國立臺灣大學 111 學年度高中物理科學人才培育計畫
數學科試題 (111 新生)
一︑填充題： （每題8分）
1. 設 a, b 是實數且 a + b = 1，a
2
+ b
2
= 3， 試求 a
3
+ 2a
2
b + 2ab
2
+ b
3
=
︒
2. 滿足方程式 x
4
+ (x
− 4)
4
= 626 的所有實數 x 的乘積 =
︒
3. 右圖中大小二圓內切於 A 點，其半徑的比為 3 : 2， BC 為小圓之切線，C 為切點，若
AB = 15， 求 BC 長 =
︒
4. 梯形的兩腰長分別為 3 與 4， 兩底長分別為 5 與 10，則此梯形 的兩底中點的連線段長
為
︒
5. 從正整數1︑2︑3︑4 ⋯︑n 中，刪除某一項 x，已知剩下的 n
− 1 個數的算術平均數
為
261
10
，試求 x 之值 =
︒
6. 若
xy
x + y
= 1，
yz
y + z
= 2，
zx
z + x
= 3，則 x =
︒
7. 夏令營組織 1987 各學員去遊 A︑B︑C 三處園區，規定每人必須去一處， 最多去兩處
遊覽，那麼至少有幾人遊覽的地方完全相同？
︒
1
8. 已知 7
24
− 1 可被 11 至 49 之間的三個整數整除，其中任兩個整數為
︒
9. 已知 a =
√
3 +
√
2
− 1，b =
√
3
−
√
2 + 1， c =
−
√
3 +
√
2 + 1 則
a
2
+ b
2
+ c
2
+ ab + bc + ca 的值為
︒
10. 化簡，並求出其值：
12
3
− 11
3
+ 10
3
− 9
3
+ 8
3
− 7
3
+ 6
3
− 5
3
+ 4
3
− 3
3
+ 2
3
− 1
3
=
︒
二計算申論題：（一題20分）
11. 如右圖，在坐標平面上，此拋物線為二次函數 y = ax
2
+ bx + c 的圖形，其對稱軸為
x =
−1︒試判斷下列 3 個代數式的正負，並說明理由︒
(a) abc
(b) 3a
− b
(c) a
− 2b + 4c
臺北市九⼗⼆學年度國中盃數學能⼒競賽
第⼀階段 筆試（⼆）試題 92年 11 ⽉ 22⽇
說明：（１）本節考試時間為 100分鐘（10時 30分⾄ 12 時 10 分）。
（２）本節共有 4 道題，每題 10 分，共計 40分。
（３）每道題須寫出解題過程，否則不予計分。
（４）請將所有答案依題號順序寫在答案卷上，否則不予計分。
１.如圖（⼀），在坐標平⾯上，此拋物線為⼆次函數
c
bx
ax
y
+
+
=
2
的圖形，其對稱軸為
1
−
=
x
。試判斷
下列５個代數式的正負，並說明理由。
○
1 abc ，
○
2
c
b
a
+
+
，
○
3
b
a −
3
，
○
4
c
b
a
4
2 +
−
，
○
5
c
b
a
4
6
9
+
+
。
圖（⼀）
２.設
n
、
m
、k 皆為正整數，函數
)
(n
f
的值定義為
n
可寫成兩個正整數相乘積的⽅法數；
例如：4＝1×4＝4×1＝2×2，所以
3
)
4
(
=
f
；15＝1×15＝15×1＝3×5＝5×3，所以
4
)
15
(
=
f
。
函數
)
(m
g
的值定義為
m
的每位數字中為偶數的數字和，若
m
的每位數字都是奇數時，則
0
)
(
=
m
g
；
例如：
6
0
2
4
)
14320
(
=
+
+
=
g
，
0
)
1131
(
=
g
。
令
)
3
101
(
k
k
f
a
×
=
，求
)
(
)
(
)
(
101
2
1
a
g
a
g
a
g
+
+
+
L
的和為多少？
３.設
x
、 y 、 z 皆為正整數且
z
y
x
>
>
。
試證：
y
x
x
z
z
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
+
+
+
>
2
2
2
。
４.已知：四邊形ＡＢＣＤ及ＡＤ邊上⼀點Ｐ，如圖（⼆）。
求作：過Ｐ點的直線Ｌ，使直線Ｌ將四邊形ＡＢＣＤ分割成⾯積比為１：２的兩塊區域。
? 必須保留作圖痕跡並寫出作法? 但不必證明? ?
圖（⼆）
2