國立臺灣海洋大學河海工程學系 2016 工程數學(一) 期末考參考解答
系級： 學號： 姓名：
1.
4
8
6
4
2
1
3
7
1
4
7
9
3
1
6
2
4
3
2
1
2
9
8
3
7
A
，試問:
?
A
(10%)
2. 給一矩陣
，其中 a、b、c、d 均為常數，並且知道矩陣 A 有
c
d
d
b
a
A
2
1
2
1
Filename: EMI-2016-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 11, 2017
三特徵值
1
、
2
與
3
分別對應的特徵向量為
、
與
1
1
4
2
x
x
3
0
2
2
x
x
，若已知
1
1
3
3
x
x
6
1
，試問:
(1) x
1
、x
2
與 x
3
為何? (6%)
(2)特
與
3
徵值
2
為何
a、b、c、d 之值為何
c
? (4%)
(3)
? (12%)
3. (1) 若
1
SDS
a
A
且 a
0
c
b
，其中
D
為對角矩陣，試求
D
與 S 為何?
(10%
(2) 試問
(5%)
.
A 為
矩陣，若已知 A 之特徵值為
)
?
100
A
4
3
3
1
1
,
2
2
,
3
3
且其所對應的
特徵向量為
,
,
，試問:
(1)
(10%)
1
1
1
x
1
11
14
1
2
x
1
1
1
3
x
?
A
(2)
(4%)
?
A
(3)
5
A
A
(4)
2
?
2
2
3
A
(5%)
若
，則
rI
qA
pA
A
1
?
p
,
?
q
,
?
r
(6%)
的特徵值為何
(5)
? (3%)
1
A
5. 給一方
4
2
10
6
4
2
1
2
1
x
x
x
程式
2
， 問此
次式
圓錐曲線? (10%)
將之
座標向量
轉換至新座標向量
)
. 令
，試求方程式
x
試
二
代表何種
]
[
2
1
x
x
T
x
(請
轉換至主軸，即將舊
[
2
1
y
y
T
y
]
0
1
2
1
A
,
)
(
)
(
2
1
t
y
t
y
y
,
t
e
f
2
0
f
y
A
dt
y
d
6
的解。
(15%)
Filename: EMI-2016-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 11, 2017
參考解答:
1.
4
8
6
4
2
1
3
7
1
4
7
9
3
1
6
2
4
3
2
1
2
9
8
3
7
A
，試問:
?
A
(10%)
第二列與第五列差 2 倍，兩列成比例
此行列式值為 0
. 給一矩陣
，其中 a、b、c、d 均為常數，並且知道矩陣 A 有
三特徵值
c
d
d
b
a
A
2
1
2
1
2
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1
、
2
與
3
分別對應的特徵向量為
、
與
，若已知
6
1
1
4
2
x
x
3
0
2
2
x
x
1
1
3
3
x
x
1
，試問:
x
1
、x
2
與 x
3
為何? (6%)
(2)特徵值
(1)
為何? (4%)
2%)
2
與
3
(3) a、b、c、d 之值為何? (1
此為對稱矩陣
其特徵向量會相互正交
(1)
0
)
(
2
1
x
x
T
0
2
3
2
1
x
x
0
)
(
x
x
3
1
T
3
1
2
4
x
x
(
0
)
3
2
x
x
T
3
2
x
可得
與
2
1
x
1
3
x
與
即
、
2
4
2
1
x
3
0
3
2
x
1
1
1
3
x
(2)
Ax
6
d
1
1
10
1
x
2
4
2
2
4
2
2
1
2
1
c
d
b
a
a
2
2
12
2
x
Ax
3
0
3
3
0
3
2
1
2
1
10
2
c
d
d
b
2
3
3
3
x
Ax
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
10
3
c
d
d
b
9
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(3)
1
1
2
2
1
x
Ax
2
4
2
6
2
4
2
2
1
2
1
10
c
d
d
b
16
2
4
26
2
4
c
d
d
b
2
x
Ax
3
0
3
12
3
0
3
2
1
2
1
10
c
d
d
b
36
3
6
0
3
3
c
d
可得
,
與
1
d
10
c
7
b
即
3. (1) 若
且
c
a
10
1
2
1
7
1
2
1
10
A
1
0
SDS
c
b
a
A
，其中
D
為對角矩陣，試求
D
與 S 為何?
(10%)
(2) 試問
(5%)
?
100
A
0
0
c
b
a
(1)
|
A
0
|
I
c
a or
當
1
a
0
0
c
b
0
0
2
1
x
x
a
c
0
1
2
1
1
x
x
x
1
2
1
2
a
c
b
x
x
x
0
0
0
0
2
1
x
x
b
c
a
當
2
,
1
0
1
a
c
b
S
1
0
1
1
a
c
b
S
c
a
D
0
0
(2)
1
SDS
A
100
100
100
100
100
100
1
100
100
0
)
(
1
0
1
0
0
1
0
1
c
a
c
a
c
b
a
a
c
b
c
a
a
c
b
S
SD
A
4.
