1
學科能力測驗（
111 學年度起適用）
數學
B 考科參考試卷
試題解析
試題編號：
1
參考答案：
(4)
學科內容：
S-11B-2 圓錐曲線
測驗目標：理解圓錐截痕的概念。
試題解析：光源所照射到的光線邊界為一圓柱
(錐)，照射到地面可視為平面斜切圓柱(錐)的截痕，
為一個橢圓。
試題編號：
2
參考答案：
(4)
學科內容：
S-11B-1 空間概念
測驗目標：評量空間距離的概念。
試題解析：設
A、B 連線段的中點為 C，則 P 在過 C 與
AB 垂直的平面上，且 P 與 C 的距離為定值
3
2
AB ；顯然為一圓。
試題編號：
3
參考答案：
(2)
學科內容：
D-10-3 有系統的計數
測驗目標：評量二項式定理的概念。
試題解析：由二項式定理：一般項為
12
12
(
)
n
n
n
C p
q
，依此可推得
12
9
3
9 3
9
9
( )
220
n
C p
q
p q
。
試題編號：
4
參考答案：
(5)
學科內容：
F-10-1 一次與二次函數、F-10-3 多項式不等式
測驗目標：評量多項式圖形平移的概念及求解不等式。
試題解析：
( )
(
1)(
2)
f x
a x
x
，
0
a
，由題意右移一個單位，可推得
( )
(
2)(
3)
g x
a x
x
。
因此
2
( )
( ) 2 (
2)
0
f x
g x
a x
的解為： x 為任意實數。
2
試題編號：
5
參考答案：
(4)
學科內容：
G-10-6 三角比、G-10-7 三角比的性質
測驗目標：利用正切的定義求內切圓半徑。
試題解析：
O 為內切圓圓心及正十邊形的中心， AB 為正十邊形的一邊。
由
36
AOB
，得內切圓半徑為
1
2 tan18
。
試題編號：
6
參考答案：
(1)
學科內容：
N-10-4 常用對數、F-11B-2 按比例成長模型
測驗目標：結合對數的概念應用在聲壓與聲音分貝的情境，評量指對數的計算。
試題解析：因為
0
x
，根據題意可列出
5
80 20 log(
)
2 10
x
，則
5
4 log(
)
2 10
x
，即
4
5
10
2 10
x
。
因此，
4
5
1
10
2 10
2 10
0.2
x
。
試題編號：
7
參考答案：
(1)
學科內容：
N-10-3 指數
測驗目標：結合指數的概念比較兩種
BMI 計算公式的差別。
試題解析：由題意新制
2.5
1.3
(
)
BMI
(
)
體重 公斤
身高
公尺
，舊制
2
(
)
BMI
(
)
體重 公斤
身高 公尺
2.5
2
0.5
1.3
1.3
1
體重
體重
身高
身高
身高
0.5
1.3
1.69
身高
身高
。
試題編號：
8
參考答案：
(4)
學科內容：
G-10-6 三角比、G-11B-4 空間坐標系、S-11B-1 空間概念
測驗目標：結合經緯度的意義求球面上的點之空間坐標。
3
試題解析：先將所要求的點
P
投影到
xy 平面上的
P
點，
OP r
,
2
r
OP
,
3
2
r
PP
，
又
OP 與
x 軸正向夾 30 度角，由點
P
在
x 軸與 y 軸的投影可知
3 1
(
,
,0)
4
4
P
r
r
，
因此，點
P
的坐標為
3 1
3
(
,
,
)
4
4
2
r
r
r 。
試題編號：
9
參考答案：
(1)(3)
學科內容：
D-10-2 數據分析
測驗目標：解讀統計圖表並進行判斷。
試題解析：由試題所附折線圖判斷各選項
選項
(1)：2003 年旅客數減少，其餘各年旅客數增加，可知 SARS 發生在 2003 年。
選項
(2)：2011~2012 及 2013~2014 這兩條為最陡，2012 年旅客增加
731 609 122
萬人，
2014 旅客增加
991 802 189
萬人。
選項
(3)：將這 14 年的旅客人數由小排到大，中位數為第 7 位與第 8 位人數的平均數，
即
372 385
378.5 380
2
萬人。
選項
(4)：成長率為
991 802 991
1 0.24
802
802
。
選項
(5)：觀察圖形，成長率最大可能落在 2004、2010、2012、2014
2003~2004：
295 225 295
1 0.31
225
225
2009~2010：
557 440 557
1 0.27
440
440
2011~2012：
731 609
731
1 0.20
609
609
