104 學年度高級中等學校數理與資訊學科能力競賽臺灣省第 9 區複賽
物理科筆試試題參考解
《第一題》
方法一：「利用衝擊擺求子彈的速度」
以兩個階段來分析這個事件︰
(一) 子彈嵌入木塊。
(二) 木塊在線上的擺盪至最大高度 h 後靜止，然後往下擺。
在第一個階段，子彈迅速地把自己嵌入木塊，使得木塊沒有時間明顯地移動顯著的位移。吊
線保持近乎垂直，撞及前後動量的水平分量守恆。機械能在這個階段不守恆，因為有一個非
保守力作功(子彈和木塊之間的摩擦力)。
先計算前段完全非彈性碰撞下，木塊與子彈合體碰撞後的速度。
利用碰撞前後動量守恆 mv = (m+M)V，可得碰撞前子彈速度 v 和碰撞後合體速度 V 的關係︰
(
)
m M V
v
m
在第二個階段，木塊和子彈如同一個物體般運動。作用在這一個物體的力是重力(保守力)以
及線張力(沒有作功)。因此，當木塊向右上方擺盪時，機械能守恆。動量在這個階段不守
恆，因為有一個淨外力(當線傾斜時，重力和線張力不能抵消)。
此段除重力外無任何外力，滿足機械能守恆。
最低點位能為 0，動能為
2
1
(
)
2
m M V
最高點位能為(m+M)gh，動能為 0。
所以
2
1
0
(
)
(
)
0
2
m M V
m M gh
，求出 V 代回前式，即得子彈的速度為
(
) 2
m M
gh
v
m
方法二：「利用彈簧壓縮求子彈的速度」
以兩個階段來分析這個事件︰（儘量做到符合地面摩擦力可忽略）
(一) 子彈嵌入木塊
(二) 木塊在壓縮彈力常數為 k 的彈簧至最大形變 d 後靜止，然後回彈。
在第一個階段，分析同方法一，動量守恆 mv = (m+M)
V，
子彈速度
(
)
m M V
v
m
在第二個階段，除彈力外無任何外力，滿足機械能守恆。
開始，位能為 0，動能為
2
1
(
)
2
m M V
最大形變 d，位能為
2
2
1
kd
，動能為 0
根據機械能守恆
2
2
2
1
2
1
kd
V
M
m
， 得
M
m
kd
V
2
則子彈的速度為，
k
M
m
m
d
M
m
kd
m
M
m
m
V
M
m
v
2
方法三：「利用平拋運動求子彈的速度」
以兩個階段來分析這個事件︰（儘量做到符合地面摩擦力可忽略）
(一) 木塊放在高 h 的桌面，而且靠近桌邊，子彈嵌入木塊。
(二) 木塊水平飛出，在離桌子水平距離 R 處落地。
在第一個階段，動量守恆 mv = (m+M)
V，
子彈速度
(
)
m M V
v
m
在第二個階段，設落下時間為 t，則平拋飛出的水平速度為
t
R
V
/
。而在垂直分量上屬靜
止落下的自由落體，落下時間與高度關係為
2
2
1
gt
h
，g 為重力加速度。所以
g
h
t
2
，
h
g
R
g
h
R
V
2
2
/
。則有子彈速度
h
g
m
R
M
m
v
2
方法四：「利用固定不動的光滑半圓軌道求子彈的速度」，因為摩擦不計下軌道對木塊不做
功，滿足滿足機械能守恆，分析與方法一類似。
方法五：「利用固定不動的光滑斜面求子彈的速度」，分析與上面方法類似
《第二題》
(a)
設Δt 的時間鋼球純滾動了Δθ角度，由角速度定義可知
=Δθ/Δt，此時質心相對地面平
行移動弧長Δs，由圓的幾何性質可知ΔS =R Δθ，則有
R
t
R
t
S
v
cm
(b)
鋼球在兩根距離 d 的橫木軌道純滾動的正視圖如右圖所
示，質心相對地面平行移動弧長Δs 的半徑不是 R，而是由
半徑
2
2
2
/
d
R
取代，所以
4
/
2
2
d
R
v
cm
當 d=0，相當於橫木軌道時，答案變成
R
v
cm
，與在平面上做純滾動相同。當 d=2R，答
案變成
0
cm
v
，代表球就沒有靠柱軌道兩側橫木各一點，題目原本的假設情況不成立。
(c)
根據機械能守恆，滾至地面位能減少 mgh，轉變成質心動能
2
2
1
cm
cm
mv
K
，加上相對於質心
轉動的動能
2
2
1
I
K
，則
2
2
2
2
2
5
2
2
1
2
1
2
1
2
1
;
R
v
MR
mv
I
mv
mgh
K
K
U
cm
cm
cm
cm
7
10gh
v
cm
(d)、承上題，而質心速度由
4
/
2
2
d
R
v
cm
取代，則有
2
2
2
2
2
2
cm
cm
cm
2
2
2
2
1
1
1
2
2 5
5
2
2
2
10
1
4
4
v
mv
K
mv
I
mv
mR
d
R
R
d
2
2
4
/
1
/
2
5
10
R
d
gh
v
cm
當 d=0，相當於橫木軌道時，答案變成
7
10gh
v
cm
，與在斜面上做純滾動相同。當
d=2R，答案變成
0
cm
v
，代表球就沒有靠柱軌道兩側橫木各一點，題目原本的假設情
況不成立。
.
