新 竹 縣
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學 年 度 國 民 中 學 創 新 思 考 金 頭 腦 數 學 競 賽 試 題 卷
第一試：單一選擇題
(每題 2.5 分，共計 100 分) ※題目中所有圖形僅供參考
學校：
__________國中 姓名：__________________
1.如圖，四邊形 ABCD 中，若BA
̅̅̅̅⊥DA
̅̅̅̅，BC
̅̅̅̅⊥DC
̅̅̅̅，且 AD = AB
̅̅̅̅＝5√2，CD
̅̅̅̅ = 6，則四邊形 ABCD 的面積為何？
(A)49 (B)50√2 (C)49 + 49√2 (D)50 + 50√2 。
2.計算(−4)
101
+ (−4)
100
=？
(A)−4
100
(B)−3 × 4
100
(C)4 (D)−4 。
3.設一次函數f(x) = ax + b滿足f(2) − f(7) = －20。若m − n = 4，則f(m) − f(n) = ？
(A)－80 (B)－16 (C)16 (D)80 。
4.若多項式 A 減去5x
2
+ 7x − 6的結果為−4x
2
+ 6x − 2，請問多項式 A 為？
(A)9x
2
+ x − 4 (B) −x
2
+ 13x + 8 (C) −9x
2
+ x − 4 (D)x
2
+ 13x − 8 。
5.一元二次方程式x
2
+ (m + 1)x + 19 = 3的解為相等的兩數，則 m 的值為何？
(A)4 (B)±8 (C)−7或9 (D)−9或7 。
6.請計算532 × 0.76 − 536 × 0.34 + 268 × 0.76 − 532 × 0.68 =？
(A) 54 (B) 64 (C) 68 (D) 76 。
7.如圖， AC 與
BD
互相垂直，若 ADE
面積為 36， CDE
面積為 45， ABE
面積為 60，則 BCE
面積為多少？
(A) 65 (B) 70 (C) 75 (D) 80 。
8.有一個三角形，它的兩個外角和為300°，則這個三角形是哪一種三角形？
(A)鈍角三角形 (B)直角三角形 (C)正三角形 (D)無法判斷 。
9.阿忠想在右圖的方格中填入適當的數字，使得每一行、每一列以及對角線上的數字和都是相同的，則※之值是多少？
(A) 23 (B) 24 (C) 26 (D) 30 。
10.已知正三角形
的邊長為 3，在
邊及
邊上，分別取一點
及 ，使
、
，那麼四邊形
的周長是多少？
(A)10 (B)9 (C)8 (D)7 。
11.已知a
1
、a
2
、 … 、a
35
皆為正整數，假設d為a
1
、a
2
、 … 、a
35
的最大公因數，若a
1
+ a
2
+ ⋯ + a
35
= 2145，則下列何者不可能為d的值？
(A)33 (B)39 (C)55 (D)65 。
ABC
AB
BC
D
E
1
BD =
1
BE =
ADEC
E
B
A
D
C
12.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形AODE為矩形，其中AC
̅̅̅̅、BD
̅̅̅̅相交於O點，BD
̅̅̅̅ = 2AC
̅̅̅̅，且菱形ABCD之
面積為64平方單位，則OE
̅̅̅̅ = ？
(A)2√5 (B)2√10 (C)4√5 (D)4√10 。
13.設
, ,
a b c
為正整數，若
a
為 15 的倍數， b 為 12 的倍數，
c
為 21 的倍數，則下列何者恆為正確？
(A) a b c
+ + 必為2的倍數 (B) a b c
+ + 必為9的倍數 (C)
2
