的答案有些一看就知道不合理，可是學生不會去想說答案是否合乎邏輯，顯示出學生重計算而非應用。

老師會解釋題目，並說明為什麼答案那樣寫是錯誤的原因。
再度強調一些概念，給學生有更深的了解。

【郭玉菁老師受訪,曾亭喻訪談】

由於前後老師教學的不同，導致老師教學上的困擾。

例如：直式除法

郭老師認為數學當然有許多種解題的方法，但是如果可以，為什麼不學習最快速的方法??除法的運算部分，郭老師使用的是直式除法，但是有些學生並不會直式除法，她們只會一直累加的方式。

當郭老師一發現這個問題時，他會再將直式除法概念教過，讓學生了解；如果遇到不願意使用直式除法的學生，郭老師不會直接強迫學生使用，不過老師會直接告訴學生：你可以自己選擇用自己的方式，但是如果考試來不及就要自己負責任。

【郭慧萱老師受訪，呂宇璿訪談】

程度參差不齊

因為學生都不是一到六年級都是同一個老師教的，不同老師的教學方式，會影響學生學習程度的不同。因為班上的學生五年級之前都來自不同的班級，所以學習的程度大不相同而且落差大，導致教簡單一點的東西，程度好的學生會覺得無聊；而教難易點的東西，容易造成程度不好的學生的挫折感。

老師這是無法避免的情況，而且也很難解決。

【葉潔陵老師受訪，何雅雯訪談】

學生數學程度落差很大：直式程除程度高的學生可以3位乘3位、4位除2位，但程度差的九九乘法都不熟。

老師會為一些學習成就比較低的學生作一對一的加強方式，採用小老師的制度，並且讓小老師與被教導者之間產生互相依存的關係，當被教導的同學如果能夠有進步，那麼小老師也能夠得到一些獎勵，而且在安排小老師時會盡量找關係比較密切的，例如兩個要好的同學，而且老師會要求小老師每天一定要出2至3題的數學給同學作，讓他們習慣於每天都要接觸數學。

【陳慧君老師受訪，林佩育訪問】

授課節數不足

授課得節數不夠，會感覺一直在趕課，沒辦法好好的、仔細的教清楚，而且就算想要補充教學的東西也不容易。

老師說本來課表中所設立的彈性課，是希望學生能夠利用這些時間學課外的東西，不過因為一般課程的的授課時間太少，所以幾乎全部的老師都會利用這些彈性課來補課。

【葉潔陵老師受訪，何雅雯訪談】

抗壓力小，只知道把事情做完，不會思考如何做得更好。

老師認為九年一貫一直強調不要讓孩子有學習的壓力，但是目前大部分的教材內容都太過簡單，甚至無法刺激孩子思考。但是學習的過程原本多少就是會有一些壓力，這樣過度保護孩子的結果，不但使孩子眼界變小，能力也變得更差。

為了解決此問題，老師使用的方法其實非常“動物性”—給予學生獎賞。例如當老師在教導某項觀念之前，老師會先出相關題目，讓學生先嘗試解題，並且請學生上台在黑板寫下解法。解法不限，只要願意上台寫出來的就可以加分；而台下其他能夠勇敢說出解法不同的學生，也有加分的鼓勵。有時候學生會反映：這麼多解法，早就看的頭暈腦漲，怎麼還記得起來??但其實老師並不是要學生把所有解法的記下來，這個方法只是想讓學生知道，同樣的題目是可以有許多不同的方法來作答，至於要使用那一種做法，學生可以自己選擇觀念最清楚的方式。

【郭慧萱老師受訪，呂宇璿訪談】

書本上計算部分：康軒版五上請學生拿電算器計算，學生覺得用機器就好，不需動手計算或心算

顏老師覺得不能讓學生依賴電算器，所以上課計算練習時，仍會要求學生動筆自己算出來，電算器會使用即可，但絕不能養成被動的習慣(只會按電算器計算)。

【顏秀芬老師受訪，葉玟孝訪談】

基礎不好：

學生在一 ~ 四年級時，基礎沒有打好。

例如：小數除法。

由於以往學生在學習乘法和除法時，概念的建立就不夠完整，所以在基本運算上就容易發生錯誤，因而導致在小數除法的計算上出現了問題，這就是因為基礎沒有打好的關係！

由於高年級學生的理解力比一、二年級的學生強，因此在這個時候來加強補足會比較有效率一點，而方法就是「由具象到抽象！」藉由一些實際上的操作（如數花片），或是讓學生計算看得到的東西，再將其轉化為抽象的概念，這樣學生會比較容易瞭解！另外，也可以請程度好的同學帶領程度較差的同學來學習！

【侯文智老師受訪，莊小玄訪談】

先備基本能力不足：

如：四則運算，到了高年級數字變大，計算就常會算錯。

建立學生運算信心，不要一看到數目字大的題目就害怕(告訴學生其實算法都是一樣的)。
加強九九乘法的背誦
出相關題目，多加練習，培養學生運算的準確性和速度。

【余文芳老師受訪，蔡明君訪談】

計算能力差：

算數學不夠用心，計算能力相對較弱

教材變得較簡單，但相對的也使得同學的運算能力有削弱的情形，為此，只能利用作業與測驗的方式，增加學生運算的機會，加強計算的能力。

【蔡佳芬老師受訪，黃嘉軒訪談】

計算能力：

林老師認為在計算問題上分做兩個層面，一個是單純的計算，一個是學生在計算上的能力，分述於下：

單純的計算問題：要解決這個問題，只要多出題目給學生計算即可，不管是四則運算或是任何與計算有關的問題，林老師相信只要學生多做練習，就可以達到學習的效果。計算上的能力：這個問題就比較嚴重了，林老師認為由於九年一貫的施行，學生對於數學的計算能力明顯降低許多，以至於和國中的課程無法銜接。例如學生對於算圓形的面積，在原本的小學裡是算圓半徑×圓半徑×3.14，但是在九年一貫的課程中，教學生的是圓半徑×圓半徑×3，而這樣與國中後會使用的原面積相差甚多，因此老師先前帶過的學生，到了國中後，由於無法銜接，導致學習意願降低，老師對於這個問題雖然儘力補救，但礙於現行的教育政策，老師也只能要學生來課後補救罷了。

【林志宜老師受訪，江依璇訪談】

信心問題：

遇到老師沒教過的題目就不會

解

建立孩童的邏輯思考能力及自信心。

為什麼不會解的原因，杜老師認為最大的點應該是在於小朋友的思考邏輯概念可能不是這麼的好，才會導致如此。因此老師會先採以建構式數學的方式來建立他們的邏輯思考能力，一步一步引導他們去做，等他們理解後，再告訴他們一些比較快速的算法，這時他們就能理解，ㄛ〜原來這快速的算法是根據剛剛的建構式數學所得的結果，快速的算法也只不過是如此，他們自己導也會得到此答案，這時他們就會覺得他是跟發明這公式的人一樣的厲害、偉大，藉此建立他們的自信心，從此之後遇到老師沒教過的問題，就能比較勇於嘗試去做做看。

【杜守正老師受訪，李瑞俞訪談】

作答習慣：

學生習慣先寫出大的數字再寫小的。

老師表示學生會計算，但卻沒兼顧到題意，導致作答錯誤，寫出不合理的答案來（邏輯不好）。對於這樣的學生，老師會指導他們「預估答案的範圍」，預測一個合理的答案，藉此加強邏輯。

例如：紅豆綠豆共100顆，紅豆占40%，綠豆占60%，問紅豆綠豆各有多少顆？

學生作答：紅豆60顆，綠豆40顆。

【郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談】

作答習慣：

粗心大意，尤其是回答題組時，時常會由於式子太長，太多或是太亂而作答錯誤。

高年級的數學題目都比較艱深，列式比較繁複，許多粗心的學生常常開頭寫得正確，寫到後來卻因為引用式子錯誤而算錯答案；或者是因為式子太亂，檢討考卷完畢，學生來跟老師要分數。

為了避免這些情況的發生，老師不但實行嚴刑峻法—錯一題抄10次，同時也要求學生作答時在橫式旁加註，例如：530×5=2650……船行走的距離

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

專有名詞：

EX：「逐次減項法」

對於專有名詞的定義，老師會花比較多的時間做解說，舉例讓學生了解每一項專有名詞所代表的意義，例如：逐次減項法，老師不會只讓小朋友知道字面上的意義，

或許會舉例說明如下【（21－3）－2】＋7＝（）

【（21－3）－2】＋7

＝【18－2】＋7

＝ 16＋7

＝ 25

先寫出算是填充式後，由左往右，由內往外一層層計算了解此方法後，在四則混和運算時，非常好用！

老師認為讓學生真正懂得各類專有名詞之後，在計算或是解題時就顯得較容易了！

【劉艷雪老師受訪，李松燕訪談】

學生程度落差很大：

直式程除程度高的學生可以3位乘3位、4位除2位，但程度差的九九乘法都不熟。

班上有選數學小老師，老師會在每堂下課或是午休時間請每組的數學小老師額外出題加強，希望藉此能夠讓程度不夠的學生有多練習的機會，如果成效不彰，老師就會在放學後留學生個別補救。

【紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談】

單位概念：

一些小朋友不常使用的單位，小朋友無法了解該單位概念。

Ex:公頃、公畝、公噸等

老師會以身邊事物舉例，要同學想想那些東西要用何單位測量才方便?

例如: 測量學校操場有多大?(用公頃)

測量田地有多大?(用公畝)

淡水鎮垃圾的重量?(用公噸)

讓同學容易去想像那個單位大概有多大，以便計算時使用。

【徐惠琳老師受訪，吳致寧訪談】

學生的先備知識：

學生的先備知識程度不同，因此在教學上有時就必須以多數學生的吸收為主，當大部分學生都了解時就不須花太多時間在此單元上，而對於程度較低的學生，老師會利用課後時間(午休或下課)加強學生程度，或是以小組互助的方式(如下)拉進學生的程度差距。

【張宏成老師受訪，楊子君訪談】

粗心計算：

高年級學生就不會有看不懂題目的狀況，但卻容易發生粗心計算或看錯題目的情況，也因為題目數字較大或計算較繁複導致漏看題目的問題。

老師對學生粗心所犯的數學錯誤非常在意，也ㄧ直強調學生理解了最難懂的觀念部份，卻因為計算錯誤而失分，十分的可惜。對於一些匆忙的學生，老師常會要求他們細心將題目完成，比事後回頭檢查來的重要。

【黃怡嘉老師受訪，許靖宜訪談】

三角形公式會忘記除以2：

例如：底為6公分，高為5公分的三角形，其面積為多少？學生的式子常寫成
6×5＝30

忘記還要÷2這個動作。

老師會先問三角形怎麼來的？學生回答四邊形後，老師畫出四邊形後，接著問四邊形的面積怎麼求？再從圖中強調三角形只是個四邊形，所以要記得算三角形面積要除以2。

【韓永莉老師受訪，呂理謙訪談】

不會進一步地思考：

數學課本是分單元教授的，很多學生在某單元就會全用那個單元所教的方法去計算，所以如果遇到需要綜合判斷的問題就答不出來了。

老師會解釋檢討習作或隨堂測驗，從中做綜合性的題目，並一一分析學生是哪個地方不懂。

【韓永莉老師受訪，呂理謙訪談】

無法推測答案與問題的關聯性：

學生的答案有些一看就知道不合理，可是學生不會去想說答案是否合乎邏輯，顯示出學生重計算而非應用。

老師會解釋題目，再度強調一些概念，給學生有更深的了解。

【韓永莉老師受訪，呂理謙訪談】

學生總是拿大數除以小數

老師會請學生重新看題目，說明解題該照著題意解，而不是全拿大數除以小數。並且再次強調各不同的概念。

【韓永莉老師受訪，呂理謙訪談】

教材圖示的建構式教材跟實際題目不符合。例如在分數時，

畫斜線的是，那全部畫完就剛好是=1。但是到了比較有深度的題目：，就跟圖示一點關係也沒有，學生就會不知該如何解題。

在課本上都是很簡單的概念，但是比較有深度的問題，

學生反而沒有辦法把課本上的概念跟題目相結合。老師

會利用課本把一些基礎概念先教完，之後再以一些特殊

的題型讓學生去練習，熟習題目的多變性。所以老師在

課堂上或是早自修時，都會出一些題目讓學生多做練

習，這些題目也會比較困難，但是可以增加學生的數學

能力。

【陳惠娟老師受訪，詹恩琪訪談】

應用問題：如何列式

例如：一包包乖乖2元，2包乖乖多少錢？

利用分數的約分和擴分列式子。

1包 2包

2元＝ 4元

【盧燕萍老師受訪，張馨月訪談】

程度的差異：

現在小朋友的程度呈現極端的差異，雖然金門的課後班並不興盛，但近來可以明顯的發現，有上課後班的孩子在算數方面會比沒上的快且正確許多，我想這是多練習的緣故，所以現在我也常利用空閒的時間來讓孩子進行算數的練習。

【黃來興老師受訪，陳俞君訪談】

抽象概念

除法，求原來的數的問題，像以前國編版本都會用數線解釋，但現在新版本就沒有，老師必須找很多例子來解釋，不然就是要數字簡化來解釋。就是先用簡單的數字带進題目，再回到原來的題目來看。主要先他們理解題目再說。像我就覺得國編版一貫用數線來帶觀念很好，現在如何用具體的例子說抽象的觀念，這也是我教學上困擾的點。用數線解釋，因為一開始就沒有敎，他們領悟力較差的就無法理解。

最嚴重的問題就是學生看不懂應用題的題目，我都要再解釋。數學和語文閱讀理解能力是有關的。如果連題目都看不懂的話，那就別算了。四則運算加上代數，領悟力比較差的同學就不會。
全方面的加強，不只使數學還有語文。
找例子、數字簡化、數線觀念、

【黃惠卿老師受訪，邱麗蓉訪談】

不會應用（缺少邏輯分析思維）

24公分

28公分

【陳淑慧老師受訪，許庭瑤訪談】

推理能力不佳

在推理需多少根火柴棒時，無法推理出下列公式

主因為學生不會主動求知，等著老師說答案，或者只是懶的思考，認為學習的責任不在自己。只要說一句「不懂」老師便會想出其它的方法來教學。

4 4+3 4+3×2

粗心

例如有題目：用一條1公尺的繩子繞正五邊形五圈請問正五邊形的邊長是幾公分學生通常列式為但是正確的答案卻是要100÷5÷5才會等於邊長100÷5只能求出周長。此時就要用畫圖的方式讓學生理解。
學生知道『上底乘下底乘高除以2』是梯形的公式，但是學生列式的時候會寫成『2+4×5÷2』，這是錯誤的列式，學生會忘記加上括號(2+4) ×5÷2，雖然答案算出來是正確的，但是老師仍要求正確的答案是由正確的列式而來的，所以老師常提醒學生列式時要仔細。

【陳淑慧老師受訪，許庭瑤訪談】

列式問題

如計算一個體積，長等於5公分、寬等於3公分、高等於7公分，學生列式會出現3×5＝15×7＝105的狀況，

或是習作中有題目如下：一箱飲料18瓶，全校12班，每班23/18箱，全校共得幾箱？

學生的列式如下：

23	=1	15	×	12
18		18

在列式時，學生不懂得等號兩邊的數是相等的意義，學生對於體積公式為長×寬×高的觀念很清楚，但是寫功課時，列式總是會出錯，似乎將寫出計算過程，但是缺乏列出正確的公式能力，所以老師建議學生先將橫式列出來，培養學生列出計算橫式的能力，且建議學生有的計算過程不必寫在考卷上。

【陳淑慧老師受訪，許庭瑤訪談】

課程太少

從以前國編版16單元減少到目前才8單元。習作和課本沒有銜接，習作的內容比課本多。課本比較薄，反覆精熟的題目較少。

老師的態度

對學生的訓練計算能力都很要求，對學生都很嚴格，題目都不會太容易，我們給予學生的練習都是很多。都會額外教很多。課程太少，我們老師都有共識另外加強。

【黃惠卿老師受訪，邱麗蓉訪談】

學生做題目的速度太慢

老師平常會找一些時間多給學生練習，並限時讓學生在規定得時間內寫完，否則有很多學生其實題目都會，就是算的速度慢，導致很多都算不完，所以老師會多訓練學生的計算能力及計算速度，這樣學生在思考問題上會更加靈活。

【邱瑞杰老師受訪，黃蘭筑訪談】

計算會粗心計算錯誤

老師在會提醒他們要檢查有沒有算錯，並且平常就要養成他們的定正習慣。

【宋屏麟老師受訪，黃綺紋訪談】

長度、面積、體積剛開始沒有這樣的概念。尤其是體積的高的部分

圖解。
實例。
做比較。

【顏秋華老師受訪，林品聿訪談】

八、文字理解

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

高年級最困難的就是題目看不懂，這方面可能是語文能力不足，再者可能是題目較深入較活，而且現在的小朋友比較不習慣去學太複雜性的問題，因為他已經局限在基本的圖形裏頭，不知道如何運用他們就是比較不會轉換圖形。

例如：求三角形正方形的面積他們會求，但如果要在正方形裏扣除一個三角形的面積，求非重疊的面積，他們可能就會楞住，不知道怎麼去求。我會加強學生對公式的記憶，利用教室佈置製造情境教學。題目看不懂時，我會先用導引的動作，我不會當場寫那題，我會透過類似的題型，但簡單化。有時會請懂的小朋友上台來解題，有時小孩子對小孩子會比較容懂，我在後面再引導。

【盧燕萍老師受訪，陳慧珍訪談】

國語程度差，看不懂應用題，以至於看到應用題就害怕。

因為在中低年級時基礎沒有打好，以至於升上高年級看到應用題，加上題目變得較抽象，往往都看不懂。因此老師都會採取「小組討論」的方式，讓學生能彼此討論，會的教不會的、互助合作。

【劉穎明老師受訪，林佩君訪談】

學生國語不佳，導致看不懂應用題。

老師逐字分析，讓小朋友了解。

請小朋友自己回家出一樣的題目，亦即用他自己懂的語言來練習，這樣子就會進步。

【李靖宜老師受訪，黃雅慧訪談】

看不懂應用問題。

盡量將應用題生活化，使之有趣。（口袋怪獸比起雞鴨來較容易接受）。其次，簡化題目中的數字，成為較容易想像的樣子，並試著畫出簡圖來配合解題。

這是孩子們經常出現的問題，回歸到問題的主因，還是由於語文能力不佳。避免將文字以符號代替，如：“和”就是“＋” ……。較難的題目，通常配合圖畫或線段圖來解題。將題目生活化，會更有助於孩子們的學習。

【黃傳盛、顧心宜、張馨尹、吳志剛、黃碧伶訪談】

看不懂題目。不瞭解題意。

加強語文能力。請小朋友多看文章。

針對大家普遍看不懂的題目，老師會帶著小朋友一起看，每一句讀一次並且停下來，看出每一句的意思；最後整段讀一次再看出整段的重點。最後，釐清整個題目要表達的主旨。

【顏秀芬老師受訪，歐維玲訪談】

應用題題意看不懂

有一些題目計算都很簡單，學生也都會，但是換成了應用題，可能需要單位換算時，他們就會算錯

老師在有空的時候就會把題目抄在黑板上讓學生先做看看，等學生想過之後在跟全班分析題目的意思，老師覺得就是要讓學生每天去練習，多看多做他們就比較能夠掌握應用題，所以老師有專門的應用題的題庫本。

【江欣儒老師受訪,陳美蓮訪談】

題目看不懂

許多學生對於應用題的理解能力都需要加強。只要題目稍有轉折，學生就無法了解，所以老師只能在講解題目的時候多花一些時間。多讓學生練習。不過最根本的問題是加強學生的閱讀能力。

【楊淑惠老師受訪,游憶如訪談】

對於應用問題的解題能力不佳。

可能是問題的敘述繁瑣或是學生本身的語文程度不足，有時候已經學會的題目若改變敘述方式，學生會不知從何解題或不明白題意。

老師多比較各種題型讓學生了解，並且教授解題重點字眼。
平常上課時，老師可以將課本的題目多加些變化，或讓學生自行改變題目的敘述方式來回答老師所要求的做法等，都是不錯的方式。
當學童不了解題意時，可依下列程序幫助學童了解題意。

檢查題目裡是否有生字、新詞，若有應先加以解釋其意義。
要求學童多唸幾遍題目，使學童的注意力集中於解讀題目上。
若是情境文字題，可以布置情境或演示題意，可更進一步地幫助學童能了解題意。
少部分學生不瞭解時，進行個別指導或課後個別指導，以利於課堂活動的推進。

5. 如果學生是因為缺乏先前概念或預備經驗而無法解題，此時老師可以對該問題進行概念分析。

對於應用問題，老師會採取按部就班的帶領學生分析題目找出關鍵字然後重複練習。

【何瑞軒、甯書瑞、張皓植老師受訪，王敏惠、車益君、陳雅鈴、陳宜君、陳家琪訪談】

應用題的理解

學生對於應用題的理解力真的比較差，文字的敘述一多，學生就不知道該如何應變。

學生對於簡單的概念容易理解，但是比較有點深度的題目，學生就會看不懂。

所以對於比較典型的題目，老師就會反覆練習，先讓學生看清楚題目，對於這種題目熟悉之後，在進行其他的練習。或者老師就是直接畫圖，因為有些題目比較抽象，學生沒有辦法直接聯想到，所以老師就直接畫圖，不再以文字作解釋，當學生了解圖形之後，在做題目就會順利多了！

【陳惠娟老師受訪，詹恩琪訪談】

題義理解

學生對於應用問題的意思無法理解（也就是無法了解題目所要求的項目與要件）。

老師先舉較簡單的例子來說明，待學生懂了之後，再帶入原題中。
以圖示的方式來說明，加強學生的理解。
講解基礎的概念，強調題目的理解，而非死記公式或答案。
鼓勵學生多多閱讀課外書籍，加強國學素質。

【甯書瑞老師受訪，吳昀曇訪問】

應用題的題意搞不清，以致不知該求的東西為何。

Ex:小瑜想要用粉紅色緞帶裝飾圓形的餅乾盒，她只知道餅乾盒的半徑是15公分，如果她想要用緞帶繞盒子兩圈，請問將用掉多長的緞帶呢？

不知道是要求周長還是面積？？

老師的對策就是帶著學生再從頭把題目看一遍，並告知如何去找其中的關鍵字。很多時候並不是學生不會做，而是語文能力的不足，導致無法順利解答。

【李中莉老師受訪，陳秀蓮訪談】

請學生多加練習並請學生說出自己的想法或做法。

【李淑貞老師受訪，黃宗偉訪談】

小學生在高年級的階段遇到應用題時，仍然不懂應用題的解釋對於文字的理解力不是很好，因而不懂解題。

1.先請小朋友再讀題目一次，並且畫下重點。

2.再問學生題目問什麼，以釐清題目的重點。

3.再進行題目如何做，如何去解題。

4.再出生活中以學生為主角來出題，題目與題形相似，讓學生更了解題目。

【鄭聿芬老師受訪，陳建成訪談】

閱讀文字的理解：還是有學生看不太懂題目的意思，像看到『相差』的字眼就用減的；看到『…多…』就用加的。

請學生仔細讀一遍題目給老師聽，問他題目在講什麼意思。確定他講對了才可以開始計算。

【陳芳姿訪談】

文字敘述題

學生對於文字敘述的轉換會有困難，如一般題目有「差多少」、「多多少」之類的強化字眼，但若題目少了這樣的字眼，以另一種方式敘述，學生很容易不會（邏輯思考的能力較弱）。

還是以瞭解題意為重要教學事項，從文字敘述解釋題目的意義，首要讓學生真正懂題目文字的陳述的重點。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

應用問題：

普遍應用題解釋困難，學生常會搞不清楚題意。

先以較簡單的例子來舉例說明，確定學生都懂了以後，再重新看原來的題目。
以圖解方式，依句子的描述畫圖，就可以找出答案，再回頭寫計算式，不要死記『和就是＋、差多少就用－、幾倍就用×』，強調基礎概念的理解，而不是一味的死記公式或答案。

【曾慧芬老師受訪，林珍伶訪談】

應用問題：

雖然己經到了小學五年級了，但在看數學題目時，仍然是計算題較會做答，遇到應用題時，常會不知道題意是什麼？

平時上課上到應用問題時，多加強他們看題目解題。教他們找出，關鍵字，題目主要要問的是什麼，題目當中給了那些條件。一一找出來之後，再來解題，最後要注意的是，題目給的單位，以及答案要的單位。

