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102年公務人員特種考試警察人員考試、
102年公務人員特種考試一般警察人員考試及
102年特種考試交通事業鐵路人員考試試題
等 別：高員三級鐵路人員考試
類 科：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
考試時間： 2 小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：70860
70960
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－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、請用拉氏轉換（Laplace Transform）解聯立微分方程式：（10 分）
⎩
⎨
⎧
−=
′
=
′
==−−−=
′′
−+−=
′′
.3)0(,3)0(,1)0(,1)0(;)(
),(
21212122
1211
kykyyykyyyky
yykkyy
二、令 ∑是圓錐 22 yxz += , 9
22 ≤+ yx 的表面，若n為∑之單位法向量且
k
j
i
x
y
z
x
y
F
−+−= 。求
σ
dnF ‧
∫∫
∑
×∇ )( 。（15 分）
三、設矩陣 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=
150
821
003
A，
求A的特徵值（eigenvalues）。（5分）
求A的特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
四、若隨機變數（random variable）X與Y的聯合機率密度函數（joint probability
density function）為 ⎩
⎨
⎧<
<
<
<
=elsewhere,0
0and0,/1
),(
,byaxab
yxf YX
其中 ba <。
求：
4
/
3a
Y
X≤+ 的機率：
{
}
4/3aYXP
≤
+
。（5分）
abX
Y
/
2≤的機率：
{}
abXYP /2
≤
。（5分）
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乙、測驗題部分：（50 分） 代號：6708
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用 2B 鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 一系統由 4項獨立（independent）運作之組件構成，其組件正常運作之機率分別為 0.9，0.7，0.5 及0.3，
令隨機變數 X為該系統中正常運作組件之數量，試求期望值
=
)(XE ？
0.6 1.2 2.4 3.6
2 設一隨機變數 X，其期望值（mean value）8
=
X
μ
，變異數（variance）9
2=
X
σ
；試問機率 )204(
<
<
−
XP
之值可能為何？
0.3 0.5 0.75 0.95
3 ∑
∞
=
=
−
+
0
1
1
ln
n
n
nza
z
z, 1<z，則 =
1
a？
-1 0 1 2
4 請計算 iz iz
iz 233
lim 3
11
+
−
→之值，其中 1−=i：
-4 11 -6 0
5 設1,10,)( −=≤≤+=Γ itittt ，則∫Γdzz2 之值為何？
3
1 )1(
3
1i+ )1(
3
1i− )1(
3
2i−−
6 已知複變數函數 )1(
1
)( −
=z
ez
zf 的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數
（order）M及對應的留數（residue）B分別為何？
1=
M
, 21−
=B 1=
M
, 2
1
=B 2
=
M
, 21−
=B 2=
M
, 2
1
=B
7 設A及B為任二 nn×矩陣，則下列敘述何者錯誤？（答案選項中 det X表矩陣 X的行列式值）
AA detdet kk =（其中 k為一常數） BABAAB detdet)det()det(
=
=
AA detdet T= 若0det
≠
A，則 1−
A必存在
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8 請問以下何者是
999
01
10 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−的特徵值？其中 1−=i：
0 1 -1 i−
9 若S為
[]
002 ,
[]
130 所生成之子空間，求向量
[
]
311
=
w在S上之正交投影：
[]
10/610/182
[
]
5/35/91
[]
10/310/92
[
]
5/35/92
10 令
[]
T
231=x、
[]
T
111=
1
y、
[
]
T
011 −=
2
y、
[
]
T
001=
3
y且定義 L為3
R
至3
R
相對於基底（basis）
[]
321 yyy 之線性轉換（linear transformation）： 321i yyyy )()2()2()( 3213231
3
1ccccccccL ii++++−+=
∑
=，
則=)(xL？
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−8
6
7
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
1
2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
2
4
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
5
7
11 ∫∫∫
−
2
1
2
0
xx
ydzdydx為何？
0 2 3 6
12 有一曲面 4
222 =++ zyx ，求經過點(1, 1, 1)且切於該曲面之平面方程式：
22 =+− zyx 1=+− zyx 3
=
+
+
zyx 1=−+ zyx
13 若32
)cos()sin(),,( yzxyzxyzyx +−=
ϕ
，則其在點 ),0,(
π
π
−
=
P最陡變化方向（gradient）的旋度（curl）
為何？
kji 45
ππ
+− kji 45
ππ
−+ kji
+
−
0
14 若將三維空間中之曲線 C以參數表示法表示為 )cos(2 tx
=
, )sin(2 ty
=
,
t
z
=
；且
π
≤≤ t0，則曲線 C之
長度為：
2
2
5
π
2
2
3
π
π
5
π
3
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15 求解微分方程式 y
y
yx +=
′2
2，則其解為何？
xc x
y−
= )(2 xcx
y−
= xc x
y−
=2 xc
y−
=2
16 下列何者為 0)1( 23 =++ dyydxx 之解？（答案選項中之 c為任意常數。）
cyx =++ )1(43 3 cyx =++ )1(43 4 cyx =++ 33 )1(43 cyx =++ 34 )1(43
17 下列何者不為 02
=
−
′
−
′′ yyy 之解？
xx eey 2
+= − x
ey −
= x
ey 2
= xx eey 2
+=
18 下列何者是 tttf 2sin53)( −= 的拉氏轉換（Laplace Transform）？
)4( 1253 2
2
+
+−
ss ss )4(
127 22
2
+
+−
ss
s )4( 1235 22
23
+
++−
ss ss )4( 122 22
2
+
+−
ss s
19 下列何者錯誤？其中 )(tu 為單位步階（unit step）函數，
=
F(s) ))(( tf 為拉氏轉換（Laplace Transf orm）
)()}({ asFtfeat −= =)}({ tfeat ass
tf −→
)}({
)()()}({
1atuatfsFe as −−=
−− )2()2sin(}
1
{2
2
1
ππ
π
−−=
+
−tut
ses
20 設A為一 nn× 矩陣，且已知 A的反矩陣 1−
A存在，則下列敘述何者錯誤？
n== −1
rankrank AA
0det ≠A且0det 1≠
−
A（其中 Adet 表矩陣 A的行列式值）
11 (detdet −− =A)A
可能存在另一 nn× 矩陣 B，且 1−
≠AB ，使得 IAB
=
（其中 I為單位矩陣(identity matrix)）
類科名稱：
102年公務人員特種考試警察人員考試、102年公務人員特種考試一般警察人員考試、
102年特種考試交通事業鐵路人員考試
科目名稱：工程數學（試題代號：6708)
題 數：20題
測驗式試題標準答案
考試名稱：
標準答案：
題號
答案CDDCD CADBC ACDCC DDBDD
題號
答案
題號
答案
題號
答案
備 註：
題號
答案
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
電子工程、電力工程