A 為
矩陣，若已知 A 之特徵值為
3
3
1
1
,
2
2
,
3
3
且其所對應的
特徵向量為
,
,
，試問:
(1)
(10%)
1
14
1
1
1
x
1
11
2
x
1
1
1
3
x
?
A
(2)
?
A
(4%)
(3)
(5%)
，則
?
5
2
2
3
A
A
A
(4) 若
pA
2
1
rI
qA
A
?
p
,
?
q
,
?
r
(6%)
的特徵值為何? (3%)
1
A
(5)
(1)
1
SDS
SD
AS
A
3
0
0
0
2
0
0
1
D
0
由
1
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1
,
2
2
,
3
3
由
1
1
1
1
x
,
14
1
11
2
x
,
1
1
1
3
x
1
14
1
1
1
1
1
11
1
S
12
3
15
2
2
0
10
25
15
30
1
1
S
0
2
0
1
1
1
1
SDS
A
1
3
1
1
1
1
3
2
2
12
3
15
2
2
0
10
25
15
30
1
3
0
0
0
0
1
1
14
1
1
11
1
(2)
6
3
2
1
A
(3) 特徵方程式:
0
)
3
)(
2
)(
1
(
Filename: EMI-2016-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 11, 2017
由 Cayley Hamilton 可知
0
6
5
2
2
3
0
6
5
2
2
3
I
A
A
A
I
A
A
A
6
5
2
2
3
(4)
A
A
5
2
2
3
I
A
6
2
3
1
6
)
5
2
(
A
A
A
A
A
1
)
5
2
(
1
2
1
I
A
A
A
6
6
1
p
,
3
1
q
,
6
5
r
(5)
1
的特徵值為
A
1
1
、
2
1
、
3
1
即
1
、
2
1
、
3
1
方
5. 給一
程式
6
4
10
4
2
1
2
x
x
x
x
2
試問此二次式代表何種圓錐曲線? (10%)
(請將之轉換至主軸，即將舊座標向量
2
1
，
2
1
x
x
T
x
轉換至新座標向量
2
1
y
y
T
y
)
10
4
6
4
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
2
1
x
x
10
4
3
3
4
2
1
x
x
令
4
3
3
4
A
0
4
3
3
4
I
A
0
25
2
5
or
5
當
5
1
0
3
0
9
3
1
2
1
x
x
1
3
10
1
2
1
1
x
x
x
當
5
2
0
0
1
3
3
9
2
1
x
x
3
1
10
1
2
1
2
x
x
x
,
5
0
0
5
D
3
1
1
3
10
1
S
T
SDS
SDS
A
1
10
x
)
(
)
(
x
x
x
x
x
T
T
T
T
T
T
S
D
S
SDS
A
令
此為雙曲線
(hyperbola)
x
y
T
S
10
y
y
x
x
D
A
T
T
10
5
0
0
5
2
1
2
1
y
y
y
y
10
5
5
2
2
2
1
y
y
2
2
2
2
1
y
y
Filename: EMI-2016-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 11, 2017
6. 令
，試求方程式
0
1
2
1
A
,
)
(
)
(
2
1
t
y
t
y
y
,
t
e
f
2
0
f
y
A
dt
y
d
的解。
(15%) (105 中央大地)
0
)
det(
I
A
0
2
1
2
1
2
2
,
1
當
1
1
0
1
1
2
1
x
0
2
2
x
1
x
1
1
1
x
2
x
,
,
0
0
2
1
2
1
2
1
x
x
1
2
2
1
2
x
x
x
當
2
1
2
0
0
1
D
1
2
1
S
1
3
1
1
2
1
1
1
S
f
y
A
dt
y
d
f
y
SDS
dt
y
d
1
f
S
y
DS
dt
y
S
d
1
1
1
)
(
x
S
y
y
S
x
1
令
f
S
y
DS
dt
y
S
d
1
1
1
)
(
f
S
x
D
dt
x
d
1
t
e
t
x
t
x
t
x
t
x
2
0
1
1
2
1
3
1
)
(
)
(
2
0
0
1
)
(
)
(
2
1
2
1
t
t
e
e
t
x
t
x
t
x
t
x
3
2
3
4
)
(
)
(
2
0
0
1
)
(
)
(
2
1
2
1
t
t
e
t
x
t
x
e
t
x
t
x
3
2
)
(
2
)
(
3
4
)
(
)
(
2
2
1
1
t
t
t
t
e
e
c
t
x
e
e
c
t
x
3
2
)
(
3
2
)
(
2
2
2
1
1
x
S
y
)
(
)
(
1
1
2
)
(
)
(
2
1
2
1
t
x
t
x
t
y
t
y
1
2
t
t
t
t
t
e
c
e
c
e
e
c
e
c
t
y
t
y
2
1
2
2
1
2
1
2
2
)
(
)
(