臺北市立永春高級中學 108 學年度第一學期 高一第一次期中考 數學科試題卷
考試範圍：第一章全(1-1～1-4) 一年 班 號 姓名
一、多重選擇題
(每題 5分，4題共 20 分，答錯一個選項得 3分，答錯兩個選項得 1分，答錯兩個選項以上或均未作答者不給分)
1. 下列敘述何者正確？
(A)設
a
是有理數，b是無理數，則
a
b
必為無理數 (B)若
3
a
,
5
a
都是有理數，則
a
必是有理數
(C)任意兩個相異的整數之間會有無限多個有理數 (D)
3
729
是一個無理數
(E)設
a
,b為無理數，
,cd
為有理數，若
acbd
+=+
，則
ab=
且
cd=
。
2. 若
0a>
，請判別下列選項何者正確？
(A)
2
22
()
aa
=
(B)
2
3
a
和
3
2
a
互為倒數 (C)
5
3
332
2
=
(D)
13
1
3327
−
×=
(E)
0.5 0.5
(0.2) (0.008) 5
−
×=
3. 下列敘述何者正確？
(A)
10
31.234 10×
為11 位數字 (B)
-12
2.567 10×
從小數點後第 12 位開始不為 0 (C)
6
1.748 10×
取三位有效位數，有效數
字是
6
1.74 10×
(D)
log0.7
0.7=10
(E)
0
log10 1=
。
4. 下列關於絕對值的敘述何者正確？
(A)若x為實數，則
x
為非負實數 (B)
2x+
=1 的幾何意義是數線上 x到2的距離是 1 (C)
1 53
xx++ + ≤
有實數解
(D)
2 42
x−≥
的解用區間符號表示為
(
] [
)
,1 3,−∞ ∪ ∞
(E)
53xx++−
有最小值為 8
二、填充題 (每格 4分，15 格共 60 分，全對才給分)
1. 計算並將下列式子化成最簡分數：
0.26
= 。
2. 求出下列各式的值：
(1)
()( )
33
53 53
−−
− ×+ =
。
(2)
1
2
4
5
55
()
()
9
33
3
k
×=
，試求
k=
。
3. 設數線上三點
( 4)A−
, B(x), C(10)，且 B在
AC
外，滿足
52AB BC=
，試求 x的值為 。
4. 設n為整數，
log0.00314 1nn< <+
，則
n=
。
5. 已知 x為有理數，若
22
(6 ) 3 (15 2 ) 3x x xx+− = + +
，則
=x
_____________。
2-1
6. 試比較下列各組數的大小
(1)
0.5
3a=
、
4
27b=
、
3
3
9
c=
。 答：
(2)
1
3
3a=
、
1
4
4
b=
、
1
6
6
c=
。 答：
7. 設
12 2 27 ab−=+
，其中
a
為整數部分，且
b
為小數部分，則：
(1) 化簡根式
12 2 27
−=
。
(2) 試求
1
ab
+=
。
8. pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，它的定義是：pH 值
log= −
[
H
+
]，其中[
H
+
]為氫離子的濃度(莫耳/升)，已知某酸性
溶液氫離子的濃度為
4
10
−
(莫耳/升)，試問此酸性溶液的 pH 值是 。
9.
x
為實數，方程式
1 58xx−+ − =
，則解
x=
。
10. 為了定量描述星星的亮度，天文學家把利用肉眼觀測的星球亮度用來定義「視星等」。若織女星的亮度為
0
F
，則一顆
亮度為 F的星星，其星等定義為：
0
2.5log F
mF
= −
，稱此星星為 m等星。試問織女星是 7.5 等星亮度的 倍。
11. 設
,ab
為實數，若
6ax b
−≥
的解為
5x≥
或
1
x≤−
，則數對
(,)ab
為 。
12. 設
0a>
，x為實數，
2
52
x
a= −
，則
33xx
xx
aa
aa
−
−
+
+
之值為 。
三、計算題 (2 題共 20 分，請標明題號和答案，無計算過程不予計分)
1. 已知
,xy
為正實數，且
8xy =
，則：
(1)
29xy+
的最小值為 。(共4分)
(2) 承(1)，最小值發生時，
x=
，
y=
。(共6分)
2. 數線上有一部能左右移動的微型機器人，兩個操控站位於
( 2)A−
、
(4)B
，此機器人會受到兩個操控站的控制，當機器
人與兩操控站的距離和大於 10 時，機器人會無法做出正確的操控。設機器人的位置
()Cx
，則：
(1) 請用絕對值不等式表示機器人能夠被操控站「正常操控」的距離敘述 (2 分)
(2) 承(1)，試用分段討論的方式求出 x的解 (8 分)
-試題結束-
2-2