(
)
a b c
+ +
必為9的倍數 (D)
2
2
2
a
b
c
+
+
必為18的倍數 。
14.如圖，在∆ABC中，已知∠A=50°，BD
̅̅̅̅、CE
̅̅̅̅分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，則∠BEC+∠BDC=？
(A)165° (B)115° (C)130° (D)65° 。
15.Ct 值的英文全名為「cycle threshold」，中文又可稱為循環數閥值，是新冠肺炎病毒基因在實驗室中，透過病毒核酸檢測(PCR)之後所測出
來的數值。Ct 值多 1 就代表將檢體放大 2 倍後始可發現病毒，放大的次數愈多代表病毒愈不容易被發現。簡單來說 Ct 值差 1 就代表差了
2 倍的病毒量。舉例來說，案甲檢驗確診時 Ct 值為 14，也就是他在接受 PCR 檢測時檢體需要複製 2 的 14 次方倍始發現病毒。試問案乙
的 Ct 值為 25，其病毒量為案甲的幾倍？
(A)9 (B)512 (C)
1
9
(D)
1
512
。
16.某國中有學生 2240 人，其中男、女生人數比為 4：3。經視力檢查的結果，發現男生中有
2
5
的人近視、女生中有
1
5
的人近視。則所有近視學
生的人數與全校學生人數的比值是多少？
(A)
3
5
(B)
1
5
(C)
13
35
(D)
11
35
。
17.某次段考全班學生中，不及格人數比及格人數的 3 倍多 3 人，及格人數只有全班人數的
1
3
少 4 人，則全班有多少人不及格？
(A) 6 人(B)9 人(C)30 人(D)39 人。
18.設√x 的整數部份是3，√y 的整數部份是10，若a = √x + y 是正整數，求a =？
(A)10 (B)11 (C)12 (D)13 。
19.已知A、B均為x的多項式，且B≠0。若A÷B的商式為x－4，餘式為9，則下列何者為(A÷5B)的商式及餘式？
(A)商式為x－4，餘式為9 (B)商式為
x−4
5
，餘式為
9
5
(C)商式為x－4，餘式為
9
5
(D)商式為
x−4
5
，餘式為9 。
20.如圖，CD
̅̅̅̅為AB
̅̅̅̅之中垂線，則下列敘述何者錯誤？
(A)
CB
CA =
(B)
CD
AB ⊥
(C)以 D 點為圓心， DA 為半徑畫一圓，則圓必通過 A、B 兩點
(D)以 A 點為圓心， DA 為半徑畫一圓，則圓必通過 C、D 兩點。
21.若{
2021𝑥 + 2019𝑦 = 2010
2019𝑥 + 2021𝑦 = 2030
，請問x + 3y − 1 =？
(A) 11 (B) 13 (C) 2023 (D) 2025 。
22.已知x為大於 1 的數，且x +
1
x
= 3，則試求x
2
−
1
x
2
= ？
(A)3√5 (B)5√3 (C)7 (D) 7√5 。
23.四條直線𝐿
1
、
𝐿
2
、
𝑀
1
、
𝑀
2
相交情形如右圖所示，下列敘述何者正確？
(A)𝑀
1
//𝑀
2
、𝐿
1
, 𝐿
2
相交於圖形右方
(B)𝑀
1
//𝑀
2
、𝐿
1
, 𝐿
2
相交於圖形左方
(C) 𝐿
1
, 𝐿
2
相交於圖形右方、𝑀
1
, 𝑀
2
相交於圖形下方
(D) 𝐿
1
, 𝐿
2
相交於圖形左方、𝑀
1
, 𝑀
2
相交於圖形下方 。
24.試問的一元一次方程式
𝑋
1×2
+
𝑋
2×3
+
𝑋
3×4
+ ⋯ +
𝑋
99×100
= 99的解x=？
(A)100 (B)99 (C)
1
100
(D)
1
99
。
25.若一等差數列的首項
1
a =
−3，公差為 4，第 n 項為
n
a ，則
20
19
4
3
2
1
......
