1
工數一期末考 2024-01-04.doc by JT Chen 製表
國立臺灣海洋大學河海工程學系
2023 工程數學(一) 2B 班期末考 Jan. 04. 2024
系級：
學號： 姓名： (滿分 115 分)
I. 張量基本定義
(6%)
(a). 零階張量(純量): ____、____ (每格
1%
)
(b). 一階張量(向量): ____、____ (每格
1%
)
(c). 二階張量: ____、____ (每格
1%
)
II. 一階張量轉換 (矩陣全對才給分)
(8 %)
求以下兩張圖的轉換矩陣
:
r
Q
、
T
r
r
Q
Q
、
T
r
r
Q
Q
、
det[
]
r
Q
___
(每個
1 %
)
T
Q
、
T
T
T
Q
Q
、
T
T
T
Q
Q
、
det[
]
T
Q
___
(每個
1%
)
III.
2 2
矩陣相關計算
(矩陣全對才給分)
(8 %)
(a) 矩陣
0
a
b
A
a
，請計算下列矩陣(均以 a 與 b 表示)
-1
A
(
1%
)
N
A
(
1%
)
A
e
(
1%
)
A
(
1%
)
cos
A
(
1%
)
2
2
2
A
aA a I
(
1%
)
sin
A
(
1%
)
2
2
cos
sin
A
A
(
1%
)
2
工數一期末考 2024-01-04.doc by JT Chen 製表
IV.莫爾圓大檢定(請填入表格才有分)
(30%)
I = [
]
I = [
]
I =
[
19
12
5√3
4
49
12]
I̅ = [
]
I̅ = [
]
I̅ = [
]
λ
1
= ⸏ , ν
1
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
2
= ⸏ , ν
2
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
1
= ⸏ , ν
1
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
2
= ⸏ , ν
2
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
1
= ⸏ , ν
1
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
2
= ⸏ , ν
2
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
1
= ⸏ , ν
1
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
2
= ⸏ , ν
2
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
1
= ⸏ , ν
1
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
2
= ⸏ , ν
2
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
1
= ⸏ , ν
1
= ( ⸏ , ⸏ )
T
λ
2
= ⸏ , ν
2
= ( ⸏ , ⸏ )
T
𝑥
𝑦
𝑥̅
𝑦̅
𝑟
(半徑 r =1)
(轉角 θ =30˚)
(x y system)
(x y system)
(x y system)
(x̅ y̅ system)
(x̅ y̅ system)
(x̅ y̅ system)
圓心
( ⸏ , ⸏ ) 半徑 = ⸏
圓心
( ⸏ , ⸏ ) 半徑 = ⸏
圓心
( ⸏ , ⸏ ) 半徑 = ⸏
[I] 特徵值
(1%)
[I] 特徵值
(1%)
[I] 特徵值
(1%)
[I̅] 特徵值
(1%)
[I̅] 特徵值
(1%)
[I̅] 特徵值
(1%)
(邊長 2 的菱形)
(莫爾圓 1%) (莫爾圓 1%) (莫爾圓 1%)
3
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V. Jordan form 相似矩陣與矩陣餘式定理
(矩陣全對才給分 16%)
矩陣
1
1
3
1
0
2
2
1
4
A
，請求解下列問題
求特徵值，
1
2
3
,
與
1
2
3
= _____,
_____ ,
_____
(3%)
1
1 1
Av
v
，求
1
v
1
__
__
__
v
(1%)
2
1
2 2
Av
v
v
，求
2
v
2
__
__
__
v
(1%)
3
2
3 3
Av
v
v
，求
3
v
3
__
__
__
v
(1%)
1
1
2
3
1
2
3
2
3
1
0
:
0
1
0
0
A v
v
v
v
v
v
有了上述成果可整理得
1
J
A
A
D
上式
矩陣可寫成
，其中
為，
1
2
3
v
v
v
求
1
100
,
,
,
A
A
e
A
A
Method 1:透過
1
J
A
D
算
, Method 2:矩陣餘式定理 (兩種方法，任君挑選，有對的答案就好)
1
A
(2%)
A
e
(2%)
A
(2%)
100
A
(2%)
3
2
3
3
A
A
A I
(2%)
VI SVD 分解
(29 %)
給一矩陣
2
1
0
3
0
1
0
0
0
1
F
，若
T
=
F
RU
VR
，試分別求出矩陣 , , , ,
U V R
，及其的特徵值
與特徵向量
4
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(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
矩陣
Eigen value (特徵值)
Eigenvector (特徵向量)
U
1
1
2
3
__
__
__
__
__
__
__
__
,
_
,
_
2
3
V
1
1
2
3
__
__
__
__
__
__
__
__
,
_
,
_
2
3
R
1
先拉後轉是哪張圖，請以
(d)或(e)作答:ˍˍˍ
2
3
1
先轉後拉是哪張圖，請以
(d)或(e)作答:ˍˍˍ
2
3
1
T
?
R
對嗎
? (Y or N)
2
3
VII Two degrees of freedom eigenvalue and eigenvector
(14%)
雙自由度振動系統與特徵值問題
1
1
m
kg
2
3
m
kg
5
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問題
答案欄
(1) 依上圖所示，請推導出
11
12
1
11
12
1
21
22
2
21
22
2
( )
( )
0
( )
( )
0
m
m
x t
k
k
x t
m
m
x t
k
k
x t
11
m
12
m
21
m
22
m
11
k
12
k
21
k
22
k
(2) 猜
1
2
( )
cos
( )
x t
t
x t
或
1
2
( )
sin
( )
x t
t
x t
，將
(1)之矩陣轉為特徵值問題，
求特徵值
(
2
) 與對應特徵向量
1
1
1
2
2
2
通解表示式
1
2
( )
______________________
( )
______________________
x t
x t
(3) 若給初始條件
1
1
(0)
0
(0) 1
x
v
與
2
2
(0)
0
(0)
0
x
v
1
2
( )
______________________
( )
______________________
x t
x t
3
/
k
N m
6
工數一期末考 2024-01-04.doc by JT Chen 製表
VIII 可否給 NTOU/MSV 教學團隊一些建議與鼓勵，讓下學期的學習成果變更好。
(5%)
VIII 請寫下寒假如何規劃?
(5%)