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110 年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別
：
三
等考試
類 科
：
統計
科 目
：
抽
樣方法
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
31450
頁次：
2
－
1
一、何謂抽樣誤差？那種樣本可以測量抽樣誤差？有那些方法可以降低抽
樣誤差？（10 分）
二、何謂簡單隨機樣本？（5分）
考慮簡單隨機抽樣，請證明任一母體元素
i
u
, i=1,…, N 被選入樣本的
機率為 n/N。（5分）
請問下列敘述是否正確？「若任一母體元素
i
u
，i=1,…, N 被選入樣本
的機率皆相等，則此樣本稱為簡單隨機樣本」，若不正確，請舉一反例
說明。（10 分）
三、抽樣時，採分層隨機抽樣方法而不採用簡單隨機抽樣方法的原因有那
些？（10 分）
考慮分層隨機抽樣，證明在抽樣總成本固定之下，使樣本平均之變異
數最小的各層樣本數最佳配置為
1
/
( )
/
i i i
iL
k k k
k
N c
n n
N c
，其中
i
N
是第 i分層
的大小，
2
i
是第 i分層的變異數，
i
c
是由第 i分層獲得一觀察值的成
本。（15 分）
考慮分層隨機抽樣，請問在那一種樣本配置下，母體平均估計量與簡
單隨機抽樣時的母體平均估計量相同，試證明之。（10 分）
四、考慮系統抽樣，請導出 ( 1)
( 1)
k nMSB SST
n SST
，
其中N=nk，
是系統樣本（集群）內任2元素的相關係數，
2
1
2
1 1
2
1 1
( )
1
1
( )
( 1)
( )
k
i
i
k n
ij i
i j
k n
ij
i j
n
MSB y y
k
MSW y y
k n
SST y y
（10 分）
代號：
31450
頁次：
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－
2
五、考慮集群抽樣，若母體總數 M已知，請問母體總和的估計量為何？若
不知母體總數 M，但知道集群總數 N時，請問母體總和的估計量為
何？（5分）
考慮兩階段集群抽樣，證明母體平均估計量 1
1
n
i i
i
M y
n
M
是母體平
均
的不偏估計量。其中
M
=M/N。提示： 1 2|1
( ) ( )
E E E
（10 分）
考慮兩階段集群抽樣，由相等大小集群 M抽取相等大小樣本 m，且當
N很大時，證明在固定抽樣成本下，使
2
2
1
( ) ( )
w
b
V
n m
值最小的 m
為
2
1
2
2
w
b
c
m
c
，其中
1
c
是第一階段每一觀察值的成本，
2
c
是第二階段每
一觀察值的成本，
2
b
是集群平均間的變異數，
2
w
是集群內元素間的變
異數。（10 分）