【張麗香老師受訪，黃佳惠訪談】

應用問題

有的學生因為課外讀物閱讀較少，有的是因為基礎不好，所以只要題目太長，就容易抓不到重點。

Ex：對於計算題15×12可以理解，但同樣的式子改成「長方形的長為15公分，寬為12公分，求其面積。」的題目就不知道要怎麼計算了。

無法將文字題轉化為圖形。

Ex：題目中提到正三角形、等腰三角形…等文字，學生常常會只看著題目憑印象猜，不會將其轉化為圖形再比較。

請學生在做題目時，將這些有關圖形的文字畫出來。

Ex：提到正三角形，可畫出，

提到等腰三角形時，可畫出

，以幫助解題。

【陳淑貞老師受訪，李佳謙訪談】

題型變換（靈活運用能力）

在課堂中熟悉了某一種題型後，學生常會被侷限，轉換另一種題型就不懂。

除了解說課本的例題之外，讓學生多接觸其他題型的題目。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

化繁為簡：

學生對於數學應用題目容易混淆，尤其題目中的數字十分的龐大或繁瑣。

將題目中的龐大數字簡化或將分數小數化為整數，讓學生了解運算的過程後，再將數字還原。

逐次減項法

ex：公斤的糖相當於1袋的重量，那麼3袋的糖有多重？

學生多數看到此類題目，就會開始混亂，隨便捉二個數字相乘或相除。或者有些理解力較強的學生，可以藉由二段式算法解題後，再合成一個完整的列式。

÷1＝

×3＝

÷1 ×3＝

學生一碰到不是基本單位量時，就會亂無頭緒的隨便找數字來進行四則運算，老師會使用二種算法講解，只要學生聽懂任何一種就可以了。如左題：

【解法一】

碰到任何非一個單位量的時候，

先找出一個單位量是多少？(即1袋有多重？)

求出重量後，再看有多少單位，將二者相乘。

【解法二】

注意所要求的是同一物品，所以其比例會相同。

運用比值進行運算：

：1＝□：3

×3 ÷1

【陳方旼老師受訪,陳麗玉訪談】

應用問題：

常受到應用問題裡一些不相干的文字所影響

例如:一包糖果有10顆，小華買包，小英買包，共買幾包？雖然一包糖果有10顆這句話，對答案並沒有什麼影響，但小朋友就會被這句話給局限住。

利用小白板的做法。

老師發給全班每個小白板(也可以是非常便宜紙做的那種)，請每個小朋友將自己的答案寫在小白板上面，這時老師會下去巡堂，看小朋友所寫的答案，老師再點幾個小朋友上台來說說看自己為什麼這樣寫(被老師點的人其算法都不同)，上台的小朋友就像一個老師一樣，在台上講解自己的算法，這時台下的小朋友都必須認真聽他們的算法，你可能會聽到很多種對的方法，例如:上述例題可能的做法有(1)包+包＝包(2)包*10顆＝6顆，包*10顆＝5顆，11顆/10顆＝包，或者其他的算法，藉由別人的講解同時你可以學到很多種算法，再選出比較適合自己的算法，當然也會有很多種錯誤的方法，你也可以聽聽他們的算法，想想為什麼他們會這樣做，討論錯的地方在哪裡？也或許這錯誤的方法就跟你一樣，也因此你可獲得解答。而不是像過去一樣，你在台下寫什麼答案，老師也不知道，或是你錯了也不知道為什麼？

【杜守正老師受訪，李瑞俞訪談】

應用問題：

思考型題目較弱，認為所有在應用題出現的數字都是有用的。

雖然一週數學課才四節，但是老師，會以時間調配，每天上1、2節課，出練習題來加強，藉由習題來釐清小朋友的觀念。

【唐雅蘭老師受訪，黃珮伶訪談】

應用問題：

雖然己經到了小學五年級了，但在看數學題目時，仍然是計算題較會做答，遇到應用題時，常會不知道題意是什麼？

【洪文欽老師受訪，呂其翰訪談】

應用問題：看不懂題目

例如：小美比小明多20元

把題目的文字換成數字

小美比小明多20元

美＝明＋ 20（元）

【盧燕萍老師受訪，張馨月訪談】

應用問題的解題能力：

因為越到高年級，文題的敘述越是繁多、複雜，所以學生常無法掌握題意，正確解題。

老師會先訓練學生看題目時，一邊默讀一邊圈出重點，並且用圖示或表格的的方式，將文字簡化成現象。例如：

有一根竹竿插在水中，竹竿的4/7插在水~~~~~~~~~~~

中，而插在水中的部分有1.4公尺， 1.4公尺 4/7

請問竹竿全長是多少？

此外，老師表示除了多讓學生練習類似的應用問題外，讓學生以一數學算式，如502+13=38，依此設計成文題的方式也是一種能提升學生將文字轉換為算式，掌握文題要點的訓練方式。

【王蘭亨老師受訪，張嘉群訪談】

應用題的題目學生會沒有耐心看完。

老師說，學生在寫應用題的時候，往往急於快作答，因此題目都沒看清楚就開始寫。因此老師在解答應用題時，會先讓全班一起把題目再看一次，看完題目的同學就舉手，而老師也會抽問這個題目在說什麼，要學生再說一次，因此學生都會認真的將題目看完再作答。

【洪文欽老師受訪，吳艾臻訪談】

應用問題

雖然己經到了高年級了，但在看數學題目時，仍然是計算題較會做答，遇到應用題時，常會不知道題意是什麼？

【洪文欽老師受訪，林子嵐訪談】

語文能力不足：

（會有該問題產生乃因英文文法與國與文法差別的後果…在應用問題上不了解題意以至於無法完成計算）

在該班級（605）有語文能力上問題的學生佔了1/2強，因此盧老師在教到應用問題時，都會要求全班一起念題目。盧老師再引導學生了解關鍵句、分析關鍵句。

（例：小美比小明多20元小美＝小明＋20元）

【盧燕萍老師受訪，邱耀加訪談】

學生不懂題目的意思，沒有耐心，對於抽象題意難以理解。

在上課時，多解釋幾遍給學生聽。

【黃惠卿老師受訪，郭子嘉訪談】

常因文字敘述看不懂，這一題要算什麼、求什麼不知道，因此不會計算。

學生計算能力大多還不錯，常常因為應用問題看不懂而不會計算，這地方老師都會多加解釋題目在問什麼，好讓學生解題。

【黃惠卿老師受訪，盛家絹訪談】

應用題看不懂，不知道如何解題。

老師帶著學生多唸幾次題目，並且予以解釋。若是遇到有關圖形的題目一定要請學生依照文字的敘述將它畫出來，可以幫助理解。

【獅湖國小王老師受訪，陳怡君訪談】

應用題閱讀能力不佳

國語程度不佳的學生，往往看到應用題就害怕。

高年級的應用題變得更加抽象，學生往往不易閱讀，加上中低年級時，閱讀應用題的基礎沒有打好，或是國語能力不佳。于老師都會採取「小組討論」的方式，讓各組學生彼此討論，會的教不會的，彼此互相合作。

【于秋雲老師受訪，翟嘉莉訪談】

無法理解題意：

閱讀能力較差。
問題內容沒有貼近兒童生活經驗，所以無法產生連結。
兒童本身認知發展較慢或相關知識基礎不足，造成課程銜接上有困難。

為了加強數學，老師會透過補救教學來加強學生數學基礎。平時讓他們多做練習，先看懂題目在問些什麼，找出關鍵字，題目當中給了那些條件。並且分析解釋題意或做相關的題型，漸漸的讓他們熟悉了解。之後，等到心智與邏輯更為成熟，將會更容易了解。

【李景文老師受訪，王詩瑋訪談】

看不懂題目，所以問題出在國語文的程度不佳。

所以加強學生國語文的程度是很重要的課題，或由老師逐字分析，讓小朋友了解。

【余文方老師受訪，吳偉立訪談】

部分學生對於遊覽車上座位的安排問題弄不清楚。題目如下：

一台遊覽車可以分成單數和雙數座位，單數和雙數又各分為左、右兩邊，若一號坐單號左邊、二號坐單號可、三號坐雙號左邊、四號坐雙號右邊，以此類推，15號坐哪一個位子。如圖示：

單雙

左右左右

1 2 3 4

5 6 7 8

老師建議的方式是在教室內以遊戲的方式，培養學生數位的能力。方式將坐位安排成遊覽車的形式，學生抽籤抽到特定的座位，如單數第五排左邊，學生必須找到自己的座位。學生透過遊戲方式熟練後，再進行解題。

【潘尚鳳老師受訪，郭鳳婷訪談】

在應用題的計算時，有時會不清楚什麼時候要用「無條件捨去法」，什麼時候要用「無條件進入法」。

讓學生再多唸一次題目，讓學生再想想清楚，最後由老師進一步解釋。

【林尼珠老師受訪，邱淑君訪談】

應用題難以理解

用圖片說明題目，讓學生把算式列出來，再給學生解題。
養成他們讀書的習慣，讓他們背三字經，提升他們對於文字的理解能力。
養成他們寫日記的習慣，讓他們練習句子加長，培養寫作文的組織能力。

【宋屏麟老師受訪，黃綺紋訪談】

看不懂應用問題的題目。
題目太長，學生懶得看完題目。
題目數字太大，學生懶得算。(學生有可能會算或不會算)

老師認為學生看不懂應用問題的題目是因其語文能力太差的緣故，解決的辦法除了要加強學生的語文能力之外，只能多解釋題目的意思，以使學生能夠瞭解，並多出習題讓學生練習，時間一久，便會有進步，也可藉此培養學生算數學的耐心。
先將題目數字簡化，使學生明白之後，再帶回原題作計算。

【黃惠卿老師受訪，周家珍訪談】

應用題

不了解題意，就會影響做答

可用實物觀察或畫圖來幫助他們了解抽象的題意，老師還會提醒他們題目當中需注意的地方，盡量避免犯錯的機會

【潘尚鳳老師受訪，李端華訪談】

「應用問題看不懂題意」

通常會有此類問題的原因，老師認為是由於學生本身的國文程度的問題。

此時老師會將題目重新帶著學生把題目看一遍，並且去解釋題中所要表示的問題，讓學生們了解如何從字面上轉變為算是。若已經跟學生們解釋過後還是不懂，那就只能多多練習來改善此類問題。

【蘇恵英老師受訪，陳蒔萱訪談】

數字與文字所代表的意義：

若要學生將數字轉換成題目是一大挑戰，學生可能無法瞭解算式代表的意義，因此在算式和數字的連結上會出現困難之處。

對於數字、文字和算式的轉換，教師必須一一仔細的舉例說明其意義，如：一包軟糖蘋果口味有5個，鳳梨口味有6個，先教導學生列出算式6×3＋5×3，再引導學生去思考（6＋5）×3所代表的意義，漸漸地可以試著讓學生自行思考出題

【杜守正老師受訪，李姿儀訪談】

抽象概念

除法，求原來的數的問題，像以前國編版本都會用數線解釋，但現在新版本就沒有，老師必須找很多例子來解釋，不然就是要數字簡化來解釋。就是先用簡單的數字带進題目，再回到原來的題目來看。主要先他們理解題目再說。像我就覺得國編版一貫用數線來帶觀念很好，現在如何用具體的例子說抽象的觀念，這也是我教學上困擾的點。用數線解釋，因為一開始就沒有敎，他們領悟力較差的就無法理解。

最嚴重的問題就是學生看不懂應用題的題目，我都要再解釋。數學和語文閱讀理解能力是有關的。如果連題目都看不懂的話，那就別算了。四則運算加上代數，領悟力比較差的同學就不會。

全方面的加強，不只使數學還有語文。
找例子、數字簡化、數線觀念、

【邱麗蓉訪談，黃惠卿老師受訪】

應用問題解讀問題

EX：數學課本5本150元，國語課本5本200元，請問一本數學課本比國語課本便宜多少元？

學生：

（150÷5）－（200÷5）＝？

40－30＝10（元）

學生會將先看到的數字放在前面計算，但由於學生清楚尚未學習到負數的概念，因此在進行算式計算的最後會自動將大的數字放到前面減小的數字。

由於學生已學會兩步驟併式的計算，但卻缺少判斷式子計算答案的能力，此題由於皆是以五本為基準，因此可先訓練學生由課本的總金額判斷大小的能力，再由多個類似的題型讓學生體會到兩個不同的數除以一個共同的數，越大的數所得的數亦會較大。端正學生以問題出現的順序進行解答的錯誤觀點。

【連亨宗老師受訪，林苔忻訪談】

應用問題解讀問題

學生分不清因數、倍數的概念。如：應用題型中，不清楚誰是誰的幾倍。

【林冠嫺老師受訪，鄭詠文訪談】

應用問題—

學生做題目的速度太慢

【黃蘭筑訪談，邱瑞杰老師受訪】

應用題懶的看完題目就作答，或是覺得文字多的應用題就代表很難寫，乾脆就放棄了……

強制學生務必把題目看完在作答

訓練學生從應用問題中找線索，並且把線索記下來再思考題目要我們做些什麼

【陳鈴瓊老師受訪，劉哲瑄訪談】

九、課程銜接

不易掌握之概念

(常見迷思概念)

教學者之對策

中年級與高年級連接的問題：學生之前數學基礎不穩固，所以進入六年級時，學習挫敗感大增，影響學生學習數學的興趣。

寒暑假作業可出數學統整的練習，以避免學生對將來要學習的數學感到陌生。例如：請學生在寒假分析以前學過的「分數」，開學後師生共同討論，如此一來，六年級再接觸到有關「分數」的運算題目時，就比較不陌生了。

【盧燕萍老師受訪，陳慧珍訪談】

教材選編斷層

中年級和高年級的教材選用不一定相同，常會發生斷層的問題，有的概念以前已經出現過（重複），但有些概念卻從來沒有出現過，高年級就突然出現，學生會難以銜接，另外，六年級升上國一也有此斷層，國中的老師認為學生在國小就應該學會這些概念，但是國小老師認為這是國中的課程，往往使學生在課程銜接上有困難。

老師會另外補這方面的概念，另外，也讓學生參加數學檢定考試檢測學生的數學能力，針對學生不足的地方加強。

【陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談】

銜接問題

因為小學畢業之前針對國、英、數有檢定考試，但其中有一半以上的單元是小學階段所沒有學過的概念，造成六年級學生一次必須學會很多的概念，學生不容易打好基礎，可能會因此與國中數學有嚴重的銜接問題。

老師在課程上會針對這些沒有學會的單元進行教學，也會請學生回家做題目，雖然有的學生會很認真的做練習題，但是也有些學生只是敷衍了事。

【陳淑貞老師受訪，李佳謙訪談】

國小課程過於簡單，和國中課程無法結合。

老師除了課本規定要教的內容外，會補充一些課外的，但是不會給學生壓力，老師會以獎勵的方式鼓勵學生多做課外題。

【蔡桂芬訪問，馮欣雁整理】

銜接問題

因為教科書版本開放，市面上版本眾多，導致新轉學過來的轉學生，因為在原學校與現在的學校學到的版本不同而有課程銜接的問題產生。

老師會先去了解轉學生在原學校都用哪些版本的教科書，然後再和現在班上用的作版本比對，因為版本不同而產生學到課程不足的地方，老師會私底下找時間幫轉學生去補足。只不過老師說，這樣的負荷會很大，畢竟班導師還得顧及全班的同學，所以她只能盡量去做，盡量去降低轉學生在使用不同版本的教科書而產生的落差。

【葉潔陵老師受訪，何雅雯訪談】

銜接問題：

--學生程度不佳，以前所學的觀念不清楚。

幫同學個別作補救教學。但礙於時間因素，可能會請學校支援(淡江學程學生、義工媽媽)或請能力較好的學生幫忙（數學小老師）。

【高婉玲老師受訪，曾文慧訪談】

舊經驗/知識不健全：

（因教材的不完整以至於學生意忘記先前的舊知識。）

教導新觀念時需以舊知識統整。這是盧老師在教新單元時解決學生連貫性時所必經的階段，同時也是盧老師感到困擾的事，因為如此需要花費多一倍的時間。

【盧燕萍老師受訪，邱耀加訪談】

課程銜接問題：

教科書一綱多本，學生程度參差不齊。教學內容也多，時間明顯不足。

數學貴在理解，老師在教學中應注重學習經驗的銜接，重視概念抽象的歷程，經營互動討論的環境，靈活運用數學教材，幫助學生獲得關聯式的理解，使其知其然又知其所以然，進而拓展個別學生的數學知識。

【李景文老師受訪，王詩瑋訪談】

課程太少

從以前國編版16單元減少到目前才8單元。習作和課本沒有銜接，習作的內容比課本多。課本比較薄，反覆精熟的題目較少。

老師的態度

【邱麗蓉訪談，黃惠卿老師受訪】

建構式除法

EX：

256÷13＝19…9

1313+3+3＝19

1 3 ）256

126

老師表示由於這屆孩子學習的是所謂建構式的除法，他們的算法已由舊時的快速方法，改變成左式計算方法，雖然建構式數學講求讓孩子懂得知識的由來，但在過於強調建構的背後所帶來的負面結果便是造成絕大多數有能力的孩子，遭受能力低估的對待，導致無法跳脫建構的方法，使用其原先可接受的快速法。因此隨著孩子的計算能力下降，試題的難度與題數也必須配合其程度而下降。

針對此問題，老師重新將其除法概念重新做澄清，在其原有的知識概念上增添新知，反覆讓學生練習，以增加其計算能力及速度。

【連亨宗老師受訪，林苔忻訪談】

教學者班級經營的拿手絕活

張志成老師受訪，林麗卿訪談

1.「讓學生快快樂樂的想來學校學習，老師能將學生平平安安的送回到家」。

2.孩子有不同特質，所以選幹部時盡量讓學生「負責適合學生特質的職務」。

郭慧萱老師受訪，呂宇璿訪談

當學生的朋友

直率的郭老師很年輕又充滿著活力，他與學生之間的相處也是像朋友一般的坦率，甚至連性教育也能毫不避諱地與學生討論‧除此之外，老師也非常了解，對於學生而言哪些是誘惑，哪些是害怕討厭的事情，因此老師這樣恩威並濟的方式，不但有效果，且也和學生保持良好的關係‧

努力充實自我

老師認為當個好老師，不一定要什麼都很厲害，但是可以都略略懂一些，也或許是由於大學時期受到中文系的人文薰陶，老師特別對於人文藝術領域有興趣‧經過平時努力地學習，老師不但在戲劇和舞蹈方面有優秀的表現，同時也使自我的教學更加活潑生動!

施雅倫老師受訪，楊宜穎訪談

施老師的八字箴言「老師特色，真誠對待」。

「老師特色」：恩威並施，當學生的精神領袖，抓住大原則(若抓太細節會扼殺孩子的成長)。

「真誠對待」：了解學生需求。例如：以下所附為施老師「給家長的一封信」的片段，而其中的內容，即清楚說出了施老師觀察出的班上需求與滿足需求方式。

經去年的互動，我覺得本班孩子多屬文弱型，所以普遍乖巧，沒有太複雜的行為問題，這都是您們教導有方，感謝各位！因此我只要再朝以下幾個方向加強即可。

一、強健體魄
經一年相處，相信您除自孩子那兒得知，也看得出來，我是個精力充沛的老

師，向來注重體能訓練。我總覺得身體健壯，才有精神，做事才帶勁兒。去年我

已給孩子們小小訓練一番，成效不錯！以他們文弱的底子來說，拿到五年級拔河冠

軍、大隊接力亞軍、路跑居四。我認為孩子們已認真付出，也得到相當甜美的果實。
暑假作業中，我也再三交待他們得在暑假，變高變壯，回來見我，但願不會讓我失望。然後我們全班再一起努力，挑戰六年級的比賽（除前述三項外，可能還有躲避球比賽），不管結果如何，一整年的同甘共苦，都夠他們回味好幾年了，而最重要的，孩子們的身心也都會因此茁壯的。

二、加強表達能力－口語、寫作
本班孩子，在發表時多是「溫火慢燉」，需要多些引導和耐心，也要多一些練習，好養成習慣。這一直是我努力的目標，六年級將會更加重訓練，在任何屬於我的授課時間裡。

三、「班級書展」隆重登場
上學期試辦了二次「班級書展」，孩子們的迴響很好，因此六年級將續辦下去，而「推薦函」、「排行榜」將更正式的呈現，以保持閱讀的新鮮度。

四、舉辦班級活動
我將班級活動分成二種：一為親子活動，歡迎闔家大小朋友共襄盛舉，例：親子賞螢。另一為師生活動，通常無須煩勞家長出動，例：參觀。這二種活動我的定義不同，前者重在親子互動、聯絡家與家的情誼；後者則重在我和孩子的互動，訓練孩子的能力。除了我會規劃活動外，也歡迎您告知活動訊息，觸角延伸越廣，孩子們獲益越多。

王美齡老師受訪，劉又寧訪談

1.和學生建立默契，讓班上凝聚班級的向心力。

2.有時候獎品對高年級的學生而言，沒有中低年級的學生來的有吸引力，因此當學生累積一定的獎卡數的時候，可以讓學生換取「特權」，例如「少處罰一次」。

高文旭老師受訪，鍾君華訪談

重運動：高老師本身十分喜愛運動，他發現現在的孩子體能愈來愈差，只靠上體育課來活動根本是不夠的，所以他會要求學生晨會過後或早自習時間跑操場一兩圈，一學期練下來，學生在上課的精神方面、體力方面都有明顯的進步，現在許多班也起而效之。
新舊教材的教學：老師認為現在的教材有許多編的不如以前，像新教材在整數除法中，用一層一層疊高的方式做計算，在高年級完全不適用，變成高年級老師有時得在加強一般的整數除法。高老師認為像這樣的時候，他會先讓學生學會以前舊教材的算法，而後再回到課本來把裡面的算法做解說，讓學生自己選擇所適用的方法。
排名方式：現在學校已要求不排名次，但高老師認為排名也是一種正增強的一種方式，老師會公佈每次月考班上前15名的學生，其餘不予排名。另外老師也將各科考的較好的前15名給予公佈，使得學生不會單靠總分就評斷自己。

黃秋媚老師受訪，鄧舒薇訪談

因為秋媚老師是數學科任教師的關係，所以在收學生作業時，往往會出現收不齊的現象。因為不是天天都有數學課，所以也無法像導師般可以每天叮嚀，而學生常以忘記了或沒帶為理由，此時秋媚老師想到一個辦法，即是製作一張全班繳交作業紀錄表，並選一小老師協助幫老師登記誰缺交作業，如此一目了然，也減輕老師不少負擔。並且學生繳交作業的情形，可當老師給平時分數的參考，讓老師給分數能更客觀。而若學生缺交次數過多，秋媚老師也會將此生交作業的情形告知家長，請家長協助督導。

鄭聿芬老師受訪，陳建成訪談

1.於學生考試比較不懂的地方，利用空白的數學簿做練習可加強學習效果。

2.活潑的教具可引起學生的學習興趣。

3.生親自去做實體操作親手去動手操作體驗以彌補教具的不足。

4.生以玩遊戲的方式學習。

5.學的時候讓學生將自己的想法，或是作法寫在小白板上，讓學生上台發表自己的想法，並且讓學生看看認識別人的想法或是作法。

6.輪盤組：將學生依其學習能力平均分配為同一小組，同組中有能力較強或較弱的學生，輪流擔任各科目負責組，處理各該科的事情，例如檢查作業、準備及交還工具、帶隊上科任課、登記成績等等。

7.老師的客人：午餐時與老師一起吃飯，詢問同學課業及生活上的問題。

8.今天的模範生：每天放學前抽籤決定明天的模範生，當選者明天中要對好學生的一天做最好的表現。

9.塗鴉板：闢出班級牆面的一隅，貼上書面紙，人人可以在上面寫東西題材不拘。

台北市義芳國小阿忠老師受訪，翁淑華訪談

善用分組教學：因全班學生程度不一，有的學生學習進速較快、有的較慢。而當老師在教一概念時，可將全班學生分為高、中、低三個階段。當程度好的學生學會了之後，可以請他當小老師去教還不會的同學(但是限於中等程度的學生)或者是去寫老師另外出的較難的題目，而老師就有空去照顧那剩下10﹪較不容易學會的學生，做個別輔導了。
建立師生間的默契：因為是高年級了，所以班級常規是由全班在班會中一起製訂出來的，當規則訂立後，老師一定要嚴格執行，也就是說，要採取先嚴後鬆的態度，千萬不可以在剛開學時就讓學生覺得老師沒有魄力，講話不算話，就算我做錯了也不會有什麼樣的後果…這樣的感覺。有一段時間後，漸漸建立師生間的默契，學生知道做了什麼事是老師不會原諒的，什麼又是老師可以接受的…此外，老師也不可以在自已情緒不佳時罵學生，這樣的話，會讓學生認為老師是一個會牽怒別人，這樣一來，以後老師講的話就不會被學生信服了。
營造上課的氣氛：營造出讓學生喜歡上數學的環境，多給學生討論、實作、發表的機會，千萬不要是老師一味的講述、灌輸。

余幸秋老師受訪，林怡伶訪談

＃養成收集資料的好習慣─余老師在學期初會請每位同學準備一本剪貼簿，請學生每週剪下一則報導(內容可包括時事、生態介紹、文章、藝文活動等…)，並在一旁寫下自己的心得感想，畫一些插圖。如此可以培養學生的閱讀能力，拓展學習的觸角。

＃教室秩序管理─剛打完上課鐘學生情緒大都無法馬上平復，因此老師會罰講話的學生上台罰站，如果台上的學生找出台下講話的同學，則可以回到座位，換那位被捉到的同學罰站，最後站在台上的人，下節課被罰不准下課。余老師說這個方法很有效，上課沒多久，全班就會慢慢安靜下來。

＃座位安排─余老師會隨著課堂需要而隨時調整，一般都是採傳統式的座位排法，等到課程上有需要學生討論、做實驗，或是共同觀察時才會排成小組式的座位。余老師說如果一直維持小組式的座位，學生上課更容易分心，也容易有姿勢不良的情況產生(因為有人需要側身或轉過身才看得到黑板)，這種因應課堂需要來排座位，可充分顧及學生需求。

