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103 年國小教師資格檢定
首次數學能力測驗分析
高級中等以下學校及幼兒園教師資格檢定考試
數學能力測驗試題研發小組 合著
國家教育研究院編印
中華民國 103年11 月
i
目錄
緒論 .................................................................................................................................. 1 壹、 數學能力測驗緣起 ...................................................................................................... 1 一、 102 年預試簡介 ........................................................................................................... 1 二、 103 年首次測驗簡介 ................................................................................................... 2 三、 目的及架構 .................................................................................................................. 3 四、
整數試題表現 ................................................................................................................. 4 貳、 普通數學 ...................................................................................................................... 4 一、 數學教材教法 .............................................................................................................. 8 二、 小結 ............................................................................................................................ 17 三、
分數、小數試題表現 ................................................................................................... 20 參、 普通數學 .................................................................................................................... 20 一、 數學教材教法 ............................................................................................................ 23 二、 小結 ............................................................................................................................ 31 三、
代數試題表現 ............................................................................................................... 33 肆、 普通數學 .................................................................................................................... 33 一、 數學教材教法 ............................................................................................................ 45 二、 小結 ............................................................................................................................ 46 三、
量與實測試題表現 ....................................................................................................... 49 伍、 普通數學 .................................................................................................................... 49 一、 數學教材教法 ............................................................................................................ 53 二、 小結 ............................................................................................................................ 60 三、
