1
全國高中 109 年(108 學年度)
高三上學測模擬考數學(108-E1)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇題（占 65 分）
一、單選題（占 35 分）
1. 已知 a 為實數且
1
0
a
，則下列各數中哪一個數最小？
(1)
2
a
(2)
3
a
(3)
a
2
log
(4)
a
3
log
(5)
a
2
。
【109 全國模】
答：
(3)
解：當
1
0
a
時，
2
a ，
3
a ，
a
2
均為正數，而
0
log
log
3
2
負少
負多
a
a
，
2. 設
3
12
21
3
20
37
a
，則 a 是下列哪一個方程式的根？
(1)
0
33
12
2
x
x
(2)
0
64
2
x
(3)
0
31
12
2
x
x
(4)
0
13
10
2
x
x
(5)
0
46
14
2
x
x
。
【109 全國模】
答：(2)
解：
108
2
21
300
2
37
a
9
12
2
9
12
12
25
2
12
25
8
9
12
12
25
，是
0
64
2
x
的根
3. 不等式
10
2
4
x
x
有幾個整數解？
(1) 9 個 (2)
11
個 (3)13 個 (4)15 個 (5)17 個。
【109 全國模】
答：(1)
解：
10
2
4
x
x
，可得
6
4
x
，整數解有
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
共 9 個
4.
已知數線上三點
2
A
、
4
B
、
x
C
，且
4
2
x
，若 AC ：
AB
BC
： AC ，
則 x 之值為何？
(1)
3
1
(2)
5
1
(3)
1
3
2
(4)
2
3
3
(5)
2
3
5
。
【109 全國模】
答：
(2)
解： AC ：
AB
BC
： AC
2
x
：
2
4
4
x
：
2
x
x
x
4
2
2
2
0
4
2
2
x
x
5
1
x
（因為
4
2
x
，取正）
5
1
x
5.
x
f
是三次實係數多項式，
若
x
f
除以
2
2
x
x
的餘式是
1
2
x
，且
x
f
除以
x
x
2
的餘式是 3 ，
則
x
f
除以
2
2
x
的餘式為何？
(1)
1
(2)
1
2
x
(3)
1
3
x
(4)
1
4
x
(5)
3
4
x
。
【109 全國模】
2
答：
(1)
解：
1
2
2
2
x
b
ax
x
x
x
f
3
2
c
ax
x
x
x
f
1
2
3
3
2
1
3
1
2
0
a
b
b
a
f
b
f
則
1
1
2
3
2
1
2
2
2
2
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
表
x
f
除以
2
2
x
的餘式為
1
6.
設 a 、 b 為實數，函數
x
x
f
3
log
的圖形上有兩點
a
f
a
A
,
、
b
f
b
B
,
，
已知
1
b
a
且
2
b
f
a
f
，則 a 之值為何？
(1)
3
2
(2)
9
4
(3)
7
8
(4)
3
4
(5)
8
9
。
【109 全國模】
答：
(5)
解：由
b
f
a
f
b
a
3
3
log
log
2
log
3
b
a
2
3
b
a
b
a
9
又
1
b
a
1
9
1
a
a
8
9
a
7.
設 a 、 b 為實數，已知二次函數
b
x
a
y
2
2
的圖形與 x 軸交於
A
、
B
兩點且
6
AB
，若二次函數
b
x
a
y
2
2
2
的圖形與 x 軸交於 C 、
D
兩點，則 CD 之長為何？
(1) 4
(2)
37
(3)
61
(4)
2
6
(5)
8 。
【109 全國模】
答：
(4)
解：
a
b
x
b
x
a
y
2
0
2
2
9
6
2
a
b
a
b
AB
a
b
x
b
x
a
y
2
2
0
2
2
2
2
6
18
2
2
2
a
b
CD
二、多選題（占 30 分）
8.
設
6
6
5
9
a
，則下列哪些質數是 a 的因數？
(1)
7
(2)
11
(3)
23
(4)
31
(5)
61 。
【109 全國模】
答：
(1)(5)
解：
3
3
3
3
2
3
2
3
6
6
5
9
5
9
5
9
5
9
2
2
2
2
5
5
9
9
5
9
5
5
9
9
5
9
151
61
7
2
61
14
151
4
3
3
9.