＃親師溝通─與家長溝通時要注意，不要只給予評論性的陳述，例如：某某同學上課常不專心。這句話應該再加一些學生行為的陳述，作為佐證，並注意不要只講學生缺點也要說一些學生的優點；如此家長才能感受到老師對學生的關注，而不會認為老師對自己的孩子有成見。

盧燕萍老師受訪，吳靜芬訪談

剛開始帶班會很嚴，以後再慢慢放寬，比較好掌握學生。
賞罰分明＆信任：讓學生知道老師秉持著賞罰分明、公平不偏心的態度，而所謂不偏心就是「你對我好，我就對你好；你對我不好，我頂多只能對你這樣」，灌輸學生「別人對待你的態度如何，你自己有責任」。
學生犯錯若是關乎道德，避免老師直接給予懲罰；讓學生自己描述事情的經過，由他自己去檢視並覺察自己的錯誤，由衷說出自己錯在什麼地方，並且自己處罰自己。
讓學生了解老師並非聖人，也有情緒也會犯錯，跟他們一樣都需要被關懷。這樣有助於拉近師生關係。

林志宜老師受訪，許慧美訪談

在管理班上的秩序時，老師會告知學生老師所准許的範圍或是許可的情況，讓學生清楚的了解老師的規定到底是什麼。
老師在生活中很注重其行為可能帶給學生的影響，所以時常會再三的叮嚀自己必須要以身作則才行。

曾慧芬老師受訪，林珍伶訪談

※教學上：

教師對學生的說話用詞要明確、清楚、口氣肯定，不要拖拖拉拉說一推，學生也聽不懂。

※班級經營上：

共同訂定班級規範，並且一定要徹底執行，讓學生知道老師的規定不是表面文章，也不要一時興起才執行，或嘴巴說一說而已，會讓學生有機可趁。

張麗香老師受訪，黃佳惠訪談

首先，要讓學生先有榮譽感，跟羞恥心；這樣學生才會有認真上進的心。
只要是能力範圍內的，如：整潔、秩序，這是大家只要注意就可以做到的，因此老師要求學生，都要達到第一名，否則就不能下課。
其它運動類，只要大家盡力就好，如果成績不好，老師反而會安慰他們，要他們得失心不要太重。
平常會講一些道德的小故事給他們聽，讓他們多知道一些人性的光明面。
上課時，以排為單位進行競賽，讓他們都能很認真的上課，很踴躍的發言。
由於是小組競賽，因此大家會互相督促，彼此交流。
班上過動兒，常常無法達到老師的要求，只要他有一點點的好，老師就會誇大其詞地給他鼓勵，讓他能夠出現更多好的行為；對於其他同學，老師則利用這位小朋友不在時，告訴大家老師為什麼要對他特別鼓勵，並請大家一起來幫助他，班上的小朋友也都很能接受，大家一起協助這個過動兒學習。

林建志老師受訪，黃琪文訪談

教室佈置觀察：

「老師期許的話」為：嘴巴甜一點，肚量大一點，行動快一點，效率高一點，腦筋活一點，理由少一點，做事多一點，脾氣少一點，說話輕一點，微笑露一點。

而「金氏紀錄榜」部分則是有幾項競爭的排行榜，分別為：吟詩讀經榜；學富五車榜；舞文弄武榜；畫龍點睛榜；棋逢敵手榜；古道熱腸榜。

我的心得：從二年級班級佈置看到中年級，在看到六年級的班級佈置，感覺每一年級的班級佈置都有其不同特色，低年級的班級佈置比較著重於色彩變化及溫馨感，中年級部分則是多了許多學生部分的佈置，高年級教室佈置感覺起來就比較成熟，所寫的話語也比較像是對大人說的話。而在中低年級所看到的‘花片制度’也不再見於六年級的班級了(有這樣的佈置，但佈置不明顯且老師鮮少使用)。高年級的班級制度管理好像比較是屬個人式的管理方式，遇到制度不好的學生，老師也大都會以個人處罰方式做懲罰。

輔導觀察：

事件的發生~~在班級後面佈告欄，貼了幾張悔過書，覺得蠻奇怪的，便去和老師討論，老師說：這是之前班上同學發生之爭吵事件，最後演變成打架事件，老師為了要讓學生自己省思自己犯下的錯，就利用寫悔過書的方式來讓學生了解自己哪裡做錯。老師提到，一般高年級學生為了結束老師對他的告誡及訓示，會採允諾的方式做回應，但其實甚麼也沒聽進去，利用寫悔過書的方式可以讓學生靜下心來實際檢討自己的行為對錯，而且經過書寫的過程後，已能平靜事件發生時的激烈心情，不在只看到自己行為層面，也在寫悔過書過程中以別人的想法去看事情。

我的感受~~這樣的輔導方式真的讓我感到很驚奇，沒錯，當事件發生時，人是看不到自己的缺點的，大都將錯誤的矛頭指向別人，別說是學生了，即使是生活經歷多的大人也常不免有這樣的情緒表現。寫悔過書的方式是個能在平靜的心態下回顧整個事件發生之過程，仔細檢視自己行為對錯。我覺得這樣的方式

真的是蠻不錯的輔導方式。蠻適合用在高年級學生行為的輔導上。

其他紀錄：老師說話方式及傳達語句對高年級學生來說非常重要，例如有小朋友一直搖晃椅子，老師不直接罵他而是說「爸媽給兩隻腳是要一起用的，同要的，椅子有四隻腳目的也是要一起用的，不要用單隻腳去搖晃它。」

老師每週都會將自己心情寫下，我覺得這是蠻好的與高年級學生心靈溝通方式。

李幸儀老師受訪，徐建榮訪談

老師大部分都利用幹部的力量來進行班級經營或教學。這個部分主要是用來磨練能力不錯或較有問題的學生。講求的是他的適用性和磨練，必要時也可跟家長溝通看看。
在班級經營部分，老師也會選出各科小老師，培養學生榮譽心，讓同學互相去彼此提醒學習。
在訪談時，老師也曾透露出在現階段對國中教材銜接問題感到困擾。尤其是又要舉辦能力檢測，實在是有點擔心學生會太吃力。當然也會覺得目前所用的康軒版還不夠嚴謹。老師個人還是較偏向之前舊有的部編本。此外，老師也透露出如何帶領高年級學生的一些技巧，例如：學生比較會注重公平性，彼此個體的獨特性會越來越明顯。在平常帶領或溝通時，這些要素就要考慮進去。

林佳佳老師受訪，張思萍訪談

雖然帶的是五年級的學生，林老師還是用小組競賽的方式讓學生自己管理自己，只要是小組中的成員表現良好，就可以為該小組加分;若是該小組某一位成員表現不好，林老師也不會因此而扣該小組的分數，她會針對該成員做錯的事跟全班討論，若是有必要，林老師則會先私底下跟該名學生談談，這樣的做法是為了小組內有相互排擠的現象產生。
林老師除了教學生課本上的知識外，也會讓學生嘗試各種不同的活動，如小型園遊會、班級自辦戶外教學、烹飪等等活動，林老師辦這些活動的用意除了拓展學生的視野外，就是要凝聚學生的向心力，她認為全班一起去從事一些活動可以讓師生之間有生命共同體的感覺，這樣學生對老師說的話也比較聽得進去。
林老師對學生的成績不是很重視，她比較在意的是學生吸收了多少，所以每次考試完後，她都會統計分數，但她的用意是想知道這些考不好學生的迷思在哪裡，這一點她跟學生強調過，所以學生在老師調查分數的時候，即使自己考不好，也不會不敢讓老師知道，反而透過這個機會，老師會幫助他們把不清楚的概念再釐清一次。
林老師在學期初的時候就選了很多組長或幹部，她認為學生必須有對自己負責的能力，所以她訓練這些組長或幹部來協助整個班級的各項活動，如打掃工作，但剛開始的時候，老師一定會親自示範她要的標準到哪裡。這樣學生才不會不知所措，或認為老師什麼都不做，只出一張嘴而已。

張夢鑾老師受訪，杜陽蘭訪談

老師善用班級通訊單與家長溝通：和班刊類似，老師沒隔一段時間便會自己做一份501班班級通訊第N期發給學生，除了提醒同學應該注意的新事項外，也提供了一些親師小語、短文勵語給家長欣賞。老師說大部分家長都會用心看，而且還給回饋，這實在是寫家庭聯絡簿以外的另一個好的班經方式。
老師對學生的處罰方式之一是讓學生上台，「New一下」，學生愛講話或是好動，老師變讓他上台動，成為同學注目的焦點，有不少學生就會收斂行為了。

李靖宜老師受訪，黃雅慧訪談

每天老師會以計算題作為演練，增加演算的機會。
老師出較特別題目、較少見或較不熟悉數字的題目給學生練習。
老師協助同學一起從題目中，找出關鍵字詞與欲求答案重點為何。
回家功課中，部分為把課本習題中的應用問題稍作更改，成為類似題。
利用教室佈置製造情境教學。
採取小老師制度，由高成就者協助低成就者。
數學計算問題盡量用實物來讓學生理解。
老師多比較各種題型讓學生了解及解題重點字眼。

盧燕萍老師受訪，林貞夆訪談

1.老師可以假生氣，但絕對不能真生氣。因為這對使老師的判斷能力喪失，且有的學生會故意挑臖老師。

2.老師需公平處理。應視個人整體的表現給予獎賞懲處，而不是假公平的一視同仁。

3.遇到學生不認錯的時候，老師不能直接告訴學生他犯錯，因為對於高年級學生都已經具備自省的能力，老師應站在引導的立場，讓學生自行回想，並讓他們找出自己犯錯的地方。遇到重大的事件時，老師的態度更應該和緩，慢慢的引導，千萬不能過於心急。

4.當決定全班性的事務時，應放手讓學生去處理，像昰遇到學生犯錯需要懲處時，全班共同制定方法，利用輿論的壓力使他們服從，但是，老師需要一旁監督，若是有不合理的地方，也是需要加以提醒並改進。

陳淑真老師受訪，莊静詩訪談

在班上設立各小組比賽的獎勵制度，在黑板上貼各小組比賽成績，小組有好表現時立即加分，得分最多的小組可獲得獎勵。
請班上每一位學生帶好書與班上同學分享，放置在班級圖書館中，讓班上同學可以閱讀許多書籍。
透過小組合作達到同學間互相幫助。

許薇寧老師受訪，林君玲訪談

特權制度

老師覺得在這個階段的孩子都喜歡跟別人不同或是喜歡具有特權，所以老師讓他們可以有特權，但是是在獎賞時才給予交換的條件，所以通常他們是以榮譽來爭取到特權，並不是老師隨意給予的。而且這一招很有效喔！

陳秀真老師受訪，蔡宛蓉訪談

堅持的態度與從一而中的實行

教師認為常規的實行，要長期執行。在態度上也要堅持而不能讓學生隨性的自由選擇。

當學生習慣常規以及一些制度之後，班級便很容易管理了。

2.採用獎勵的方式去增強

讓學生集點並且可兌換獎品，在每一個月當中便慶祝一次；平時也要適時抓住機會稱讚學生，讓學生對於自己所做的事而熱衷。

王舒怡老師受訪，趙姿菁訪談

【增加學習效果的方法】

先講解該單元全盤的概念，讓學生更進一步深入了解後，再練習課本之中的類型。如此一來，學生學習時會比較不易分心。
在每一堂下課之前5分鐘，操練這一節課堂中所學到的概念，以確實掌握是否達到該堂的教學目標，同時能夠幫助教師了解學生的狀況以及有助於作為未來教學改進的方針。
時時追蹤學生習作的練習情況，並採取學伴制度（以一個小老師負責一組或是兩人分為一組皆可，教師可視班級學生數而定），以增進同儕間互相指導、學習以及合作的精神。

張素蘭老師受訪，廖芳苓訪談

班級經營技巧視班上學生情況隨時調整，因為素蘭老師是在學生六年級時才接任這班學生的導師，原本學生五年級的導師是採教開放自主、隨性的作風，所以學生到了六年級並不太能接受素蘭老師的方法，素蘭老師說這需要老師和學生一起調整。
帶一個班級之前，事先就要想該要有什麼樣的班級特色、風格，之後和學生一起溝通，達成共識。
素蘭老師覺得低年級的學生通常會用物質的獎勵比較多，但帶高年級的學生素蘭老師則較強調榮譽心的提昇，因此班上採自發自主的榮譽卡積分制度(配合學校的榮譽卡)，只要表現良好集滿點數到一定數量的獎章就可以加分。平時熱心公益、幫班上做事的學生老師會給小卡片獎勵。
常規的部分，可以分成兩大部分：一是老師希望學生能遵守的原則，另一個部分是全班共同訂定的班規。老師希望學生能遵守的原則部分，老師必須要事先想清楚，條列式的讓學生知道，同時也必須是學生能做得到的，老師才能要求學生來做，除了要求學生要能做到之外，老師自己也要以身作則。
班上特殊狀況的處理，例如：學習較落後的學生，作業量不能給太多，老師必須視學生的狀況處理並做調整同時也要和學生進一步的溝通，同時一段時間之後，給學生一些些進步的空間再增加作業的份量，如果在施行上有困難，則可和學生以訂定契約的方式幫助學生。

素蘭老師的建議：

在我訪談素蘭老師的時候，素蘭老師向我提及目前在數學科教學所面臨的最大困難點是：因為學校各個年級教材版本的不統一，導致學生的學習產生學習中斷，學生所學的的知識不是一直線的連續學習，所以愈是高年級普遍數學計算能力、理解能力有愈來愈差的傾向，這就是因為之前的學習基礎沒有穩固的關係。

素蘭老師還建議我若是想解決類似的問題，必須在教授一個新觀念的同時將學生之前學過的舊經驗也一併複習，此外，目前也有很多關於銜接教材的參考資料或書籍，老師也可參考類似的資料或書籍彌補學生該學而沒有學的部分，在課程進度部分安排這些課程來上，所以在這個部分老師的自我進修就很重要了，老師必須不斷的自我充實，額外花時間、下功夫研究這些銜接課程；過程雖然辛苦了些，但是只要學生的情形能夠有所改善，老師的辛苦與努力都是值得的！

藍淑娟老師受訪，顧淑珍訪談

當新接手一個新班級時，老師要明確的說出自己所要求在意的事情，並且定下明確的規則，讓學生有一個很明確的遵循方向，若是一開始沒有建立起一些規範，等到學生狀況發生猜一一糾正，往往要付出的時間會比一開始多出好幾倍。

藍淑娟老師受訪，顧淑珍訪談

一、班級經營：

顏老師的上課教學中，常問問題讓學生發言，不會一直都是老師講述教學內容，跟學生保持互動，看似一般的上課教學方式，其實之中老師有運用不少技巧，讓學生集中注意力、教學流程順暢，比如：當老師發現某一學生上課不專心時，藉著問他有關上課內容的問題，使他注意力回到課堂上；或是當學生舉手發言答對時，立即請全班鼓掌以示鼓勵，可以提高學生勇於表現的意願；而當班上有些吵鬧時，老師會停頓一下看著全班，並提醒上課中一次只能一個人說話的原則，或是運用口訣「大眼睛、看老師」，等安靜了再繼續，雖然要花1~2分鐘，但好的學習情境很重要，會有助於學生學習。

二、數學教學方式：

老師基本上不會要求學生一定要照老師教的方法去算數學，學生可以有創新的思考方式，並透過教具、習作附件、實物操作來輔助學生學習，希望學生能夠理解、而非死記，尤其老師強調想學好數學最好以「少量多餐」的方式進行，利用分散學習加深學生的印象，所以即使老師每天要批閱很多作業，還是會堅持出幾題數學讓學生練習。我覺得這個方法不錯，可以學起來運用在未來的教學上。

三、國語教學方式：

老師會讓學生製作課本的“生字新詞造句壁報”(用圖畫紙寫)，然後上課時輪流上台介紹，訓練其台風及說話的技巧，壁報寫得不錯的，老師會把它張貼在教室後面的公佈欄，我第一次學到這種方式，覺得這個方法滿好的，很適合高年級的學生，而且課本的生字老師會提出相關的四字成語，逐漸增加學生成語的字彙量，最重要的是，我發現老師很重視國字的筆劃順序，要求學生一定要寫正確，這點我滿認同的，而且我覺得這從低年級時就要開始培養小朋友養成寫出正確筆劃的習慣，因為一旦寫錯習慣了，以後就不容易糾正，當然這也提醒我自己，本身要清楚筆劃的順序，因為將來寫黑板時要正確地示範給學生看，以身作則。

四、學生學習歷程檔案：

老師還有幫每個學生準備一個透明活頁資料夾─「學習歷程檔案」，封面由學生自己設計，並貼上一張個人照，紀錄各項活動及學習成果，讓學生能留下美好的回憶和成長的過程經歷。

五、戶外教學：

關於戶外教學部分，老師原則上會依照課表上課，但是如果有教學上有需要戶外教學時，老師會彈性調整一些課程，並提早讓學生知道調課的時間和科目，如果地點離學校比較遠或是人比較多、複雜的地方，考慮到安全問題，老師會先詢問看班上是否有家長有空參與，可以幫忙帶小朋友，因為一個班有不少位學生，如果只有一位老師帶領，家長會比較不放心。將來我想我在教學上，如果有需要協助的地方，可以善用家長資源，其實老師只要誠懇地邀請家長幫忙，並表達感謝之意，相信很多熱心的家長會願意幫忙的，不僅對學生有幫助，更有益於親師合作、交流。

朱鎮宇老師受訪，陳勇全訪談

在訪問之後歸納朱老師將數學領域教學融入班級經營的方法：

善用數學小老師：

朱老師將班上數學學習狀況比較好的學生挑出六個人為小老師，負責班上同學的數學問題解答，並且由小組輪流出題比賽，使數學更有趣。

生活化的數學學習：

高年級學生比較有抽象思考的能力，但朱老師認為如果可以與生活結合可以收事半功倍的效果，因此常請學生從家中帶瓶瓶罐罐到學校當教具。

3. 數學融入班級的管理：

　　將數學作業引導入榮譽正向的肯定，而非剝奪課餘時間的懲罰，凡是對於
深難的數學問題有特殊的解法者可以獲得一天「作業減半」的獎勵。

4. 促進學生自動化學習：

朱老師在教室後面公告欄固定星期一下午，貼一張數學挑戰題，由學生自由參加

答最多的組別可以累積小組的積點，以獲得團體活動一堂。

劉穎明老師受訪，林佩君訪談

在班級經營上，老師會在學期初即把所有準備工作安排好，讓學生瞭解一整天的程序是什麼，利用分組競賽的方式相互制約，並採取加分的獎勵方式，提高學生對自己作業負責的態度，即只要作業寫完，經過自己簽名檢查後完全正確無誤就可加分，在這兒家長扮演的只有監督孩子完成作業的工作。
特殊學生管教：老師不贊成把他們貼上標籤，老師會認為若能把全班都當成認輔對象會更好，因為孩子在她的眼中都是一樣的，若我們只把其中幾個學生挑出來，學生不但會覺得自己的特殊，在輔導時也不見得會有效果，而我們所多花得時間或許只會成為他們逃離教室的理由罷了。
教室佈置：以小組認養的方式來做教室佈置的工作，以區塊的方式讓小組設計主題，並訓練同學跨小組方式的合作來完成教室佈置，這讓教室佈置不再是少數同學的工作，而是讓每位同學都能參與班上的活動，不僅讓班上同學更有向心力，藉由團隊合作的方式來讓同學進行，更能使學生瞭解職務分工的益處。此外，老師把空間佈置成一個個的主題區，像是生日區、配合課文主題做個天真童年、結合時事的鯨魚介紹以及其他有關活動快訊、生活公約、即時新聞、班級幹部介紹等相當豐富。
小組長制：老師認為一個高年級的學生應該有能力管理並督促自己的行為，也應學著凡是自己動手做，在漸漸步入軌道的今天尤為明顯，無論是收作業、聯絡簿（包含蓋印章、註明是否缺交作業等）都是由各組組長一手包辦；如此一來，不但可以增加小朋友的辦事能力、負責任的態度，更可以減少老師一天中繁瑣的工作。
在教室空間分配上，老師也規劃學生在教室的動線（出教室走前門，進教室走後門），讓教室呈現一副極為有條理的順序編排，使教室的秩序保持非常的良好。關於學生的座位，老師是讓學生自己分組，但當學生不能自己控制上課的秩序時，便會作調整。
老師以自己的興趣營造了一個班級特色－「讀書會」，希望能培養孩子閱讀的習慣，藉而達到潛移默化的效果，不管是培養興趣或者受到感召，都是很好的工具。

楊蔚如老師受訪，余曉婷訪談

蔚如老師也是我自己很尊敬的老師，雖經從小學畢業9年，但是還是常回去看老師，老師依然秉持他的一貫理念教導學弟妹--【悲天憫人】--，老師對於帶班，認為最重要的一點，就是要『帶心』，因為五六年級的孩子都已經相當成熟了，不能在用打罵的制度，但是當學生有犯錯的時候，就要立即糾正，讓他知道錯在哪裡！

此外，老師很重視晨光時間，通常老師會利用第一堂課前的10分鐘，做精神訓話，或是鼓勵，或是師生交流，因為在一天的開始，注入新的活力，換讓讓覺得有希望！

老師很反對打人，所以實施所謂的『5字箴言』制度，凡是犯錯，一率已5字箴言罰抄100次，例如『上課不遲到』『我不說髒話』『準時教作業』……等等，累積到學期中，開始清點……！

陳傑夫老師受訪，徐爽喨訪談

利用爬格子方式分組競爭：

非常有趣的是黑板上的右手邊，畫了許多的格子(如圖所示)而想不到格子的作用便

是紀錄著各小組的表現。而遊戲的規則是各小組的成員都擔負了格子上升與否的使命，若這組表現好的話則往上升，反之亦然。小組的組長單負了更重大的責任，若組長自己表現不好或監督不週的話，則是往下降兩格比其他組員懲罰多兩倍。最後到了每個禮拜的禮拜五開始結算成績，若有一組達到天堂的成績則可以決定自己作業的多寡，同時也可以決定成績最差組別的罰寫生字次數為何。所以，成績最高的那組不但能決定自己作業的多寡，同時也能掌控別組罰寫的次數。這遊戲使得各組產生了競爭與團結的關係，組員與組長之間共同擔負了成績好壞的責任，同時也產生了相互牽制的力量，使得各組擁有自己共同的目標來達成。

2.讓學生開始學習班級事務：

首先為班上的小朋友分為六大組，非常有趣的是在分組時，是由女同學選擇三位男同學為自己小組成員，女男平等意識由此可發現到。分組後，便是班上規則的建立說明，甯老師將班上分為六大組，各組有一位組長，而每位組長擔負了各小組的事務如：管秩序、收作業簿與清潔工作監督等。

3.注重學生的體能表現：

開學之初，老師並不急的開始上課，反而帶領著班上的同學到操場打躲避球。而在開始打躲避球之前，老師先行訓練同學排列路隊的動作姿勢(如稍息、立正、向左右前後轉與蹲下)與位置的熟悉感。後來經由老師的講解，我才了解到這些的訓練是為了要使小朋友有秩序感與建立同學們彼此的熟悉感，所以老師提醒了我在新的班級成立初期，並不要急於課程的進度，而是要先建立班上的秩序。

同時，老師十分注重學生的體能，所以要求在體育課下課前要全班做仰臥起坐而男生要特別做伏地挺身，老師認為體能的好壞對於頭腦思考的清晰度有很大的影響。

4.班級教室的佈置：

班上與其他班級不同的是擁有許多的漫畫、書籍、象棋與跳棋，在教室的一區設有閱讀區(如右圖所示)，讓學生在下課時間擁有許多不同選擇，讓學生彼此互動交流，同時老師也規定在一個學期結束前每位學生都必須要讀完一本九歌文化出版的書，這讓我深刻的體會到，老師的信念將會深深的影響所帶班級的風格走向。從班級經營的意義與目的可以了解整各班級經營的內容是教師、學生、與教學環境三者交互作用，而老師的教室規劃看的出來是別具用心。

李中莉老師受訪，林季伶訪談

老師有時會藉機舉辦一些應節的活動，例如之前聖誕節的時候會先教他們練唱聖誕歌，之後再與五年級其他班級一起舉行公開的表演活動。或是舉行班級內的競賽，例如：下棋大賽等，創造班級共同的目標，藉以凝聚向心力。或是利用學生最近熱衷的事物作為吸引學生的手段，告訴學生如果最近的表現良好，老師就舉辦活動，將全班的氣氛保持熱絡。