幾何試題表現 ............................................................................................................... 62 陸、 普通數學 .................................................................................................................... 62 一、 數學教材教法 ............................................................................................................ 71 二、 小結 ............................................................................................................................ 79 三、
統計與機率試題表現 ................................................................................................... 80 柒、 普通數學 .................................................................................................................... 80 一、 數學教材教法 ............................................................................................................ 87 二、 小結 ............................................................................................................................ 93 三、
總結 ................................................................................................................................ 96 捌、 普通數學 .................................................................................................................... 96 一、 數學教材教法 ............................................................................................................ 98 二、
附錄一 102 年預試試題 .................................................................................................... 101
附錄二 103 年首次檢測試題 ............................................................................................ 116
1
103 年國小教師資格檢定首次數學能力測驗分析
緒論
壹、
數學能力測驗緣起 一、
依據高級中等以下學校及幼兒園教師資格檢定辦法之「高級中等以下學校及幼兒
園教師資格檢定類科及應試科目表」，我國自民國 103 年起，國民小學教師資格檢定科
目增列「數學能力測驗」。由於數學是國小教師包班教學的教學科目之一，「數學能力
測驗」列入國小教師資格檢定科目，有助於職前教師數學教學專業能力的品質檢核。
「數學能力測驗」目的是檢核國民小學職前教師數學教學專業知能與經驗，確保
國民小學教師對數學相關知識的理解與應用能力。本科考試對於我國國民小學師資培
育與任用，以及教師的數學教學專業能力提升，具有重要的正面意義。「數學能力測驗」
命題範圍包含「普通數學」及「數學教材教法」二個領域，「普通數學」命題範圍為國
民中小學數學相關知識內容，「數學教材教法」命題範圍為國民小學數學教材教法。
教育部「數學能力測驗」公布列入教師資格檢定科目後，師資培育各界相當關心
此科考試的內容和方式。國家教育研究院也成立本考科試題研發小組，進行本考科評
量架構和內容等研擬。為廣徵學術和師資培育等各界對於本考科的建言，本考科試題
研發小組在 102年1月間陸續在北、中、南三區舉辦公聽會，收集與會人員的意見並
形成共識。本考科試題研發小組在民國 102 年9月進行「數學能力測驗」預試，期能
瞭解試題量、考生作答時間、試務等相關問題，使試題研發作業更臻完善。民國 103
年3月所進行的首次「數學能力測驗」考試結束後，本考科的重要性和考試方式也受
到各界的正面肯定。
以上所述的預試和首次考試的測驗資料相當珍貴，若能針對資料進行分析，瞭解
師資培育學生的學習結果，將有助於師資培育課程、師資培育學生學習精進和提昇。
102 年預試簡介 二、
（一）樣本說明
國家教育研究院發公文至設有國民小學教育學程之 20 所大學，參加預試考生採自
願性質報名參加。每所大學報名人數有限制，合計至少 30 人、至多 50 人者，始能在
