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113年公務人員高等考試三級考試試題
類 科
：
統計
科 目
：
統計學
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
32220
頁次：
2
－
1
一、人工智慧的興起，帶動了市場對晶片需求量的飆升，也連帶促成相關產
業的蓬勃發展。已知國內有某家公司專門生產晶片半導體製程中使用的
圓形光罩。今由此公司之生產線隨機抽檢 n筆光罩樣本並測量其半徑。
若已知因某些特定原因造成該公司測量儀器不精準，測量之觀測值會有
誤差，令 表其觀測誤差。假設觀測誤差 1 2
, ,...,
n
彼此相互獨立
且服從平均數為 1，變異數為
2
之常態分配，並令
為此圓形光罩的真實
半 徑 。 令 變 數 1 2
, ,...,
n
Y Y Y
為 此 n筆 樣 本 之 半 徑 的 觀 測 值 ， 則
, 1,2,...,
i i
Y i n
。令
( )
F y
為變數
i
Y
之累積分配函數（cumulative
distribution function）。（每小題 10 分，共 80 分）
求出機率
1
2
( )
( )
1 0.5
F Y
F Y
P 。
求出條件機率
2 1 2
( ) ( ) ( ) 0.5
P F Y F Y F Y 。
假設
和
2
皆未知，請利用觀測值 1 2
, ,...,
n
Y Y Y
求出此光罩半徑
之最大
概似估計量（maximum likelihood estimator）。
假設 和 皆未知，請利用觀測值 1 2
, ,...,
n
Y Y Y
求出此光罩面積
2
之均勻
最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。
假設 和 皆未知，請求出光罩半徑 之信賴水準
100(1 )%
的信賴區
間。
若該公司有兩條獨立作業的生產線，且已知此兩條生產線所生產之光
罩的瑕疵率皆為
。令變數
i
S
為第 i條生產線上檢測產品直到檢測出
第一個瑕疵品前所需的檢測（良品）次數，
1,2
i
，請求出機率
1 2
[ ]
P S S
。
續題，令變數
1 2
{ , }
U Min S S
代表取
1 2
,
S S
之最小值，請求出
U
之機
率密度函數
( )
f u
。
求出題之變數
U
的期望值
( )
E U
。
1 2
, ,...,
n
2
2
代號：
32220
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2
－
2
二、臺灣量子國家隊已成軍 5年，去年突破技術瓶頸，成功自製出 5量子位
元之超導量子電腦，象徵著臺灣的量子時代來臨。已知團隊開發的量子電
腦有一個核心的元件，此核心元件是由三個電路組件串聯及並聯構成。令
變數
1 2 3
, ,
T T T
分別代表此三個電路組件的壽命，此核心元件是先由第一及
第二個電路組件串聯後，再和第三個電路組件並聯而成，因此整個核心元
件的壽命是
1 2 3
{ { , }, }
X Max Min T T T
，此處
{ , }
Max a b
代表取
,
a b
之最大值，
{ , }
Min a b
代表取
,
a b
之最小值。假設此三個電路組件的壽命彼此相互獨
立，皆服從具有平均數為 2之指數分配。（每小題 10 分，共 20 分）
求出變數
X
之機率密度函數
( )
f x
。
求出變數
X
之變異數
( )
Var X
。