2021 年第五屆
臺
灣中小學數學能力檢定考試
Taiwan Mathematics Test
TMT10
考 試 須 知
1. 未經監考人員宣佈打開測驗卷之前，不可先行打開試卷作答。
2. 本次測驗時間共 80 分鐘，分別為單選題 15 題、選填題 15 題，共 30 題。
(1) 單選題：
(I) 每一題各有 A、B、C、D、E 五個選項，其中只有一個選項是正確的答
案。
(II) 請使用 2B 鉛筆在「答案欄」上適當的圓圈內塗黑，請檢查所圈選的答
案是否正確，並將錯誤及模糊不清部分擦拭乾淨。請注意，只有將答案
圈選清楚在答案卡上才得以計分。
(2) 選填題：
(I) 每一題答案是範圍在 000 至 999 之間的整數。如答案為 7，請塗黑 007；
如答案為 43，請塗黑 043；如答案為 123，請塗黑 123。全對才給分，
沒有倒扣或部份給分。
(II) 請使用 2B 鉛筆在「答案欄」上適當的圓圈內塗黑，並請檢查所填寫的
答案數字與塗黑的圓圈是否一致，任何的答案數字及塗黑的圓圈如果不
一致，將不予計分；如欲修正，請將錯誤擦拭乾淨。
3. 計分方式：
（總分 150 分）
(1) 單選題：每一題答對可得 5 分，未作答得 1 分，答錯得 0 分。
(2) 選填題：每一題答對可得 5 分，未作答及答錯得 0 分。
4. 除了考試所准許使用的尺、圓規、橡皮擦、空白計算紙及無記號之方格紙與身
分證明文件外，請勿攜帶任何輔助工具
(包含手機、計算器、量角器、智慧型手
錶及具計算功能的裝置等
)進入考場，考卷上所有的題目均不需使用計算器便可
作答。
5. 試卷內的圖形皆為示意圖，可能未依比例繪製。
6. 交卷時請將答案卡交回，測驗開始 40 分鐘後，始准交卷離場。
TMT10
第 1 頁
2021
臺灣中小學數學能力檢定考試 TMT10
單選題
1.
已知
log
3.46
a
=
，
log
0.46
b
=
，則 a b
÷ 的值為何？
(A) 3
(B) 100
(C) 300
(D) 1000
(E) 3000
2.
已知
1
2
,
,
,
n
a a
a
是一個
n
項的等比正整數數列，其中
1
1
a
=
，
60
3
n
a
= ，則 n
可能是下列
哪個數？
(A) 60
(B) 30
(C) 20
(D) 16
(E)
12
3.
坐標平面上自點
(
)
1, 3
P
−
作圓
(
) (
)
2
2
1
2
4
x
y
−
+
+
=
的兩切線，設切點分別為
A
、B ，則切線段
長
PA
=
？
(A) 3
(B) 2 2
(C) 2 3
(D)
4
(E)
5
4.
若有三個正數依序成等差數列，且三個數的和為 18，將三數依序各自加上 1、2、7 後，新的
三個數成等比數列，則此新的三數最大與最小的差為何？
(A)
11
(B)
12
(C) 13
(D)
14
(E) 15
5.
三條直線
1
L 、
2
L 、
3
L ，其中
1
:
2
6
L x
y
+
= 斜率為
1
L
m
，
2
L 與 x 軸正向夾角為
30
其斜率為
2
L
m
，
3
L 與 x 軸的截距為 3
− ，與
y
軸的截距為 4，斜率為
3
L
m
，試問下列選項何者正確？
(A)
1
2
3
L
L
L
m
m
m
>
>
(B)
3
2
1
L
L
L
m
m
m
>
>
(C)
2
1
3
L
L
L
m
m
m
>
>
(D)
3
1
2
L
L
L
m
m
m
>
>
(E)
2
3
1
L
L
L
m
m
m
>
>
TMT10
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6.
九九籃球隊的隊員神射手小清新加盟球隊並執行戰力強化訓練，最近五場比賽得分如下：
場次
1
2
3
4
5
得分
19
19
22
19
21
試求小清這五場得分的標準差為下列哪一個選項？
(A)
1
2
(B)
1
(C)
2 10
5
(D)
3
(E)
2
7.
二次函數
2
2
y
x
x
k
=
−
− 的圖形與 x 軸交於 P 、Q 兩點，若
＝4，則
k
=
？
(A)
2
(B) 3
(C)
4
(D)
5
(E) 6
8.
不等式
1
2
1
5
1
x
y
x
y
x
y
+ ≤
−
≤
− ≥ −
所代表的區域在哪一個象限內的面積最大？
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 在四個象限一樣大
9.