該校安排考場進行預試。截至報名時間止，有 13 所大學參加，總計報名人數 580 人，
實際參加預試人數 477 人。102 年9月27 日進行預試，施測時間共計 100 分鐘，包含
2
考前說明及基本資料填答 20 分鐘、正式施測 80 分鐘。基本資料填答內容為考生的背
景資料，包括性別、學制、有無修完普通數學、有無修完數學教材教法、準備普通數
學和數學教材教法的情形等資料。
（二）試題內容
「普通數學」的內容向度包含數與量、代數、幾何、統計與機率，並考慮試題的
認知層次。「數學教材教法」包含數學教材內容、兒童數學概念、數學教學與評量，並
兼顧數（含代數）量、幾何、統計圖表等向度。「普通數學」和「數學教材教法」各佔
50 分，滿分 100 分。試題型式包含選擇題和非選擇題兩種題型，題數和配分如表 1所
示。
表1 102 年數學能力測驗預試題型和配分
題型
領域
普通數學
數學教材教法
選擇題
15 題/30 分
15 題/30 分
非選擇題
填充題 5題/10 分
計算題及證明題 2題/10 分
問答題 4題/20 分
根據考生的資料填答內容顯示，68.97%的考生預試前沒有準備「普通數學」，
81.97%的考生預試前沒有準備「數學教材教法」。考生預試整體表現分析結果，「普通
數學」平均分數為 28.24 分，「數學教材教法」平均分數為 22.85 分，數學能力測驗預
試總平均為 51.09 分。
103 年首次測驗簡介 三、
（一）樣本說明
103 年高級中等以下學校及幼兒園教師資格檢定考試於 103 年3月9日舉行，本
科考試時間總計 80 分鐘，總計考生人數人數 2200 人。本科考試成績公佈後，進行本
分析報告撰寫。由於非選擇題需進行診斷編碼與表現分析相當耗時，本報告乃採考卷
抽樣來分析。以考區(臺北考區、臺中考區、高雄考區、花蓮考區)為分層，採分層系
統隨機抽樣，共抽得 733 份，有效樣本數為 680 份，約佔全體考生人數 31%。
3
（二）試題內容
「普通數學」的內容向度包含數與量、代數、幾何、統計與機率，並考慮試題的
認知層次。「數學教材教法」包含數學教材內容、兒童數學概念、數學教學與評量，並
兼顧數（含代數）量、幾何、統計圖表等向度。「普通數學」和「數學教材教法」各佔
50 分，滿分 100 分。普通數學內容加強生活情境題，數學教材教法加強教學情境題，
俾使考試內容與生活和數學教學情境連結。試題型式包含選擇題和非選擇題兩種題型，
題數和配分如表 2所示。
表2 103 年首次數學能力測驗題型和配分
題型
領域
普通數學
數學教材教法
選擇題
15 題/30 分
15 題/30 分
非選擇題
填充題 5題/10 分
計算題及證明題 2題/10 分
問答題 4題/20 分
103 年第一次數學能力測驗考試分析結果，「普通數學」平均分數為 29.38 分，「數
學教材教法」平均分數為 33.03 分，數學能力測驗總平均為 62.41 分。
目的及架構 四、
本數學能力測驗分析報告，根據民國 102 年9月所進行的「數學能力測驗」預試
和民國 103 年3月教師資格檢定考試資料，進行試題分析與討論；其目的期能提供國
小師資培育者和師資生參考，以豐富普通數學和數學教材教法授課內容，並提升國小
師資生數學教學能力。本分析報告分別依整數、分數與小數、代數、量與實測、幾何、
統計與機率分章節撰寫，各章節再分為普通數學與數學教材教法進行敘寫。
4
整數試題表現
貳、
普通數學 一、
（一）選擇題
1、102 年預試第 4題
內容向度
數與量
評量目標
運用集合概念解決生活中的問題
某班學生有 29 人，全班每位學生都有養狗或養貓。若養狗的學生有 20 人，養貓的學
生有 17 人，問同時養狗也養貓的學生有多少人？
(A) 8
(B) 9
(C) 12
(D) 37
選項
A*
B
C
D
其他
選項率
0.81
0.08
0.06
0
0.05
說明與建議：
本題的目標是在評量考生是否能應用集合概念解題，利用范恩圖形來解決集合的
聯集與交集問題。該題有 81%的考生能解決此問題，利用n(A∪B) = n(A)+n(B)−
n(A∩B)公式解題，29 =17+20−n(A∩B)，所以n(A∩B) = 8，這種題目在目前中
小學的教材都不出現，集合概念是數學基礎的概念，建議師培課程的普通數學的教材
內容應納入集合概念。
5
2、103 年教檢第 1題
內容向度
數與量
評量目標
利用除法原理解決問題
將413 除以某正整數，可得商為 29，問餘數是多少？
(A) 7
(B) 14
(C) 21
(D) 28
選項
A*
B
C
D
其他
選項率
0.9
0.06
0.03
0.01
0
說明與建議：
本題的目標在於評量考生是否能利用除法原理解題。若題目是將 413 除以 29，則
餘數是多少？則非常簡單，容易解題，但是本題稍微作一點變化，將 413 除以某正整
數，可得商為 29，則餘數是多少？其實這兩個題目的本質相同，只是陳述方式不同。
但仍然有 10%的考生沒有覺知到這兩題之間的關係，而求算不出來。
3、103 年教檢第 3題
內容向度
數與量
評量目標
利用因數、倍數解決問題
有二個正整數𝑎、𝑏，滿足𝑎+𝑏 = 90，且𝑎是𝑏的5倍；問𝑎的值可以用下列哪一個算式
求出？
(A) 90÷5
(B) 90÷(5+1)
(C) 90÷5×(5+1)
(D) 90÷(5+1)×5
選項
A
B
C
D*
其他
選項率
0.01
0.31
0.05
0.63
3/0
說明與建議：
本題的目標是要評量考生對於從已知的題意列成二元一次聯立方程式，及聯立方
程式的解題過程，而非只是求出答案。𝑎 +𝑏 = 90，𝑎
＝
5𝑏，5𝑏 +𝑏 = 90，𝑏(5+1)=
6
90，所以𝑏 = 90÷(5+1)，故𝑎 = 5×90÷(5+1)。這是國中基本教材，但只有 63%
的考生作對，有 31%的考生錯誤選出90÷(5+1)，可能考生將題目看錯，只算到 𝑏 的
值，忘了求出 𝑎 值。
（二）填充題
1、102 年預試第 2題
內容向度
數與量
評量目標
觀察出數字關係、找出數列的規則，並求算下一項的數
