選擇建功‧
1
‧尊榮一生
111 學年度技術校院四年制與專科學校二年制統一入學測驗
數學（
C）試題
試題分析
108 新課綱因學生對文字敘述及題目理解程度，可能影響到解題速度及能力。此份
試卷素養題為
13、14、15、20、21，對於情境與觀念應用較具挑戰，其餘試題較為簡單，
整體分數與去年相差不多，小心計算即可獲取高分。
《各章節配分情形》
100年 101年 102年 103 年 104 年 105 年 106 年 107 年 108 年 109 年 110 年 111 年
三角函數
3
4
3
2
4
4
4
4
4
4
4
4
多項式與函數
2
2
2
1
3
1
1
2
1
2
1
不等式
1
1
2
2
1
1
1
1
2
平面上直線
3
4
2
1
2
1
1
2
3
2
1
2
平面上的圓
1
2
1
1
2
1
1
1
極限
1
1
3
1
1
1
1
1
微積分
3
2
3
2
3
2
3
4
3
3
3
2
指數與對數
2
1
2
3
2
1
2
2
2
1
1
1
方程式論
1
2
2
1
1
3
2
1
2
1
1
圓錐曲線
2
3
2
2
1
1
1
2
2
2
1
向量
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
複數
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
0
數列級數
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
排列組合
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
機率
(已刪)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
行列式
1
1
1
1
1
1
1
1
0
統計
(已刪)
2
1
1
1
1
1
1
1
數學
C 參考公式
1.首項為 a
1
，公比為
r（r≠1）的等比數列前 n 項之和為 S
n
＝
n
1
a ( 1 r )
1 r
2.點 P（x
0
，
y
0
）到直線
L：ax＋by＋c＝0 的距離為
0
0
2
2
| ax
by
c |
a
b
3.△ABC 的正弦定理：
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
＝
2R
，
R
為△
ABC
外接圓的半徑
4.
△
ABC
的餘弦定理：
a
2
＝
b
2
＋
c
2
－
2bccosA
5.
橢圓方程式
2
2
( x h)
a
＋
2
2
( y k )
b
＝
1
，則參數式為
x h a cos
y k bsin
，其中
a
＞
0
，
b
＞
0
，
0
≦
≦
2
，式子中的為參數
6.
柯西不等式：設
a
1
、
a
2
、
b
1
、
b
2
為實數，則（
a
1
2
＋
a
2
2
）
（
b
1
2
＋
b
2
2
）≧（
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
）
2
7.
參考數值：
log0.5
－
0.301
、
log8.91
0.950
B
1.
若
x
＝
log
3
7
，則下列何者正確？
(A)7
x
＝
3
(B)3
x
＝
7
(C)x
7
＝
3
(D)x
3
＝
7
。
選擇建功‧
2
‧尊榮一生
【詳解】
log
3
7
＝
x
3
x
＝
7
B
2.
已知等比數列＜
a
k
＞的首項
a
1
＝
2
，公比
r
＝
3
。若前
n
項和大於
2022
，則滿足條件的
最小正整數
n
＝？
(A)5
(B)7
(C)9
(D)11
。
【詳解】
S
n
＝
n
2(3
1)
3 1
＞
2022
3
n
＞
2023
n
最小為
7
B
3.
公益文教基金會調查技術型高中三年級學生每天手機使用時間介於
3.1
小時至
4.9
小時
之間（含）
。若
x
（單位：小時）為其中一位參與調查的技術型高中學生每天手機使用時
間，且將上述使用時間範圍用│
x
－
a
│≦
b
來表示，則
ab
＝？
(A)3.2
(B)3.6
(C)3.8
(D)4.2
。
【詳解】
x a
≦
b
設
b＞0
－
b
≦
x
－
a
≦
b
－
b
＋
a
≦
x
≦
b
＋
a
b a 3.1
b a 4.9
a 4
b 0.9
ab
＝
3.6
C
4.