此外老師覺得學生除了學習課本上的知識之外，關於社會上發生也要注意，因此老師每天都會出一題時事題，培養學生觀察社會情況的能力。

許明峰老師受訪，鍾佳雯訪談

1.跟高年級的學生相處，就像是跟朋友相處一樣。不能像教導低年級的孩子一樣用權威式的教學。師生間可以開開玩笑，不過學生有越矩的行為時，還是要適時提醒與矯正。

2.時常叮嚀：找到班級中的中心人物,先給予適度的工作或期許,建立班級的共識,透過獎懲制度來維持共識。

李秀蓉老師受訪，曾建民訪談

分工合作法：李老師主要以分工合作為班級經營的概念，而這種分工合作可以由老師

來安排或是由學生自己在組內安排。包括課堂中的活動、掃除活動等各

方面，都盡量讓學生學習分工合作的精神和態度。

林盈弟老師受訪，林育秀訪談

1.採用小組榮譽制，整個小組課堂表現優良，老師會給小組一張累計卡，累計二十個印章，小組可以得到老師送的圖書禮卷。

2.老師每天會利用早自修時間讓學生互相討論或發言，學生可以發表讀書心得或針對前一天的新聞提出自己的意見或看法，鼓勵學生多表達自己的想法。

3.每一天都要在聯絡簿寫上靜思語和家長分享，並寫下自己的感想或日記和老師、家長分享。

朱允婷老師受訪，陳素蘭訪談

瑪陵國小是屬偏遠學校，學校本部總共六班，還有瑪東、瑪西分校一班。六年級這個班級才十五個人，人數不多，所以老師能關切到每個孩子的需要，跟他們建立良好關係。老師把每個孩子當成自己的朋友，他也希望學生們可以彼此相扶持，所以他們的班級向心力很強。這班的孩子屬山裏面的孩子，常能與昆蟲為伍，所以臉上就少了城市裏的市儈，而多了些純樸和可愛。

蔡明娟老師受訪，高嘉君訪談

多用團體競賽，讓學生養成團體榮譽感，同儕間的團體約制力量頗具教育意義。
老師對於課程安排及活動進行應該進行緊湊，千萬別讓孩子感覺無所事事。
沒空處理太多的吵架事件，勸學生把對方動手或動口的事蹟寫下來，老師會將其貼在對方聯絡簿上告知父母。
愛惹事生非的學生：
1. 對於愛表現卻不一定很聰明的孩子，可以和他約定讓他表現的時機和內容，常常也可以讓他在等待中，暫時靜下來和老師配合。
2. 對於高智商的好動孩子，除了給他加深的個別課程之外，也可以讓他當小老師，請他做一些服務性的工作，滿足他的成就慾望，就能使他遵守規矩。
3. 對於缺少規範性的孩子，應用行為改變技術，如給獎卡、扣獎卡、蓋笑臉和哭臉章、、、等策略，也可以收些暫時性效果，在輔以深入輔導，才能長期性的改變他。

5. 為每個孩子開生日會(適合高年級，強調個人，盡量在當天，壽星帶一份簡單的糖果請大家，其他孩子給壽星做一張卡片，當天也寫優點大轟炸，最好當場念出來。)

周勇老師受訪，林世健訪談

座位安排

本班分為六組，平時上課以組為單位，前三組是在教室前面，依我觀察前三組的

座位較小，高度也較低，相對的後三組座位比較大，高度也比較高，主要是比較矮個子坐在前面，這樣比較不會檔到後面同學的學習。

再者，老師也可以針對學生學習狀況及其特殊行為，機動性地調整學生座位，例如，甲學生學習狀況不佳時，可調其座位到老師附近或坐到成績較好同學旁邊，可輔助其學習。

二、適當剝奪下課時間

這是行為主義常用的方法之一，也就是剝奪學生所好，當上課時教室管理失控時，可以適當運用此方法。曾老師用過，效果還不錯，但要注意的是，要確實執行且不要剝奪整個下課時間。

三、上課時給予學生適當回答問題的時間

老師每次詢問學生問題，應該給予學生適當思考時間，有思考才回答，教學較有效果，而且老師對回答的問題有正向的回饋，學生也比較會有自信、上課也會比較專注。

王素卿老師受訪，王雅慧訪談

亦師亦友:老師與高年級學生相處時，有時可以以朋友的身分自居少用責罵，因為這個階段的孩子非常要面子，有時學生犯錯可以私底下訓誡，避免當眾斥責。
增加練習機會:高年級數學較為困難，老師每教完一個單元最好是可以提供練習卷讓學生增加練習的機會。
班級圖書館的設計:在高年級階段可盡量增加孩子的閱讀機會，藉以提升學生的閱讀能力，因此，可組成班級圖書館讓學生利用課餘時間閱讀課外讀物。
善用家長資源:老師於開學初期可對家長的專業背景做初步了解，進而組成班上的家長義工團體，並適時的安排家長到校為學生做不同知識的介紹或說故事之類的活動。
獎懲分明:高年級學生非常注重老師的公平性，因此學生若有犯錯必須立即與以糾正，千萬不可視而不見，對於表現優異的學生則可以公開予以表揚。
小組長教學制度:到了高年級學生的個別差異越為明顯，老師在教學時可採取異質分組的方式進行，並適時的讓程度較好的學生教導程度較差的學生，藉以提升學生程度。

黃玉貞老師受訪，陳芝仙訪談

認同感的培養：老師要學生認同，首先老師也要尊重學生。教師與學生互動亦要維持禮貌，不吝於說請、謝謝、對不起，平常與學生溝通時，將學生置於平等的地位，如學生站、老師站，學生坐、老師坐。
教師要有好記性：當要罵人時，總不好不知道學生的名字。黃老師個人的作法是帶新班級時一開始一個月不要換位置、並製作座位表，一定請學生作自我介紹，此時她必將學生的介紹作筆記並將學生姓名寫一遍，可以幫助記憶學生的名字與特性。此外，可將與學生互動情形以小卡片作簡要記錄，當你能夠叫出學生名字又能說出他上次…學生會很感動，因為覺得受到關心。要是上課突然忘記學生名字，男的就叫大帥哥、女的叫美少女準沒錯。
學生講話時的應對策略：上課難免有學生講話，若影響上課時，學生講話、老師就停止不講，學生吵得再嚴重些，老師則不講話且雙手抱胸，若真的太吵，老師則不講話並以雙手插腰。過些時候學生就能觀察出來老師的情緒與表達方式，學生會自動制止講話的同學。不過先決條件是老師要讓學生自己想要上課，這種方法才能收效。
課前充份準備，上課時賣力演出：授課的內容準備要充分，且需顧及教材的地位，讓學生回憶先前的舊經驗並思考及與生活的關聯，如此可以讓學生有參與感，減少對新課程的恐懼。此外，老師上課要生動，就要注意自己的儀態、表情與肢體動作，才能吸引學生的目光。最後上場時亦要隨時注意學生的反應，修正教學的方法或教學的順序，當學生深受老師吸引，自然無暇作怪囉！

顏秀芬老師受訪，歐維玲訪談

老師會盡量利用實物教學，讓小朋友有實際操作的機會。
上課的座位是小組的形式，老師會使用合作學習的方式，讓小朋友一起思考解決題目。
對於小朋友容易出錯的題目或算式，老師會盡量多出一些類似的題目讓小朋友做練習，讓他們精熟，不至於在做應用題的時候浪費太多時間。
對於功課稍微跟不上進度的小朋友，老師會請小老師幫忙。如果是嚴重落後的小朋友，老師就會利用午休時間，自己再做補救教學，因為小朋友說話比較直，對於功課較差的小朋友可能會造成傷害，讓他們更沒有信心。

郭慧萱老師受訪，陳可倩訪談

1.只要是學生可以做得到的事情，就盡量讓學生自己做，讓學生有機會可以多學習。

2.上課時，老師安排班長帶頭讀經或唸詩。讓學生可以緩和下課時的興奮情緒，較快進入專注的狀況，老師也不用一直喊破喉嚨提醒學生上課了。

3.有時候上課時會有學生「出言不遜」或是有不好的動作（如走動、打同學…），這時老師一定會制止學生並利用機會教導全班學生正確的觀念。

4.每個月都會開慶生會。每個月會利用一節至兩節的時間讓學生開慶生會，不但可以紓解平時上課的壓力，也讓學生增進彼此的情誼。

5.每天要做的事情、功課都能交代得明確。當天該做的事情就要當天做完，以不拖到第二天為原則，養成學生今日是今日畢的好習慣。

范素月老師受訪，顧淑芳訪談

民主與權威的老師，要拿捏得當。讓孩子信服，也讓孩子知道老師的底限。
共同討論制定班規，以維持良好的制序及學習環境。

郭慧萱老師受訪，羅瑞玲訪談

老師在上新的課程之前，都會在一開始時先出一個題目在黑板上，讓學生去思考如何解決問題，並請幾位同學，將其算法寫在黑板上，其餘的同學則可投票，贊成那一種算法，讓每一位同學在老師講解新的概念前，都能夠自己思考過一遍。到黑板上寫的同學有加分，而贊成對的同學，亦可加少許的分數。

周桂蘭老師受訪，羅竹平訪談

建立老師與學生之間的『默契口號』，吸引學生的注意力----如：老師說：大眼睛學生答：看老師、老師拍手3下，學生要拍7下（加起來要等於10）、或老師拍手，學生跟著老師的節奏做……等。
老師上課前會先進行『課前讀經』活動，讀詩、絕句……，上課鍾聲響，班長馬上數10.9.8.7.6…….1，開始讀。或是『生命教育』，老師會用說故事或短文的方式，說一些有關道德教育生活常規的故事，學生在聽故事中，潛移默化也接收了這些訊息，提問題，讓學生回答。
善用大量實體教具幫助教學，如上到有關實體物體的內容（圖形概念模糊）時可善用實體的教具，實物操作、口語化教學、具體操作來加深印象。

洪素珍老師受訪，張如芬訪談

成立班親會

尋求家長的協助，並選出主要事情聯絡的家長，一有重要事情透過家長相互間聯繫，事情會變得有效率。

(1)帶新班級時，一定先了解學生，藉由輔導紀錄、問前任導師做初步了解。

(2)填基本資料，寫一封信給家長（先知理念、配合事項、尋求有何需求及對孩子的期望…等）

(3)建立班規：先和學生把話說在前面，花一節課討論，一開始課不要上太多，多花時間在建立常規方面，讓學生養成習慣，常規不好，以後上課會很沒效率。但不罵學生，與其罵不如告訴他們該怎麼做，積極取代消極責罵。

3. 學生有吵情形時，先了解雙方情形，再問各有什麼錯？如果時光能倒流，你們會怎麼做？讓學生握手言和。

黃惠卿老師受訪，陳淑慧訪談(第四屆A班)

黃恵卿老師對數學教材比較困擾,因為現在五年級的課程過於簡單,例如五年級教到通分後,其實應該也要講解最大公因數和最小公倍數,但是後者卻變成是老師要額外補充,課本要等到六年級才說,學生學習意願低,老師只能多跟學生聊,安慰他們,在教學上就比較注意加強本應學會的概念和能力.所以會有較多的測驗卷,複習..

基本上老師覺得書讀不好沒關係,但是最基本的要會.

張櫻美老師受訪，陳加雯訪談(第四屆A班)

1.會和五年級其他班的老師做「交換教學」，例如504老師到506教學，506老師則到504教學，只是偶爾做這樣的變化，學生覺得很新鮮，老師對教學也會有不同的體認。

2.若班上在昨天發生了一些大事(愉快或不愉快)，今天老師都會利用聯絡簿讓學生抄寫一句「智慧小語」，內容與昨天發生的事相關，希望達到讓學生省思的效果。

3.班上有一本「教室日誌」讓學生可以寫一些對班上的話，或當天發生的事，可是禁止批評別人或做人身攻擊。

鄒榮宗老師受訪，劉秀娟訪談(第四屆A班)

☹課堂中學生注意力不集中，採用眼神接觸先幫學生恢復自制，若無效則採取肢體趨近，讓學生覺察，再者以言語直接提醒，喚起學生注意力。

【獎懲制度】

☺全班分組競賽，不論在功課、整潔、秩序等各方面，都有採取小組競賽積分的方式，藉團體動力與榮譽感建立班級良好的學習氣氛。

☺班上的獎懲制度每個科任老師都可沿用，提高獎懲制度的落實與建立。

☺當學生有良好的行為與表現時，給予獎勵卡、糖果等獎品，有時候給予自由的活動時間，如早上8.30分前的早自習時間，讓學生可自由活動。

☹當學生有不好的行為與表現時，如吵架、罵髒話，老師會個別處理，跟學生分析道理，處罰則是抄課文、剝奪下課時間、與家長聯繫溝通學生在校行為等。

☹學生回家功課未完成，則下課時間留下來補寫，並寫聯絡簿通知家長學生學習狀況。

陳玫君老師受訪，林暁妘訪談(第四屆A班)

以前為了配合社會教材，會將班級塑造成一個有薪水制度的小型國家，也就是班長是總統，副班長是副總統，還有體委會會長、財政部長等職位。其他小組則可以自行創立公司，例如有環保公司、課業輔導公司等，除了服務班上，也可以賺取薪水。陳老師認為高年級比較有自制力，因此，她會讓學生有多一點的空間和彈性。

在班級經營方面，其實老師覺得她沒有什麼拿手的絕活，常常與學生聊天的她，最希望學生體會到大人們對小孩是用心、關心的；此外，老師自己秉持著「活著、健康、快樂」這三項生活準則，她也希望學生們跟她一樣，即使畢業、離開她身邊了，都能夠一直抱持這三項準則去度過未來的每一天。

在學習方面，老師對學生也沒有太大的要求，不過，她常常告訴學生，學習是苦樂參半的，而且也不是侷限在課堂中，一般所認為的快樂，其實是滿足感，因此，她只希望學生在未來能夠有「好奇心、勇氣、行動力」，即使最後的結果未必成功，但努力的過程中也早已獲得某些豐碩的果實。

與老師談話的過程中，我發現老師是一位有著開放心胸的人，她會利用空閒的時間，去參與各種活動，例如展覽、演講、研習等。而且，她也常常與學生分享她所學、所玩樂的心得。老師告訴我，雖然她才教了幾年的書，不過她現在已經有一種未雨綢繆的心，那就是她覺得老師常常教書教久了，就習慣別人聽我們的聲音，眼光變得狹隘了，所以一定要不斷的學習，才不會變成只會發號師令的人。

蘇慧真老師受訪，賴姿穎訪談(第四屆A班)

＊常規：

班級採用分組制度，若是表現良好，老師會小組加分，若是有人表現不好，利用團體的壓力讓該學生可以改進。分組制度從五年級就開始使用，學生很能接受，所以一直沿用到六年級，也都還有效果。以往是由老師決定異質性的分組，升上六年級後，是採用抽籤的方式，學生比較喜愛抽籤，因為有可能會和自己的好朋友一組，而且也可以增加同學間的熟識度。

積分最低的組別，中午就去罰掃廁所，聽起來是懲罰，但實際上學生中午可以不用睡覺，而其他的學生又因為廁所中午掃過更乾淨，兩方都有好處，況且對於處罰的學生也不會太嚴厲，是一個不錯的方式。

平常多使用正面的語氣，教學生說：我要…..，不要說：我不要…..。

學生做錯事要求學生說出哪裡做錯後，且下次如何改進後才處罰，這樣學生才知道怎麼做會更好。

＊家庭作業：

原則上作業不出太多，最好是30分鐘~1小時內可以完成的。作業出越多，學生越亂寫，老師改得痛苦，學生也訂正得痛苦，惡性循環之下，學生並沒有很好的學習成效。

而且老師儘可能留一些課堂時間就讓學生寫作業，因為回家後剩一點作業，學生也會很樂意的剩下作業寫完。所以事先和學生溝通作業的規定，讓家長也了解自己的想法，讓學生和家長知道，作業是練習而不是負擔，如此家長會很贊同老師的做法。除此，寫的越好的得到甲上上的人，下次的作業就可以少寫一點，如此一來學生的自我要求變高，寫的非常工整，反而超過了原本會完成的時間。

遇到缺交作業的人，不准下課留下來寫完。如果再遇到下課偷跑沒有留下來的人，組長負責盯，組長可以不用一直在位子上，但是要確保該學生沒有偷跑，若再有偷跑發生，下回則是組長坐在該學生旁等到他寫完，組長才能離開。幾次以後，沒寫功課的人就會乖乖的自己留下來寫完。

＊接手新班級：

蘇老師認為接手一個新班級，一開始一定要嚴格，嚴格的定義是你的規則之下若有人違反，一定處罰，而且不管是什麼人都一樣的處罰方式，絕對要做到一視同仁、公平，所以老師的規定一定要清楚容易遵守，不要模稜兩可。常規建立起來後，老師才可以慢慢放鬆，如此一來反而會讓學生親近你。若是一開始太溫和，之後被學生吃定，老師勢必越來越兇才管得住學生，學生反而錯愕，會離你越來越遠。

楊淑惠老師受訪，游憶如訪談(第四屆A班)

１多鼓勵建立學生信心

　　大部分的學生對於數學都感到畏懼或是害怕，而且長期的學習程度不佳已經讓學生缺乏信心了，此時老師應該多多鼓勵學生，尤其是程度不佳的學生，即使進步緩慢，但是老師怡然給予更多的關懷與鼓舞，老師的態度能夠幫助學生對自己更有信心，所以老師可以以鼓勵代替責罰。

２上課活潑化

　　有趣的上課方式可以引起學生的學習興趣，也能夠增加師生之間的互動，讓學生更有興趣學習數學，當學生有興趣後，學習任何事情都將事半功倍，快樂的學生才有快樂的學習。

３利用實物教學

　　數學課中有許多課程內容可以和生活中的物品做結合的，例如長度、容積、圖形等等。實際的物品能夠加強學生的記憶以及理解能力，如果能夠讓學生實際自己的操練的話將更有幫助，例如老師曾經帶學生到操場量長度，讓他們對長度單位之間的關係更加明白。

４多練習

　　多多練習是幫助學生進步的方法之一，重要的是老師應該先將類似的題形先講解過讓學生明白，然後長期的讓學生作練習，例如每天在黑板上出幾題的題目讓學生當功課，訓練學生的計算能力等等。

江欣儒老師受訪，陳美蓮訪談(第四屆A班)

因為老師是帶高年級的，所以比較沒有用到帶班小技巧，但是他對於幹部的要求十分嚴格，在剛開學的時候，老師會讓每個學生都認領一個職務，讓他們對於自己該做的事負責，尤其是負責管理搬上秩序的幹部，老師會給他們很大的權力，所以當老師不在的時候，班上的秩序也會很好。

甯書瑞老師受訪，吳昀曇訪談(第四屆A班)

升降格：全班分成六組，升降格上的六行分別代表六個組別，每個組別用一塊動物磁鐵為記，表現良好的升格，表現不佳的降格，每個星期五結算成績。因為這個獎懲辦法採連座法，能有效利用學生之間的壓力讓學生們彼此監督、彼此約束，達到維持班級秩序的作用。
將學生分組，一組中包括學習成就高、中、低的學生，通常上課時會多多問學習低成就的學生，因為若答對問題可以升格，所以藉此讓同組發揮互助的精神，學懂的學生教還不懂的學生，使學生不致於排斥學習低成就的學生，而且老師教學也可較輕鬆。
老師在講授每個概念時，會先提出自己的解題方法或分析題目的技巧，然後會在解釋課本中所提出的解題方法，讓學生自己去選擇適合自己想法的做法，並不侷限學生只能有一種制式的統一想法和解題過程。
教師在學校應適時扮演各種角色，加強學生的生活教育，恩威並施，讓學生對老師既尊敬又信任，能自我約整並遵守團體常規。

葉潔陵老師受訪，何雅雯訪談(第四屆A班)

在每接到一個新的班級，學期一開始老師就會明確的立定規則，同時說明老師的原則，至於班級經營的方式會視帶到的學生的特色而作調整，所以沒有固定不變的班級經營方式。
會嚴格執行獎懲制度，盡量避免不公的情況發生。
在一打上課鐘之後，要如何讓學生安定下來，老師會要求學生上課鐘響就立即回座位，拿出上課要用的課本後，安靜的趴在作上一分鐘，然後才開始上課，此時班級幹部會主動上台前監督。
老師會特別要求學生要有禮貌，有外賓或是其他老師進到教室要問好，然後當外賓或老師要離開時要說再見。

陳淑貞老師受訪，李佳謙訪談(第四屆A班)

老師請秩序長在還沒有上課之前，上台將不守規矩的學生叫起來，並請這位不守規矩的學生繼續擔任管理秩序的任務。

已經是高年級了，有些學生會很有自己的想法，所以老師多是以講道理的方式。而對於六年級小朋友違規的行為，還是會有像減少下課時間、罰站等小小的懲罰，目的當然還是希望他們不要再做違規的事了。在請學生罰站時，老師很要求他們還是必須要聽課，而且會對他們說明罰站除了是讓他們反省之後，也希望他們學會尊重別人。

因為學生已經很有自己的想法了，常常會有學生因為不滿科任老師的教學方式就對老師不太禮貌的情況發生。淑貞老師會告訴學生，如果有這樣的狀況發生，除了科任老師的處罰之外，回到班上她還會在處罰一次，希望他們以此作為警惕。

何宜儀老師受訪，黃姿雁訪談(第四屆A班)

常規：

所有的常規都盡量在開學第一週內說明清楚，並在第一個月內養成習慣，所以老師在第一個月內必須時時提醒學生，讓學生熟悉常規。

確實執行：要讓學生聽話，老師自己本身就應該做到確實執行，對於說出口的話，就應該說到做到，如此學生才會心服，也才能得到學生的信任。

賞罰分明：雖說是高年級的學生，但是畢竟還是孩子，還是應該適時給予學生獎勵，但是獎勵不一定要事物質上的，若是能得學生的心，其實老師的口頭獎勵，就是給學生最好的鼓勵。反倒是物質上的獎勵比較難滿足高年級的學生。

在處罰方面，何老師是不體罰學生的，體罰痛過就沒了，不如讓學生多練習，可以增加字的正確度、工整度、運算的正確度及速度等，所以何老師班上的最重處罰就是寫「加強練習簿」，學生的回家就業變多、玩的時間變少，這對小朋友來說比被打還痛呢！

聯絡簿：學生在學校有特殊的狀況，老師都必須立刻通知家長，並記錄於家庭聯絡簿上。學生如果有缺失，例如：忘記帶課本，或是忘記帶應該帶的物品等，都記錄在家庭聯絡簿上，讓家長知道，幫助學生改正習慣。另外獎章制度，高年級的學生通常比較不在乎，也不會主動積極跟老師換獎卡，這樣獎章制度的成效較不好，所以將獎章蓋在聯絡簿上，由於家長可以看的見，所以學生參與的程度較積極，這樣的制度也才有意義。

心裡層次：高年級的小朋友卡在一個心裡的轉換點，依照不同地點的小朋友心裡層次上也有所不同，有的地區的孩子較天真，有的較成熟，也有可能每個高年級班上的風格都不同，所以老師應該用不同的方式來管理學生。

日記：

讓學生每天寫日記，除了可以訓練學生的語文能力，更可以幫助老師了解學生的生活狀況，並給予學生適時的幫助或指正。而老師每天寫的評語或話語也是學生很在乎的，所以老師必須注意言詞，更要用心的跟學生說說話喔！

三月底請宜儀老師幫忙時，老師還很謙虛的說要趕快回去做功課，不然到時候幫不到忙就糟糕了。其實宜儀老師除了告訴我有關數學方面的這些問題，還告訴我很多高年級小朋友的狀況和心理，也跟我分享了很多小朋友實際的例子，讓我收穫很多，非常謝謝熱心的宜儀老師給我這麼多幫助！

陳方旼老師受訪，陳麗玉訪談(第四屆A班)

將學生分組，組中以常態分配，有理解力強及弱的同學，當學生有不懂的地方，可以採取同組之間同儕教學，但教師仍需注重最後的確認動作，確定學生皆已學會。
指導學生習作訂正，並有明確的增強行為，對有確實作到之學生，給予實質的獎勵，ex：習作可以少寫幾題；未確實訂正者，給予適度的懲罰，ex：不準下課，不能上體育課。
數學作業量不必多，可選擇較具代表性，可以測驗出學生概念性的題目數題，針對學生的概念作釐清，熟練固然重要，但更應重視學生的理解力。
題目的練習應由簡入深，不要沒有計劃性的為了提升學生程度，艱深的題目不適合讓所有的學生學習。

免死金牌的善加運用，可以提升學生的學習興趣，當學生有優良表現時，給予免死金牌當護身，在其有粗心時可以抵用，減免處罰，學生會努力求好表現，以備不時之需，也是一項不錯的班級經營方式。

陳慧君老師受訪，林佩育訪談(第四屆A班)

老師會要求學生每天都要在連絡簿上寫小日記，每一個禮拜要寫一篇週記和閱讀心得報告，因為這樣能夠訓練學生的語文能力，也能藉此知道每一個學生的狀況，而閱讀心得能夠養成學生閱讀書籍的習慣。
老師覺得要常常表揚或讚美學生，而且高年級學生非常注重老師的公平性，因此學生若有犯錯必須立即與以糾正，千萬不可視而不見，對於表現優異的學生則可以公開予以表揚。像是每週會選出讀書小博士，被選出來的人就會獎勵可以少寫一次讀書心得。
到了高年級學生的程度差異非常大也越來越明顯，老師採取異質分組的方式進行，並有小老師制度，適時的讓程度較好的學生教導程度較差的學生，藉以提升學生程度。
老師認為學生已經都高年級了，應該要學習能夠自主，對自己負責，因此，老師都會讓班上同學共同去對班上的事務作決定，許多事情也由學生去負責處理、規劃，不再任何事都依賴老師，培養他們獨立自主的能力。