已知 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、⋯為費氏數列(Fibonacci series)，
請觀察此數列之規則，並寫出 233 的下一項為( )。
編碼
說明
百分比
2A
答案 377
90%
0Z
其它答案
3%
0X
空白
7%
說明與建議；
本題的目標是在評量學生是否理解費氏數列的規律性。費氏數列的規律為後一項
的數字是前面相鄰兩項的和。費氏數列的規律性是找規律性的一種特殊的類型，尋求
規律性的問題是學習代數的基礎，雖然考生對這題表現很亮麗，達到 90%的考生能正
確回答，但仍建議師培機構將數列題材列為普通數學的教材內容。
7
2、103 年教檢第 5題
內容向度
數與量
評量目標
觀察出數字關係、找出數列的規則
若將正整數從 1開始依序排列，其規律如下表：
第1列 1
第2列 2 3
第3列 4 5 6
第4列 7 8 9 10
⋯
則第 100 列最後一個數是( )。
編碼
說明
百分比
2A
答案 5050
41%
0A
答案 100
1%
0B
答案 1001
1%
0C
答案 199
1%
0Z
其它答案
26%
0X
空白
29%
說明與建議：
本題的目標是要評量考生觀察數字、發現關係、尋找規律、用各種方式來描述所
發現的規律，再推廣到一般化，這是學習代數很重要的基礎。對國小學生所處理的代
數範圍不到一般化，只是找已知數列的下一項或後幾項。但身為教師所應具備的知識
應當超過國小學生所要學習的深度與廣度，考生要能成功解決此題必須發現到此題的
規律性為： 第一排排 1個數，第二排排 2個數，第三排排 3個數，⋯，所以第 100 排
應排 100 個數。也可以觀察到的規律是第二排的最後一個數 3是1+2，第三排的最後
一個數是 6是 1+2+3，第四排的最後一個數 10 是 1+2+3+4，第五排的最後一
個數是 1+2+3+4+5，⋯，第 100 排的最後一個數是 1+2+3+4+⋯+100，
所以答案為 50×51 = 5050。此題不僅是涉及到看到數字的變化關係，還涉及到等差
級數的和，所以難度更高，這是致使考生答對率低(41%)的理由。
8
數學教材教法 二、
（一）選擇題
1、102 年預試第 16 題
類別向度
數學教材內容
評量目標
瞭解加減法問題的類型
有一問題「操場上有 6位男生在跳繩，又來了 5位女生一起玩，現在共有多少位小朋友
在玩跳繩？」，此問題是屬於下列何種題型？
(A) 併加型問題
(B) 添加型問題
(C) 追加型問題
(D) 平衡型問題
選項
A
B*
C
D
其他
選項率
0.19
0.52
0.25
0
0.04
說明與建議：
本題的評量目標主要是瞭解考生是否理解加減法問題的語意結構。小學中、低年
級階段的加減法問題有各種不同的語意結構類型，該題是屬於添加型問題的語意結構，
因為添加型的問題是從一個起始量開始，經過不同時間的改變，而改變了原始量而得
到最終量。該題只有 52%的學生做對，考生將此類型與併加型和追加型混淆，加減法
的各種語意結構類型是教師在加減法文字布題時，必須要考慮的。因此，國小數學科
教材教法的課程應納入加減法的各種語意結構類型。
9
2、102 年預試第 23 題
類別向度
數學教學與評量
評量目標
瞭解國小學生有關整數乘法的語意
老師在低年級建立乘法概念教學時，出了一個數學問題：「媽媽買了 8打鉛筆，一打
有12 枝，請問媽媽一共買了多少枝鉛筆？」，下列是四位小朋友的說法，請問誰的說
法正確？
(A) 小明說：8乘以 12
(B) 小中說：8的12 倍
(C) 小華說：8個12
(D) 小偉說：8有12 個
選項
A
B
C*
D
其他
選項率
0.23
0.06
0.62
0.09
0
說明與建議：
本題的目標是要評量考生是否能判斷學生有關乘法倍的語言的說法正確。一打鉛
筆有 12 枝，8打一共有幾枝？以乘法算式將問題記錄為 12×8，表示 12 有8個或 8
個12，或 12 的8倍。這是國小二年級乘法的啟蒙教材，只有 62%的考生作對，竟然
高達 23%的考生錯誤選答 8×12。可能考生順著題目的順序，先出現了 8打，再出現
一打鉛筆有 12 枝，由此可見，有 23%的考生不瞭解乘法的紀錄格式必需要滿足單位
量×單位數。因此，建議國小數學教材教法課程必須要加強學生對於乘法紀錄格式單
位量×單位數，並著重紀錄格式背後的各種數學語意。
10
3、102 年預試第 24 題
類別向度
數學教學與評量
評量目標
瞭解國小學生在除法問題的橫式記錄是否符合教學目標
老師出了一個題目「有 12 個蛋塔，每人分 4個，最多可以分給幾個人？」，要評量是
否達成教學目標「理解除法的意義，並運用橫式記錄解題過程」。下列學生出現的解法，
哪一個不適合給分？
(A) 4+4 = 8，8+4 = 12，答：3人
(B) 12−4 = 8，8−4 = 4，4−4 = 0，答：3人
(C) 4×1 = 4，4×2 = 8，4×3 = 12，答：3人
(D) 12÷4 = 3，答：3人
選項
A
B
C
D*
其他
選項率
0.55
0.07
0.27
0.1
0.02
說明與建議：
本題的目標是要評量考生是否能正確解讀課程綱要能力指標內容「理解除法的意
義，並用橫式記錄解題過程」。此處「理解除法的意義」是指學生尚未學習除法，所
以學生會使用先備知識加法、減法、乘法進行解題。考生在該題的表現不佳，只有 10%
的考生能正確回答，有 55%的考生誤認以為學生的解法為選項 A：「利用累加方法解
題」，為不適合的答案，也有 27%的考生誤以為學生的解法為選項 C：「利用累乘方
法解題」，也是不適合的答案。本題是要讓考生理解未來進行教學時要著重學生格式
背後數學意義的瞭解，而非立即進入數學格式化或形式化的教學。因此，建議國小數
學教材教法應加強師培生對能力指標的解讀，及強調學生進入格式記錄學習之前，尊
重學生利用先備知識來解題是需要的。
11
4、102 年預試第 26 題
類別向度
數學教學與評量
評量目標
判斷學生舉出例子是否適合作為「正比的意義」的布題
老師在課堂上想知道學生瞭解「正比的意義」，他請學生舉出正比關係的例子，有四位
學生舉出的例子如下：
甲、正方形的面積與邊長的關係