下列何者錯誤？
(A)y
＝│
sin2x
│之週期為
π
2
(B)y
＝
3sinx
之週期為
2
(C)y
＝
cos2x
之週期為
π
2
(D)y
＝
4cosx
之週期為
2
。
【詳解】
2
2
＝
A
5.若
2
x
2x 7
( x 2 )( x 2 )( x 3 )
＝
A
x 2
＋
B
x 2
＋
C
x 3
，則
A＋B＋C＝ (A)1 (B)5 (C)10
(D)15。
【詳解】
x
2
＋
2x＋7＝A（x＋2）（x＋3）＋B（x－2）（x＋3）＋C（x－2）（x＋2）
比較
x
2
之係數
A＋B＋C＝1
D
6.坐標平面上，若點 A（a，－6）在直線 L：2x－y＋12＝0 之右半平面，則下列何者為
a 的可能值？ (A)－15 (B)－12 (C)－10 (D)－7。
【詳解】
2a＋6＋12＞0
a＞－9
A
7.若 A（1，4）、B（6，2）所連接的線段 AB 與直線 L：x－y＋1＝0 相交於 P 點，則
AP
BP
＝？
(A)
2
5
(B)
3
7
(C)
1
2
(D)
3
5
。
選擇建功‧
3
‧尊榮一生
【詳解】
AP
：
BP
＝
d
1
：
d
2
＝
1 4 1
2
：
6 2 1
2
＝
2
：
5
＝
2
5
A
8.
不等式
5x
－
4
＜
x
2
＜
x
＋
2
的解為何？
(A)
－
1
＜
x
＜
1
(B)
－
1
＜
x
＜
2
(C)
－
2
＜
x
＜
1
(D)0
＜
x
＜
4
。
【詳解】
(1)x
2
＞
5x
－
4
x
＞
4
或
x
＜
1
(2)x
2
＜
x
＋
2
－
1
＜
x
＜
2
(1)
(2)
－
1
＜
x
＜
1
B
9.
已知圓
x
2
＋
y
2
＋
2x
＋
4y
－
3
＝
0
與相異兩直線
L
1
：
x
＋
y
＋
1
＝
0
及
L
2
：
ax
＋
by
＋
10
＝
0
分別交於兩點，且
L
1
／／
L
2
，如圖（一）所示。若此圓圓心到兩直線
L
1
、
L
2
的距離相
等，則
a
＋
b
＝？
(A)2
(B)4
(C)6
(D)10
。
圖（一）
【詳解】
圓心（－
1
，－
2
）
L
1
//L
2
a
1
＝
b
1
a
＝
b
d
1
＝
d
2
1 2 1
2
＝
2
2
a 2b 10
a
b
a
＝
2
，
b
＝
2
a
＋
b
＝
4
B
10.
若四次多項式
ax
4
＋
bx
3
＋
6x
2
＋
5x
＋
2
除以（
x
＋
1
）
2
所得的餘式為
3x
＋
4
，則
a
＋
b
＝
(A)
－
12
(B)
－
6
(C)
－
4
(D)
－
2
。
【詳解】
ax
4
＋
bx
3
＋
6x
2
＋
5x
＋
2
－（
3x
＋
4
）＝
ax
4
＋
bx
3
＋
6x
2
＋
2x
－
2
選擇建功‧
4
‧尊榮一生
2 6 4
1 2 1 2 2 6 b
a
2 4 2
6
8 b
6 12 6
4 (b 6) a
4 8 4
0 +
0 0
b 6 8 0
a 4 0
a
4
b
2
a＋b＝－6
A
11.在一個園遊會的攤位遊戲中，遊戲規則如下：在一個桶子裡有三種球，抽中紅球可得
x 點，抽中黃球可得 y 點，但抽中黑球則必須扣掉 z 點。每個人抽 10 次，每次抽一個球，
最後依照得到的點數來兌換獎品。已知小華抽中
3 個紅球、3 個黃球、4 個黑球，共得
10 點；小明抽中 4 個紅球、3 個黃球、3 個黑球，共得 21 點；小玲抽中 2 個紅球、6 個
黃球、
2 個黑球，共得 26 點。若小蘭抽中 3 個紅球、5 個黃球、2 個黑球，則小蘭得到
的點數為何？
(A)28 (B)30 (C)32 (D)39。
【詳解】
3x 3y 4z 10
4x 3y 3z 21
2x 6y 2z 26
x 6
y 4
z 5
3x＋5y－2z＝18＋20－10＝28
A
12.某人由 A 處測量高塔塔頂 E 的仰角為 30
，朝高塔方向前進 a 公尺至 B 處時測量塔頂
E 的仰角為 45
，繼續朝高塔方向前進 b 公尺至 C 處時測量塔頂 E 的仰角為 60，如圖
（二）所示，則
a
b
＝？
(A)
3
(B)
2 3
3
(C)
3
3
(D)
3
6
。
圖（二）
【詳解】
CD ＝
h‧cot60
＝
h
3
BD ＝h
BC ＝b＝（1－
1
3
）
h＝（
3 1
3
）
h
AD ＝h‧cot30
＝ 3 h AB＝a＝（ 3 －1）h
a
b
＝
( 3 1)h
3 1
(
)h
3
＝
3
選擇建功‧
5
‧尊榮一生
C
13.正四面體（四個面皆為正三角形）ABCD 的四個頂點坐標為 A（0，0，0）
、
B（2，0，
0）、C（1， 3 ，0）、D（x，y，z），其中 z＞0，則 z＝？ (A)
3
(B)
2 3
3
(C)
2 6
3
(D)
3
6
。
【詳解】
AB＝2
2
DA ＝x
2
＋
y
2
＋
z
2
＝
4…
2
DB ＝（x－2）
2
＋
y
2
＋
z
2
＝
4…
2
DC
＝（
x
－
1
）
2
＋（
y
－
3
）
2
＋
z
2
＝
4
…
－得－
4x
＋
4
＝
0
x
＝
1
－得－
1
－
2 3 y
＋
3
＝
0
2
＝
2 3 y
y
＝
1
3
代回得
1
＋
1
3
＋
z
2
＝
4
z
2
＝
8
3
z
＝
2 2
3
＝
2 6
3
（負不合）
C
14.