2013~2014：
991 802 991
1 0.24
802
802
，
成長率最高為
2004 年。
4
試題編號：
10
參考答案：
(1)(4)(5)
學科內容：
F-10-2 三次函數的圖形特徵
測驗目標：評量三次函數圖形的對稱性概念
試題解析：由題意
(0) 12
f
可推得
(0) 8
4 16 12
f
a
，故
1
a
選項
(1)：
1 0
a
選項
(2)：
2
x
項係數為
6
6 0
a
選項
(3)：由
3
( )
(
2)
2(
2) 16
f x
a x
x
，可知對稱中心為
( 2,16)
選項
(4)：因為對稱中心為 ( 2,16)
、又通過
(0,12)，所以 (0,12) 對於對稱中心的對稱點為
( 4,20)
，或直接求
( 4)
f
的值為 20
選項
(5)：函數
( )
y f x
在
2
x
附近的近似直線為
2(
2) 16
y
x
，其斜率為
2
試題編號：
11
參考答案：
(1)(2)(4)
學科內容：
N-10-1 實數、N-10-2 絕對值
測驗目標：評量實數、絕對值、數線、兩點距離與絕對值之關係
試題解析：三個相異實數
a
、
b 、
c
滿足
4
1
5
5
b
a
c
，且將
a
、
b 、
c
標示在數線上。
選項
(1)：由兩點所連成線段的分點公式可知
b 在
a
與
c
之間，如下圖：
所以不管哪一種情況，
b 總是在
a
與
c
之間。
選項
(2)：因為
4
1
1
5
5
5
a b
a
a
c
a c
，所以
a
到
c
的距離是
a
到
b 的距離的 5 倍。
選項
(3)：【解法一】
8
2
3
3
3
2
(
) (
) (
)
(
)
5
5
5
5
5
b
a c
a
c
a c
a
c
a c
，不能確定正或負。
【解法二】
2
2
a c
a c
b
b
，數線
上
a
與
c
的中點必須在
b
的右側，此敘述未必
正確。
(i)
時 ，
(ii)
時 ，
5
選項
(4)：【解法一】
由
3
1
3 5
1
15
1
+
(
)+
4
4
4
4
4
16
16
b c
d
a
c
c
b
c
，可知
d 在 b 與
c
之間。
【解法二】
設
( )
A a 、
( )
B b 、
( )
C c 、
( )
D d ，由分點公式
4
1
+
5
5
b
a
c
，得
:
1: 5
AB AC
，
且由
3
1
+
4
4
d
a
c
，
得
:
1: 4
AD AC
，可知
d 在 b 與
c
之間。
選項
(5)：若
4 5
1
1
5
2
(
)
3 4
4
3
3
3
e
b
c
c
b
c
，則
3
2
5
5
b
e
c
，可知
b 在 e 與
c
之間。
試題編號：
12
參考答案：
(1)(2)(5)
學科內容：
F-11B-1 週期性數學模型
測驗目標：評量正弦函數圖形的振幅與週期
試題解析：觀察數據，發現水深與時間有大約每
12 小時循環的週期性。最大水深為 15.2 公尺、
最小水深為
9.8 公尺，所以，振幅為
15.2 9.8
2.7
2
a
公尺。因此所求關係為
( ) 2.7sin
12.5
6
h t
t
。
試題編號：
13
參考答案：
(1)(2)(3)(5)
學科內容：
N-10-6 數列、級數與遞迴關係、F-11B-2 按比例成長模型
測驗目標：結合指數概念應用在造景植栽存活率的情境，評量比率的計算
6
試題解析：依題意繪出樹狀圖：
第一個月底 第二個月底 第三個月底
選項
(1)：
1000 (1 80%) 200
株。
選項
(2)：
1000 80% 90% 200 80% 720 160 880
株。
選項
(3)：前三個月廠商補種的幼苗數量陸續為 200、120、40 株。
選項
(4)：第三個月底能存活的植栽數量為
1000 80% 90% 200 80% 90% 120 80% 960
株，
其中能存活
6 個月的植栽數量為
1000 80% 90% 200 80% 90% 120 80% 90%
720 144 86 950
株。
第 三 個 月 底 存 活 的 植 栽 中 ， 能 存 活 到 第 六 個 月 底 的 比 率 至 少 為
950
95%
960
。
選項
(5)：第三個月底能存活至少 8 個月的植栽數量至少 950 株，且能存活的植栽數量逐月
增加，故承包廠商可順利完成契約。
7
試題編號：
14
參考答案：
9
2
