新北市公立高級中等學校
112 學年度教師聯合甄選
數學科試題
考生作答說明：
一、請先檢視答案卷准考證號碼、姓名是否相符？如果不符，請立即
向監試人員反映。
二、本試題計有：填充題
10 題，計算證明題 3 題。
三、題目如涉及計算，禁止使用電子計算功能設備運算。
四、答案卷與試題卷須一起繳交，始可離開試場。
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新北市公立高級中等學校
112 學年度教師聯合甄選
數學科試題
一、填充題：共10題，每題7分。
1. 求方程式
log
√5
(3
𝑥
+ 4
𝑥
) = log
2
(5
𝑥
− 3
𝑥
)的所有解𝑥共有多少個？（註:若無解，
則解的個數為0）
2. 在
3 × 3的格子中，選出5格，使得沒有任 3 顆連一直線 ( 包含直、橫、斜 ) 的
方法數？
3. 在空間中的單位球
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑧
2
= 1上，試問𝑥𝑦 + 𝑦𝑧的值，最大是多少？
4. 三邊長都是相異整數，且周長小於
15，這樣的三角形有幾個？
5. 已知
𝑝, 𝑞為質數，且𝑠 = 𝑝𝑞，而且
1
𝑠
+
1
𝑝
=
3
𝑞
，試求𝑝 + 𝑞 + 𝑠之值。
6. 兩數列〈
𝑎
𝑛
〉, 〈𝑏
𝑛
〉，滿足𝑎
1
= 2， 𝑏
1
= 1，且𝑎
𝑛+1
= 5𝑎
𝑛
+ 3𝑏
𝑛
+ 7 ，
𝑏
𝑛+1
= 3𝑎
𝑛
+ 5𝑏
𝑛
，𝑛 ∈ ℕ，試求𝑎
𝑛
的一般式。
7. 試問(
1 + 2 + ⋯ + 2023) − (2024 + 2025 + ⋯ + 4046)除以9的餘數為何？
8. 方程式
𝑥
2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0的兩根為𝛼, 𝛽且方程式𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0的兩根為
1
𝛼
, 𝛽。
若𝑎𝑏 = 2, 求(𝑏 + 1)(𝑐 + 1)之值為何？
9.
𝐴𝐵𝐶𝐷為平行四邊形且點𝐸, 𝐹分別落在𝐴𝐵, 𝐵𝐶邊上。若∆𝐴𝐸𝐷的面積等於7、∆𝐸𝐵𝐹
的面積等於3、∆𝐶𝐷𝐹的面積等於6。則∆𝐷𝐸𝐹的面積為何？
10. 求極限
lim
𝑛→∞
√
(3𝑛)!
(𝑛!)
3
𝑛
的值。
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二、計算證明題：共
3 題，每題 10 分。
1. 若方程式
𝑥
3
+ 2𝑥
2
+ 3 = 0之三根為𝛼, 𝛽, 𝛾，求|(
1
𝛼
−
1
𝛽
) (
1
𝛽
−
1
𝛾
) (
1
𝛾
−
1
𝛼
)|之值為？
2. 證明，任意四個整數，皆可以找到一個順序，經由加減乘除，得到
24的倍數。
(例如：3,4,5,6，可以(5 − 3) × (4 × 6) = 48為 24 的倍數。)
3.
𝑎, 𝑏, 𝑐皆正，且𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3，試證
𝑎
𝑏
2
+ 1
+
𝑏
𝑐
2
+ 1
+
𝑐
𝑎
2
+ 1
≥
3
2
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112 學年度教師聯合甄選
數學科答案
一、填充題：共
10 題，每題 7 分。
1. 1
2.
28 種
3.
1/√2
4. 6 種
5.
17
6.
2
3𝑛−2
+ 2
𝑛+1
− 4
7. 5
8. 2
9.
2√22
10. 27
二、計算證明題：共
3 題，每題 10 分。
略
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