國立臺灣海洋大學河海工程學系 2024 工程數學(二) 期末考
系級： 學號： 姓名：
1. 試求下列
的拉普拉斯轉換為何? (24%)
)
(t
f
(1)
)
2
(
)
(
t
t
f
(2)
(3)
t
t
f
2
sin
)
(
2
t
t
t
f
2
sin
)
(
(4)
t
t
t
f
2
sin
1
)
(
(5)
)
4
2
sin(
)
(
t
t
f
(6)
t
e
t
f
t
2
sin
)
(
2
2. 試求下列各圖函數的拉普拉斯轉換為何? (12%)
(1) (2) (3)
f
1
(t)
f
2
(t)
f
3
(t)
Filename: EMII-2024-final.doc ~ by Y. T. Lee June 11, 2024
?
)]
(
[
1
t
f
L
?
)]
(
[
2
t
f
L
?
)]
(
[
3
t
f
L
3. 試求下列
的拉普拉斯逆轉換為何? (24%)
)
(s
F
(1)
)
4
(
1
)
(
2
s
s
s
F
(2)
)
4
(
1
)
(
2
2
s
s
s
F
(3)
2
2
)
4
(
)
(
s
s
s
F
(4)
4
4
1
)
(
2
s
s
s
F
(5)
4
2
1
)
(
2
s
s
s
F
(6)
2
2
)
(
2
s
s
e
s
F
s
4. 試以 Laplace 轉換法求解第二類 Volterra 積分方程式
(1)
(10%)
t
d
t
y
t
y
t
0
)
sin(
)
(
)
(
(2)
(10%)
t
d
t
y
t
y
t
sinh
1
)
(
)
1
(
)
(
0
5. 兩函數
與
的摺積(Convolution)定義式為
)
(t
f
)
(t
g
，令
試求
，
t
d
t
g
f
t
g
t
f
0
)
(
)
(
)
(
)
(
,
1
,
0
,
1
0
,
1
)
(
t
t
t
r
)
(
)
(
t
r
t
r
並繪製此函數圖。 (15%)
6.
且
與
)
(
)
(
4
)
(
t
g
t
y
t
y
0
)
0
(
y
0
)
0
(
y
，試以拉普拉斯轉換法解之
(1) 當
時，
(10%)
t
t
g
2
sin
)
(
?
)
(
t
y
(2) 當
時，
2
,
1
2
1
,
1
1
0
,
0
)
(
t
t
t
t
t
g
?
)
(
t
y
(10%)
7. 試使用拉普拉斯轉換求解下述聯立微分方程組 (15%)
且
0
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
t
x
t
y
t
x
t
t
y
t
x
t
x
1
)
0
(
x
,
2
)
0
(
y
8. 針對工數這門課的教學方式與如何學好這門課有何感想與建議? (10%)
t
a
c
b
a
b
a
t
t
拉普拉斯轉換 :
0
)
(
)]
(
[
)
(
dt
e
t
f
t
f
s
F
st
L
第一平移定理:
)
(
)]
(
[
a
s
F
t
f
e
at
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第二平移定理:
)
(
)]
(
)
(
[
s
F
e
a
t
u
a
t
f
as
L
尺度變換:
)
(
1
)]
(
[
a
s
F
a
at
f
L
微分函數的拉普拉斯轉換:
)
0
(
)
(
)]
(
[
f
s
sF
t
f
L
)
0
(
)
0
(
)
(
)]
(
[
2
f
sf
s
F
s
t
f
L
積分函數的拉普拉斯轉換:
s
s
F
dx
x
f
t
)
(
]
)
(
[
0
L
2
0
0
)
(
]
)
(
[
s
s
F
d
dx
x
f
t
L
拉普拉斯轉換的微分:
)
(
)
1
(
)]
(
[
s
F
ds
d
t
tf
L
)
(
)
1
(
)]
(
[
2
2
2
2
s
F
ds
d
t
f
t
L
拉普拉斯轉換的積分:
s
d
f
t
t
f
)
(
]
)
(
[
L
s
d
d
f
t
t
f
)
(
]
)
(
[
2
L
摺積:
t
t
d
g
t
f
d
t
g
f
t
g
t
f
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
(
)]
(
*
)
(
[
s
G
s
F
t
g
t
f
L
雙曲函數:
2
cosh
at
at
e
e
at
2
sinh
at
at
e
e
at
初值定理:
)
(
lim
)
(
lim
0
s
sF
t
f
s
t
終值定理:
)
(
lim
)
(
lim
0
s
sF
t
f
s
t
一階線性 ODE:
)
(
)
(
)
(
)
(
x
q
x
y
x
p
x
y
其積分因子為
dx
x
p
e
)
(
Filename: EMII-2024-final.doc ~ by Y. T. Lee June 11, 2024