《第三題》
(a)
設三支桌腳各自施加於圓桌之力分別為 N
A
, N
B
,N
C
，正三角形中線長為 l
以
BC
當轉軸：
mg
N
l
mg
l
N
A
A
3
1
3
以
AB
當轉軸：
mg
N
l
mg
l
mg
l
N
C
C
3
4
3
2
2
同理
mg
N
N
C
B
3
4
所以，最大的是最小的 4 倍
(b)
以某兩支撐點連線為轉軸，設物體與轉軸之垂直距離為 x：
6
2
3
l
x
x
mg
l
mg
以某支撐點為支點，設物體與該支撐點之距離為 y：
3
2
3
2
l
y
y
mg
l
mg
分別畫出與三轉軸垂直距離為
6
l
的平行線，三線交會，形成中線長為 l
2
3
、邊長為 L
2
3
的三角
形，其各個頂點與最近支撐點的距離為
3
l
。
將該物體放置在此三角形範圍內，可使圓桌維持水平不傾斜。
該三角形面積大小為
2
3
2
3
2
1
l
L
=
2
16
3
9
2
3
2
3
2
3
2
1
L
L
L
所求面積大小為
2
2
16
3
9
R
L
《第四題》
(a)
設 B 圓柱的質量為 m，速度為 v，所受之正向力為 N，令 R=R
A
+R
B
其向心力
，在脫離瞬間，N=0，此時，
由於一開始靜止時的動能為零，所以脫離瞬間的動能等於此段期間的位能減少量，即
1
所以，
2
1
⇒
(b)
B 圓柱體從靜止開始，沿 A 圓柱體的表面以純滾動(
)的方式滾下，總動能包含有移
動動能及轉動動能，即
其向心力
，在脫離瞬間，N=0，此時，
由於一開始靜止時的動能為零，所以脫離瞬間的動能等於此段期間的位能減少量，即
1
所以，
1
⇒
《第五題》
(a)
在 A 與 B 極短的完全非彈性碰撞期間，C 保持靜止不動，僅需考量 A、B 的動量守恆，設
完全非彈性碰撞完成瞬間，A、B 的共同速度為 u，則
u
因為三質點系統在 A、B 完全非彈性碰撞期間外並無其他非保守力作用，所以力學能的損失
僅發生在完全非彈性碰撞期間，加上題目說在碰撞期間，C 保持靜止不動，且彈簧長度保持
不變，意即，碰撞期間 A、B 動能和的損失量就是該三質點系統在碰撞後的力學能損失量。
A、B 動能和的損失量為
1
甲組合(A: 1m、B: 1m、C:1m)、乙組合(A: 1m、B: 2m、C:3m)
關於三質點系統的力學能損失，乙組合是甲組合的
倍
(b)
在 A、B 完成碰撞後，A、B、C 總動能的最小值為三質點系統的質心動能，意即，此時彈
簧有最大壓縮量。
由動量守恆可得此系統的質心速度 v
c
，
設彈簧之最大壓縮量為
ΔL，則
ΔL
代入後得
ΔL 與
成正比
關於彈簧長度的最大壓縮量，乙組合是甲組合的
1 倍
(c)
碰撞後三質點系統的質心動能為
關於三質點系統的質心動能，乙組合是甲組合的
倍