下列選項中哪些選項的敘述是正確的？
(1)
函數
3
x
x
f
的圖形對稱於
0
,
0
(2)
函數
x
x
x
f
3
的圖形對稱於
0
,
0
(3)
函數
x
x
f
的圖形對稱於
y
軸
(4)
函數
x
x
f
2
與
x
x
g
2
的圖形對稱於 x 軸
(5)函數
x
x
f
2
與
x
x
g
2
log
的圖形對稱於直線
x
y
。
【109 全國模】
答：
(1)(2)(3)(5)
解：
(1)
○；
x
f
x
x
x
f
3
3
∴
x
f
對稱於
0
,
0
(2)
○；
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
3
3
3
∴
x
f
對稱於
0
,
0
(3)
○；
x
f
x
x
x
f
∴
x
f
對稱於 y 軸
(4)
×；
x
f
與
x
g
的圖形對稱於
y
軸
(5)
○；
x
x
f
2
1
與
x
x
g
2
1
log
互為反函數，圖形對稱於直線
x
y
10.
設
0
a
、
0
b
，已知
2
,
1
,
y
x
與
1
,
2
,
y
x
都是方程式
2
y
x
b
a
的解，
則下列選項中哪些
y
x ,
也是方程
2
y
x
b
a
的解？
(1)
20
log
,
2
log
,
y
x
(2)
4
,
3
,
y
x
(3)
1
,
0
,
y
x
(4)
4
,
2
1
, y
x
(5)
100
,
99
,
y
x
。
【109 全國模】
答：
(1)(2)
解：
2
,
1
,
y
x
與
1
,
2
,
y
x
都是方程式
2
y
x
b
a
的解，
2
1
2
2
4
2
2
1
1
b
a
b
a
ab
b
a
1
2
2
1
2
y
x
y
x
b
a
y
x
11.
下列哪些多項式不等式的實數解是
3
1
x
？
(1)
0
3
1
x
x
(2)
0
3
1
2
x
x
x
(3)
0
3
1
3
x
x
(4)
0
1
3
1
2
x
x
x
x
(5)
0
4
3
1
3
x
x
x
。
【109 全國模】
答：
(1)(3)(4)
解：
(1)
○；
0
3
1
x
x
3
1
x
(2)
×；
0
3
1
2
x
x
x
3
1
x
，但
0
x
(3)
○；
0
3
1
3
x
x
3
1
x
(4)
○；因
1
2
x
x
恆正，
所以
0
1
3
1
2
x
x
x
x
與
0
3
1
x
x
有相同解
3
1
x
4
(5)
×；
0
4
3
1
3
x
x
x
0
16
4
4
3
1
3
3
2
3
x
x
x
x
x
0
4
3
1
3
x
x
x
3
4
x
或
3
1
x
12.
已知三次實係數多項式
d
cx
bx
ax
x
f
2
3
4
2
3
2
1
2
4
3
1
3
4
3
2
3
1
3
4
2
1
3
4
2
4
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
1
3
1
2
1
4
3
2
7
x
x
x
，下列哪些選項正確？
(1)
7
1
f
(2)
0
a
(3)
38
c
b
(4)
1
8
b
a
(5)
方程式
0
x
f
有三個相異實根。
【109 全國模】
答：
(1)(4)(5)
解：根據拉格朗日插值法可得
7
1
f
，
3
2
f
，
1
4
3
f
f
，且
3
deg
x
f
再由牛頓插值法可得
1
4
3
1
4
3
3
x
x
x
x
x
x
f
49
64
25
3
2
3
x
x
x
因為領導係數為負，由勘根定理可知，
0
x
f
在區間
2
,
1
、
3
,
2
、
,
4
內各有一實根
13.
設
c
bx
ax
x
f
3
，其中 a 、 b 、 c 為有理數，若
0
2
i
f
，
則下列哪些選項正確？
(1)
0
ab
(2)
0
ac
(3)
若
0
a
，則
0
3
f
(4)
若 a 是整數，則 c 也是整數
(5)
若 b 是整數，則 c 也是整數。
【109 全國模】
答：
(1)(3)(4)
解：
c
bx
ax
x
f
3
，其中 a 、 b 、 c 為有理數，若
0
2
i
f
，則
0
2
i
f
表
x
f
有
5
4
2
2
2
x
x
i
x
i
x
的因式
故
c
bx
ax
x
f
3
4
5
4
2
x
x
x
a
，故
a
b
11
，
a
c
20
(1)
0
11
2
a
ab
(2)
0
20
2
a
ac
(3)
若
0
a
，則
0
26
3
a
f
(4)
若 a 是整數，則 c 也是整數
(5)
若 b 是整數，不能保證 c 也是整數
第貳部分：選填題（占 35 分）
A.
設多項式函數
4
19
36
48
24
2
3
4
x
x
x
x
x
f
，則
5
.
1
f
的值為 。
【109 全國模】
答：16
解：
4
19
36
48
24
2
3
4
x
x
x
x
x
f
，
利用綜合除法，得
16
5
.