乙、正方形的周長與邊長的關係
丙、麵粉的斤數與總價的關係
丁、等速運動的距離與時間的關係
哪位學生所舉的例子是錯誤的？
(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁
選項
A*
B
C
D
其他
選項率
0.3
0.19
0.17
0.32
0.02
說明與建議：
本題的目標是要評量考生解讀並判斷學生舉出的例子是否適合作為「正比的意義」
的布題，並理解考生對正比的意義的理解。只有三成的考生答對該題，其餘各個選項
都有考生選答，由此可見考生對兩量的正比關係概念不清楚，通常考生誤認為正比是：
「若一個量增加，另一個量也隨者增加」，這樣的概念是錯誤的。是否成正比的兩個
數量最容易區別的作法是：「若這兩個量，一個量增加另一個量也隨者增加，其在座
標圖上是不通過原點的直線」。而兩量成正比的關係，其在平面座標圖上是通過原點
的直線。建議師培課程的普通數學或教材教法要納入正比的意義之教學內容。
12
5、103 年教檢第 16 題
類別向度
數學教材內容
評量目標
瞭解數學問題多步驟的意義
有一數學問題為「水果糖 5盒共 105 元，牛奶糖 8盒共 248 元，牛奶糖一盒比水果糖一
盒貴多少元？」，該數學問題是幾步驟問題？
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
選項
A
B
C*
D
其他
選項率
0.01
0.1
0.87
0.01
0
說明與建議：
本題的評量目標主要是瞭解考生是否理解兩步驟問題的意義，兩步驟問題是課程
綱要能力指標 3-n-07 的內容，因此考生需要具備此概念。一個問題是「幾步驟」決定
於幾個運算符號，例如以該題「水果糖 5盒共 105 元，牛奶糖 8盒共 248 元，牛奶糖
一盒筆水果糖一盒貴多少元？」此題算式列為248÷8－105÷5，此算式中一共有三
個運算符號，所以是三步驟問題。從此題的表現，有 87%的考生瞭解多步驟問題的意
義，但也有 10%的考生可能以為「水果糖 5盒共 105 元」，「牛奶糖 8盒共 248 元」，
考生以為只要有兩個算式就是兩步驟問題。
6、103 年教檢第 24 題
類別向度
兒童數學概念
評量目標
瞭解國小學生解決加法問題的解題策略
老師問一加法問題「桌上有 5顆紅色彈珠和 8顆綠色彈珠，合起來有幾顆彈珠？」。有
位學生很快地回答「5加8等於 13」；問該學生最可能使用哪一種解題策略？
(A) 已知的加法事實
(B) 一一點數，共數出 13 顆
(C) 先把 8顆記住，再往上數 9、10、11、12、13 顆
(D) 先把 5顆記住，再往上數 6、7、8、9、10、11、12、13 顆
選項
A*
B
C
D
其他
選項率
0.87
0.01
0.04
0.08
0.00
13
說明與建議：
本題的目標是要評量考生是瞭解國小學生解決加法問題的解題策略。國小學生解
決5顆和 8顆糖合起來是 13 顆，學生展現出的解題策略，在不同階段的認知發展會有
所不同，例如： 選項 D是往上數的策略，選項 C也是往上數的策略，但是比選項 C
的策略有效率，因為會選用比較大的數 8先放在心裡頭記住，再往上點數到 13。
（二）問答題
1、102 年預試第 9題
類別向度
數學教材內容
評量目標
瞭解除法問題中等分除與包含除的意義與學生解題的差異
有關「12÷4＝( )」的算式，請回答下列問題：
(1)各擬一個「等分除」與「包含除」類型的問題。【3分】
(2)針對此兩類型問題，說明學生在解題想法上的差異。【2分】
(1)編碼
說明
百分比
3A
「等分除」與「包含除」擬題舉隅(僅看情境、不管數字)皆正
確
23%
1.5A
僅「等分除」擬題舉隅(僅看情境、不管數字)正確
30%
1.5B
僅「包含除」擬題舉隅(僅看情境、不管數字)正確
1%
0A
「等分除」與「包含除」擬題舉隅顛倒
4%
0B
有擬題但未指出何種除法類型
9%
0Z
其它答案
6%
0X
空白
28%
(2)編碼
說明
百分比
2A
★以巧克力為例；等分除是一次分給 1個人 1顆，共分了 3次。
包含除是一次分掉 4顆，共分了 3次。
★舉例或圖示說明亦可。
4%
2B
等分除是分組、分群、平分…等的概念。
包含除是分裝、遞減…等的概念。
3%
1A
★僅敘述上列 2A、2B、2C 的等分除。
★舉例或圖示說明亦可。
4%
1B
★僅敘述上列 2A、2B、2C 的包含除。
★舉例或圖示說明亦可。
1%
14
1Z
其它答案
0%
0A
單位量與單位數的差別
0%
0B
解釋顛倒
0%
0Z
其它答案
18%
0X
空白
69%
說明與建議：
本題主要是評量學生是否理解等分除和包含除問題的意義，並瞭解考生是否理解
國小學生如何解決這兩種類型問題。這兩種類型問題是除法教學最基本的類型，是身
為一個國小老師必備的教材內容知識。包含除問題是給定總量與單位量，求出單位數，
而等分除是是給定總量與單位數，求出單位量。從資料分析顯示： 23%的考生能同時
給對等分除和包含除問題，等分除問題對考生比較熟悉，有 30%只能設計出正確的等
分除問題，但有些考生所設計的包含除問題是錯誤的。
有關考生說明國小學生在這兩類問題的解題上的差異，資料分析表中，發現只有
7%的考生能成功說明國小學生解決此問題的想法。這些考生對於等分除的解釋是：「分
組、分群、平分的概念，等分除是一次分給一個人，共分了 3個，等分除是除法問題
中求單位量的問題。而包含除是分裝、遞減的概念，是求單位數的問題，是一次分掉
4顆，共分了 3次」。總而言之，只有約兩成的考生得到該題的全部分數，30%的考
生得到該題的部分分數，而多數考生對於國小學生的解法需要加強，因為只有 7%的
考生能確說明國小學生的解法。因此，建議國小師培課程數學教材教法課程應當加強
師培生有關學生學習的認知。
2、103 年教檢第 8題
類別向度
數學教材內容
評量目標
設計「加乘混合」兩步驟問題及其併式記錄
請針對「加乘混合」兩步驟問題，設計以下兩種不同文字題，並寫出該問題的併式紀錄：
(1)先加後乘。【2.5 分】
(2)先乘後加。【2.5 分】
(1)編碼
說明_先加後乘文字題
百分比
1.5
