2021 年第五屆
臺
灣中小學數學能力檢定考試
Taiwan Mathematics Test
TMT11A
考 試 須 知
1. 未經監考人員宣佈打開測驗卷之前，不可先行打開試卷作答。
2. 本次測驗時間共 80 分鐘，分別為單選題 15 題、選填題 15 題，共 30 題。
(1) 單選題：
(I) 每一題各有 A、B、C、D、E 五個選項，其中只有一個選項是正確
的答案。
(II) 請使用 2B 鉛筆在「答案欄」上適當的圓圈內塗黑，請檢查所圈選的
答案是否正確，並將錯誤及模糊不清部分擦拭乾淨。請注意，只有
將答案圈選清楚在答案卡上才得以計分。
(2) 選填題：
(I) 每一題答案是範圍在 000 至 999 之間的整數。如答案為 7，請塗黑
007；如答案為 43，請塗黑 043；如答案為 123，請塗黑 123。全對
才給分，沒有倒扣或部份給分。
(II) 請使用 2B 鉛筆在「答案欄」上適當的圓圈內塗黑，並請檢查所填寫
的答案數字與塗黑的圓圈是否一致，任何的答案數字及塗黑的圓圈
如果不一致，將不予計分；如欲修正，請將錯誤擦拭乾淨。
3. 計分方式：
（總分 150 分）
(1) 單選題：每一題答對可得 5 分，未作答得 1 分，答錯得 0 分。
(2) 選填題：每一題答對可得 5 分，未作答及答錯得 0 分。
4. 除了考試所准許使用的尺、圓規、橡皮擦、空白計算紙及無記號之方格紙與
身分證明文件外，請勿攜帶任何輔助工具
(包含手機、計算器、量角器、智
慧型手錶及具計算功能的裝置等
)進入考場，考卷上所有的題目均不需使用
計算器便可作答。
5. 試卷內的圖形皆為示意圖，可能未依比例繪製。
6. 交卷時請將答案卡交回，測驗開始 40 分鐘後，始准交卷離場。
TMT11A
第 1 頁
2021
臺灣中小學數學能力檢定考試 TMT11A
單選題
1.
設多項式
( )
4
1
=
+ +
f x
x
x
，若
( )
f x 除以
2
1
−
x
的餘式為
+
ax
b ，則 2
+ =
a
b
？
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
2.
若
3
a
=
、
4
b
=
，且
a
與
b
的夾角為120
° ，則
2
a
b
+
=
？
(A)
7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E)
11
3.
設
,
a b
為實數且
10
81
=
a
，
10
30
=
b
，則
1
=
−
a
b
？
(A)
1
−
(B)
2
−
(C)
3
−
(D)
4
−
(E)
5
−
4.
有四個正數，前三個數成等比數列，其乘積為 216，後三個數成等差數列，其和為 36，
若此四數依序為 a 、 b 、 c 、 d ，則 d
= ？
(A) 6
(B) 9
(C)
12
(D) 15
(E) 18
5.
函數
sin
3 cos
y
x
x
=
−
的圖形，可由函數
2 sin
y
x
=
的圖形依下列哪一種方式移動得到？
(A) 向左平移
3
π
(B) 向左平移
2
3
π
(C) 向右平移
3
π
(D) 向右平移
2
3
π
(E) 無論如何平移也不可能
6.
在坐標平面上，O 為原點，如右圖已知 OABC
為正方形且直線
←→
OA 斜率
為
1
2
，則對角線
←→
OB 斜率為何？
(A)
5
2
(B) 3
(C)
7
2
(D)
10
3
(E)
13
4
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第 2 頁
7.
已知
1
1 2
1 2
1 2
1
0
1 3
3
4
1 3
0
2
−
−
=
−
，且
7
1 2
3
4
a
b
c
d
−
=
−
，則下列何者正確？
(A)
251
a
= −
(B)
254
b
=
(C)
384
c
=
(D)
382
d
= −
(E)
0
a
b
c
+ + =
8.
空間中三點
(
)
2, 1,1
A
−
、
(
)
1, 2, 0
B
−
、
(
)
1,1, 2
C
，則點 B 到直線 AC 的距離為下列哪一個選
項？
(A)
3
3
(B)
2 3
3
(C)
4 3
3
(D)
5 3
3
(E)
7 3
3
9.
某機器人需有
A
、 B 、 C 三種不同的晶片才能正常運轉，且只要其中一種晶片損壞，該
機器人就無法正常運轉。已知
A
、 B 、 C 晶片使用一年後會損壞的機率分別為
1
5
、
1
10
、
1
10
。若使用該機器人一年後且因晶片損壞而無法運轉的條件下，試問
A
晶片沒有損壞的
機率為何？
(A)
2
11
(B)
7
11
(C)
7
22
(D)
13
22
(E)
19
44
10. 如圖，圓 C 與直線
: 2
4
0
L
x
y
− + =
切於點
( )
0, 4
A
，且
( )
3,1
B
為圓 C 上
一點。若圓 C 之圓心坐標為
( )
,
O a b ，則 a
b
+ = ？
(A)
4
(B)
5
(C) 6
(D) 8
(E) 9
11. 如圖所示，圓
C
的直徑
10
AB
=
，
P
、 Q 為圓上的兩點，若
8
AP
= 且
1
2
QAB
PAB
∠
= ∠
，則
AQ
=
？
(A) 2 10
(B) 3 5
(C) 4 5
(D) 9
(E) 3 10
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12.
