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國立臺灣大學 110 學年度高中物理科學人才培育計畫
數學科試題 (110 新生)
一︑填充題： （每題8分）
1. 若P為拋物線 y=x2−6x+ 14 上的動點，A,B兩點的坐標為 (−3,0),(1,0)，則
∆ABP 面積之最小值 = ︒
2. 四個數 a,b,c,d滿足 a+b=c,b+c=d,c+d=a的關係，若 b是一個自然數，試求
a+b+c+d的最大值 = ︒
3. 設 n為自然數，a=√n+ 2 −√n
√n+2+√n，b=√n+2+√n
√n+ 2 −√n，
若5a2+ 22ab + 5b2= 2012，則 n=︒
4. 求 √9988 ×9989 ×9990 ×9991 + 1 −99892之值 = ︒
5. 半徑分別為 1︑2 及 3 的三個圓互相外切 (如右圖所示)，有一 個小圓落在
它們之間，且與它們都相切，求此小圓的半徑 = ︒
6. 已知 a(a2−1)(a+ 2) + 1 可以寫成 a的一個二次多項式的完全平方，求此二次多項式
為 ︒
1
7. 若 α是x2−3x+ 1 = 0 的一根，則 2α5−5α4+ 2α3−8α2
α2+ 1 的值為 ︒
8. 甲箱內有 4 顆球，顏色分別為紅︑黃︑綠︑藍；乙箱內有 3 顆球，顏色分別為紅︑黃︑
黑︒ 小賴打算同時從甲︑乙兩個箱子中各抽出一顆球，若同一箱中每球被抽出的機會
相等， 則小賴抽出兩顆球顏色相同的機率為 ︒
9. 已知 a1+a2+···+a30 +a31 與b1+b2+···+b30 +b31 均為等差級數，且皆有31項︒
若a2+b30 = 29，a30 +b2=−9，則此兩等差級數的和相加的結果為 ︒
10. 如右圖，有一圓 O通過 ∆ABC 的三個頂點︒若 ∠B= 75◦，∠C= 60◦，且圓弧
d
BC
的長度為 4π，則線段 BC 的長度為 ︒
ፎᙌᝩុբเ
3
9. ӵკ (Ο)ǴԖ༝ O ೯ၸ ɆABC ޑΟঁഗᗺǶ
ɸB = 75°Ǵɸ C = 60°ǴЪ BC ޑߏࡋࣁ 4ʌǴ߾
BC ޑߏࡋࣁՖǻ
(A) 8
(B) 82
(C) 16
(D) 16 2
10. ᅈىόԄ 20 < 5 í 22 + 2x < 50 ޑനεኧှࣁ a Ǵനλኧှࣁ b Ǵ
߾ a + b ϐࣁՖǻ
(A) í15
(B) í16
(C) í17
(D) í18
11. ֤ѳǴࢌঁԛڄኧޑკ೯ၸ 5 , 0ǵ10 , 10 ٿᗺǴղᘐԜڄኧޑ
კ೯ၸΠӈবᗺǻ
(A) 1
7 , 9 4
7
(B) 1
8 , 9 5
8
(C) 1
9 , 9 7
9
(D) 1
10 , 9 9
10
12. კѤޑΎᜐ ABCDEFG ύǴ ABǵ DE ޑۯߏጕ࣬Ҭܭ O ᗺǶ კѤ
ύ 1ǵ2ǵ3ǵ4 ޑѦفޑفࡋکࣁ 220°Ǵ߾ BOD ޑࡋኧࣁՖǻ
(A) 40
(B) 45
(C) 50
(D) 60
კΟ
კѤ
A
C
B
O
A
BG
F
ED
C
O
4
3
2
1
二︑計算申論題：（一題20分）
11. 已知 x1
x1+ 1 =x2
x2+ 3 =x3
x3+ 5 =··· =x10
x10 + 19 且x1+x2+··· +x10 = 2005︒若
x1=n
m，且 m, n 為互質的正整數，試求 m+n之值︒
2