A
情境為併加型→等組型的兩步驟問題
50%
B
情境為添加型→等組型的兩步驟問題
4%
C
情境為併加型(添加型)→倍數的兩步驟問題
15%
D
情境為併加型(添加型)→打折的兩步驟問題
2%
Z
其它
1%
1Z
情境符合先加後乘，但有部分不完整或不合理
1%
15
0Z
其它答案
8%
0X
空白
19%
(1)編碼
說明_先加後乘併式紀錄
百分比
1A
(𝑎+𝑏)×𝑐 (右分配)
56%
1B
𝑎×(𝑏+𝑐) (左分配)
1%
0A
展開式𝑎 ×𝑏 +𝑐 ×𝑑
1%
0B
非併式(兩步驟) 2+2 = 4、4×3 = 12
7%
0Z
其它答案
3%
0X
空白
31%
8(1) 併式紀錄
總和
0A
0B
0X
0Z
1A
1B
8(1)
文字題
0X
0%
0%
12%
0%
6%
0%
19%
0Z
0%
0%
3%
2%
2%
0%
8%
1.5A
0%
5%
10%
0%
33%
1%
50%
1.5B
0%
0%
1%
0%
3%
0%
4%
1.5C
0%
1%
4%
0%
10%
0%
15%
1.5D
0%
0%
0%
0%
1%
0%
2%
1.5Z
0%
0%
0%
0%
0%
0%
1%
1Z
0%
0%
0%
0%
1%
0%
1%
總和
1%
7%
31%
3%
56%
1%
100%
(2)編碼
說明_先乘加後文字題
百分比
1.5
A
情境為等組型→添加型的兩步驟問題
29%
B
情境為等組型→併加型的兩步驟問題
7%
C
情境為陣列型→添加型的兩步驟問題
5%
D
情境為被除數未知且有餘數的除法問題
2%
E
情境為倍數→併加型(添加型)的兩步驟問題
8%
Z
其它
1%
1Z
情境符合先乘後加，但有部分不完整或不合理
1%
0A(0B)
情境為三步驟問題
11%
0Z
其它答案
15%
0X
空白
21%
(2)編碼
說明_先乘加後併式紀錄
百分比
1A
(𝑏×𝑐)+𝑎
44%
1B
𝑎+(𝑏×𝑐)
1%
16
0A
𝑎 ×𝑏 +𝑐 ×𝑑
9%
0B
非併式
10%
0Z
其它答案
3%
0X
空白
33%
8(2)併式紀錄
總和
0A
0B
0X
0Z
1A
1B
8(2)
文字題
0A
8%
1%
2%
0%
0%
0%
11%
0X
0%
0%
14%
0%
6%
1%
21%
0Z
1%
2%
7%
3%
1%
0%
15%
1.5A
0%
2%
5%
0%
22%
0%
29%
1.5B
0%
1%
1%
0%
4%
0%
7%
1.5C
0%
1%
1%
0%
2%
0%
5%
1.5D
0%
0%
0%
0%
2%
0%
2%
1.5E
0%
1%
2%
0%
6%
0%
8%
1.5Z
0%
0%
1%
0%
0%
0%
1%
1Z
0%
0%
0%
0%
0%
0%
1%
總和
9%
10%
33%
3%
44%
1%
100%
說明與建議：
本題的目標是要透過擬題來瞭解考生是否理解加乘混合兩步驟問題，並瞭解考生
是否理解併式紀錄的意義。該問題要考生能區分先加後乘和先乘後加的不同布題及併
式紀錄，以下分別呈現先加後乘的表現及先乘後加的表現。
一、先加後乘
從表格中，顯示有70%考生能設計出合理的情境，考生設計的情境問題非常多元，
我們更進一步分析問題的語意結構發現：
(一)先加後乘的問題結構：
1.有50%的考生設計的類型為併加型+等組型的兩步驟問題。例如牛奶一瓶 50 元，餅
乾一盒 30 元，媽媽買 2瓶牛奶、2盒餅乾，總共多少錢？
2.有15%的考生設計的類型為併加型(添加型)+倍數型的兩步驟問題。例如：妹妹有 10
元，弟弟有 8元，哥哥的錢是妹妹和弟弟的錢加起來的 5倍，則哥哥有多少錢？
3.有4%的考生設計的類型為添加型+等組型的兩步驟問題。例如：香蕉原先每公斤的
售價 30 元，又漲了 8元，媽媽買了 5公斤，請問媽媽花了多少元買香蕉？
4.有1%的考生設計的題目不完整，仍然有 19%的學生無法設計出正確的問題。
(二)對於併式紀錄
考生依據所設計問題之後要記錄為併式，資料分析發現：
有57%的考生所記錄的算式為 (30+8)×5 的形式，只有 1%的考生記錄為
17
5×(30+8)。約有 8%的考生仍然用分開的兩個算式表示來兩步驟問題，沒有以併式
來表示。
(三)問題結構與併式紀錄的對應
從表中的問題結構與併式紀錄的列連表資料發現，能設計出正確的問題情境又能
列出正確的併式紀錄共約有 46%的考生，也就是約有五成的學生具備此概念。
二、先乘後加
(一)先乘後加的問題結構：
1.有51%的考生能設計正確的題目，其中有 29%的考生設計的類型為等組型+添加型的
兩步驟問題，為所有類型中最多。例如媽媽買了 5杯20 元的柳橙汁後剩下 5元，請
問媽媽原來有多少錢？
2.其次倍數型+併加型(添加型)的兩步驟問題為所有類型中次多的類型，有 10%的考生
設計此類型。例如：爸爸的體重是小花的 6倍再多 5公斤，若已知小花是 12 公斤，
請問爸爸的體重是幾公斤？
3.有5%的考生設計的類型為陣列型+添加型的兩步驟問題。例如：小菲採收了橘子裝
在一個箱子中裝了橘子，每排有 8個排了 5排，還剩下 4顆橘子，請問小菲一共採
收多少顆橘子？
4.仍然有 2%的考生設計的題目不完整。
(二)對於併式紀錄
考生依據所設計問題之後要記錄為併式，資料分析發現：有 44%的考生所記錄的
算式為(8×5)＋4的形式，只有 1%的考生記錄為 4＋(8×5)。約有 19%的考生仍然用分
開的兩個算式表示來兩步驟問題，無法以併式來表示。
(三)問題結構與併式紀錄的對應
從表中的問題結構與併式紀錄的列連表資料發現，能設計出正確的問題情境又能
列出正確的併式紀錄共約有 36%的考生，也就是約有四成的學生具備此概念。
整體而言，約有四到五成的考生能設計一個先乘再加或先加再乘的兩步驟問題並
將其用併式紀錄表示，先加再乘考生比較容易設計題目為添加型+等組型問題，而先
乘再加比較容易設計出等組型+添加型問題類型。考生要能理解兩步驟問題的意義及
併式紀錄的意義，和依據算式擬出一個合理的數學問題的專業知識，故建議在國小師
培課程的數學教材教法加強職前教師擬題的經驗。
小結 三、
根據 102 年預試和 103 年首次數學能力測驗有關數的內容，普通數學共計 5題(選