直角坐標平面上，
( ) (
)
(
)
3
1
4
1
8
y
f x
x
x
=
=
−
+
− +
的圖形最有可能為下列何者？
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
PQ
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第 3 頁
10. 如圖，
A
點座標為
(5, 0)
，直線
y
x
k
= +
(
0
k
> )與
y
軸交於點
B
，若
75
α
∠ =
° ，則 k = ？
(A)
5 3
3
(B)
3 3
5
(C)
3
(D)
2 6
3
(E)
3 6
5
11. 盒子裡有 2 枚一元、4 枚五元和 6 枚十元的硬幣。從中一次取出 6 枚硬幣，每枚硬幣被選中
的機率相等，則取出的硬幣其錢數總和至少是五十元的機率為何？
(A)
3
22
(B)
5
22
(C)
125
924
(D)
127
924
(E)
21
154
12. 極坐標平面上三點
2,17
A
、
6, 77
B
、
4,167
C
，求 ABC
∆
的面積為多少？
(A) 6
2 3
+
(B) 8
3
+
(C) 10
3
+
(D) 12
3
+
(E) 10
3 3
+
13. 直線
0
ax
by
+
= 的係數 a 、
b
可以在 0、1、2、3、5、7 這六個數字中取值且 a
b
≠ ，則這些直
線方程式所能表示的不同直線有多少條？
(A) 20 條
(B)
22
條
(C)
24
條
(D) 27 條
(E) 30 條
14. 阿福想為家中的馬克杯買一支攪拌棒，第一次買的時候，他沒有測量，結果買回家發現雖然
攪拌棒直立時頂端高出馬克杯 5 公分，但是傾斜後頂端卻會躺在杯口下方 3 公分處，導致喝
飲料時，攪拌棒常沾到飲料拿不出來(如下圖所示)。
⟹
假設杯子厚度不計且已知杯底直徑為 12 公分，試問阿福要改買哪一種長度的攪拌棒才能使攪
拌棒傾斜後的頂端恰在杯口邊緣？
(A)
14
(B) 10 2
(C) 4 13
(D) 15
(E) 5 10
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15. 某高中學生參加資優班鑑定測試，已知報名者男、女生人數之比為 15：8，錄取者男、女生
之比為 3：2，未錄取者男、女生之比為 2：1，求男生錄取率為多少？
(A) 20%
(B) 22%
(C) 24%
(D) 25%
(E) 28%
選填題
1.
兩 相 異 直 線
1
1
: 7
8
L
x
y
k
+
=
與
2
2
: 7
8
L
x
y
k
+
=
均 和 圓
2
2
(
1)
(
9)
113
x
y
−
+
−
=
相 切 ，
則
1
2
|
|
k
k
−
之值為 ______ 。
2.
有一多項式
( )
f x ，已知
( )
f x 除以
2
5
4
x
x
−
+
的餘式為
2
x
+ ，且
( )
f x 除以
2
5
6
x
x
−
+
的餘式
為 3
4
x
+ 。若
( )
f x 除以
2
3
2
x
x
−
+
的餘式為
( )
r x ，則
( ) ( )
1
2
r
r
+
= ______ 。
3.
滿足不等式
(
)(
)
(
)
2
50
60
2
3
0
x
x
x
x
+
−
−
+
≤ 的整數 x 共有 ______ 個。
4.
設
5
2
x
=
−
，
5
2
y
=
+
。 若
3
3
3
3
x
y
x
y
a b
+
+
+
=
， 其 中 a b 為 最 簡 根 式 ，
則 a b
+ = ______ 。
5.
袋中有 3 顆白球與 4 顆黑球，某遊戲每次從袋中抽出 1 球，袋中每一球被抽到的機率皆相同，
抽出後不放回，直到抽中黑球時遊戲就結束。若在第 k 次才抽到黑球，則得到100k 元獎金，
抽到白球不給錢。試求此抽球結果可獲得獎金的期望值為 ______ 元。
6.
若
(
)
1
k
a
k k
=
+ ，
1, 2, 3,
,50
k
=
，則
1
2
50
,
,
,
a a
a
這 50 項的算術平均數為 ______ 。
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7.
有一個鞋櫃，共有 3 層，每一層都有 5 個抽屜。若將兩雙不同的鞋子分別各自放入其中不同
層的 2 個抽屜，且同一雙鞋子放在同一抽屜內，則放置鞋子的方式有 ______ 種。
8.
ABC
∆
中，
A
∠
、
B
∠
、 C
∠ 三內角之對邊長度分別為 a、b、c，若
(
)
sin
cos
cos
420
b
C b
C
c
B
⋅
+ ⋅
=
，
則
ABC
∆
面積
=
______ 。
9.
已知直線 L 通過點
(
)
4, 3
−
，若
( )
2,1
A
與
( )
4, 7
B
兩點到直線 L 距離相等，則滿足此條件的直線 L
中最大的斜率為 ______ 。
10. 如圖所示，有一圓拱橋，其中
APB 為圓的一部分，且圓拱的寬度
40
AB
=
公尺，O 為
AB
中點，
10
OP
=
公尺，若建造時每隔 5 公尺須用一根支柱支撐，則支柱 CD 的高度為 ______ 公尺。
11. 將甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人任意分成 3 組(組與組無區別)且每組至少有 1 人，則其中甲、
乙兩人不同組的方法有 ______ 種。
12. 一圓與一半圓相切如右圖，其中
A
、B 為圓心，上下二條平行線
1
L 、
2
L 與連心線垂直，已知
1
L 與
2
L 之距離為 1，若半圓面積與圓面積乘
積最大值為
2
b
a
π
（
b
a
為最簡分數）
，則 a
= ______ 。
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13. 圓內接五邊形
ABCDE
，已知
4
AB
BC
CD
DE
=
=
=
= 且
1
AE
= ，若
(
)(
)
1 cos
1 cos
b
B
ACE
a
−
−
∠
=
(
b
a
為最簡分數)，則 a b
+ = ______ 。
14. 學校向 50 名學生調查對
A
、 B 兩事件的態度，得到如下結果：贊成
A
的人數是全體的
3
5
，其
餘的不贊成，贊成 B 的人數比贊成
A
的人數多 3 人，其餘的不贊成；另外，對
A
、 B 都不贊
成的人數比對
A
、 B 都贊成人數的
1
3
多 1 人。問對
A
、 B 都贊成的學生有 ______ 人。
15. 設
θ
為 第 三 象 限 角 且
7
sin cos
18
θ
θ
=
， 若
3
3
sin
cos
b
a
θ
θ
+
=
， 其 中
b
a
為 最 簡 分 數 ，
則 a b
−
= ______ 。