國立臺灣海洋大學河海工程學系 2018 工程數學(一) 期末考參考解答
系級： 學號： 姓名：
1. 已知矩陣
，試求:
(10%)
1
0
2
1
0
2
0
0
0
0
1
0
3
0
0
1
A
1
A
2. 已知矩陣
且
3
0
3
0
7
0
A
為實數
試問: 若要使
存在，則
1
A
不可為何值? (10%)
3. 已知
，
3
6
3
2
A
1
2
5
2
8
1
1
B
，試求:
(1)
(2)
(3)
?
)
3
det(
T
A
?
)
det(
T
B
?
)
det(
AB
(4)
(20%)
?
)
(
1
AB
4. (1)
給一矩陣
，試求
,
使得矩陣
A
有特徵向量
,
(10%)
b
a
A
6
2
T
a
b
T
}
1
,
3
{
1
x
}
1
,
2
{
2
x
(2)
試找出ㄧ矩陣
B
，使得
B
與
A
有相同之特徵向量，並且其特徵值為
1
1
與
2
2
。
(5%)
(3)
試求
(5%)
?
10
B
5.
給方程式
，試問此二次式代表何種圓錐曲線
? (10%)
16
4
12
4
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
(
請將之轉換至主軸，即將舊座標向量
]
轉換至新座標向量
[
2
1
x
x
T
x
)
]
[
2
1
y
y
T
y
6.
已知
，試問
:
4
6
0
1
1
0
1
2
1
A
(1)
的特徵方程為何
? (4%)
A
(2)
(8%)
?
3
3
2
2
9
10
I
A
A
A
(3)
若
，則
rI
qA
pA
A
2
1
?
p
, ?
q
,
?
r
(8%)
7.
試解
:
z
Ax
dt
dx
其中
,
。
(10%)
3
1
1
3
A
t
t
e
e
z
2
2
2
6
Filename: EMI-2018-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 09, 2019
參考解答:
1.
已知矩陣
，試求:
(10%)
1
0
2
1
0
2
0
0
0
0
1
0
3
0
0
1
A
1
A
8
)
det(
A
1
0
2
1
0
2
0
0
0
0
4
0
3
0
6
1
4
1
2
0
4
2
0
4
0
0
0
0
8
0
6
0
12
2
8
1
2
0
0
6
0
4
0
0
4
0
8
12
2
0
0
2
8
1
1
T
T
A
2. 已知矩陣
且
3
0
3
0
7
0
A
為實數
試問: 若要使
存在，則
1
A
不可為何值? (10%)
存在即
1
A
0
)
det(
A
0
)
3
)(
3
(
3
0
3
0
7
0
不可是
0, 3
或是
-3
3. 已知
，
3
6
3
2
A
1
2
5
2
8
1
1
B
，試求:
(1)
(2)
(3)
?
)
3
det(
T
A
?
)
det(
T
B
?
)
det(
AB
(4)
(20%)
?
)
(
1
AB
(1)
12
3
6
3
2
)
det(
A
108
)
12
(
9
)
det(
3
)
3
det(
)
3
det(
2
T
T
A
A
A
(2)
8
1
8
1
8
2
8
5
8
2
)
det(
1
B
I
BB
1
)
)
det(
)
det(
1
B
B
det(
)
det(
1
I
BB
1
8
)
det(
B
8
)
det(
)
det(
B
B
T
(3) 96
)
det(
)
det(
)
det(
B
A
AB
(4)
3
6
3
2
A
2
6
3
3
12
1
1
A
Filename: EMI-2018-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 09, 2019
2
6
3
3
1
2
5
2
96
1
)
(
1
1
1
A
B
AB
2
3
4
9
24
1
8
12
16
36
96
1
4. (1)
給一矩陣
，試求
,
使得矩陣 A 有特徵向量
,
(10%)
b
a
A
6
2
T
a
b
T
}
1
,
3
{
1
x
}
1
,
2
{
2
x
(2)
試找出ㄧ矩陣 B，使得 B 與 A 有相同之特徵向量，並且其特徵值為
1
1
與
2
2
。
(5%)
(3)
試求
(5%)
?