擇題 3題、填充題 2題)，其中含選擇題及填充題預試題各 1題，預試題共 2題；數學
教材教法共計 8題(選擇題 6題及問答題 2題)，其中含選擇題預試題 4題及問答題預
試題 2題。本次普通數學試題的評量內容涵蓋觀察數字的變化、發現關係、找出規律
18
性、整數除法原理、因數倍數概念、及集合概念，數學教材教法試題的評量內容則包
括課程綱要能力指標的解讀、加減法問題的語意結構及多步驟問題、國小學生對整數
除法的先備知識、國小學生解決加法問題的解題策略及瞭解學生解法背後的意義。根
據評量結果，分別就普通數學和數學教材教法，綜合整理如下：
（一）普通數學
普通數學選擇題 3題中涉及的數學概念為整數除法原理、因數倍數概念、及集合
概念。考生對這三個概念的表現中以利用因數倍數概念來列出代數的解題過程較差，
通過率約為六成。利用集合概念解決生活中的問題，考生的答題表現達到九成。從資
料中顯示，考生在預試題和正式檢測題的表現答對率沒有差別。
填充題的兩題都是涉及到觀察數字的變化、發現關係、找出規律性，但因為這兩
題所隱含的規律性難易差別很大，其中之一為為費氏數列，答對率高達 90%；而第 5
題的答對率只有 41%，因為該題的不意察覺數字的變化關係，還需要瞭解等差級數的
求和公式，所以難度更高。
（二）數學教材教法
在數學科教材教法的試題 6題中的 4題預試題答對率分別為 52%、62%、10%、
30%及2題正式檢測題答對率分別為 87%、87%。這些題目中以預試題中選擇題第 24
題和第 26 題答對率最低，分別為 10%、30%。第 24 題主要評量考生是否能正確解讀
課程綱要能力指標內容「理解除法的意義，並用橫式記錄解題過程」。考生看到「理
解除法的意義」是指以為就是要國小學生學習除法，而忽略學生會使用先備知識加法、
減法、乘法進行解題。因此，建議教材教法課程要讓師培生瞭解課程綱要能力指標內
容並能掌握教材的發展脈絡，來掌握國小學生對每一概念該具備的先備知識。
這些教材教法涉及的教材內容知識包含課程綱要解讀能力指標的意義、加減法問
題的語意結構及多步驟問題；有關學生學習的知識涉及到學生對整數除法的先備知識；
有關教學與評量知識的評量試題涉及的概念包含學生解決加法問題的解題策略及瞭解
學生解法背後的意義。考生對三種類別知識並沒有明顯的差異。
問答題 2題(含1題預試題)滿分是五分，每題都包含兩個子題。這兩個題目的類
型差別不大，都是請考生擬題，是透過擬題的手段來評量考生是否理解等分除和包含
除問題的意義及其差異，及評量考生對於先乘後加的概念及列算式的瞭解情況。考生
中有 23%同時正確擬出包含除和等分除問題，但不到 10%的考生能正確掌握核心概念
說出包含除和等分除問題在語意結構上的不同。有關考生對於「先乘後加」及「先加
後乘」的擬題及列算式的表現，從這次考生在教檢的表現發現：設計「先加後乘」的
題目(70%)比「先乘後加」(51%)的表現佳，考生設計的情境問題非常多元，類型中以
19
為先等組型再添加型的兩步驟問題為所有類型中最多。考生依據所設計問題之後要記
錄為併式，資料分析發現：考生所記錄的算式為括號（）在算式中的第一個位置如
(30+8)×5 而非 5×(30+8) 或 (8×5)＋4 而非 4＋(8×5)。
20
分數、小數試題表現
參、
普通數學 一、
（一）選擇題
1、102 年預試第 1題
內容向度
數與量
評量目標
瞭解帶分數÷帶分數的一般通則
判斷算式71
8÷21
3的值，與下列何者相等？
(A) (7÷2)+(1
8÷1
3)
(B) (71
8÷2)+(71
8÷1
3)
(C) (71
8÷2)+1
3
(D) (7÷21
3)+(1
8÷21
3)
選項
A
B
C
D*
其他
選項率
0.08
0.26
0.03
0.59
0.04
說明與建議：
本題的目標是要學生理解帶分數÷帶分數的一般通則，雖然國小學生常求算出帶
分數÷帶分數的值。若不理解算則背後的意義，考生不容易答對此題。只有 59%的考
生正確答對此題，有 26%的考生將乘法對加法分配律錯誤地類化到除法，而選出 B：
「71
8÷21
3= 71
8÷2+71
8÷1
3」作為答案。這類的概念建議放入師培課程的普通數學
教材內容中。
21
2、102 年預試第 2題
內容向度
數與量
評量目標
解決有倍數關係的基準量與比較量問題
有關「妹妹的錢是哥哥的 0.2 倍，也是姐姐的 0.8 倍。已知哥哥有 2000 元，求姐姐有
多少元？」的問題，下列哪一個算式可以算出正確答案？
(A) 2000÷0.2×0.8
(B) 2000×0.2÷0.8
(C) 2000×0.2×0.8
(D) 2000÷0.2÷0.8
選項
A
B*
C
D
其他
選項率
0.09
0.69
0.16
0.04
0.01
說明與建議：
本題主要評量考生能否依據基準量與比較量兩者關係而採取正確運算來解題。對
有倍數關係的數量問題，如已知基準量而要求比較量可用乘法運算來求出；相對地，
如已知比較量而要求基準量則可用除法運算來求出。本題是同時結合兩種概念，先由
已知的第一個數量關係中的基準量（哥哥的錢）透過乘法運算以求出第一個比較量（妹
妹的錢），接著再由求出的第一個比較量（妹妹的錢）做為第二個數量關係中的比較
量，透過除法運算以求出第二個基準量（姐姐的錢）。因此正確答案是「2000×0.2÷
0.8」。此題有 69％的考生答對。另有 9％的考生選了「2000÷0.2×0.8」可能是混淆
了兩者的求法；而 16％的考生選了「2000 ×0.2×0.8」可能是看到關鍵字「倍」，故
皆採用乘法。建議加強對使用哪一種運算可求出有倍數關係的基準量以及使用哪一種
運算可求出有倍數關係的比較量之概念性理解。
22
3、103 年教檢第2題
內容向度
數與量
評量目標
分數與百分數的換算
根據行政院主計處的資料，某年某月份全台灣人口失業率為 4.16%。若該失業率以最簡
分數 𝑎
𝑏 表示，則下列何者為真？
(A) 𝑎 = 26、𝑏 = 625
(B) 𝑎 = 52、𝑏 = 625
(C) 𝑎 = 26、𝑏 = 1250
(D) 𝑎 = 52、𝑏 = 1250
選項
A*
B
