國立臺灣海洋大學河海工程學系 2024 工程數學(一) 期末考
系級： 學號： 姓名：
1. 已知
c
b
a
A
2
1
是一個單位正交矩陣，並且
與 b
，試求 , , 之值。
0
a
0
a b c
?
)
AB
2
3
:
R
R
T
(10%)
2. 已知兩矩陣
,
,試求
det(
(10%)
5
3
1
0
6
5
4
3
5
4
3
2
4
3
2
1
A
0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
B
3.
令
為一線性轉換，使得
，
與
0
3
2
0
1
T
5
5
3
2
1
T
2
1
0
1
1
T
(1) 試問: (5%)
?
2
2
2
T
(2) 試問 T 為何? (5%)
4. 給定
5
3
5
2
5
2
5
3
A
，試問: lim
(10%)
?
n
A
n
5. 已知
，試問:
1
4
0
1
1
2
1
2
1
A
(1)
的特徵方程為何? (3%)
A
(2) 試由 Cayley-Hamilton 定理求
(6%)
?
3
25
100
A
A
(3) 若
，則
rI
qA
pA
A
2
1
?
p
, ?
q
,
?
r
(6%)
(4) 試將 A 化為 Jordan form，即
(6%)
1
P
J
P
A
(5) 試以 Jordan form 法計算
(6%)
?
3
25
100
A
A
(6) 若
1
1
P
J
P
A
，則
?
J
(3%)
Filename: EMI-2024-final.doc ~ by Y. T. Lee January 08, 2025
6. 佈於
4
R
的三向量
,
T
x
0
0
1
1
1
T
x
1
1
2
0
2
,
T
x
0
2
3
1
3
試請:
(1)
根據此組向量找出正交單位向量集
3
2
1
y
y
y
。
(6%)
(2)
找出與
3
2
1
y
y
y
皆垂直之單位向量
。
(4%)
4
y
7.
給方程式
0
，試以二次式法
(quadratic form)
將之轉
21
5
4
5
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
換至主軸，即將舊座標向量
]
轉換至新座標向量
，
[
2
1
x
x
T
x
]
[
2
1
y
y
T
y
試問
: (1)
其轉換矩陣為何
? (6%)
(2)
此方程代表何種圓錐曲線
? (2%)
(3)
為何種型式二次式
? (2%)
2
2
2
1
2
1
5
4
5
x
x
x
x
Q
(
正定、負定或是不定型
)
8.
試解下述聯立微分方程
4
6
3
5
2
y
x
dt
dy
t
y
x
dt
dx
(10%)
Filename: EMI-2024-final.doc ~ by Y. T. Lee January 08, 2025