1
f
24 + 48 + 36 + 19 + 4
2
3
36 18 27 + 12
24 + 12 + 18
8 + 16
5
B. 設 n 為正整數，且
2
1
log
20
log
3
3
n
n
，則 n 的最小值為 。
【109 全國模】
答： 28
解：
2
1
log
20
log
3
3
n
n
3
log
20
log
3
3
n
n
1
3
底數
3
20
n
n
n
n
3
20
20
1
3
n
1
3
10
1
3
20
n
32
.
27
1
732
.
1
10
故 n 的最小值為 28
C. 設芮氏規模 x 的地震，
震央所釋放出來的能量
x
f
可表為
x
b
a
x
f
，其中 a 、 b 為常數。
已知芮氏規模 6 的地震震央所釋放出來的能量
是芮氏規模
4
的地震震央所釋放出來的能量的1000 倍，
則芮氏規模 1
.
8 的地震震央所釋放出來的能量
是芮氏規模 3
.
7 的地震震內所釋放出來的能量的 倍。
（請利用參考公式所附對數表，四捨五入取至整數位）
【109 全國模】
答：16
解：由
4
1000
6
f
f
，則
4
6
1000
b
a
b
a
1000
2
b
則
2
3
10
b
2
3
log
b
2
.
0
1
2
.
1
log
8
.
0
log
8
.
0
b
b
585
.
1
log
10
log
85
.
15
log
所求為
85
.
15
10
3
.
7
1
.
8
2
.
1
8
.
0
3
.
7
1
.
8
b
b
a
b
a
f
f
，大約為16 倍
D.
設二次函數
2
2
13
16
2
a
a
bx
ax
x
f
，其中 a 、 b 為常數，
若在
2
x
時
x
f
有最小值 6
，則
a
。
【109 全國模】
答：
11
解：當
2
x
時，
x
f
有最小值 6
，則
0
a
，
且
6
2
2
x
a
x
f
6
4
13
16
4
2
13
16
2
2
2
2
a
a
a
a
b
a
a
bx
ax
則
6
4
4
6
2
13
16
2
2
2
2
2
a
ax
ax
x
a
a
a
bx
ax
得
0
22
9
2
a
a
0
2
11
a
a
11
a
或
2
0
a
11
a
、
22
b
E.
已知 x 、 y 均為正數，若
16
2
y
x
，則
y
x
5
.
0
5
.
0
log
log
的最小值為 。
【109 全國模】
答： 5
解：由算幾不等式
y
x
y
x
2
2
2
y
x
2
2
16
32
xy
故
32
log
log
5
.
0
5
.
0
xy
5
log
log
5
.
0
5
.
0
y
x
6
等號成立於
8
2
y
x
（亦即
4
x
、
8
y
）時，
y
x
5
.
0
5
.
0
log
log
有最小值 5
F.
已知
、
為方程式
0
2
2
kx
x
的兩相異實根，其中 k 是實數；
若二次函數
2
2
2
2
2
4
x
x
x
f
的圖形與 x 軸恰有一個交點，
則
2
k
。
【109 全國模】
答：
12
解：因為
、
為方程式
0
2
2
kx
x
的兩相異實根
由根與係數的關係可知
k
且
2
而
2
2
2
2
2
4
x
x
x
f
的圖形與 x 軸恰有一個交點
則判別式
0
4
4
2
2
2
2
2
0
16
2
2
2
2
0
64
4
2
2
k
8
4
2
k
12
2
k
或 4
（負不合）
G. 如右圖，四邊形 ABCD 中，已知
CD
AB //
且
10
AB
、
5
AD
、
5
CD
、
5
2
BC
。
設
P
點是
AB
上的一任意點，
作
AD
PM
於
M
，
BC
PN
於 N ，
則
AMP
與
BNP
面積總和的最小值為 。
（化為最簡分數）
【109 全國模】
答：
11
120
解：作梯形高
DE
及 CF ，令
h
DE
，
x
AE
，則
h
CF
，
x
BF
5
由
2
2
2
2
5
5
2
5
x
x
3
x
，故
4
3
5
2
2
h
設
y
AP
，
y
BP
10
因為
AED
AMP
~
，因此
5
4
3
y
PM
AM
可得
5
3
y
AM
，
5
4
y
PM
同理，因為
BFC
BNP
~
，因此
5
2
10
4
2
y
PN
BN
可得
5
10
y
BN
，
5
10
2
y
PN
則
AMP
與
BNP
面積總和為
5
10
2
5
10
2
1
5
4
5
3
2
1
y
y
y
y
500
100
11
25
1
2
y
y
11
120
11
50
25
11
2
y
，當
11
50
y
時，有最小值為
11
120