C
D
其他
選項率
0.69
0.07
0.08
0.16
2/0
說明與建議：
本題的目的是要評量考生是否能將百分數換算為最簡分數，這種概念是國小學生
須具備的概念，所以準備當小學老師應當具備這個概念，研究發現卻只有 69%的考生
做對。最關鍵的概念是 4.16%換算為 416/10000，再逐步約分，即可得到最簡分數為
26/625。
（二）填充題
1、102 年預試第 1題
內容向度
數與量
評量目標
瞭解0.9
的實際值
在所有整數中，大於0.9
的最小整數為( )。
編碼
說明
百分比
2A
答案 2
3%
0A
答案 1
88%
0B
答案 0
4%
0Z
其它答案
1%
0X
空白
4%
23
說明與建議：
本題主要評量考生能否掌握特殊的循環小數之實際值。因為0.9
＝1，所以大於0.9
的最小整數為 2。此題只有 3％的考生答對，幾乎全軍覆沒。而有 88％的考生皆誤認
大於0.9
的最小整數為 1。可能是這些考生雖都知道0.9
是0.999…、比 0.9 大，但受了
直觀的影響，覺得 0.999…仍不到 1，所以比 1小。因此大於0.9
的最小整數為 1。一般
而言，0.333…和 1
3 劃上等號，不難接受。因為 1
3＝1÷3，再透過長除法即可得出
0.333…；但 0.999…要和 1劃上等號就不是那麼容易理解，還要有極限的概念，才能
接受 0.999…＝1。國小教材雖有探討到分數與小數互換的問題，但都是侷限在有限小
數，即使在分數轉換成小數遇有除不盡時，也都以四捨五入法取到近似值。但對教授
國小數學的老師而言，所具備的學科知識就應再超越國小的範圍。大家對於循環小數
0.9
的符號不會感到陌生，知道它就是 0.999…一直延續下去，永遠不會停止。應再藉
此引出極限的想法並對極限概念有一些初步認識，以增加數學的廣度與深度。
數學教材教法 二、
（一）選擇題
1、102 年預試第17 題
類別向度
數學教材內容
評量目標
理解分數「單位分數內容物為單一個物」的問題情境
有關分數的教材，下列四個選項何者為「單位分數內容物為單一個物」的問題？
(A) 1 箱飲料有 24 罐，1
3箱有幾罐？
(B) 1 箱飲料有 24 罐，1
8箱有幾罐？
(C) 1 箱飲料有 24 罐， 1
12箱有幾罐？
(D) 1 箱飲料有 24 罐， 1
24箱有幾罐？
選項
A
B
C
D*
其他
選項率
0.02
0.01
0.01
0.92
0.04
24
說明與建議：
本題主要是評量考生是否理解單位分數內容物為單一個物的概念。內容物單一個
物是每一份內容物所包含的數量。例如，24 罐等分成 3份，每一份是 8罐，所以選項
A為內容物維多個個物，同樣地選項 B和C都是內容物為多個個物。而選項 D的24
份中每一份都是只有一個，內容物為單一個物。考生對該題的通過率為 92%，由此可
見，考生對該概念的表現不錯。
2、102 年預試第 25 題
類別向度
數學教學與評量
評量目標
適當的使用教具於一位小數的教學
我們時常使用下列的積木來進行教學：
百格板 橘色積木 白色積木
下列哪一個表徵方式，最適合進行一位小數的啟蒙教學？
(A) 橘色積木是 1條，白色積木是 0.1 條
(B) 百格板是 1張，橘色積木是 0.1 張
(C) 橘色積木是 1，白色積木是 0.1
(D) 百格板是 1，橘色積木是 0.1
選項
A*
B
C
D
其他
選項率
0.61
0.04
0.31
0.03
0.01
說明與建議：
本題主要評量考生能否選用適當的教具來表徵一位小數以進行一位小數教學。在
國小的數學教材中，一位小數是分數十分之幾的另一種表示方式。欲進行一位小數教
學時，應呈現具體情境，並能從中明顯看到一個單位量已被 10 等分的結果。因此本題
用橘色積木（1條）做為單位量較為適合，而 10 等分後的一份即可用白色積木來表示。
所以橘色積木是 1條，則白色積木就是 0.1 條。此題只有 61％的考生答對。另外，有
31％的考生選了「橘色積木是 1，白色積木是 0.1」，混淆了數與量的意義。在國小進
行有關數概念的啟蒙教學時，都應透過量來學習，也就是藉由量的大小和多寡（如 1
條和 0.1 條、1個和 0.1 個…）將數概念（如 1和0.1）抽象出來。
25
3、103 年教檢第 17 題
類別向度
數學教材內容
評量目標
瞭解國民小學階段分數的教材內容和順序
有關下列三個分數教材內容：
甲、認識等值分數
乙、能用通分作簡單異分母分數的比較與加減
丙、能用約分、擴分進行等值分數的換算
這些教材內容的安排先後次序，下列何者最為合適？
(A) 丙→甲→乙
(B) 乙→甲→丙
(C) 丙→乙→甲
(D) 甲→丙→乙
選項
A
B
C
D*
其他
選項率
0.04
0.14
0.02
0.8
0
說明與建議：
本題主要是評量考生對於高年級有關等值分數的意義、等值分數的換算、及利用
通分解決異分母分數的大小比較的教材順序安排的瞭解程度。解決簡單異分母分數的
大小比較，中年級學生可能可以用各種不同的方法來比較大小，而導致約有 14%的學
生錯誤選答(B)。但因為該選項是特別指定「利用通分解決異分母分數的大小比較」，
故教材安排順序應為認識等值分數、能用約分擴分進行等值分數的換算、利用通分解
決異分母分數的大小比較，經分析結果，有八成的考生已具有這方面的教材知識。
26
4、103 年教檢第 18 題
類別向度
數學教材內容
評量目標
能區別不同的分數表徵圖及其分數意義，並掌握其學習順序
在國小分數教材中，有關「1
4的意義」的不同表徵，下列哪一項是最晚學習的？
(A) (B)
(C) (D)
選項
A*
B
C
D
其他
選項率
0.67
0.15
0.07
0.12
0
說明與建議：
選項 B是一維度的繩子做出 1
4、選項 C和D都是二維度的表徵方式。選項 B、C、
D的表徵都是分數的部分整體意義，而選項 A的 1
4 是數線上的一點。數線上的一點
除了須具有部分-整體意義的理解之外，還要具有某點到原點的距離的概念，因此涉及
的概念難度較為複雜，在教材上安排在四年級學習，比部分整體的意義的學習進程較
晚。該題考生只有 67%能區分分數的這兩個不同的意義。
1
0
1
4
1
1
4