今有一飛機失事落海，救難直升機於失事地點附近偵測到黑盒子（飛行記錄器的俗
稱），其所發出的訊號恰好位於直升機的正下方，但無法確定深度，直升機將位置訊息
告知水上工作船，經船上人員推算，直升機位於工作船東方
140
公尺、北方
80
公尺的
海平面上方
100
公尺處，並且偵測到該黑盒子與水上工作船的直線距離為
180
公尺，如
圖（三）所示。根據上述訊息，若黑盒子在海平面下深度為
x
公尺，則
x
＝？
(A)60
(B)70
(C)80
(D)90
。
圖（三）
【詳解】
選擇建功‧
6
‧尊榮一生
A
船，
I
直升機，
G
黑盒子
AD
＝
140
，
DH
＝
80
，
IH
＝
100
AG ＝
180
2
AH
＝
80
2
＋
140
2
2
GH
＝
X
2
＝
180
2
－
80
2
－
140
2
＝
6400
X
＝
80
A
15.
某歌手打算在她的演唱會上表演一段由
6
首不同的歌曲串成的組曲，其中
3
首慢歌、
3
首快歌。她的音樂總監建議在歌曲的安排上最多只能
2
首慢歌連在一起唱，因為這樣
才會使得整個組曲的節奏比較流暢。若她認同並接受音樂總監的建議，試問這段組曲可
以有多少種不同的安排方式？
(A)576
(B)648
(C)696
(D)720
。
【詳解】
全：
6!
＝
720
3
慢：
4!
×
3!
＝
24
×
6
＝
144
720
－
144
＝
576
D
16.
已知平面上兩向量
a
＝（
2x＋1，－3）、 b
＝（
3，x－2），滿足 a
b
│ － │
2
＝
a
│ │
2
＋
b
│ │
2
，則
x＝？ (A)3 (B)1 (C)－1 (D)－3。
【詳解】
a
（
2x＋1，－3）， b
（
3，X－2）
2
a
b
│
│
＝
2
a
│ │
＋
2
b
│ │
2
a
│ │
＋
2
b
│ │
－
2（ a
‧
b
）＝
2
a
│ │
＋
2
b
│ │
（ a
‧
b
）＝
0 （2x＋1）‧3＋（－3）（x－2）＝0
6x＋3－3x＋6＝0 3x＝－9 x＝－3
C
17.若矩陣 A＝
a
1
2
3
、
B＝
2 c
b d
，且
AB＝A＋B，則 c＝？ (A)－1 (B)
1
2
(C)
1
2
(D)1。
【詳解】
AB＝
2a b
ac d
4 3b 2c 3d
，
A＋B＝
a 2 c 1
b 2 3 d
a＋2＝2a－b
a＝1
b＋2＝4＋3b
b＝－1
選擇建功‧
7
‧尊榮一生
ac－d＝c－1
d＝1
2c＋3d＝3＋d
c＝
1
2
D
18.已知函數 f（x）＝x
3
＋
12
x
圖形在切點（
a，b）的切線斜率為 9。若 a＞0，則 a＋b＝？
(A)－8 (B)11 (C)14 (D)16。
【詳解】
f（x）＝x
3
＋
12‧x
－
1
f '（x）＝3x
2
－
12‧x
－
2
f '（a）＝3a
2
－
12a
－
2
＝
9
a
2
－
4a
－
2
＝
3
令
x＝a
2
x－
4
x
＝
3
x
2
－
3X－4＝0
x＝4 或－1（不合）
a
2
＝
4
a＝±2（負不合） f（a）＝f（2）＝8＋6＝14 a＋b＝16
D
19.不定積分
x 3
dx
2 x
＝？
(A)
1
2
1
x
2
＋
1
2
3
x
2
＋
C (B)
3
3
2
x
3x
2
x
＋
C (C)
2
3
2
x
3x
2
4
x
3
＋
C
(D)
3
2
1
x
3
＋
1
2
3x ＋C。
【詳解】
x 3
dx
2 x
＝
(x 3)d x
＝
2
[( x )
3]d x
＝
3
( x )
3
＋
3 x ＋
C＝
3
2
1
x
3
＋
1
2
3x ＋C
C
20.小明計畫由基隆沿國道一號開車南下高雄渡假。早上 8：00 經過中興隧道 0 公里處的