郭玉菁老師受訪，曾亭喻訪談(第四屆A班)

1.老師會像大朋友一樣，與學生有良好的互動，所以老師完全可以掌握他們的行為發展，像班上誰喜歡誰，誰對誰不滿，其實玉菁老師最清楚，因此，老師也算是個八卦集中地，凡是班上各種事物完全逃離不了他的眼光。

2.避免用權威式的方法管理高年級，因為這階段的學生自尊心很強，且有些叛逆，不適合用強壓式的手段來管理，不然學生可能表面上聽你的，私底下卻反抗的很嚴重，對師生彼此都不好。
3.老師會運用點小技巧取得學生的心，例如：本來預計就有校外教學，老師會說：『因為大家表現的太傑出了，老師決定帶全班出去玩。』
4.老師覺得帶心比帶人重要，所以在班上老師會花時間教學生一些價值判斷的東西，並說明理由，不會只是單純規定不能做某件事。
5.小組競賽的方式，只要前三名的小組可以競標某樣獎項。
6.口頭上的獎勵。

7.一律平等對待班上所有的學生。

李幸儀老師受訪，黃羿菁訪談(第四屆A班)

高年級比較不需要用代幣制之類等方式，告知明確的規範，講道理和原則。
懲處時的公平性要掌握，高年級了會計較公平性。
接到高年級新班級時，要先嚴格建立權威，學生會試探尺度。
對於功課不會的同學，私下請同學幫忙，不要公開請同學教，學生會認為丟臉。
每天都出數學作業，增加練習機會。

陳淑慧老師受訪，凌心儀訪談(第四屆A班)

以生活化的題目來作為教學時的選擇。
以學生感興趣作為概念說明的題目，引起學生的學習興趣，例如：以班上學生為主角，模擬一個情境讓學生從中思考重要的數學概念。
鼓勵學生「創造」自己的算法，若真的不行，請學生從「模仿」開始，再不行就先請學生「記憶」起來。
根據學生的能力來調整教學的內容與深淺度，讓學生與教師有成功的經驗，創造雙贏。

張素蘭老師受訪，鍾品正訪談(第四屆A班)

五年級的學生已經算是小大人了，所以我發現帶五年級的老師很多事情是與學生討論，甚至是交由小朋友決定，感覺上老師與學生在某種層面比較平等，也不用花費太多的時間與精力在處理瑣碎的事情幫助。

老師有時候也會有一些新奇的嘗試。例如小朋友上課常會不專心，在桌子下玩東西，所以老師就逆向操作，將桌椅轉個方向，小朋友上課時微微側坐，注意聽老師在黑板講解，等要書寫或是計算時，再轉回桌子去寫。

老師也會用遊戲的方式來吸引學生的注意，使教學順利，以數學課為例，一排抽點一位小朋友上台算題目，答對的小朋友可以出來擲骰子，點數可以累積到他們那一排的積分上，這種遊戲積分方式似乎沒有那麼生動有趣，反而偏重的是在數學解題，但是這一班學生玩的不亦樂乎，一直玩到下課，當然老師也從遊戲中去了解學生是否已經學會了這個主題。

老師有設計一份表格，當有小朋友沒有教作業時，小組長就會登記在上面，老師就可以看著那份表格去催收。老師規定沒有交作業的小朋友不能下課，需在教室將作業寫完補齊。而當老師發現小朋友上課比較不專心時，他會停下手邊的進度，花個一分鐘請小朋友將桌椅排好，也讓小朋友坐好，振奮一下精神，我覺得這是一個不錯的方式，花幾分鐘讓同學萎靡的精神可以振作一下，這樣的學習效果會比讓小朋友一直沒精打采上課來的好。

在班級上，我發現老師不會用很強勢的方式讓小朋友遵守規定，他比較常用的是懷柔的政策，跟小朋友討論，說道理給小朋友聽，讓小朋友自己去思考。今天因為有幾位小朋友到了學校才在寫回家功課，老師也沒大聲責罵，只是班上請他們自己舉手承認，並請他們下課時拿張白紙，說明為什麼回家功課要到學校寫，如果認為自己的做法是錯的，可以寫下未來再犯的處罰；但也可以說服老師，回家功課其實可以到學校才寫，如果理由夠充分，那老師會改變做法。老師也跟全班同學表示，有任何意見都可以寫在聯絡簿或是日記上，將自己的想法表達出來，把聯絡簿和日記當作與老師溝通的橋樑，老師會有所回應的。五年級學生已經可以自己去思考問題，他們對於週遭事物有很多意見，所以針對某些議題，老師可以丟出問題，用引導的方式去讓小朋友思考，從這個角度去想，事情是這樣，但是如果從另一個角度去思考，情況是否也會相同？老師扮演的是一個引導者的角色，由小朋友自己去思辨，我想這是一個讓小朋友練習思考與批判的方式。

郭玉菁老師受訪，吳照微訪談(第四屆A班)

1.玉菁老師說高年級的小朋友很喜歡問為什麼，凡事都要講求公平，所以對高年級的小朋友要儘量做到公平，但是有時是很難做到的，此時就要跟小朋友解釋，讓他們能理解你的做法。

2.還有在帶高年級時，要跟這些小大人建立像朋友的關係，得到他們的信任感。

3.在獎懲方面，玉菁老師是採用爬格子的方式，當小朋友表現好，就爬一格，到達一定格數，就可以得到獎勵。在增強物方面，要掌握學生喜好的東西，並不一定要很貴，可能是棒棒糖、不用睡午覺、加分、小本子……。如果小朋友表現不好，老師也會處罰他們掃地。

陳君虹老師受訪，蔡易儒訪談(第四屆B班)

陳老師是屬於較嚴肅威權的老師，所以班上學生都很怕老師，往往老師一個眼神會是提高音量說話時，學生就會乖乖的了。
老師再數學科的教學時，常常出例題讓學生練習，有時是改一下課本的範例，有時是老師自己針對學生容易混淆的概念設計題目，並且一題都會請至少4位學生到黑板上計算，有趣的是，被叫上的學生都部會偷看旁邊的答案，而且下面的同學也要動手算，不會告訴台上的同學，等學生算完後，藉由讓學生們診斷台上的同學所寫的，將學生常常出錯的細節，一一提出加深學生的印象，也藉由讓學生上台練習，讓老師知道學生是否有對所教的單元概念有正確的認知。
老師處罰學生的方式一律都是抄國語課本課文，並且規定不可以帶回家當作業，必須利用課餘時間和下課時間罰寫，避免被家長誤會成作業量太多，並且有剝奪學生的下課遊戲休息時間達到處罰的目的，抄課文還讓他們複習生詞提昇語文能力。
老師雖然嚴肅，但是老師在課堂上，常常將一些做人處世、新聞資訊等議題融入教學中和學生討論，並且老師都會用不同於傳統或是制式的方式回答，總可以將學生目前流行或是注意的東西、事件、想法代入，讓學生覺得老師的看法很不錯，較容易接受。

陳惠娟老師受訪，廖珮君訪談(第四屆B班)

老師利用獎勵制度

小組性質:老師在黑板上畫下小果樹，利用圓形小磁鐵當果子，整組表現好時可得分，表現不好會失分，小組成員和分組方式會時常更換，有時四組有時八組。
個人性質:學生有一張空白的小表格，表現好老師會塗一格代表得一分，學生可以利用得分換取禮物

五年級學生有時會說出不好聽的話，老師會讓學生跳健康操，一方面告訴學生不能說不好聽的話，另一方面知道自己的行為不對要接受懲罰。
老師認為學生應該要快樂成長，盡量讓學生運動快樂學習，所以當學生表現良好老師會讓學生打躲避球當鼓勵，學生為了能到戶外運動會盡量表現出最好的一面。

陶文杰老師受訪，林雅凰訪談(第四屆B班)

以下是陶老師於數學課時常使用的教學模式。

一、了解預備經驗：先了解學生在教學單元中的起點行為，程度如何；並喚起就經驗，與新的教學內容作結合。

二、教學情境的佈置：因應九年一貫呼籲要給學生帶得走的能力，盡量使教學與生活結合，也因此引起學生興趣，不再覺得數學遙遠而困難；例如機率就和樂透彩、抽籤一般，可以知道當中「中獎」的難易度，比和比值則如同班際躲避球比賽一般，前後項各代表不同的意義，改變則意義也不同…。

三、數學遊戲：利用小組或個人競賽，增加學習興趣；而當中「實際操作」也是很好的數學遊戲之一。

四、個別化學習：老師會依照課堂上的情形斟酌使用，當中分為三種。一為「重學的練習」，多為進入教學內容前使用，看看學生對於過去學習過的內容是否還記得，記得多少；二為「一般的練習」，於教學中進行，了解學生對於課堂所學吸收程度；三為「加深的練習」，於一單元結束後使用，因學生已接受較完整的內容，因此予以難度較高的練習，可作為延伸和提昇。

陶老師是台北縣數學種子老師的一員，因此數學科的教學自然不在話下，此次訪談老師也和我分享許多其手邊擁有的數學資源，受益良多之外也感謝老師的慷慨；陶老師以步驟化、系統化的教學，視學生情況與教學進度，適時的結合生活經驗和利用各種有趣的數學遊戲引起學生興趣，降低對數學懼怕，我想學生在這樣的帶領下，要討厭數學也難吧！

黃武德老師受訪，張思婷訪談(第四屆B班)

將其他的課堂教學與數學結合。

Ex：健康與體育課本中提及了運動項目的時間、速度觀念，老師會在健體課時告訴小朋友賽跑時間長短與所費秒數之間的關係為如何，並不是耗費時間長就是跑得快；若小朋友不懂得此概念，在體育課時，老師會實際帶領全班小朋友到操場去跑步，利用碼錶上所顯示的數字使其瞭解，並對時間的概念具有基本認知；最後在數學課時，針對「時間」或「速度」的單元做具體運算。

老師認為數學不只是要讓小朋友懂得如何運算，對於各單位或時間的英文表示方式也是同等重要，所以在數學課堂之外的時間，老師會請小朋友練習習寫各種單位或時間的英文。

Ex：公分cm、毫公升ml、一月January、二月February、十二月December

針對九九乘法的九倍數學習程度較低落的小朋友，老師有一個小小的學習訣竅，請他們運用雙手的運動，左手減一右手加一的方式，去背出九九乘法中的的九倍數。

李怡靜老師受訪，林家溱訪談(第四屆B班)

賞罰分明：老師並沒有一套班級公約之類的規範，而是當小朋友發生一些不當行為的時候，老師會立即做判斷並下達指令。對於表現好的小朋友，老師部重視物質上的鼓勵，反而是強調口頭或是肢體上的讚美，老師會當眾(全班小朋友的面)極力的讚美表現好的小朋友，講到讓小朋友都認為自己非常的棒，同時也是讓其他的小朋友向表現好的小朋友學習；相反的，若是有小朋友做出不當行為，老師也是針對該項行為做出嚴厲的處罰，並且會公告全班，讓其他的小朋友知道不行做這樣的行為。例如：有位小朋友常常不交作業，老師就請他當天的每節下課都要頭頂著課本，繞著教室走，並且要不斷的說：我會記得帶作業…。(老師一直給小朋友灌輸一個觀念：五年一班就像是一個家庭，所以在教室裡發生的處罰就讓它發生在自己的班上，小朋友不必到其他班級宣揚)。
處罰的方式讓小朋友永生難忘，而且會適時借題發揮：老師對於不當行為的處罰方式都很特別，主要是讓小朋友記住這樣的行為日後不要再犯，同時也在警告班上其他同學，而且老師對於自己下的決定會貫徹的執行。例如：有一次小朋友沒寫作業，卻說謊自己忘記帶，結果被老師和全班同學發現事實真相，老師針對這樣的行為(尤其是說謊)訓斥了那位小朋友，而且全班小朋友也一起訓，事後，處罰那位小朋友在當天放學之前要一一向班上的小朋友道歉，因為他的不當行為讓全班同學受責罵。
上下課分明：老師準時上課，也準時下課，聽到下課鐘響絕不會佔用小朋友的下課時間，老師和小朋友的地位平等，也尊重小朋友的下課自由。
代幣制度：分為小組與個人的榮譽，採用收集蓋章，到學期末的時候可以抽獎。
處理小朋友的糾紛：老師會先讓雙方有機會說話，再蒐集相關的證據(人證、物證)，然後慢慢還原事情的真相，有點像是法官辦案，然後老師再做定奪。
減重班：班上有幾個體材過胖的小朋友被老師指名下課要做運動，繞著五年級走廊跑步，還要做仰臥起坐，除了讓這些小朋友多一些運動的機會，同時也培養小朋友彼此之間的關懷和鼓勵。現在會有小朋友主動幫忙這些小朋友做仰臥起坐(壓腳)，或是在旁邊當啦啦隊，拉近小朋友的感情。

對於班上的過動兒老師多一分包容，但是當他的行為太過分，無法克制自己的時候，老師會用更強勢才能制服小朋友的行為；對於學習障礙的小朋友，也是多一些包含和鼓勵。老師會利用幾個特殊小朋友不在教室的時候對班上其他小朋友做心理建設，用比喻的方式(電路)讓小朋友了解這些小朋友的狀況，以及每個人都會有優缺點，這幾個小朋友也有(老師會有點誇大他們的優點部分)，鼓勵班上的小朋友在學業方面多幫助自己班的同學。

曹雅雯老師受訪，賴奕璇訪談(第四屆B班)

榮譽組長：每一組有一組長，組長在學期出受封成為組長，掛有榮譽星牌，成為榮譽的象徵。
在聯絡簿上鼓勵：學生有不錯的表現會在聯絡簿上跟其父母做表揚，學生雖然嘴上說不在乎但其實還是在乎。

3.表現好的組在最後一節可以下去打球：以組做競賽，表現良好的小組可以下去打球。

黃茂樹老師受訪，朱珮禎訪談(第四屆B班)

數學課程內容要有完整概念，或是各單元間應該要有連結，以免概念支離破碎。

張天錫老師受訪，楊季芳訪談(第四屆B班)

一、多用獎勵、鼓勵代替處罰，要賞罰分明。

二、多讓學生互相合作學習，少用彼此競爭的方式。

三、座位每月調換。

四、上課全班起立敬禮，非關尊敬，讓學生意識到已經上課，需收心注意上課。

五、學生吵鬧時，會停下來不說話、不笑，看學生效果，比一直喊有效。

六、訂定班規，重視誠實與必須交作業。

潘怡如老師受訪，蔡宜驊訪談(第四屆B班)

靜坐沉思
於每節上課前，老師請學生閉上眼睛，靜坐5分鐘，目的即讓學生浮躁的心靜下來，並將注意力喚回。
我是小老師
將程度較好的學生穿插安排於功課差的學生旁邊，一來，能於上課時，能協助功課差的學生學習，使其能盡快進入狀況；二來課後能協助其各方面的練習，如協助指導公克的完成……等等，三來也能藉此能凝聚班上的感情。
許可證
學生於作業、在校行為表現佳時，可記點數一點，集滿5點，即可兌換「許可證」，獲得許可證後，可換取他所想做或不想做的一件事，如午休不用睡覺、提早下課、將處罰抵掉……等等，學生會為了換取這張「許可證」，努力的表現良好。
服務小隊
老師將班上分組，每週都有一組擔任服務小隊，工作乃維護班上的整潔與負責午餐的一切相關事務(抬飯盒、打飯、事後的清潔工作……等等)，當服務小隊過於散漫而做不好時，老師則與班上學生討論後，宣布其服務期限延長一周，讓學生了解到認真負責的重要性，學生也會因須再做一星期而做了改善，努力做好自己奮內的工作。
老師強調，班上的學生已六年級，同小大人一般，因此過於嚴苛的班級經營對他們只會造成反效果，因此老師所扮演的角色即像朋友一般，該與學生同樂時同樂，該堅持原則、擺出威嚴時才出現老師應有的架式，除此之外，班上的學生並無特殊的學生與不良行為的發生，學生自治力都相當高，因此老師並不過費心思於常規的建立，只須「許可證」與「服務小隊」的執行，便能讓班上的表現維持在一穩定的進步狀態下。

林歧旺老師受訪，王仁甫訪談(第四屆B班)

五、六年級是個很關鍵的時期，現在國中生有很多叛逆的行為，事實上都可以追溯到國小時期，甚至很多老師或家長都會感嘆，為什麼小孩到了五、六年級就會變得很叛逆。受這個原因的影響，所以我在班級經營方面會特別注重學生的行為表現與品德。我常跟學生說：「我寧願各位當一個每天都能做好事的平凡人，但我不小要各位是個很聰明、很有成就但卻是在做壞事的人。」

因此，首先我會不斷的向學生宣導，讓學生了解我注重的是他們的行為。其次，高年級這個階段，學生都會有自己的想法，這是人生必經階段，我絕對能理解；因此在開學的第一堂課我就清楚的告訴學生，我會尊重他們發表意見的自由，甚至班上有任何活動我都可以不插手，但唯一的前提是你必須像個「大人」，好好處理這些事情。當學生有一個發表意見的空間，他們就不會再想一些有的沒有的。第三，當我給你自由的時候，你一定要好好珍惜，不要讓你的自由變成放縱。就算是大人的生活也要受很多規律的限制，並不是想做什麼就能做什麼，透過這樣重複性的溝通，讓學生了解什麼是對的，什麼是錯的。

李怡靜老師受訪，許維凌訪談(第四屆B班)

1.和學生建立默契，取得學生的信任，上課時與學生有良好的互動，提昇學生的學習效果，也讓班上凝聚班級的向心力。

2.個人榮譽榜的建立，除了有組別的團體榮譽榜外，也有個人的榮譽榜，培養學生的榮譽感，而每當學生在課堂中發言時也能為自己添加一分，藉此培養學生的課堂參與度。

3.因材施教，對於特別的學生給予不同於一般學生的的教學方法與內容，讓特殊的學生也能學習到知識技能。

黃怡嘉老師受訪，許靖宜訪談(第四屆B班)

老師強調因為高年級學生的程度與所需的知識，都較小學其他年段更深更廣，所以高年級老師，首先要充實專業知能，作ㄧ位讓學生佩服的的老師，教學專業不僅可以吸引學生上課的興趣，也會帶動班上讀書風氣，讓學生崇拜、進而模仿讀書習慣。
為了增進班上感情，老師會例行舉辦班上一個月兩次的下午茶時間，將茶具帶到教室，泡茶請學生喝，並聊天談心；另外還有每個月的壽星慶生時間，老師說這些活動一開始都是她自己策劃，久而久之學生會自己想新的idea和排演餘興節目，在慶生會時表現。

老師的帶班準則就是說到做到，對低年級的學生說話不守信用，容易傷他們的心；對高年級的學生說話不守信用，會引起學生的反叛與師生疏離，所以老師說話一定要言行合一，並且賞罰分明。

鄒榮宗老師受訪，鄭筱芸訪談(第四屆B班)

1.學生如上課不專心，鄒老師會先用眼神接觸學生，以引起學生的注意；若無效則鄒老師會走到該生旁邊，讓學生覺察；若再不聽，則以言語直接提醒，喚起學生的注意力。

2.在功課、整潔、秩序等方面，鄒老師採全班分組競賽的方式進行，並採取小組競賽累積積分的方式，藉由團體動力與榮譽感建立班級良好的學習氣氛。

3.當學生有不良的行為表現時，如吵架、罵髒話，老師會採個別處理的方式，跟學生分析道理，處罰方式則是不准下課、抄課文、與家長聯繫溝通學生在校行為。

4.當學生表現良好的行為時，給予獎勵卡、糖果等獎品，有時候給予自由的活動時間，如早上8.30分前的早自習時間，讓學生可自由活動。

5.學生若未完成回家功課，則下課時間或午休時間留下來補寫，並寫聯絡簿通知家長學生學習狀況。

劉艷雪老師受訪，李松燕訪談(第四屆B班)

老師是第一年帶九年一貫的班級，老師發覺，傳統的數學課程編排的較紮實，九年一貫版本很明顯較簡單，
老師幾乎每天都會依照數學課程的進度，給予學生數學作業，大約8題至10題，目的是想讓學生多做一些練習題，加強數學的能力。
在數學課時，偶而老師也會利用遊戲的方式來進行，但是大多是提出問題請學生來解決，EX：有沒有人會做這一題？

請將你的算法說出來或是寫在黑板上。

有人不了解這個過程，麻煩請解釋一下你的想法…

主要是利用同儕間的相互學習來進行教學，藉此可以增加答題者的信心，對於不會的同學，也會激發一些上進心，來學習數學。

大部分的時候老師沒有進行遊戲以及獎勵制度，因為礙於繁重的課程，所以沒有時間讓學生進行遊戲或是從事較花時間的獎勵制度，偶而還是會進行射飛鏢的獎勵方法，來鼓勵學生。

對於班上一些較落後的同學，老師認為可能是先前的基礎沒有奠定好，又或許是練習太少，所以老師常在回家作業中讓學生多練習數學，礙於學校人力的但是有補充教材的應用及協助，在目前還沒有學生銜接上的困難。不足，對於有些真的較跟不上進度的學生，也只能靠老師多費心教導了。

吳美蘭老師受訪，李松燕訪談(第四屆B班)

建構數學其實是在提供多元的想法：

老師在教學時，會讓小朋友提出不同的計算方式，並將其寫在黑板上，供每一位小朋友找出他最喜歡的計算方式，在許多題目中都需要小朋友寫出計算過程，再寫出正確答案，老師並不會要求固定的計算方式，只要小朋友的計算過程正確，最後答案也正確，老師就不會予以扣分。老師也會讓小朋友學習不同的計算方式，給予小朋友更多元的想法。

例如：

1 2 1 2

× 7 × 7

8 4 1 4

＋ 7 0

8 4

在乘與除的單元中，常出現類似下面的例子

小明有5顆糖果，媽媽的糖果是小明的11倍，媽媽有幾顆糖果。

正確的算法是 5 × 11 ＝55 ，老師會讓小朋友了解整個過程所代表的意思，及每個數字所代表的意思，但若是小朋友將式子寫成 11 × 5 ＝55 ，老師不會扣小朋友的分數，但是會在旁邊寫上正確、合理的式子，讓小朋友知道所代表的意思不同，對於對此問題有疑問的家長，老師也會予以解釋欲傳達的觀念給家長知道。

這學期，老師們採用的是牛頓版的數學課本，除了課文及習作之外，老師還會去找補充的教材或是額外出題目讓小朋友們練習。
對於課程上的教學，老師充分應用書商提供的教具來進行教學，讓小朋友從不斷的實作中獲得各種知識，也讓老師在教學上更方便。另外，由於教材的內容屬於漸進式的，每個單元都是由淺入深、由簡而繁，對於小朋友的學習上，沒有產生困擾。
班上還是會有不喜歡數學的孩子，老師認為這些孩子是因為算太多數學題，所以才產生排斥感，但是即使如此，小朋友遇到數學的習題或是作業時，還是會努力的將題目寫完，老師也會應用一些獎卡來鼓勵學生。
在上到分數的單元時，除了課文上的觀念之外，老師會提一些高年級才教的概念，像是

只是想讓小朋友稍微有概念，但是不增加小朋友學習上的負荷。

另外，在教分數的單位轉換時，類似的題目：一個披薩等分切成十塊…

老師會特別強調「個」→大單位、

「塊」→小單位，

在小朋友寫答時，會要小朋友再仔細思考一下單位的所代表意思，再作答。

若是班上有小朋友對老師說：「現在教的單元太簡單了…」，老師教會是全班的程度來決定，若是全班大部分小朋友都會了，老師會把剩下的時間拿去補其他小朋友們不足的部分，也會進行隨堂抽考，看看小朋友是因為不想學習而故意這麼說的，還是真的了解該單元了。
對於對數學方面不懂得小朋友，老師會利用下課的時間來進行加強，或是教班上的小老師教他，更會利用聯絡簿，請家長抽空加強學生需要加強的部分。

像是九九乘法，若是有小朋友不會背，老師會要求小朋友回家練習，隔天到學校要抽背，若是小朋友還是不會背，或是不了解其中意思，老師會特別舉例加以說明。

老師會看進度分派作業，有數學課才會有數學作業，這是為了避免小朋友因為過多的練習而對數學產生排斥感。

10、老師特別說明，派給小朋友的作業要有彈性的調整，像是本學期的社會課，有一單元是要小朋友去拜訪鄰居，但是有家長認為不必要與鄰居有太多接觸，或是挖掘太多鄰居的隱私，所以彈性的方法即是讓小朋友自己作答完之後，讓家長簽名，或是找親朋好友去拜訪，來當作替代方案。

11、在進行實作時，要先掌握班上的秩序，利用分組的方式來進行，座位也可以作適度的變換、調整，老師要掌控好所欲達到的目標，並且將指令清楚傳達給學生，即可順利進行實作的練習，另外，除了書商附贈的教具之外，學校的教具室，也是找尋教具的好地方唷！

許惠琳老師受訪，吳致寧訪談(第四屆B班)

