952201010 數碩二 吳蕙稜 P48~P65
2-1 畢氏定理
畢氏定理ㄧ方面可以用幾何圖形呈現，一方面用代數形式推導。
我們能夠討論各種圖形性質的數學稱為幾何學；像丈量土地，度量星空都是需要
測量的。這也就是商高定理、畢氏定理最初的動機來源。
例ㄧ，說明三角形三邊長比 3:4:5。
右圖為一直角三角形，兩股長各為 3 和 4，求斜邊長。
由畢氏定理知，
，所以
25
4
3
2
2
2
=
+
=
c
5
=
c
。
同時，隨堂練習也做了 5:12:13。其中，
『3:4:5』為連比，所
以如果有三個數連比等於 3:4:5，那此三數也滿足畢氏定理，
如 6:8:10。因為 6:8:10=3:4:5，所以可得
在這裡由連比的數符合畢氏定理，需要使用到指數律、分配律，我們可以當成複
習來學習。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
10
)
2
5
(
2
5
2
)
4
3
(
2
4
2
3
)
2
4
(
)
2
3
(
8
6
=
×
=
×
=
×
+
=
×
+
×
=
×
+
×
=
+
例二，ㄧ直角三角形的兩股長各為 21 和 28，求斜邊長。
我們可以觀察出 21:28=3:4，可利用 3:4:5=21:28:35 來求得。我們在第二冊學
的連比，可以用在此，幫助學習。隨堂練習，同樣使用連比觀念 9:12=3:4，可
利用 3:4:5=9:12:15 來求得。
例三，ㄧ直角三角形 ABC，已知ㄧ股
24
=
AC
，斜邊
25
=
AB
，可得另ㄧ股
BC
=7，邊長比也就是 7:24:25。
隨堂練習，ㄧ直角三角形 ABC，已知ㄧ股
15
=
BC
，斜邊
39
=
AB
，可得三邊長關
係比為 15:36:39。
2-1 自我評量
1. (5) 若ㄧ直角三角形兩股長為 3、3，則斜邊長小於 3。
=> 此題為錯，由於
。
9
3
18
3
3
2
2
2
=
>
=
+
1. (6) ㄧ個等腰直角三角形的邊長連比為 1:1:2。
=> 此題為錯，對於目前的學生來說，我們只能夠計算出
2
1
1
2
2
=
+
，所以只能
知道邊長比不為 1:1:2。
4. 如右圖，求三角形 ABC 的面積。我們要求面積
必須要先求高，所以必須利用到其中一直角三角形
ABD 的邊長比為 3:4:5，所以高為 4。
2-2 平方根與近似值
當利用畢氏定理計算直角三角形的一斜邊或一股的時候，我們一直遇到一個問題:
『給定一個正數 a，什麼數的平方會等於 a？』
這類問題常常在處理面積的時候遇到，我們可以從正方形著手。
『邊長 1 的正方
形，面積為 1』
、
『邊長 2 的正方形，面積為 4』…，如果我想要面積為 2 的正方
形邊長、面積為 3 的正方形邊長? 這類的問題如何去著手，這就引導出了平方根
的問題。我們可以由這類的面積問題，引導學生了解正方形的對角線長度，也就
是由正方形邊長做兩股長的等腰直角三角形的斜邊長。
如果一個數
a
大於零，
，我們就說
b
為
a
的平方根。如果
，則稱 為
的正平方根，如果
，則稱 為 的負平方根。ㄧ開始就要讓學生根深蒂固有
一個觀念，平方根有正有負。
a
b
=
2
0
0
>
b
b
a
<
b
b
a
我們細數學生上國中數學的新數學物件，第一為負數，第二為多項式，第三為根
號，也就是給ㄧ正數
a
， 的平方根記為
a
a
，讀做『根號
a
』或『
a
開根號』
，
例如我們可以知道
1
1
=
、
2
4
=
、
3
9
=
、
4
16
=
、…。至於
0
，因為只有
0 的平方才會等於 0，所以
0
0
=
。
給ㄧ正數
a
（表示為面積）
，如何計算
a
（表示為邊長）呢？根據上面討論，如
果可以將
a
寫成某ㄧ數的平方，就能算出
a
。
例如，
，所以得
2
2
2
2
15
)
5
3
(
5
3
5
5
3
3
=
×
=
×
=
×
×
×
=
225
15
225
=
。
例ㄧ，求下列各數開根號的值：1)
441
2)
4
9
3)
01
.