起點，經紀錄儀錶板上車速變化，在
8：00 開始後，時間 t（小時）的速度函數為 v（t）
＝－
1.5t
2
＋
6t＋90（公里／小時）。若依此速度變化，則 11：00 時小明應該最接近哪一
個服務區？
(A)泰安服務區（158 公里處） (B)西螺服務區（229 公里處） (C)新營
服務區（
284 公里處） (D)仁德服務區（335 公里處）。
【詳解】
V（t）＝－1.5t
2
＋
6t＋90
S＝
3
0
V(t)dt
＝－
0.5t
3
＋
3t
2
＋
90t
3
0
＝
283.5
B
21.為了響應節能減碳政策，某公司基於成本考量決定在六年後將公司該年二氧化碳排放
量降為目前排放量的
50％。公司希望每年依固定的比率 r（當年和前一年排放量的比）
逐年降低二氧化碳的排放量。若要達到這項目標，則下列敘述何者正確？（計算時可參
考試卷之參考公式）
(A)0.91＜r＜0.93 (B)0.88＜r＜0.91 (C)0.85＜r＜0.88 (D)0.82
＜
r＜0.85。
選擇建功‧
8
‧尊榮一生
【詳解】
ar
6
＝
0.5a
r
6
＝
0.5，logr
6
＝
log0.5
6logr＝－0.301
logr≒－0.05≒－1＋0.95＝－1＋log8.91 r＝0.891
C
22.若△ABC 三邊長為 4、5、6，則其外接圓直徑為何？ (A)
8
7
(B)
12
7
(C)
16
7
(D)
20
7
。
【詳解】
cosA＝
2
2
2
b
c
a
2bc
＝
25 16 36
40
＝
1
8
sinA＝
2
1
1 ( )
8
＝
63
8
＝
3 7
8
∴
2R＝
a
sin A
＝
6
3
7
8
＝
16
7
D
23.已知△ABC 的面積為
3 2
2
，其中
AB ＝
3、 AC ＝2，且∠BAC 為鈍角。若 BC 的長度
為
a，則 a
2
＝？
(A)13－ 6 2 (B)13－
2 6
(C)13＋
2 6
(D)13＋ 6 2 。
【詳解】
高＝
3sin（
－
A）＝3sinA
△＝
1
2
2 3
3
sin A ＝
2
2
sinA＝
1
2
A＝135
由餘弦定理
a
2
＝
3
2
＋
2
2
－
2‧3‧2cos135
＝
9＋4－12‧
1
2
＝
13＋ 6 2
D
24.若 P（x，y）為橢圓 4x
2
＋
6y
2
－
12y－6＝0 上任意一點，則 x＋3y 的最大值為何？ (A)3
＋
7 3
(B)3＋
5 3
(C)3＋
3 5
(D)3＋ 21 。
選擇建功‧
9
‧尊榮一生
【詳解】
4x
2
＋
6y
2
－
12y－6＝0，4（x－0）
2
＋
6(y－1)
2
＝
12，
2
(x 0)
3
＋
2
(y 1)
2
＝
1
x 0
3 cos t
y 1
2 sin t
，
x
3 cos t
y 1
2 sin t
故
x＋3y＝ 3 cost＋ 3 2 sint＋3＝ 21 sin(t＋w)＋3
極大值 21 ＋3
C
25.若函數 f（x）＝
2
2x a
x 3
x
2x 3
x 5
x 3
x b
，
，
在
x＝3 處連續，則 a＋b＝？ (A)－3 (B)－1 (C)1
(D)3。
【詳解】
(1)
x 3
lim
x 5
x b
＝
2
3 b
(2)
x 3
lim
2
2x a
x
2x 3
＝
x 3
lim
2x a
(x 3)(x 1)
＝存在，則必
2x＋a＝2（x－3），故 a＝－6
此時
+
x 3
lim
2x a
(x 3)(x 1)
＝
+
x 3
lim
2
x+1
＝
1
2
比較＝：
2
3 b
＝
1
2
3－b＝－4 b＝7
故
a＋b＝－6＋7＝1