1.對數學的想法:老師認為學數學要有天份，要有時機去沉澱，必須學好基本計算能力，理解能力可以慢慢發展，才不會等你理解了，但計算能力卻不好。所以每個人訂定不同標準分(比學期平均少5分)，那每個人都會覺得自己能達到目標。老師進而要求程度低的同學至少要達到標準分，鼓勵程度好的自我突破，去參加數學比賽。老師認為目前雖然班上數學程度有落差，不過只要往自己能力方面加強，應該會有效果的。

2.小老師制度:老師每一科都會安排幾位小老師，因為她發現同儕間的學習有時比老師教學還快，有些學生可能因為懼怕老師，即使不懂也不敢問。但有了小老師，問題可以問小老師，多問，自然就懂了。老師很驚訝的是他們很能互相理解對方的語言。

3.獎罰分明:老師會依標準分來訂獎罰規則，比標準分低一分打一下(因為標準分對個人而言應不難達到) ，比標準分高5分得到一個獎章。看起來好像很嚴格，不過一個獎章可以抵一下，當作〝危難〞時用。老師希望小朋友明白，獎罰分明，以督促他們更精進。

紀吉如老師受訪，劉曉迪訪談(第四屆B班)

老師有很明確的賞罰制度，只要學生表現好（如作業準時交並寫的好、上課態度佳等）或是代表班上或學校參加比賽可以蓋好寶寶章，集滿10個章便可換小禮物，同時獎卡也與學校的每月之星活動配合，水源國小每個月都會在每班選出上個月表現優異的學生，這個是每月之星活動。除了獎勵自然會有處罰，班上有13條班規，只要學生違反了哪一條，老師就會處罰他罰抄10遍那條班規，老師認為一切公平公開、賞罰分明會使班上學生知道哪些是該做的、哪些又不該做，訓練他們做正確的事。
全班分成五組，5人一組，在排位子時老師就有根據各個小朋友的程度、特色、個性來做常態編組，每組都有組長、國語、數學、自然、社會小老師，各司其職，對老師的教學省力許多。
老師班上有個很特別的「道德教育」，一個月一個主題，以這個月來說是責任，同學間如果有看到別人負責的態度或是行為，可以寫小卡片在公佈欄上鼓勵讚美他，老師希望藉由道德教育的功能，培養學生互相欣賞的態度，讓他們看到的都是彼此的優點，而不是每天在互相告狀，讓班上的整體氣氛一片祥和。

老師希望在競爭上力求公正；同時也有效運用口頭的讚美與關心，這對學生的學習效果有很顯著的功效。

張宏成老師受訪，楊子君訪談(第四屆B班)

1.老師會依照學生的程度來作分組(全班前3名與最後3名組成一組)，小組間會有競賽的活動，為了小組的榮譽，程度較好的學生會比較願意及有耐心教導程度較差的同學。

2.數學課時老師會請每一個小組自行設計題目，之後上台解題與講解給其他同學聽，老師認為此方法設計出的題目較能針對學生不清楚的地方加以釐清。

3.老師認為實體的運用較能加快學生的理解能力，因此鼓勵我再講解概念時能讓學生『看的到』與『感覺的到』。

郭素貞老師受訪，陳筱薇訪談(第四屆B班)

1. 常規表現實行分組競賽制度，獎懲制度採重賞重罰

學生常規表現實行分組競賽制度，每個月結算一次，第一名全組請吃披薩，最後ㄧ名那組罰ㄧ個禮拜不准下課當班級服務生，下課時待在教室隨時待命支援班上的事務，例如幫忙搬東西、打掃老師座位等。

2.上課遲到進入教室罰在走廊站著上課

遲到的學生會覺得站在走廊上課，會被來來往往的老師或是其他年級同學看到很丟臉，遲到進入教室的情況獲得改善。

3.缺交作業的早上跟老師ㄧ起到辦公室開會

缺交作業的早上跟老師ㄧ起到辦公室開會，老師開會時學生在辦公室後面寫字，學生會覺得在辦公室其他老師面前寫作業很丟臉而不敢不交作業。

4.老師要堅守自己對學生要求的原則，說到做到

當學生違反老師之前與學生所達成的約定時，老師ㄧ定要當場做明快的處理，不能拖延，只要稍有拖延容易讓犯錯學生的行為，成為班上其他學生的不良示範，造成更多問題。

林其楓老師受訪，林秀芬訪談(第四屆B班)

一般教師都會使用獎勵制度，不過，獎勵制度對於中低年級的效果較好，對於高年級的，特別是六年級，就老師的觀察，有些學生會不重視獎勵制度，教師也就無法利用獎勵制度來提升學生學習動機或是利用獎勵制度給予正增強，這次帶的班級是六年級，也有施行獎勵制度，表現好的就蓋優，表現不理想就把優劃掉，不過，由於上述提到高年級學生較不重視獎勵制度，所以在施行獎勵制度的過程中，比較特別的是加入下午茶和拍賣會來強化學生對於獎勵制度的重視並積極爭取。

　　下午茶就是利用午休時間，由教師提供紅茶或咖啡以及餅乾等點心，參與下午茶的學生，就必須拿獎勵制度中所蓋的優(數個不等，行情由老師決定)來換，喝下午茶的學生與午休睡覺的學生形成對比，所以大部分同學都會珍惜獎勵制度的優，來換取喝下午茶的機會，而學生也能透過喝下午茶學習自己鋪桌巾、洗餐具、泡紅茶或咖啡，最後整理收拾等，都由學生自己處理，培養學生獨立的能力。

　　一般老師的獎勵制度到最後都會給予換取某些東西，而老師則是保留那些東西，於學期末舉行拍賣會，當成獎勵制度最後的結算活動，學生們收集了一個學習的優，每個人都有相當的數量，就用這些優來都籌碼，互相喊價，成交後便把優劃掉，學生對此活動感興趣，覺得刺激好玩，也與傳統的用點數換獎品的方式大大不同，有過一次經驗後的學生，下學期會更加的重視自己的優，努力爭取，這班的學生就是如此，而且學生也能從過程中學習到拍賣會的流程與經驗。

　　教學是「教」與「學」的雙向歷程，透過師生互動，教師將知識、態度、技巧及價值觀傳授給學習者，透過有效率的學習，如此才是完整的教學。

　　影響教學活動的成敗與否因素中「班級經營」佔重要之地位，有良好的「班級經營」才能有高品質的教學活動，所以在班上老師還蠻在乎與班級之間的互動。

郭玉菁老師受訪，林嘉琪訪談(第四屆B班)

獎勵制度

玉菁老師表示「無論學生是幾年級，他們對於獎章、加分……等增強物依然非常在意。」所以，玉菁老師的班上也有「分組、蓋獎章、加分」，不過，老師說高年級的時候可以變一些不一樣的把戲，讓學生有新鮮感。例如「期末競標物品」：配合著班上的個人獎懲制度，期末累積最多獎章的學生可以優先參與競標活動，而且獎章多的學生可以有較多次的競標機會。

師生就像朋友一樣

玉菁老師表示「高年級的學生很需要有個人傾聽心聲，所以高年段的老師應該和學生經營出一種像朋友的關係，能和學生聊得開（玉菁老師笑稱自己是個八卦集中站）」透過這種像朋友的關係來了解學生的狀況，進而輔導學生，建立老師在學生心中的權威地位（非命令式的權威）。

公平原則

玉菁老師強調對每一位學生必須公平，而且處罰學生必須說明原因，解釋清楚，這樣學生才不會覺得不合理而討厭老師。

唐雅蘭老師受訪，黃珮伶訪談(第四屆B班)

和小朋友溝通：假若學生有行為偏差，老師就會和他談談，試著找出造成他偏差的原因，以同理心的立場，讓小朋友了解，他的行為可能妨礙到別人，或影響自己。而大部份小朋友，也都能適度的回到正軌。
對於小朋友要收放自如，平常可能要求嚴格一點，偶爾放一些福利，小朋友就會很高興。所以嚴格下，要有彈性。

給小朋友自尊心：假若學生犯錯，最好是私底下和他溝通，留下自尊心，相對的他也會尊重老師。

林志宜老師受訪，江依璇訪談(第四屆B班)

林老師不是導師，是教學組長兼任高年級的數學科任老師，雖然沒有班級經營，但是他對數學的教學卻有一定的方法。因為興仁國小的家長教育程度都比較低，相對上來說，就會影響學生的學習意願。林老師爲了提升對於數學上的意願，除了利用獎勵的方式外，還在早修或午休時間，對於班上數學程度較差的學生進行補救的教學。

余文芳老師受訪，蔡明君訪談(第四屆B班)

1.學生上課離開座位，數123，1表示閉嘴、2表示看老師、3表示坐好。

2.學生若是課本或其他用具沒帶，必須主動先跟老師說，接著以罰站做處罰。

3.學生若有違規的事項，如遲到等，有負責人負責在黑板上登記，必須被罰寫，嚴重者罰抄課文，較輕微者罰寫生詞。

4.後面佈告欄張貼學生美勞、作文等優秀作品，一方面獎勵表現好的同學，一方面可以給其他同學做參考範例。

郭玉菁老師受訪，王凱儀訪談(第四屆B班)

老師認為帶領高年級的學生，與低年級學生最大的差別在於，對低年級的學生不必解釋為什麼我們要這樣做，但是高年級的學生就不同了，不但要清楚「解釋」為什麼我們這樣做，更要做到「公平」對待每個孩子這一點！與孩子的關係更需要培養「信任」感，讓孩子信任我們，不然孩子很容易會撒謊，或是欺騙我們，特別當我們在進行一些不同的個別處理的時候，孩子對我們的信任更是十分重要。

此外，在進行班級的獎懲制度上，老師特別指出畢竟我們的「財力」有限，所以獎品一定要是針對學生的「喜好」給獎勵（不一定是要貴的東西），孩子喜歡獎品才會有意義，有時候老師還會以「可以不用睡午覺」當獎品喔！（孩子不喜歡睡午覺）孩子既喜歡又不用花錢呢！

高菁霞老師受訪，曹雅芬訪談(第四屆B班)

高老師如何經營一個有趣的數學學習環境？

動手作實驗：

數學課不是單純的「聽」、「寫」課，數學課也可以很有趣的！

老師喜歡自己做教具希望學生在學數學時候是手腦並用。所以「實物操作」很重要，不只是自然課要做實驗，數學課更應該動手作實驗。

觀念的澄清：

老師喜歡學生問問題，藉由問問題老師可以清楚知道每一位學生的程度在哪裡？學生的觀念清楚嗎？學生的迷思何在？掌握這些狀況，老師的教學會更有意義。

所以老師在教導一個新觀念的時候，老師會先引起學生的疑問，再給予觀念的澄清。

更重要的是，不只是老師可以做觀念澄清，老師更常利用學生之間作觀念的澄清，讓學生互相學習。

給予信心

學生的學習是需要被鼓勵的，高老師說要不斷灌輸學生一個觀念：「其實數學是很簡單的。」在面對學生數學上的錯誤，可以給予善意的謊言：「這各地方是粗心計算錯誤喔再加強一下觀念就好……」等等，多給予學生鼓勵的話增加學生的信心學生再無形中也覺得數學其實也可以很好玩的喔！

洪文欽老師受訪，呂其翰訪談(第四屆B班)

1. 「讓學生快快樂樂的想來學校學習，老師能將學生平平安安的送回到家」。

2. 每個孩子有不同特質，所以選幹部時盡量讓學生「負責適合學生特質的職務」。

3. 當學生的朋友：直率的洪老師很年輕又充滿著活力，他與學生之間的相處也是像朋友一般的坦率，除此之外，老師也非常了解，對於學生而言哪些是誘惑，哪些是害怕討厭的事情，因此老師這樣恩威並濟的方式，不但有效果，且也和學生保持良好的關係。

4.和學生建立默契，讓班上凝聚班級的向心力。

5.有時候獎品對高年級的學生而言，沒有中低年級的學生來的有吸引力，因此當學生累積一定的獎卡數的時候，可以讓學生換取「特權」，例如「少處罰一次」。

6.對於學生考試比較不懂的地方，利用空白的數學簿做練習可加強學習效果。

7.利用活潑的教具可引起學生的學習興趣。

8.善用分組教學：因全班學生程度不一，有的學生學習進速較快、有的較慢。而當老師在教一概念時，可將全班學生分為高、中、低三個階段。當程度好的學生學會了之後，可以請他當小老師去教還不會的同學(但是限於中等程度的學生)或者是去寫老師另外出的較難的題目，而老師就有空去照顧那剩下10﹪較不容易學會的學生，做個別輔導了。

高婉玲老師受訪，曾文慧訪談(第四屆B班)

高老師不贊成使用體罰的制度，但是當學生有犯錯的時候，一定要立即糾正，並

且讓他知道他錯在哪裡，讓學生有機會去改過；對於帶高年級的學生，老師認為

最重要的一點，就是要『帶心』，因為五、六年級的孩子已經可以講道理了，帶

他們就像是交朋友一樣，把他們當作自己的朋友，跟他們交心，當他們信任你時

自然就會服你，整個班級掌控起來也比較容易了！

杜守正老師受訪，李瑞俞訪談(第四屆B班)

師生間甜蜜的對話。

每2個禮拜，就有一堂課是泡茶時間，而在這堂課中，小朋友以最輕鬆、最自在的的心情來上這堂課，不用有什麼特別的拘束，在這堂課中，就把老師當作你的朋友，你有什麼話想對老師說或老師有什麼話想對小朋友說的，都可利用這個時間把它講出來，等於是老師於學生之間的一個感性、知心對話時間，藉此拉近師生之間的距離，也因此建立了師生間濃厚的感情！(我訪問杜老師時，看到他們班上真的有放中國的泡茶用具唷)

(2)誠懇的話

在杜老師他們班的教室裡牆壁上貼了很多的小紙條，老師說這叫誠懇的話，就是你把你想對誰說的話都寫在小紙條上，包括對老師的也可以，且隨時都可把它貼上去。而我覺得非常的有趣，例如他們還有寫「張小美，你成績進步了，但不要隨便尖叫」、「李大華，講話不要這麼大聲」、「陳小英，你便漂亮了」等等的話，我覺得他們班的小朋友對這個誠懇的話非常有興趣，也或許寫的很直接，但這才是所謂的誠懇的話，再加上老師事先的說明做的好，我覺得小朋友也都能虛心接受，且也很感興趣，藉由這個流言板，拉近了全班間的關係。

(3)說好話說壞話

由於網路流傳著假如你常對一滴水說好話，而對另一滴說壞話，長時間的累積下來後，再把這兩滴水拿去實驗室看水的結晶，我們會發現對它說好話的那滴水，其結晶會非常漂亮，說壞話的那滴水，其結晶會比較差，而後來有人真的做這個實驗，事實證明此流言是真的。因此杜老師就仿效此實驗，將自然課上完後的教材直接拿來與小朋友一同做實驗，每個小朋友都發予2個小瓶子，各裝有棉花和飯粒，小朋友們分別對這2個小瓶子說好話及壞話，再觀察這黴菌的生長狀況。讓他們去體會說好壞及壞話的差別，間接應用於做人處世上，讓他們了解若是常說別人的壞話及結果是如何？說好話結果又是如此呢？

(4)客觀且多元的評量

學期末老師在算成績的這段時間小朋友會比較無聊，老師就叫他們每個人都寫一段話給全班的每個小朋友，寫好後再交給那個小朋友，也就是說每個小朋友都會拿到全班同學對你這個人的看法，然後自己再把這些紙貼在冊子上，自己做成一本書，最後再貼上成績單，而成績單上當然也會附上老師對你的評語，也就是說學期末時我們帶回家給父母看的，不只是一張成績單，而是一本書，書子中包含了老師對你的看法，還有全班同學對你這個人的看法，且並不侷限在學業方面，還包括了一些德育、群育及體育等等各方面，是一個比較客觀且多元評量。

(5)杜老師對班級的用心。

杜老師把它歷年在水源國小教過的班級，都做了一首班歌，包括水源國小的校歌也是杜老師做的，歌的詞是由他自己或與全班同學一起合寫的，歌的曲有些是他自己做的，有些是與陳明章先生合做的，再自己彈吉他錄製而成，且每首歌的歌詞都有他們背後隱藏的涵義，當然它現在教的這個班也不例外，也有著一首代表這個班的歌，另外杜老師再自費將它燒成1000片CD，每人發一片。除此之外，他也自己設計卡片(例如:卡片上有著象徵水源國小的圖案)，自己列印卡片，再發給全班同學，由此可見杜老師對學生們的用心ㄚ！(我們去訪問時，杜老師也送了我一張CD，和2張不同設計的卡片唷，我覺得真的很特別！)

(6)心靈地圖。

教室佈置是一個全班同學到學校的路線，師生們叫它心靈地圖。我覺得非常的特別，有別於一般的教室佈置，他把所有學校附近的地圖都畫了出來，且會標上這是誰的家，只要是這個班的小朋友，地圖上一定有你的家，它代表著你就是這個班的人，讓小朋友對班級產生一種認同感，且可以看出誰家離學校比較遠，誰家離學校比較近，另外像觀音山、五虎崗等地圖上也會呈現

陳美華老師受訪，蕭秋婷訪談(第四屆B班)

陳老師非常重視親師的溝通，因為藉由不斷的與家長聯繫互動可以讓家長更了解自己的小孩，並藉此來輔導學生的學習。
加強學生的自我反省能力，並能夠明辨是非，與同儕能夠融洽相處。
平時陳老師會主動關心學生的學習狀況，並尊重學生的選擇，讓學生可以發揮潛能。

每天讓學生寫一篇心情小語，以訓練學生的觀察力、見解力等。

盧慧凌老師受訪，林百慶訪談(第四屆B班)

上課鐘一響完，老師會要求學生在上課前需靜坐閉眼2-3分鐘，以培養準備上課的心情，等待老師來上課。
個人衛生習慣：放學前10分鐘，老師會請每組的組長檢查組員的桌子及周圍環境是否有垃圾；另外老師會固定某一天晨檢，檢查學生有否帶帽子、手帕（擦汗用，環保問題，減少面紙或衛生紙的使用量）、衛生紙及手指甲的乾淨與否。
老師處罰的方式：抄課文或清掃教室、刷地。

耐心－針對某些不配合的家長，對於其學生盡量去導正作業；重視公平，全班才能服氣。

韓永莉老師受訪，呂理謙訪談(第四屆B班)

1..避免用權威式的方法管理高年級，因為這階段的學生自尊心很強，且有些叛逆，不適合用強壓式的手段來管理，不然學生可能表面上聽你的，私底下卻反抗的很嚴重，對師生彼此都不好。

2.老師會運用點小技巧取得學生的心，例如：本來預計就有校外教學，老師會說：『因為大家表現的太傑出了，老師決定帶全班出去玩。』

3.還有在帶高年級時，要跟這些小大人建立像朋友的關係，得到他們的信任感。

在獎懲方面，老師是採用爬格子的方式，當小朋友表現好，就爬一格，到達一定格數，就可以得到獎勵。在增強物方面，要掌握學生喜好的東西，並不一定要很貴

4.老師覺得帶心比帶人重要，所以在班上老師會花時間教學生一些價值判斷的東西，並說明理由，不會只是單純規定不能做某件事。

5.小組競賽的方式，只要是前幾名的小組就可以得到獎項。

江慧玲老師受訪，黃惠鈴訪談(第四屆B班)

注重師生溝通：老師覺得凡有關於這個班級的事，只要可以與孩子共同討論的，就應

該利用機會和孩子談，因為大人常常會習慣用〝大人〞的眼光來看待孩子所做的事，對他們的要求也都是〝大人〞的標準，所以儘管小朋友遵守了老師要求他們做到的事，如：班級公約、常規，但心中有時還是會對老師的要求感到懷疑。因此，當提出要求需要孩子配合時，老師就會和班上同學一起討論，不但可以培養班級團隊精神，讓大家全力以赴，更可以讓孩子對於自己所決定的事養成責任感。

增進親師合作：老師並沒有害怕家長找麻煩的心態，她和班上孩子的家長建立聯絡網，

並定期聯誼，探討孩子們的學習狀況，並會商請支援班級、校園各項活動。

加強生活教育：培養孩子有禮貌；會主動問安；常說：請、對不起、謝謝。老師認為

生活教育遠比課業成績的要求來的重要。因為一個成績再好的人，如果不懂得與人相處，沒有禮貌，那他的日常生活便可能處處碰壁，學業成績也幫不了他，生活最基本的需求也滿足不了。

從遊戲中教學：班上的小朋友因為很多都有在安親班或者補習班另外上課，所以剛開

始的時候對於課本的內容會感到太簡單，再不然就習慣用安親班教的口訣或公式來計算，然後在上數學課的時候就容易不注意聽課。所以，老師在進行每一個主題之初都會設計相關的遊戲活動引起小朋友的學習興趣，或讓小朋友透過實作的方式建立概念。

5.利用獎勵制度：建立班級獎懲制度，以漸進方式引導孩子進步，鼓勵孩童自動自發，勇

於表現自我，進而發揮個人特色，增進其自信，對於課業的學習更能事半功倍。

蔡宜真老師受訪，蔡佩蓁訪談(第四屆B班)

1、雖然高年級已經較具有抽象概念，但是遇到較難懂得概念時，老師還是會舉例會用實體來解釋。

3、班上有分組扣分加分的制度。

4 每隔一段時間，表現最好的組可以得到小禮物。

盧燕萍老師受訪，黃秋萍訪談(第五屆A班)

◎數學教學的經驗分享：

老師教數學有自己一套方法，五下先把五、六年級的課都上完，然後六年級開始複習工作。數學課訂正課本習題，請小朋友上台寫計算過程，然後一起討論，每檢討完一題老師就會問對的舉手，然後老師會問沒舉手的小朋友，哪裡出錯了，然後要求他們馬上訂正。

◎小老師制度：

當A小朋友答錯不會，老師就問全班有沒有誰可以幫A，此時有幾個小朋友自願舉手，老師就請B當A的小老師，如果A進步十分，B就加10分。老師希望以其他同學的力量來協助不會的學生，同學之間能互相幫忙照顧。

◎生活經驗引起動機：

舉生活實例來講解，提高學生學習興趣。

王蘭亨老師受訪，張嘉群訪談(第五屆A班)

1.迎合學生且富變化的獎勵：

老師認為，規範高年級的行為以口頭規勸即可，但是獎勵制度也是相當重要的輔助。不過，由於對象是高年級，叛逆、批判的思維與性格漸漸顯露，所以給予的獎賞若是讓學生覺得幼稚、無趣，或令其感到一成不變，了無新意的話，如此的獎勵制度一次兩次後，便無法對學生產生效果。因此，老師認為獎勵的項目要投學生所好以及多樣化，例如：個人方面，不用睡午覺，而且老師還提供下午茶給其享用、少寫作業等等；全班方面，若都表現優異，則可去戶外教學，且地點由學生挑選。諸如此類的推成出新或久久一次重複。

2.公平公正的仲裁：

老師表示，該階段的孩子對於任何事物都相當要求公正、公正，而且一旦感覺到不合理也會馬上提出意見，給予反駁。所以，面對班級任何事物，老師都要盡可能地作公平的裁決。若有學生表示意見時，則要與學生理性的相互溝通，讓學生了解老師的做法、決定是有顧及公平性。

3.生活化的教學：

這點是老師相當強調的，因為這樣才能讓學生做到真正的學習，能學以致用，養成帶著走的能力。此外，生活化的教學，也能提升學生學習的興趣，不會使學生感覺學習是乏味、無趣的。

4.相互溝通，以心帶心：

由於這學齡的學生，各個都相當具有自己的想法，充滿主見，可算是個小大人。所以老師認為必須多主動與學生做對話性的溝通，以自己的心來帶學生的心，如此除了能讓學生感覺到老師的關心與為學生付出的用心，減少學生對老師有表裡不一的行為表現外，彼此也能更了解與信任，使學生許多事情都願意與老師分享，讓老師能感受學生的快樂，或在第一時間發現學生的困難，並給予協助。

盧燕萍老師受訪，邱耀加訪談(第五屆A班)

言語上的刺激：

盧老師會以開玩笑方式的言語刺激來砥礪學生，而且有不錯得效果。（但仍要考慮每個學生的接受程度與個性…等）

不告知處罰的處罰方式：

雖然有定常規且說明違反時需處罰，但卻不把處罰項目說明，以避免學生因習慣或知道而對處罰不畏懼因而不在乎。

以生活經驗引起學習動機：

常以學生所感興趣的『錢、吃…等』，作為引起動機與認同的方法，進而讓學生願意學習。

充實自我常識與知識：

時時刻刻充實自己的知識，以解答學生的多樣問題，保有老師的權威性。

彭雅絹老師受訪，王姿懿訪談(第五屆A班)

用遊戲的方式取代大聲吼叫來管理班級秩序：

舉牌子（安靜，坐好，專心）：

舉安靜的牌子→ 學生就會坐好，此方法適用於和學生有默契時使用。

童軍的方法：

老師說：誰在講話→學生指向講話者：閉上你的大嘴巴。

打地鼠：學生精神不好時，玩打地鼠的遊戲，可由老師當打者，或指派學生。

訂正考卷時的觀察：

發考卷時，老師讓全班歡呼，班上的歡呼簡短有力，學生不會趁機吵鬧。
訂正考卷時，要學生自己找答案，這樣可以再複習一次，自己找到的答案印象也會比較深。
鼓勵學生要嘗試寫出答案，「不要怕犯錯、不寫扣更多分！」
訂正中，有一度秩序比較吵，老師只簡單說一句：「你可以講話沒關係，不過要多訂正10遍」班上就安靜下來了。在老師忙得時候，會請一位學生幫忙看秩序，被抓到講話的，就會讓全組被扣分。