學科內容：
G-10-4 直線與圓、G-10-2 直線方程式
測驗目標：評量不等式圖形的判斷及求解圓面積
試題解析：因為圍成的區域為一個扁平的長方形，可判斷當
有最大半徑時需與較長的兩平行邊相
切 。 因 此 ， 最 大 半 徑 為 兩 平 行 直 線
4
x
y
與
2
x
y
距 離 的 一 半 ， 即 為
2
2
4 2
3
3 2
2
2
2 1
( 1)
，故圓
的面積為
9
2
。
試題編號：
15
參考答案：
29
學科內容：
G-11B-1 平面向量、G-11B-2 平面向量的運算
測驗目標：評量平面向量長度的計算，畢氏定理及向量內積的概念
試題解析：【解法一】
由題意，
u
、
v
與
u v
可圍成直角三角形，
u v
為其斜邊。故由畢氏定理知，
2
2
2
2
2
2
(4
( 7) ) 6
16 49 36 29
v
u v
u
。故
29
v
。
【解法二】
由內積與長度關係，知
2
2
2
(
) (
)
2
u v
u v
u v
u
u v
v
。
因
u
和
v
垂直，所以
0
u v
；又
(4, 7)
u v
，
2
2
4 ( 7)
65
u v
，
u
的長度為
6，故
2
2
2
u v
u
v
，得
29
v
。
試題編號：
16
參考答案：
1
(3,
)
13
學科內容：
A-11B-1 矩陣與資料表格
測驗目標：評量二階反方陣與矩陣乘積的概念
8
試題解析：由題幹「
A
的反方陣恰好是
B
的
c
倍」
，可列式為
(
0
0 1
)
1
cB
A
，
2
1 0
3
2
3
2
13
2
6
2
2
2
6
4
0 1
c
c
c
cx
c
x
c
cx
cx
c cx
c
，
可得
13
1
c
，
1
13
c
，
2
6
0
cx
c
，
3
x
。
檢驗
2
9
4
4
1
13 13
cx
c
，解得數對
1
( , ) (3,
)
13
x c
。
試題編號：
17
參考答案：
3
5
學科內容：
D-11B-1 主觀機率與客觀機率、D-11B-2 不確定性
測驗目標：結合機率概念應用在生活中的情境
試題解析：
【解法一】
依據題意所給行程，雨傘忘在便利商店的機率為
1
5
，忘在公車上的機率為
4 1
1
5 4
5
，
忘在教室的機率為
4 3 1 1
5 4 3 5
，合計
3
5
。
【解法二】
1
1
1
2
3
1 (1
)(1
)(1
) 1
4
3
5
5
5
。
試題編號：
18-19
參考答案：
18. (3)；19. 180
學科內容：
D-10-3 有系統的計數
測驗目標：結合排列組合概念應用在服飾店的送貨路線情境，評量排列與組合的計算
試題解析：
1. 依據題意，
A
城市的分店到不同城市的每家分店之間必須設置一條快遞路線，而
A
城市的分店之間則不需要設置快遞路線，因此，
A
城市中每家分店需要的快遞路線
為
3 2 2 2 3 12
，故選
(3)。
2. 每個城市有三家分店，六個城市則共設 18 間分店，21 間分店僅餘 3 間分店可任意
分配。滿足題意的分配方式有以下三種情況：
9
設店方式
1
分店數
3 6
城市數
5 1
設置
3 家分店的每個城市的每家分店需要 18 條快遞路線；設置 6 家分店的每個城市的
每家分店需要
15 條快遞路線。
全部共需要快遞路線為
1
[5 (3 18) 1 (6 15)] 180
2
。
(或
5
5
1
2
1
1
3 3
3 6 180
C
C
C
；或
21
3
6
2
2
2
5
180
C
C
C
)
設店方式
2
分店數
3 4 5
城市數
4 1 1
全部共需要快遞路線為
1
[4 (3 18) 1 (4 17) 1 (5 16)] 182
2
。
(或
4
4
1
4
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
3 3
3 4
3 5
4 5 182
C
C
C
C
C
C
C
；或
21
3
4
5
2
2
2
2
4
182
C
C
C
C
)
設店方式
3
分店數
3 4
城市數
3 3
全部共需要快遞路線為
1
[3 (3 18) 3 (4 17)] 183
2
。
(或
3
3
3
3
2
2
1
1
3 3
4 4
3 4 183
C
C
C
C
；或
21
3
4
2
2
2
3
3
183
C
C
C
)
經由上述討論說明，可以知道最少快遞路線為
180 條。