ABC
∆
中，
4
AB
=
，
5
BC
= ，
6
CA
= 且 H 為 ABC
∆
的垂心，則
AH
=
？
(A)
9
7
(B)
10
7
(C)
12
7
(D)
14
7
(E)
15
7
13. 若空間中一正三角形
ABC
所在平面與一正方形
BCDE
所在平面垂直(如右
圖)，正方形中心為
O
，正三角形重心為
G
，以 OG 為一邊所成之正三角形
為
OGF
∆
，則
OGF
∆
面積
: ABC
∆
面積為下列何者？
(A) 1: 2
(B) 1: 3
(C) 1: 2
(D) 1: 3
(E) 2 : 3
14. 某高射砲之砲口坐標為
(0, 0, 20)
，今發射一枚砲彈，砲彈之行進軌跡為一抛物線，若砲彈
之最高點在
(30, 0, 40)
處，砲彈之落海點(海平面之
z
坐標為 0)為
( , 0, 0)
a
，則 a
= ？
(A) 30 5 2
−
(B) 15 15 2
+
(C) 15 30 2
+
(D) 30 15 2
+
(E) 30 30 2
+
15. 如圖所示， ABCDEFGH 為一長方體，若
AB
在直線
1
1
1
x
y
z
=
=
−
上，
EH
在
直線
1
1
3
4
1
5
x
y
z
−
−
−
=
=
−
上，CG 與
AB
、
EH
之距離分別為
2
42
、
1
3
，
求此長方體之對角線
DF
長為何？
(A)
3
(B)
2
(C)
5
(D)
6
(E)
7
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選填題
1.
已知
4
a
b
c
d
= ，
3
a
b
e
f
= − ，則
2
2
3
3
c
e
d
f
a
b
+
+
= ______ 。
2.
若實數 x 、
y
、
z
滿足
2
2
2
25
x
y
z
+
+
=
，則
2
3
6
x
y
z
+
+
的最大值為 ______ 。
3.
在
ABC
∆
中，若
(
)
(
)
(
)
1
2
98
0
x
AB
x
y BC
x
y
CA
+
+
−
+
+ −
=
，則
x
y
+ =
______ 。
4.
空間中一點
(
)
1,1,1
P
及兩平面
1
: 2
3
6
E
x
y
z
k
+
+
= 與
2
: 2
2
2
E
x
y
z
+
+ = ，若「點
P
到
1
E 的
距離」是「點
P
到
2
E 的距離」的兩倍，則所有可能的實數 k 的最大值為 ______ 。
5.
辦公室內有一排相鄰的 7 個座位，甲、乙、丙三人選擇入坐，則她們不可以完全相鄰的
坐法有 ______ 種。
6.
設
( )
f x 為實係數三次多項式函數，
( )
y
f x
=
圖形的對稱中心為
( )
1, 0 ，且通過三點
(
)
2, 3
A
− 、
( )
3, 0
B
、
( )
4,
C
k ，則 k
= ______ 。
7.
在 ABC
∆
中，若 2sin
cos
3
A
B
+
=
， sin
2 cos
5
B
A
+
=
，則1000sin C
= ______ 。
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8.
設
y
k
=
(其中 k 為定值)與兩函數
10
3
x
y
=
+ 、
10
x
y
=
的圖形分別交於
,
A B
兩點，已知
AB
長為 2，若
n
k
m
=
，其中
m
、 n 為互質的正整數，則 m n
+ 之值為 ______ 。
9.
在
ABC
∆
中 。 已 知 頂 點
(
)
6, 4
A
− − ， 且兩 條 中 線 BD 與
CE
分 別 在 x 軸 與 y 軸 上 ，
則 ABC
∆
的面積為 ______ 。
10. 在 2
2
x
π
π
−
≤ ≤
之間，方程式
sin
sin
sin
2
x
x
x
+
=
有 ______ 個實根。
11. 設平面上四點
( )
0, 0
O
、
(
)
7, 2
P
− 、
( )
3, 2
Q
、
(
)
4, 4
R
−
，四邊形
OPQR
經由矩陣
2
4
1 3
A
=
−
線性變換後得一四邊形
1
1
1
OPQ R ，再將此四邊形
1
1
1
OPQ R ，以 O 為中心，逆時針旋轉15
° 得
另一四邊形
2
2
2
OP Q R ，則四邊形
2
2
2
OP Q R 的面積為 ______ 。
12. 如圖， ABCD
EFGH
−
為平行六面體，若
2,11, 2
AG
、
1,10, 6
AB
、
3, 6, 2
AE
，則此平行六面體的體積為 ______ 。
13. 一圓與一半圓相切如右圖，其中
A
、 B 為圓心，上下二條平
行線
1
L 、
2
L 與連心線垂直，已知
1
L 與
2
L 之距離為 3，若半圓
面積與圓面積乘積最大值為
2
b
a
π
，且 a、b 為互質的正整數，
則 a b
+ = ______ 。
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14. 在空間坐標系中，一直線通過點
(
)
0, 3,5
A
且與直線
1
2
x
y
=
=
交於 P ，並與直線
5
5
x
z
=
= −
交於
Q
，令
PQ
k
=
，則
2
k
=
______ 。
15. 在邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF 中，任取三個相異頂點作成三角形，若此三角形面積的
期望值為
3
b
a
（
,
a b
為互質的正整數），則 a b
+ = ______ 。