黃來興老師受訪，陳俞君訪談(第五屆A班)

在黃老師的班級，上課是可以飲食的，老師覺得，與其把東西放在抽屜讓孩子一直偷看，想吃，不如讓他們邊上課邊吃。
常常舉辦數學比賽，例如：默數二十秒、用手量秤1公斤、用腳步估出15公尺等…，讓孩子在實作中學數學。
採用小排長制，該排同學的作業繳交、訂正，全由小排長負責監督，利用同儕提醒孩子要交作業、並指導算數不正確的孩子訂正。
黃老師有一個非常棒的爬格樂，是蜘蛛人爬牆的主題，背景是高樓，表現好的該排，就可以往上爬。

洪文欽老師受訪，劉昭堂訪談(第五屆A班)

班級常規的建立：洪文欽老師的班級經營真的是相當有一套，很有自己的特色，如班上同學不守秩序，第一歩的懲罰是先登記，這部分等學生累積一定的數量，就必須留下來課輔，而且課輔的時間是與登記的次數成正比，越多就留越晚，聽老師的講，最高的紀錄是，老師把他帶回家過夜，隔天在來學校；第二部分是針對行為教失當的學生，老師的懲罰真的是相當特別，為了不要讓這些學生在出現不適當的行為，老師就將牠們的行為限制住，讓她們每個人都拿著一個保齡球瓶，要將牠們當作自己的小孩，時時刻刻不能離手，就連怎樣抱的姿勢都很講究，老師這樣的方式真的讓我大開眼界
課輔的制度：老師針對課業較有問題的學生，在放學過後，都會讓她們留在教室複習她們我不會的功課，以加深她們的印象
適當的“發火”：老師相當注重班級學生的行為，若有學生在教室外，行為不規矩，被告狀到老師這邊，老師會針對事情的嚴重程度，做不同的教育，我見習中看過最誇張的一次是因為學生在拔河比賽，因為吵鬧不守規矩，也不替自己班上加油，回教室後，整整訓了一節課，還身體力行做了示範（加油的聲音，因為在比賽的時候都聽不到班上的聲音，老師還當場示範，還跑到下一層樓往上喊，真的讓我佩服！！）

盧燕萍老師受訪，張馨月訪談(第五屆A班)

在教數學時，老師會先教相似度高，或把有銜接關係的單元一起教。
平常測驗老師會分為兩種，一種試題是事先公佈題目，最主要是要讓學生事先先練習，有不會也有時間再請教老師，增加學生學數學的信心；另一種，就是一般的測驗，題目不事先公佈，用來了解學生會了哪些、哪些概念還不清楚的測驗。
以生活中的實際例子來解釋數學概念。例如：數錢活動、買賣東西和調飲料等。
提供多種算法，讓學生自由選擇。
對於聰明確懶惰學習的學生適當的『刺激』他們，同時也鼓勵他們。

余文芳老師受訪，翁淑惠訪談(第五屆A班)

不一定依照教科書的順序教：現在教科書版本種類繁多，在教學時不一定會按照著單元順序教，是學生的學習情況而更改順序。
視學生的課業多寡而定，增加數學練習題：每天多練習幾題，對數學的能力會有一定的幫助。
兩兩分組，互相當對方的小老師：在學習的過程中，替學生找個伴，找個人監督、協助，對學生學習而言，是會有很大的幫助。

紀麗鳳老師受訪，林文瑛訪談(第五屆A班)

1.使用活潑的教具來引起學生的學習興趣。

2.學生親自去做實體操作，動手操作體驗以彌補教具的不足。

3.利用空白的數學簿做練習可加強學習效果，用在容易出錯的概念。

4.使用玩遊戲的方式學習，雖然是六年級學生但遊戲仍然對學生有很大的吸引力。

5.在教學的時候讓學生將自己的想法，或是作法寫在小白板上，讓學生上台發表自己的想法，並且讓學生看看認識別人的想法或是作法。

6.使用塗鴉板：在班級牆面的一隅，貼上書面紙，人人可以在上面寫東西題材不拘。

宋屏麟老師受訪，彭立心訪談(第五屆A班)

1.秩序的管理：當學生吵鬧時，老師認為不應當大喊「安靜」。除非配合些外帶物（如：鈴鼓），讓學生主動知覺、發現現在應該做些什麼動作、應該做些什麼事才是對的。至於在秩序的管理上，有二點必須注意到：

（1）規則：學期一開始，「班規」就應明確訂定，而不要在學期期間一直作修訂。這樣會讓學生猶疑不定、情緒浮動、很容易有狀況發生、…，因為他們或許都一直不知道自己應該遵守什麼才對。

（2）態度的堅持：老師千萬不能因為一時心軟，就對某位學生開新例，如此會很不好收拾。因為若這樣做，學生就會認為老師不公平，漸漸地對老師不信服。

2.學生資料卡：學期初，老師便要求班上學生每個人都要做一張自己的資料卡，上頭不外乎就是寫些自己的基本資料，讓老師更認識自己。而這張學生資料卡並非只此用途，老師尚會在上頭做些學生日常生活行為記錄。任何偏差行為，老師都會將發生的日期、發生的行為、學生經過輔導勸說後改善的情形、…，一併記錄在此卡上，方便日後做觀察與協助。

3.和家長的溝通、協調：有的老師會覺得下了班就可以不用管班上學生的事，這樣很容易會造成家長的反彈。一但影響某位家長的反彈，連帶的可能也會影響學生和其他家長的不悅。所以，該如何做好和家長之間的配合與協調，宋老師認為是很重要的。

4.和學生的互動：宋老師和班上學生的口號互動為：老師說「注意」，學生也回應老師「注意」。高年級的孩子，畢竟年齡心智都成熟不少，要他們像低、中年級的孩子那樣用有趣活潑的口號和老師互動，可能有些困難性在。所以如此較具威勢的口號，或許更能適時地拉回他們的注意力。

5.數學小白板：數學課，宋老師有一項教學方式很新鮮、很特別。在讓學生做課本上的練習題時，老師會讓他們在自己專屬的小白板上作答，而不是將答案直接寫在課本上。這樣子學生在做練習時，可方便地修改及訂正自己錯誤的答案；此外，課本也不會因為一再的修改而破破舊舊，而學生更可以在該節課結束後自己再做一次練習，加強學習。

李景文老師受訪，王詩瑋訪談(第五屆A班)

1.建立師生間的默契，凝聚班級向心力：景文老師的班級是出名的守秩序和有禮貌，上課秩序超好，那都是因為老師平日帶得好的關係。老師看起來很溫柔，可是他說對小朋友要「恩威並重」，該嚴格時就要嚴格，才能建立起班級規則，讓小朋友知道什麼是可以做什麼不能。

2.人格教育的重要性：李老師認為「人格教育」是教導學生的第一步，但是她會從日常生活中來建立學生正確的價值觀，唯有與生活結合才能真正把「人格教育」內化到學生的心中，而不是「老師說一套，學生做一套」。例如每天都要做的「打掃」工作，除了可以培養學生「負責任」的態度，把自己本分裡的事情做好，進而有「服務」的人生觀，懂得為別人服務，擺脫在家裡任何事都有人替你做好，「茶來張手，飯來張口」的大少爺、小公主形象。

為了讓「人人有事做，事事有人做」，老師費盡苦心根據他們的專長或是興趣，將班上小朋友分配不同的角色，也就是「九年一貫」所提倡的「適性化」教學。例如有班長、風紀股長、生活長、體育股長等等，每個人都是很重要的角色，不僅學習「領導」他人，同時也學習「被領導」。學校就像是個小型社會，每個人只要能把自己的角色扮演好，這個社會就可以和樂融融了。

3.身教的重要：「人格教育」的應用還包括日常生活的「應對進退」，老師首先必須以身作則，不遲到不早退、看到老師或是同學更要主動趨前問早、問好。「身教」很重要，因為學生就像是一張白紙，進學校後不斷的學習、吸收，老師或是同學的一言一行都有可能成為其模仿的對象。若能在小學就奠定良好的品行，社會中也不會有這麼多的不良少年或是悲慘案件發生了。

4.反省卡和獎勵卡制度：當學生犯錯時，讓學生自己描述事情的經過，由他自己去檢視並覺察自己的錯誤，由衷說出自己錯在什麼地方。獎勵卡則是可以多鼓勵大家去發現自己和班上同學的優點。

游麗玉老師受訪，李燕青訪談(第五屆A班)

在蘇老師的班級裡很特別，學生可以大聲發表自己的意見和想說的話。一開始我會不習怪這樣的班級，會覺得這樣的班級沒有秩序甚至是教師沒有威嚴，在我的觀念裡，學生要學東西，一個教室的班級經營是一項很重要得要件，如果班上的學生都浮動，如何靜下心來聽老師的授課。但是在蘇老師的班級中，上課中老師和台下的學生直接對話互?$動是常有的事，問起蘇老師這點，老師的答覆是，他知道這些孩子不是惡意，如果這種方式可以讓他們達到和老師做溝通，舒解情緒，那麼他覺得這樣的上課情況是可以接受的。我想大概是因為面對的是六年級的學生，正值介於國中和國小的分隔階段，看到班上的學生，就可以發現有很多是急於證明自己已經長大的模樣，所以我想蘇老師這種，〝讓他們說他們要說的，讓他們做他們要做的，有錯誤再更正〞的態度，其實也是我思量如果以後帶高年級，可以採取的一至種方式。很多老師都會說，高年級要和他們交心，中低年級因為還小所以可以用很多的獎懲制度來規範，所以蘇老師的班上雖然還是有獎卡制度，但是使用的頻率和效果都沒有像在中低年級中頻繁和好。

許曉芸老師受訪，陳文淑訪談(第五屆A班)

如何在早自習的短短時間營造班級氣氛，以下是班級曾經使用過的方法：

1.班級事項：針對家庭聯絡簿、週記的檢討作討論，以及校園、人際關係的相關訊息作討論。

2.向家長詢問學生的喜惡：此作法是以便於獎懲之參考。

3.社會案件討論：請學生提出自己的看法，並且老師藉機修正學生錯誤的看法。另外老師須作觀念釐清、分析成因及防範策略。

4.三分鐘演講比賽：老師以社會現況或與學生本身相關的人、事、物來設計題目，以刺激學生的思考及靈敏反應。

5.辯論：老師事先提出題目，請同學預先作準備，然後上台辯論。此為重視團體功效、訓練口才、提高學生批判力。

6.讀書心得分享：請學生分享自己曾經或近日所閱讀的書籍、文章，可供同學參考，以充實知識或者有所助益。

7.特殊才能表演：此方法除了在自己的班級上實施外，亦可與其他的班級合作，進行方式為某班級做表演，而其他班級做評審。如此作法在於促進班級與班級交流，並且可使學生擴展人際關係。

于秋雲老師受訪，翟嘉莉訪談(第五屆A班)

課前一定要先備課

老師要研讀題目或教師手冊，理解之後再進行學生較易吸收的教學方式，並多做些正誤區辨的題目。

學期初的獎懲制度─免死金牌

于老師剛接此班級時，和學生討論如何取得『免死金牌』。免死金牌的作用為：抵銷「作業沒完成或沒按時繳交」、「上課不乖」、「打掃時間沒盡到自己應負的責任」…等等被劃記的小朋友，劃記的方式以『正』字符號紀錄。劃記一次，於下課十分鐘罰站或是抄寫一課圈詞，而一支免死金牌可以抵銷一劃記；除此之外，免死金牌等同於獎卡，累積可換小獎品。

教學生動活潑很重要

于老師認為教學需要生動活潑，尤其是數學課，不能只是紙上談兵，儘量多讓學生實作、參與，了解數學公式的演變與計算方式的理由，即是以建構式教學的精神指導數學科。

數學小組長

數學問題的探討可藉由同學之間的力量，老師指派數學觀念較佳的學生為小組長，每個小

組長帶領數位學生，有任何不懂的問題馬上請教小組長，小組長有責任主動指導協助組

員，若是組員有進步，老師不只鼓勵進步的學生，並獎賞小組長。

高福明老師受訪，黃千恩訪談(第五屆A班)

一圖解式教學

老師在教數學時，著重讓學生先了解為何要這樣計算，了解其原理原則之後，然後再告訴學生計算的技巧以及方法，這樣一來，數學對於學生而言便不是死的知識，而是經由思考的過程所產生的了，甚且，這樣經由理解而習得的知識也較不容易忘記。

二數學小老師試教制度

老師在每教完一個單元後會要求學生上台演練計算，並且要求上台學生教台下的同學他的計算方式，如此一來老師可以更清楚學生的計算理解方式是否有錯誤，另一方面，學生為了避免在台上出醜，也會更努力學習。

三數學口訣幫助學習

對於一些學生易混淆或忘記的概念，老師會想一些口訣幫助學生記憶，例如：乘除變號變倒數、加→減、減→加；乘→除、除→乘等。

梁文方老師受訪，鄭嘉川訪談(第五屆A班)

老師覺得帶心比帶人重要，所以在班上老師會花時間教學生一些價值判斷的東西，並說明理由，不會只是單純規定不能做某件事。
一律平等對待班上所有的學生。
常以生活化的題目來作為教學時的題材。
以學生感興趣作為概念說明的題目，引起學生的學習興趣，例如：以班上學生為主角，模擬一個情境讓學生從中思考重要的數學概念。
老師會像朋友一樣，與學生有良好的互動，所以老師完全可以掌握他們的行為發展。不用權威式的方法管理高年級，因為這階段的學生自尊心很強，且有些叛逆，不適合用強壓式的手段來管理，因此，會儘量以朋友的方式來溝通，不然學生可能表面上聽你的，私底下卻反抗的很嚴重，對師生彼此都不好。

于秋雲老師受訪，羅心穎訪談(第五屆A班)

1、班級獎懲制度：設計免死金牌。

2、在剛帶這個班級時，先與學生討論要設立什麼班級獎懲制度，討論出『免死金牌』之後，再與學生討論細節。後來討論的結果是，當學生上課不乖、作業沒寫完或沒按時交、打掃時間沒盡到自己應負的責任…等等時，學生就會劃記一個缺點。劃記的方式是用『正』字符號的方式來紀錄，通常被劃記一次要罰站下課的十分鐘或是抄寫一課的圈詞，而免死金牌這時候就派上用場了，因為免死金牌一支可以抵銷一劃，男同學最常用此種抵銷方式，而女同學因為很少被劃記。至於取得免死金牌的方式，老師也是跟學生討論出來的，像女生比較少用到免死金牌的，就可以跟老師退換禮物。

老師給我們的建議：

◎在進行教學時，可以讓氣氛活潑一些，不要只是照課本依樣畫葫蘆的授課，生動一些可以促進學生學習的動機。

一定要先備課，要先做事先的安排，教學流程的安排可以讓學生得到更好的吸收。

余蕙如老師受訪，賴昀締訪談(第五屆A班)

當學生的朋友

余老師認為高年級以經是屬於慢慢步入以同儕交往為主的年紀，他認為與學生的相處應是像朋友一般的坦率，甚至在課堂上也能毫不避諱地與學生以台語交談。在管理班上的秩序時，老師會告知學生老師所准許的範圍或是許可的情況，讓學生清楚的了解老師的規定到底是什麼。除此之外，老師也非常用心去瞭解，每位學生的學習狀況和家庭環境，不僅和學生保持良好的關係，和家長之間的聯繫也做得很好。

努力充實自我

老師認為當個好老師，不一定要什麼都很厲害，但是可以都略略懂一些，也許是因為老師他是師資般出身的，有感於所學不足，因此老師他一有空閒都會唸書，特別是有關班級經營和兒童心理學這方面的書籍。

座位安排

余老師會隨著課堂需要而隨時調整，一般都是採傳統式的座位排法，等到課程上有需要學生討論、做實驗，或是共同觀察時才會排成小組式的座位。余老師說如果一直維持小組式的座位，學生上課更容易分心，也容易有姿勢不良的情況產生(因為有人需要側身或轉過身才看得到黑板)，這種因應課堂需要來排座位，可充分顧及學生需求。

賴宏禮老師受訪，張桂蓉訪談(第五屆A班)

《帶班》

高年級比較不需要用代幣制等方式，必須明確告知規則，並且講道理。嚴格執行獎懲制度，盡量避免不公的情況發生。
高年級學生凡事都要講求公平，所以盡量做到公平，如果真的無法做到，要跟學生說清楚理由，讓學生理解老師的做法。

《教學》

學生對於週遭事物比較有自己的意見和想法，這時就要跟他們溝通。賴老師會丟出問題引導學生用不同角度思考。讓學生練習思考及批判能力。

《作業》

每天都有數學作業，增加學生練習機會。現在每天都有課輔老師固定上數學，希望能夠補救數學較弱的學生。

獅湖王老師受訪，陳怡君訪談(第五屆A班)

老師認為在面對高年級的學生，不需要像過去在教中低年級時那樣的嚴格，因為這時候的學生都已經可以進行理性的溝通，只要在事先將規則說明，並且讓學生參與規則的制定，使他們有被尊重的感覺，學生都是可以接受管理的，即使犯錯了，也會沒有意見的接受處罰。平常也應該要多聽學生的意見，由意見中了解學生的想法，進而糾正學生的觀念，老師強調，面對高年級的學生，不要用高高在上的姿態來強壓他們，這樣只會得到反效果，反而讓學生更不喜歡老師，更會做出脫軌的事情，可以與學生當朋友，讓他們了解老師是站在關心的立場來為學生著想，但是該有的禮貌還是要有，避免學生無法無天。

黃惠卿老師受訪，盛家絹訪談(第五屆A班)

低、中年級的數學課本圖畫很多、文字部分不多，到了高年級文字敘述變多、數字變大，學生常常沒耐心去計算數學題目，除了數學，其他科目也是一樣，因此黃老師很要求培養學生耐心與精熟的能力，每天幾乎一張數學練習卷當功課，因此老師培養學生數學能力的秘訣在於，「多計算」加強精熟度，以及給予「較廣面」的數學題目以增強學生數學的理解。

教學理念：

要把學生帶到哪去?必須先確定目標，要培養學生什麼樣的能力、條件，或是何種學習環境。老師相當注重生命教育課程，她不希望學生搞小團體讓自己受傷，因為常常因國小的人際關係而影響到國高中，因此老師長期推動生命教育，避免學生受傷害。

高福明老師受訪，朱怡蕙訪談(第五屆A班)

以圖形解釋。在國小階段，無論是抽象的或具象的數學概念，盡量以圖形解釋，可以增加學生了解的速度。
師生互動，上課時最應該重視的就是這一點。老師ㄧ個人在台上講得口沫橫飛，台下可能全部睡倒的狀況是非常糟糕的。上數學課不一定都是老師講，有時可以請學生上台解題，甚至是向全班解釋題目或對全班教學，過程中常會發現學生有他自己一套更簡明的算法或說法。當然前提是此數學概念得是全班早以聽過的，不能在全班都不暸解此概念時要他們上台教學，授業是老師的工作。
數學概念裡常會出現「繞口令」的解釋，例如：單位理解的「乘除變號變倒數」，學生第一次聽常常會搞混，老師就盡量以例題示範說明清楚，並給學生ㄧ些時間思考，反芻意義。

黃惠卿老師受訪，郭子嘉訪談(第五屆A班)

與學生間的默契：這個班已經帶兩年了，老師是屬於較權威型的老師，所以以和學生建立良好默契，通常只要老師一個眼神或動作，學生就知道要安靜，如果真的有太吵的時候，只要抓一個最吵的去處罰，全班就會安靜下來。
對於數學有很嚴格的要求與訓練，除了上課的內容，針對程度較佳學生，老師會詢問其意見，額外準備題目給他們練習，再幫他們修改、解答。

于秋雲老師受訪，康珮甄訪談(第五屆A班)

班級獎懲制度：設計免死金牌。
剛接新班級的時候，跟小朋友討論如何去取得『免死金牌』。免死金牌的作用可抵銷上課不乖、作業沒寫完或沒按時交、打掃時間沒盡到自己應負的責任…等等被劃記的小朋友，劃記方式是採用『正』字符號的方式來紀錄。通常被劃記一次要罰站下課的十分鐘或是抄寫一課的圈詞，一支免死金牌可以抵銷一劃，男同學最常用此種抵銷方式，而女同學因為很少被劃記，得到的免死金牌可以用來跟老師兌換禮物。
老師給我的建議：

教學上可以生動活潑，不要都只是紙上談兵。
在上課前自己一定要先備課。

洪文欽老師受訪，吳艾臻訪談(第五屆A班)

作業方面

因為老師帶的是高年級的學生，對於學生不能採用太過嚴厲的方式，但是又必須教他們生活上的常規。老師採取的方式是每天學生自己到講台上登記作業的完成與否。都完成的就在表格上打「」，沒有完成作業的同學，一直到今天放學之前，只要完成作業，老師都不會處罰，若是學生仍沒寫完，就必須放學之後留下來，寫完作業才能回家。

獎勵制度方面

學生若表現良好，譬如說被別班老師稱讚、完成作業、打掃認真等，經過洪文欽老師允許，就可以自己在聯絡簿上的生活這個欄位，填上「Great」除了讓家長瞭解小孩子在學校的狀況外，到了學期末，可以憑「Great」的多寡跟老師換獎品。

班級特色

因為老師也教班上的英文課，因此早上都放英文的CD給班上聽，在教室佈置方面，也讓學生用英語標語來佈置，班上的星期、日期等，也都讓學生用英文來寫，讓學生從日常生活中就可以學英文。

洪文欽老師受訪，林子嵐訪談(第五屆A班)

「讓學生快快樂樂的想來學校學習，老師能將學生平平安安的送回到家」。
每個孩子有不同特質，所以選幹部時盡量讓學生「負責適合學生特質的職務」。
當學生的朋友：直率的洪老師很年輕又充滿著活力，他與學生之間的相處也是像朋友一般的坦率，除此之外，老師也非常了解，對於學生而言哪些是誘惑，哪些是害怕討厭的事情，因此老師這樣恩威並濟的方式，不但有效果，且也和學生保持良好的關係。
和學生建立默契，讓班上凝聚班級的向心力。
有時候獎品對高年級的學生而言，沒有中低年級的學生來的有吸引力，因此當學生累積一定的獎卡數的時候，可以讓學生換取「特權」，例如「少處罰一次」。
對於學生考試比較不懂的地方，利用空白的數學簿做練習可加強學習效果。
利用活潑的教具可引起學生的學習興趣。
善用分組教學：因全班學生程度不一，有的學生學習進速較快、有的較慢。而當老師在教一概念時，可將全班學生分為高、中、低三個階段。當程度好的學生學會了之後，可以請他當小老師去教還不會的同學(但是限於中等程度的學生)或者是去寫老師另外出的較難的題目，而老師就有空去照顧那剩下10﹪較不容易學會的學生，做個別輔導了。

蘇惠英老師受訪，李佳潤訪談(第五屆A班)

學生在高年級的時候，許多的數學問題都是從低年級及中年及累積的，因此教學方式要著重學生的個人特質及先備知識。
對於數學程度中下的學生，有的時候他們無法馬上理解精簡過後的式子，可以有個過度期間，接受他們的答案是不約分的。
許多同學先前就已經上過安親班的課程，因此有的時候覺得老師所教的算法對他們來說過於簡單，且認為效率不夠快，老師的想法就覺得只要學生們可以算出答案來，不會刻意要求學生一定要照著課本上所教的方法來做題目。
對於一些重要必須熟記的公式，一定要逼著學生背起來，例如先乘除後加減的基本觀念，就是要讓學生們精熟。

沈麗瑛老師受訪，黃瓊慧訪談(第五屆A班)

將學生分組，組中以常態分配，有理解力強及弱的同學，當學生有不懂的地方，可以採取同組之間同儕教學，但教師仍需注重最後的確認動作，確定學生皆已學會。
老師在講授每個概念時，會先提出自己的解題方法或分析題目的技巧，然後會在解釋課本中所提出的解題方法，讓學生自己去選擇適合自己想法的做法，並不侷限學生只能有一種制式的統一想法和解題過程。
跟高年級的學生相處，就像是跟朋友相處一樣。不能像教導低年級的孩子一樣用權威式的教學。師生間可以開開玩笑，不過學生有越矩的行為時，還是要適時提醒與矯正。

蘇泓俊老師受訪，吳妮晏訪談(第五屆A班)

老師會要學生每天上課前靜坐，讓自己的心靜下來，並有很多其他的活動來幫助學習，使學生直覺感受到可以從老師身上學到很多課本上所沒有的東西。老師認為：要使班級上課有好的氣氛，最重要的就是要讓學生肯學、肯聽，只要學生肯聽、肯學，就不會有任何違規的行為出現。
教室常規管理：學期初須制定班規，班規不能只由老師、也不能只由學生來制定，是需由老師與學生來共同來制定班規，這是個帶學生重要的關鍵，老師的期望、要求須期初就能傳達學生，學生才能配合。
學生作業遲教，為了讓學生有今日事今日畢的習慣，老師會要學生利用空檔時間，如：下課時間或午休時間，要求學生完成作業。