0
前面都只提到整數，在這裡也提到了分數與小數，分數與小數也可以有平方數。
至於隨堂練習，我們可以用因數分解計算 1225，幫助分解找平方根。
例二，也就是用因式分解去計算 11025，可利用指數律得
。
2
2
2
2
2
105
)
7
5
3
(
7
5
3
11025
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
所以
105
11025
=
。
隨堂練習，ㄧ等腰直角三角形的面積為 242，求ㄧ股長。同樣可以使用例二的想
法，但不ㄧ樣的是此時若ㄧ股長為
a
，那
為面積相當於 484（＝242
×
2）
。
2
a
認識
2
我們好奇到底有沒有面積為 2 的正方形？
如右圖，我們可以取 4 個邊長為 1 的正方形
（如圖ａ）
，拼成邊長為 2 的大正方形（如
圖ｂ）
，顯然粉紅色的部份是一個正方形，
並且是大正方形的ㄧ半，也就是面積為 2，
所以邊長即為
2
。
在這裡可以看到兩股斜邊為 1 的直角三角形，斜邊即為
2
，粉紅色正方形的邊
長。所以我們可以知道
2
)
2
(
2
=
，相當於粉紅色正方形的面積。
隨堂練習，請利用右邊三角形畫出一個面積為 5 的正方形。
由於斜邊為
5
，所以用斜邊劃出來的正方形面積為 5。
底下用兩種方式來理解
2
是多少？（應該說
2
大約是多少）
第一種方式用數線。如下圖，首先，先在數線上畫一點Ｏ，必須使用圓規，用圓
規張開來 0 到 1 的長度，取ㄧ點 1，在 1 上做一直角取長度 1，即可做出一等腰
直角三角形。用圓規以斜邊長為半徑畫弧，以Ｏ為圓心畫弧，交數線於Ａ點，
OA
即為
2
。老師在現場教學時，最好是用圓規以及直角板輔助。學生可以嘗試用
尺量量看，並且可以發現
2
約在 1.4 與 1.5 之間，如果學生畫圖不精確，很可
能會說
2
為 1.4，此時可以請學生驗算，如
，因為
96
.
1
4
.
1
2
=
2
的意思就是
2
)
2
(
2
=
，所以可以發現
不等於 2。
2
4
.
1
第二種理解
2
的方式為利用正方形邊長以及面積的關係。因為此關係保序，也
就是說在 a、b 兩數在 x 軸上開根號後，會保持原本的大小順序；也就是說，正
方形的面積越大當然邊長越長。所以假如 a、b 為兩正方形的面積，
相當於
b
a
>
b
a
>
，
相當於
b
a
=
b
a
=
，
b
a
<
相當於
b
a
<
。因為
，所以
4
<
2
1
<
2
2
1
1
=
<
=
4
<
。
緊接著動動腦利用了『直角三角形斜邊長為最長邊』和『三角形兩邊和大於第三
邊』
，說明了
2
2
1
<
<
。
由上面討論，我們可以知道
2
不為正整數，但有可能是小數或分數嗎？先看
2
是不是為小數，若問
2
是不是為 1.4142，直接的作法就是為算算看，即可發現
，因為這裡談的小數是有限小數，我們可以發現沒有一個數的
平方為 2，單純看最後ㄧ位數平方後不可能為零，所以我們就可以知道
999396
.
1
4142
.
1
2
=
2
不可
能為小數。
對於
2
不為分數的理由，學生要到高中才會學習到。也就是假設
m
n
=
2
，
互質，
（因為
n
m、
m
n
>
2
＞1）
，平方之後為
2
2
2
m
n
=
，所以
，因為
互
質，可以讓學生嘗試ㄧ些例子，所以
2
2
2 m
n
⋅
=
n
、
m
m
n
=
2
是不可能的，也就是
2
不為分數。
所以我們發現了一個新的數，這個數不是小數，也不是分數。接下來開始做一些
根數的計算。
如
2
2
2
2
⋅
=
，所以
8
2
4
)
2
2
(
)
2
2
(
2
2
2
2
)
2
2
(
2
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
如右圖，可以用面積來說明
8
)
2
2
(
2
=
。
接著就討論，像
2
這類的數，想開根號卻開不出來，像
『
6
』就會是數線上的某ㄧ點。
a
的比大小
為什麼
a
可以比大小，因為
a
在數線上，只有在數線上的東西有三一律，不管
分數也好，根數也好，因為都在數線上，ㄧ定有大小關係，ㄧ左一右，左的就是
小，右的就是大。