10
B
(1)
0
0
1
3
6
2
|
|
1
1
1
1
b
a
I
A
x
4
1
0
0
1
2
6
2
|
|
2
2
2
2
b
a
I
A
x
5
2
0
5
2
0
4
3
b
a
b
a
7
1
b
a
(2)
SD
BS
1
SDS
B
4
1
6
1
1
1
2
3
2
0
0
1
1
1
2
3
1
B
(3)
1
10
10
S
SD
B
3070
1023
6138
2045
1
1
2
3
2
0
0
1
1
1
2
3
1
10
10
5.
給方程式
，試問此二次式代表何種圓錐曲線
? (10%)
16
4
12
4
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
(
請將之轉換至主軸，即將舊座標向量
]
轉換至新座標向量
[
2
1
x
x
T
x
)
]
[
2
1
y
y
T
y
其中
16
4
12
4
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
16
4
6
6
4
x
x
T
2
1
x
x
x
Filename: EMI-2018-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 09, 2019
由
0
|
|
I
A
0
4
6
6
4
2
or
10
當
10
時，
0
0
6
6
6
6
2
1
x
x
1
1
2
1
2
1
1
x
x
x
當
2
時，
0
0
6
6
6
6
2
1
x
x
1
1
2
1
2
1
1
x
x
x
1
1
1
1
2
1
s
1
1
1
1
2
1
1
T
s
s
令
x
s
y
T
16
4
6
6
4
x
x
T
16
2
0
0
10
x
s
s
x
T
T
16
2
0
0
10
y
y
T
16
2
10
2
2
2
1
y
y
1
8
6
.
1
2
2
2
1
y
y
此為雙曲線
6.
已知
，試問
:
4
6
0
1
1
0
1
2
1
A
(1)
的特徵方程為何
? (4%)
A
(2)
(8%)
?
3
3
2
2
9
10
I
A
A
A
(3)
若
，則
rI
qA
pA
A
2
1
?
p
,
?
q
,
?
r
(8%)
(1) 0
|
|
I
A
0
4
6
0
1
1
0
1
2
1
0
2
5
4
2
3
0
)
2
(
)
1
(
2
2
,
1
,
1
(2)
由
Cayley-Hamilton
定理可知
:
0
2
5
4
2
3
I
A
A
A
rI
qA
pA
I
A
A
A
A
Q
I
A
A
A
2
2
3
2
9
10
)
2
5
4
(
)
(
3
3
2
r
q
p
Q
2
2
3
2
9
10
)
2
5
4
(
)
(
3
3
2
代入
2
可得
r
q
p
2
4
15
… (1)
代入
1
可得
r
q
p
7
… (2)
微分後代入
1
可得
q
p
2
14
… (3)
解聯立後可得
,
,
6
26
q
p
13
q
31
48
0
8
9
0
16
88
7
13
26
6
3
3
2
2
2
9
10
I
A
A
I
A
A
A
Filename: EMI-2018-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 09, 2019
(3)
0
2
5
4
2
3
I
A
A
A
0
)
2
5
4
(
2
3
1
I
A
A
A
A
2
1
3
0
2
1
2
0
2
3
7
1
2
5
2
2
1
2
1
I
A
A
A
7. 試解:
z
Ax
dt
dx
其中
,
。
(10%)
3
1
1
3
A
t
t
e
e
z
2
2
2
6
0
)
det(
I
A
Filename: EMI-2018-finals.doc ~ by Y. T. Lee January 09, 2019
0
)
2
)(
4
(
3
1
1
3
2
or
4
當
4
0
0
1
1
1
1
2
1
x
x
1
1
2
1
2
x
x
x
當
2
0
0
1
1
1
1
2
1
x
x
1
1
2
1
1
x
x
x
1
1
1
1
1
1
2
0
0
4
1
1
1
1
SDS
A
令
Sy
x
z
ASy
dt
dy
S
z
S
ASy
S
dt
dy
1
1
t
t
e
e
y
y
y
y
2
2
1
2
1
2
1
2
6
1
1
1
1
2
0
0
4
t
t
e
y
y
e
y
y
2
2
2
2
1
1
2
2
4
4
t
t
t
t
te
e
c
y
e
e
c
y
2
2
2
2
2
4
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
y
y
x
x
t
t
t
t
t
t
t
t
te
e
e
c
e
c
te
e
e
c
e
c
y
y
y
y
x
x
2
2
2
2
4
1
2
2
2
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2