郭玉玲老師受訪，陳迪貞訪談(第五屆A班)

師生在互動上，老師會先讓學生了解概念，之後請學生上台當老師，進行「教學」的動作，來增加課堂的參與。
高年級的學生容易有情緒的困擾，而且也開始進入青春期，此亦會影響到課業學習，老師要適時疏導。
老師也強調此時的學生須多注意品行，否則到國中階段，容易出現一些問題。

彭雅絹老師受訪，詹小瑩訪談(第五屆A班)

帶動班上氣氛：上課的時候儘量以活潑的方式來帶動學生的學習動機，學生才不會昏昏欲睡，或者是玩一些小遊戲，讓學生覺得學習是有趣的，而不覺得枯燥乏味。
秩序的管理方面：老師不要對學生大喊：「1、2、3」要利用口訣讓學生安靜

例如：老師：「那裡有人在講話」

學生會回答：「閉上你的大嘴巴」

或者是老師：「某某組！」學生：「請安靜！」

讓學生恢復精神：玩打地鼠的遊戲，老師喊到誰，誰就要答「有」，玩遊戲的時候學生精神自然就會恢復了！

余文方老師受訪，吳偉立訪談(第五屆A班)

高年級的學生，已經是小大人了，有了自己的見解與意見，所以教學時，應以啟發式為主，而不要一昧的填鴨教學。
注重班級經營與獎懲制度。
對愛搗蛋的同學採取「冷處理」方式處理。

王蘭亨老師受訪，方郁琪訪談(第五屆A班)

當班上很吵的時候，老師會在黑板上，慢慢地寫下「靜」這個字。讓學生知道他們現在太吵了，老師希望他們能夠馬上的安靜下來。老師說：「因為學生們會需要一段的緩衝的時間，所以要是大聲的告訴他們，請他們安靜下來，不見得馬上就會有效果出來，與其老師還要浪費唇舌，喊破喉嚨，不如就直接在黑板上寫字，讓學生知道現在該做什麼事。」
老師說：「帶一個班要帶他們的心。」不只是要當他們的老師，同時，也要當他們的朋友。要能跟他們談心。因為是高年級的關係，剛開始進入青春期的階段，所以會有很多事，不願意跟別人講。因此，老師要成為他們的好朋友，他們才會願意主動跟你訴說一些事。要了解他們想要什麼，「投其所好」，而不是用強迫的方式，要他們跟你說什麼。

老師喜歡運用同儕的力量來管理一個班級。不論是同儕之間的相互制約，或是彼此鼓勵的方式等等。

林尼珠老師受訪，方郁琪訪談(第五屆A班)

讓學生寫悔過書，若學生一個月被罰超過十張，會把悔過書交由家長看與簽名（同時老師會以電話通知家長有悔過書一事）。
利用下時間對犯錯的學生講道理，而且不要最好讓其他學生聽到，以保住犯錯學生的面子。
部分的回家作業交由小組輪流出題。
有時上課學生發現到新的疑問時，老師會讓學生回家自己查，隔天前三名告訴老師答案的人就可以為平時成績加分。
有時若班上太吵，會全班禁止下課。

將上課易分心的學生分散在不同組。

潘尚鳳老師受訪，郭鳳婷訪談(第五屆A班)

潘老師的班級是一個溫暖且學生相處融洽的班級，為什麼可以把班級經營得這麼好呢？我的觀察是老師有兩個特質，一是觀察深入，和老師訪談中，老師說了很多和學生、學生家長溝通的狀況，我發現老師給予家長的建議，往往不是家長的盲點，就是良好的忠告，甚至有不少家長很感激老師的教導，我想這在告訴我，唯有了解學生的老師才能真正幫助學生進步，也才能真正地解決孩子情緒或是課業上的問題。老師曾說過，孩子的問題不止是孩子個人，背後更是一個家的問題。二是給予學生正面的鼓勵。老師對於班上的同學是鼓勵多於懲罰，並給予學生表現機會，尤其是學習落後的孩子，上學期我在班上見習時，印象最深刻的是，一個原本沒有什麼學習動機的孩子在老師的教導下，學習動機之強，我都很感動，而且這次我在去班上，發現那個小男孩不再像以前稚氣和沒有自信，反而多出了一份穩重感。我這應該是老師在班上不斷鼓勵和給予機會的結果吧！要教出一班成績中上的學生，是有些困難的，但是要教出整班活潑和自信的孩子，更是要處處用心。當老師的用心，孩子感受到了，孩子就會自由卻不踰矩的成長。

黃惠卿老師受訪，邱麗蓉訪談(第五屆B班)

學生學習困難的原因：

1.有沒有耐性2怕遇到挫折3.理解度的問題4.個人學習態度5.家庭環境的影響

6.父母的教育程度和管教方式7.補習的問題8.時間管理的問題9.是否有問問題的對象

教學秘訣

多算
給予全面性的問題,不侷限。
經熟度和理解度的關係。
打好基礎，為了以後國中課程的學習。

因材施教

對於程度好的同學，他們可以主動要求比較難的題目，老師再私下幫他們改。

教學態度

1.具權威性，不用什麼口號

2.與學生建立好一些默契，學生知道你一言一行的意思。

3.先找一些同學處罰，高年級的同學就會比較識相。

4.老師要知道把學生帶到哪裡去，而不是走一步算一步，一開始確立你要培養他們什麼能力，給予什麼樣的學習環境，就像要班上不要搞小團體，以免內鬥，影響學生的學習興趣。所以我都會帶生命教育，瓦解他們的小團體，不讓學生受到傷害。使他們感情都很好。

5.要有階梯學習編排的課程

宋屏麟老師受訪，陳小婷訪談（第五屆B班)

1盡可能訂出周全的規則

經營班級若能訂出周全的規則，對於班級是能發揮很大的效用，尤其學生能依規定

來建立共同的秩序，才能避免一些糾紛的產生。

但是若經驗不足的老師，可能會訂出漏洞百出的規則，當發現規則的漏洞時，學生就容易有機可乘，所以老師會想更改，但是規則的忌諱就是朝令夕改，所以為避免如此，最好先找有經驗的老師討論其規則的可行性，然後多加模擬後再訂立。

可以將增強設計讓學生相當期待，有個老師讓學生集點然後可以抽獎，獎項包括：功課減少一樣、今天可以獲得一個特權、得到小獎品…等，所以讓學生很期待。

2避免情緒化，而是為學生為考量。

當一個老師修養應該愈來愈好，因為老師應該思考「是真的為學生好還是單純發洩情緒而已？」大家通常有印象就是小學的老師常常訓話，但是都是為學生好嗎？宋老師自己承認有時真的很難，但是他會主動安撫學生，訓完話之後，首先檢討是否用詞太過分，如果太過分，他會主動道歉，並告訴學生其實老師的用意，希望學生能做到。

3親師溝通

將學生當作孩子來照顧：當我們試著用父母的心情，對學生的需要會特別敏感，即使是一點小傷、一句學生的無心話，都能透露相當的訊息，所以老師會首先知道，替父母解決後再與之討論，如此也讓學生感受到老師的溫情，以彌補父母的不足。

隨時與父母保持聯繫：學生的狀況尤其闖禍，對於他的處理，一定要比學生還快與父母討論，這樣才能取得其信任，並且說明處理的用意及做法，讓父母了解後，才能避免學生將之誇大造成不免誤會，最後在告訴父母如果還有疑問，只要可以做到的範圍內，都願意幫忙。

願意提供父母協助：班上學生總是有家庭較為窮困，而又無法補習，但也希望成績會進步，老師願意在學校的時間，都可以提供學生額外的協助，使父母能解決這樣的窘境，所以能為學生多盡一份心力，就可以讓父母真正放心。

徐惠琳老師受訪，李美珊訪談（第五屆B班)

徐老師是一個要求班上每個學生都能學習上和自己比較，而不斷求進步的老師，以下簡要說明徐老師的班級經營技巧。

獎懲制度

開學前，與學生互立公約，並取得家長簽名同意後施行，如果違反，則處罰。
獎懲的方式分有：獎章以及愛的小手(打)，其中可以以獎章來抵消愛的小手，如果學生違反規定時，不論情形嚴重程度，皆打一下（或扣獎章）
獎章可以先同學借用。優點：促進小組相互合作共同收集獎卡，而小組間為求儲備獎卡，成績好的學生會教成績不好的學生，並彼此督促按時繳交作業。
以每次段考為基準，若個人達成獎章25枚，則老師請吃麥當勞套餐。
依個人學習表現，訂定比平均標準低五個標準做為基準分。例如：甲生四年級時國文平均93分，則訂88為其標準分，最高不超過95分。實施後，約1-2週後，再行調整，其中若學生家長有意見，可以再調高或降低。若不達標準分，無論離標準分多寡，皆打一下（或扣一個獎章），月考則一分一下（或扣對等獎章）。
在獎勵及懲罰雙管齊下作用下，每一位同學和上學期自己的成績相比，已有顯著的進步。
每週製作學習表現分數全班排名給家長，讓家長知道學生在校的成績表現以及那一科需要再行加強。在班上並不會有永遠的第一名的學生，而成績較落後的學生，也只是因為單科成績較差而導致，並不是特別的笨。

教學

教學時，要求學生完全的專心，若有不專心，無法回答問題，則打愛的小手或扣獎章。
為讓學生可以表現及收集獎卡機會，所以上課時，會提出簡單的問題抽點學生回答。
每堂教學時間，只有15-20分鐘，主要為加深學習印象，所以利用課堂時間讓學生在課堂做習作練習，也可以讓學生明白，在上課中是那一個概念不懂，需要加強。
數學是一門要求「快」及「準確」的訓練。因此，每一次寫習題時，只要前四名寫最快且正確的同學，不但可以得到獎章，還可以擔任小老師，四個人分站教室四個角落，幫其它同學訂正答案。在不斷的訓練下來，目前學生們寫數學考卷，已從上學期的40分鐘，降至15-20分鐘便可以完成。

陳淑慧老師受訪，許庭瑤訪談（第五屆B班)

每橫排有一組長,組長要負責收作業，組長每週都會換人。讓每個學生有機會學習服務別人。
教室位子常換，因為班上有許多愛說話的小朋友，所以老師經常每次考試完就會換位置。
老師與班上的班規是共同討論出來的，所以懲罰方式也是由學生自訂的。
不幫學生分組, 因為學生要學習和人相處, 否則到社會不易生存。
老師並沒有一套獎勵制度的班級經營方式，老師對學生的要求就是不闖禍就好。
早自習並沒有安排學習活動, 希望學生養成學習自我分配時間，不要什麼事都要向老師請示，培養學生問題解決與危機處理的能力。

林月梅老師受訪，朱雅芬訪談（第五屆B班)

【數學教學上】

認為數學一定要多做、多練習，並且立即訂正。月梅老師會以數學課本為基礎，再多出題目讓學生加強，題型多重複，讓學生多熟悉題型。
多有延伸活動，例如：時間、長度、重量的量感活動大考驗；完○×大作戰。就是利用遊戲讓他們熟悉數學。
與生活做結合，例如：敎分數時可以帶入土司做三明治的活動。
學生寫數學日記，就是自己用目前的數學單元寫自己的日記。可從中了解學生是否學到了概念。例如：敎兩位數乘法時，有學生這樣寫：「爸爸57公斤，媽媽是爸爸的幾倍」；也有人在分數的單元上寫：「全班有30人，有人一組，請問可以分幾組」這兩例都是為了湊數字而出的題目，老師會與全班分享，讓大家來思考哪裡錯怎麼改，對題目的理解上有很大的幫助。

【教學理念】

獎勵孩子的過程，重視孩子爭取榮譽的心態。
當老師不用很厲害，但是要想的比孩子多。
教學與活動是一體兩面的。

【其他】

活動的舉辦要有醞釀期，例如：製作食物的【美味大料理】，老師會事先預告，告知學生表現好就可以舉辦，讓學生有期待，且團體可以牽制。

高福明老師受訪，張琬婷訪談（第五屆B班)

關於數學課的班級經營：(老師主要是讓學生快速進入狀況，容入教學情境)

老師因為有藝術，美勞的背景，所以擅長用「圖形」來釋題。
建立起「繞口令」--老師說許多的數學課本裡有一些繞口令，比如「÷變號，變倒數」，這些繞口令，先用範例解釋清楚，之後讓學生多唸幾次，形成朗朗上口。

師生在互動上，老師會先讓學生了解概念，之後請學生上台當老師，進行「教學」的動作，來增加課堂的參與。

黃惠卿老師受訪，周家珍訪談（第五屆B班)

帶高年級的學生一開始必須要先確立老師的威嚴，以讓學生能信服。
班上無特定的班規，班上秩序的維持是靠老師與學生之間的默契。(如：當班上有人帶頭引起吵鬧時，老師便罰此學生到走廊交互蹲跳，待懲罰完畢時，其他學生便知道要安靜下來。)→老師威信須先建立。
老師很重視班上的學習環境及培養學生具備解決問題的能力。
老師認為須避免班上有小團體的產生，小團體會影響同儕間的相處及學生學習品質(如：和同學相處不佳，進而影響其學習情緒，導致學習不專心。)故老師利用生命教育的觀點來教導學生，避免學生因搞小團體而受到傷害。

邱瑞杰老師受訪，黃蘭筑訪談（第五屆B班)

邱老師會用分組的方式，用異質性分組的方式，讓學生可以由程度較好的同學來教導程度較差的同學，而且同組同學有表現好的老師會用組來加分，如果有表現不好的老師會扣分，老師是希望用團體的力量來使學生可以改進其行為，以及用同儕的力量能有更好的學習。
邱老師認為剛接一個新的班級，一開始就要很嚴格，且絕對要做到一視同仁和公平，一旦這班規建立起來老師以後在帶班級會比較輕鬆，雖然剛開始很嚴格、很兇，之後老師就可以慢慢的放鬆，學生也會比較想親近你。如果老師剛開始對學生很好，後來對學生越來越兇，這樣會很難帶學生，也有可能學生最後會不聽話了。

張庭香老師受訪，朱惠卿訪談（第五屆B班)

面對高年級學生，因為他們很多意見，所以導師必須要先訂好規則，告訴學生你容忍的底限在哪裡，學生試探你，你就保持你的原則，絕不心軟，讓學生了解到你說一就是一，他們會比較相信你。
六年級的學生容易有情緒的困擾，如果影響到課業學習，老師要適時疏導，一個班上的向心力是很重要的，如果說班上四分五裂，學習氣氛也不會好。
老師每週訂出一小段時間，要求學生把習作或練習試卷上有問題的題目再次提出，老師再一併解釋；第一遍老師解釋，第二遍請會的學生教不會的學生，因為有時有些學生一時無法理解老師的解說，同學教他卻聽得懂。

高福明老師受訪，謝冠瑛訪談（第五屆B班)

每次經過高老師的教室，總會看到高老師和孩子玩成一片。總覺得老師能和高年級的孩子打成一片，真的好厲害。透過這次的訪談，我趕緊請問老師的武功密笈是什麼？老師笑了笑說：「多傾聽孩子的聲音，瞭解孩子在想什麼。這才是最重要的。」果然武功高深莫測！

宋屏麟老師受訪，黃綺紋訪談（第五屆B班)

高年級學生，要跟他們當朋友，訂下的規定就不可以違背，不論任何理由，有委屈來跟老師說，股長就等於老師，說一就是一，股長做錯罰雙倍。
做自己的主人，別人做錯都不關你的事，不要只懂得去指責別人，做好自己就對了。
上課時多下來走動，讓學生知道你有在注意他，他就不敢做其他的事。
上課前桌面要乾淨，不可以有其他東西，因為他們容易分心。
如果一種教學方法學生學習狀況不好，再換一種，尋找最適合這各班級的上課方式。

黃淑嬌老師受訪，黃健哲訪談（第五屆B班)

問我什麼樣的教學策略最為有效，我的經驗是每一種班經提供的方法都有效，不過我認為多多鼓勵學生的確是很有效的方法。

多稱讚、多發現小朋友的長處，並加以表揚，這些學生就容易向善處走，會越來越好，多灌輸小朋友「我哪一方面的確不錯」的觀念，這就是「比馬龍效應」「自我期望預言」，然而，要注意的就是鼓勵、誇獎、表揚的要有價值，要卻有其事，而不是隨便就給予誇獎及表揚，這樣的量多會流於浮濫，效果自然減半。

潘尚鳳老師受訪，李端華訪談（第五屆B班)

潘老師在數學教學上常運用好用的教具和數學附件，來幫助學生理解抽象難懂的概念，例如在講到椎體與柱體時，教具中就附有很多形狀的椎體與柱體，而且底面可以取下，讓學生清楚看到底面的形狀，或是讓學生自己動手做數學附件，讓他們熟悉椎體與柱體的展開圖。潘老師善用提問來幫助學生思考，也會提供相似的題型讓他們再進一步地思考，同時也給他們上台演練的機會，讓學生自己與老師都能檢視他們的概念是否正確，若做錯了還能立即發現問題處，馬上糾正。我認為潘老師的教學雖然沒有許多創新的技巧，但老師用的是穩紮穩打的教學方法，步調配合學生的理解程度，一定會等學生都懂了再進入下一個單元，因此對學生來說，他們有足夠的時間來探索數學，較容易達到完全的理解。

顏秋華老師受訪，林品聿訪談（第五屆B班)

要求秩序、行為、作業、品德
事不過三,第一、二次口頭告誡,第三次就處罰,但有些行為沒有三次機會,例如:家庭聯絡簿沒有交,不能三天後補交,打人則分程度,太嚴重的也會直接處罰
規矩清楚說明、規定可以按著需求修改,但一定要實施
高年級老師一定要做到公平,該罵的時候要罵
10個小優點蓋一個獎勵章,集滿10個獎勵章可以獎勵品,學期末主任也會獎勵

例如作業都有交、讀經通過了等等都會加優點,作業沒交扣優點。

高年級獎勵部份很好用,可以多用正增強

蘇恵英老師受訪，陳蒔萱訪談（第五屆B班)

和高年級的學生在一開始時，寧願要先威權，以避免日後在班級管理秩序亦出現問題。因為認為若是一開始就跟學生們商量，那對於未來一兩年的運作會造成很大的困擾。
本身蘇老師沒有帶過低年級的經驗，而她認為中年級的學生和高年級的學生最大的不同為→中年級的學生比較聽話，而面對高年級的時候就必須用講裡的方式。
學生到了高年級的時候，有許多的數學問題是從之前﹝低、中高年級﹞累積至現在，因此要著重學生個人的特性來教導。
對於數學程度比較中下的學生，有的時候也可以接受他的答案是不約分的。
平常有許多同學本身就已經上過補習班的！因此有的時候反而會覺得老師所教的算法對他們來說過於簡單，而此時只要學生們可以算出答案來，老師都不會刻意要求學生們一定要照著學校所教的來算。
對於一些必要要記得的公式，一定要學生背起來，像是先乘除後加減的一些基本觀念，就是要讓學生們熟背。
現在高年級學生不項中低年級可以有很多實際操作的機會，現在多著重他們要去理解，所以對於跟不上進度的學生來說，就必須比較依賴家長或是補救教學。

杜守正老師受訪，李姿儀訪談（第五屆B班)

拍手變化：一開始的使用是用來吸引學生注意，因此常會有許多變化，但久而久之後，學生已是習慣成自然，變成他們和老師之間的一種默契。

上課前念唐詩或英文：讓學生能夠在上課前靜下心來，唸完三次為進教室者則算式遲到，遲到的處罰方式由學生自行訂出。

誠懇的話：老師要求學生每天都要寫誠懇的話給不同的人，且在期末時會將此製成小書，夾在成績單上讓家長瞭解。不但可藉著同儕力量彼此約束，亦可增進全班向心力。

各科小老師：杜老師所實施的是師傅徒弟制，在座位編排上，師傅可自行找徒弟，並讓師傅和徒弟坐在附近，可運用同儕的鷹架作用實施補救教學，以減輕老師的負擔。

水源十年演唱會：這是杜老師特別的創舉，今年他為班上的畢業生舉辦演唱會，因緣際會之下也成就了六年乙般的金門畢旅。

時光寶盒：在前一兩年的在畢業營火晚會上，杜老師帶領每位學生念出自己的理

想並寫在紙上，放入「時光寶盒」中，大家相約國中二年級最容易變壞時，及進入大學時再來打開時光寶盒。

杜老師的話：課程是從孩子生活感動的經驗中長出來的，不但是課程就連班級經營都是活的，當孩子彈性疲乏時即可適時變化，與學生討論之後作適當調整及改變。我相信每個人都有那個可能性，只要在任何環境中都有自己的方向，當然，每個人都不一樣，不是所有人都適合當老師，但是我相信每個人都可以，只要找到為教育的理想就可以，一個沒有理想的老師，怎麼帶得起學生呢？杜老師帶領的不只是國小的學階段，更是帶領學生的心，讓學生學會了感受生命的可貴和希望。…我的感動

賴宏禮老師受訪，黃卿如訪談（第五屆B班)

自從有了建構式教學法後，其實，對資優的小朋友著實沒有什麼太大的益處，因為他們腦中已有相關的概念形成，甚至還能自行用不同的方法解題。但相對於較低成就的小朋友就無法如此，甚至在講完一章後還不知該章重點為何。常有的迷思有：分數／小數的概念轉換、單位的進退位換算（如：一公斤等於幾公克、一公升等於幾分公升或毫升等等）、分數的除法等等，小朋友往往不懂或沒記熟進位標準或相關建構理念（為何除以分數時，除數要分子分母對調，前面除號要變乘等等），此時教師該有的對策為請小朋友時時牢記，在上課時，若有遇到相關連性，如提到了一公升分給了多少人，每人得幾公升時，就將公升的換算再複習一次，進而達到時時複習，讓小朋友可以牢記的方式來讓小朋友有印象，甚至將要用的定理、原則或公式，用上課筆記的方式讓小朋友養成作重點的好習慣外，進而也可以讓他們想想，若你是老師的話，該如何教授此題讓大家了解，借由不同身份的轉換進而讓小朋友從吸收者轉為發問者，以致讓其腦中有深刻清晰的概念。

說明原則，先嚴後寬、先融入班級團體後再步步為贏的改變風氣。孩子若發問開始離題時，教師要適時打住並告訴他在下課再與我討論，適時地拿捏正負向的鼓勵來讓小朋友知道學習與行為上不足之處。

林冠嫺老師受訪，鄭詠文訪談（第五屆B班)

訪談的過程中，觀察到老師和班上學生的互動非常融洽，有點亦師亦友的感覺。她不贊成使用體罰的制度，但是當學生有犯錯的時候，一定要立即糾正，並且讓他知道他錯在哪裡，讓學生有機會去改過；對於帶高年級的學生，老師認為最重要的一點，就是要『帶心』，因為五、六年級的孩子已經可以講道理了，帶他們就像是交朋友一樣，把他們當作自己的朋友，跟他們交心，當他們信任你時自然就會服你，整個班級掌控起來也比較容易了。

連亨宗老師受訪，林苔忻訪談（第五屆B班)

改過自新的機會

人非聖賢叔能無過，有自制能力的成年人，都有犯過錯的可能更何況是個孩子，由於老師秉持這樣的想法，因此在五年乙班的每個人都有著三次改過的機會，只又同樣過錯犯了三次的時候，老師才會展現他的威嚴，並且清清楚楚的讓孩子知道他被處罰的原因。

親身示範

老師認為要教育孩子先要抓住他們的心，而要抓住孩子的心便要讓孩子對老師信服，因此一切在老師班級落實的班規老師都身體力行，同時在教學方面，也事必親自示範，決不會有僅僅口頭教學的情形發生。

【陳鈴瓊老師受訪，劉哲瑄訪談（第五屆B班)

這次訪談的老師不是別人，而是我的媽媽，媽媽認教於基隆市的長樂國民小學，媽媽教學經驗相當豐富，主要都是帶中高年級的班級。

我媽媽對於學生的教學或是平常日常生活的常規方面要求比較嚴格，特別是常規方面，我媽媽覺得小學的東西是最基本的，一定要把基礎打好才可以繼續往下走，對於六年級的學生，即將生國中的這一群孩子來說，在情緒上或是各個方面都是一個轉彎的地方，因此除了平常的教學外，我媽媽都把他們當作小大人來看，希望他們對自己的行為負責。

在成績方面，媽媽覺得說，你有100分的實力，那麼你的表現就不可以只有90分；如果你只有60分的實力，那麼你在成績外一定還有別的優秀的地方。成績的高低並不代表學生成就的一切。

多多鼓勵學生是媽媽最常做的事，賞罰必須分明，重視團體的紀律和秩序表現，綜合全部看來，生活常規是我媽最要求學生的。

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國小高年級教師訪談紀錄彙整

一、數的概念

分數

小數

二、數的計算

整數的加、減法運算

整數的乘法運算

整數的除法運算

小數的計算

分數的計算

數的四則運算

因數與倍數

概數

代數

比

其他相關概念

平面圖形

立體圖形

對稱

圖形變換

空間

四、比較、測量、度量概念

比較

長度概念

重量

容量

角度與速度

五、時間概念

時間

六、數量關係

統計

機率

七、其他

八、文字理解

九、課程銜接

教學者班級經營的拿手絕活