a
a
a
a
a
a
−
+
+
−
+
−
之值為多少？
(A) 30
−
(B) 40
−
(C) 60
−
(D) 80
−
。
26.高斯國中派出若干人參加啦啦隊的表演，依老師的設計，所有的人出場時的隊型是一個實心的方陣，後來變換隊型後，變成三層的中空
方陣；若排成實心方陣時，最外層每邊的人數比排成中空方陣最外層每邊的人數少 12 人。請問高斯國中派出多少人參加啦啦隊的表演？
【註:所謂的「方陣」就是排成正方形的意思】
(A)324 (B)256 (C)225 (D)196 。
27.已知等差數列a
1
、a
2
、a
3
、 … 、a
n
中，a
65
− a
50
= 60，則下列哪兩項的差為16？
(A)a
8
、a
24
(B)a
52
、a
56
(C) a
1
、a
16
(D) a
42
、a
48
。
28.求(
1
3
+
1
4
+. . . +
1
2022
) (
1
2
+
1
3
+. . . +
1
2021
) － (
1
2
+
1
3
+. . . +
1
2022
) (
1
3
+
1
4
+. . . +
1
2021
) =？
(A) 1 (B)
1
1011
(C)
1
2022
(D)
1
4044
。
29.如圖，A、B、C、D 在同一平面上，已知AB
̅̅̅̅ = AC
̅̅̅̅ = AD
̅̅̅̅且∠BAC＜∠CAD，則下列哪個關係式不成立？
(A)∠ABC > ∠ADC (B)AC
̅̅̅̅ >
1
2
BD
̅̅̅̅ (C)∠BDC > ∠DBC (D)CD
̅̅̅̅ > BC
̅̅̅̅ 。
30.座標平面上，直線ax + by + c = 0不通過第二象限，且abc ≠ 0，則直線bx + cy − a = 0 必不通過第幾象限？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 。
31.將蘋果 66 個，橘子 88 個，甜柿 100 個，平均分給若干人，結果蘋果剩 3 個，橘子剩 4 個，甜柿不夠 5 個，則每人平均最多可分得多少
個水果？
(A) 12 (B) 21 (C) 35 (D) 36 。
90
89
89
L
1
M
2
M
1
L
2
91°
89°
32.如圖，125 個完全一樣的小正方體組合成一個大正方體，斜線部分是準備貫穿的方形孔(即一個方形孔將會
拿掉 5 個小正方體)，請問該拿掉的都拿掉之後剩下多少個小正方體？
(A)80 (B)86 (C)89 (D)95 。
33.已知m、n為正整數且6n
2
− 65n + 171 = m
2
+ m，請問m + n可能為下列何者？
(A)16 (B)17 (C)18 (D)19 。
34.在四邊形 ABCD 中，∠ABC=60°，∠BAD=150°，且AB
̅̅̅̅ = BC
̅̅̅̅ = 4。若四邊形 ABCD 的周長為 16，則AD
̅̅̅̅ = ？
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 。
35.滿足不等式𝑛
200
< 5
300
的最大整數n為何？
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 。
36.已知連續三個正奇數的乘積是一個六位數4 × 10
5
+ 𝑎 × 10
4
+ 𝑏 × 10
3
+ c × 10
2
+ 𝑑 × 10 + 3，其中a、𝑏、𝑐、𝑑均為阿拉伯數字，則此連
續三奇數的和為何？
(A)231 (B)237 (C)246 (D)249 。
37.設 S 為正整數 1,2,3,…,2000,…所成的集合，即 S = {1,2,3,…,2000,…}，則刪除 S 中的完全平方項後的第 2022 項為？
(注意：1 = 1
2
視為一完全平方項)
(A)2067 (B)2066 (C)2106 (D)2105 。
38.由小至大寫了 81 個連續正奇數，總和為3
30
，則寫下的第 40 個數為下列何者？
(A)3
15
(B)3
26
(C)3
15
− 2 (D)3
26
− 2 。
39.求
1
1×2×3
+
1
2×3×4
+
1
3×4×5
+ ⋯ +
1
19×20×21
？
(A)
209
840
(B)
211
840
(C)
101
420
(D)
103
420
。
40.有一個大時鐘每走一分鐘它會較正確時間慢 10 秒鐘，若某天上午 9 點整被校正為正確時間，則當天下午鐘面指針在兩點整時，此刻正確
的時間應該是幾點幾分？
(A)2 點 40 分 (B)2 點 50 分 (C)3 點 00 分 (D)3 點 10 分 。