1
臺北市立中正高級中學
114 學年度第 1 次專任教師甄選【數學科】初選試卷
◎、作答規定
1. 本次考試作答時間為 100 分鐘，鈴響後請停筆由監試人員協助收回題目卷及答案卷。
2. 答案卷以每人一份（共 6 張）為限，單面作答，不得要求增補。
3. 限在作答區內以黑色或藍色原子筆作答，並依答案卷上題號作答，不得擅自更動題號。
4. 答案應以最簡分數或最簡根式回答，計算與教學題的過程，務求詳盡，否則不予計分。
5. 答案卷不得污損、破壞或塗改應試號碼，亦不得書寫考生姓名、應試號碼或與答案無關之文字或符號。
6. 因字跡潦草等原因，致無法辨識或評閱而影響成績者，其後果由考生自行承擔。
一、填充題（每題
5 分）
1.
已知空中有一邊長為 5 2 的正四面體， A 為此四面體中距離地面的最近的頂點。而其他三個頂點距離地面距離分別為 5 、
6 、 7 ，則 A 到地面的距離為 。
2.
計算
( )
( )
2
2
31
1
2
1
log
7
log
7
k
k
k
k
k
−
=
+
的值為 。
3.
有一地球儀為半徑
4 公分的球體，其球心為 O 。若地球儀表面上有 A 、 B 兩點，其中點 A 位於東經 60 度北緯 45 度、
點 B 位於西經
30 度南緯 45 度，則沿著地球儀表面從點 A 走到點 B 的最短距離為 公分。
4.
某人自製一粒六面體骰子並聲稱此骰子出現奇數與偶數的比例相等。今檢定此骰子出現的比例，並列出前三個步驟如下：
①
假設「此骰子出現奇數與偶數的比例相等」；
②
確立檢定統計量為「此骰子擲 7 次而出現奇數的次數」；
③
設定顯著水準為 0.05；
設隨機變數 X 表示出現奇數的次數，求拒絕域為 。
5.
設空間中有兩點
(
)
1, 2,5
A − −
、
(
)
1,5, 4
B
及一直線
3
:
2
2
x
y
L
z
−
−
=
= − ，若 P 點為 L 上的一個動點，
當 P 的坐標為
(
)
, ,
a b c 時， PA
PB
−
會有最大值 d ，則
(
)
(
)
, , ,
, , ,
, ,
a b c b c d
a b c d =
。
6.
3
2
0
tan 2
sin
lim(
)
0
x
x
a
bx
x
x
x
→
+
+
= ，求 ( , )
a b = 。
7.
平面上，一橢圓 E 的中心為 (0,0) ，且其一焦點為 (5,0)
F
。若直線 L 通過 F 並交 E 於 ,
A B 兩點。
若 AB 的中點為
(2, 2)
M
− ，求橢圓 E 的方程式為 。
8.
若方程式
2
|
4
3 |
x
x
a
x
−
+
− = 恰有 4 個實根，求實數 a 的範圍為 。
9.
在梯形 ABCD 中
AD
BC
且
AD
BC
，
90
D
= ，
12
BC
CD
=
=
， E 在 CD 上且
45
ABE
= ，
若
10
AE =
，試求 CE 的長度為 。
10. 設
、
1
且
7
1
= ，計算
(
)
6
2
0
2
4
k
k
k
=
+
+
的值為 。
2
二、計算與教學題（除第
6 題 10 分外，其餘每題 8 分）
1.
若排除以數學軟體或是描點法的方式，如何在不超出課綱規範下，向學生解釋
2
x
y =
的函數圖形恆在直線 y
x
= 上方。
2.
已知實數 ,
x y 滿足
2
2
2
2
2
(
)
,
0
xy x
y
x
y x
−
=
+
，求
2
2
x
y
+
的最小值。
3.
已知平面上兩向量
3
3
(cos
,sin
),
(cos , sin )
2
2
2
2
x
x
x
x
a
b
=
=
−
，且
[0, ]
2
x
。
若 ( )
2 |
|
f x
a
b
a
b
=
−
+
的最小值為
11
2
−
，求實數
。
4.
數列
n
a 的前 n 項總和為
n
S ，已知
1
1
1
4
2
n
n
a
S
a
+
=
=
+
，求一般項
n
a 。
(整理計算或歸納證明之)。
5.
設 P 為正方形 ABCD 之外接圓上的一點，其滿足
75
PA PC
=
，
100
PB PD
=
，求正方形 ABCD 的面積。
6.
以下是
108 課綱高二社會組數學 B 課程的習作題目，以及甲、乙兩生的作圖與計算過程。
請你想像自己是這門課的老師，批改這兩位學生的作答，並說明：
① 兩位學生的作法有哪些錯誤？假設這兩位學生在下課時同時向你詢問為何錯誤及如何訂正，你會如何簡要說明，
讓社會組數學
B 課程的學生能夠立刻理解？
② 在你的教學經驗中，這類的題目還有哪些計算錯誤的樣態？
習作題目：
某實驗室以示波器記錄一波在介質中前進時，波隨時間 t （秒）的振動高度 y （公分）如下表。
時
間
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
高
度
4
3
4
2
3
2. 7
−
2
4
2
3
2. 7
−
3
4
5
4
7
3
5. 3
+
6
4
7
3
5. 3
+
5
4
將這些資料點繪製於坐標平面上並連結起來，觀察其圖形如右圖，可約略看出此圖形與正弦波類似，因此該實驗
室選用
sin(
)
y
a
t
k
=
+
+ 的函數來描述這筆觀測資料，其中
0
0
a
、
、
− 。試求：
sin(
)
y
a
t
k
=
+
+ 。
甲生的作圖與計算過程：
最大
=
6，最小
=
2 上移 2 單位，鉛直伸縮 6 倍，
6
a = ，
2
k = 。
0
t = 跟 6 重複，週期
6
T = 水平伸縮
6
3
2
= 倍，
3
= 。
由圖知右移
6 單位，
6
= − ，
#
3
6sin(
6)
2
y
t
=
− +
乙生的作圖與計算過程：
最大
=
6，最小
=
2 振幅
6
2
4
a
= = − =
上移
4 單位
4
k =
過
12 秒數值重複，週期
12
T =
2
2
12
6
T
=
=
=
4sin(
)
4
6
y
t
=
+
+ ， 過
( )
0, 4 代入，
4 4sin(
0
)
4
0
sin
0
6
=
+
+ =
= ，
#
4sin(
)
4
6
y
t
=
+