選擇建功‧
1
‧尊榮一生
111 學年度技術校院四年制與專科學校二年制統一入學測驗
數學（
B）試題
試題分析
108 新課綱因學生對文字敘述及題目理解程度，可能影響到解題速度及能力。此份試卷
素養題為
16、18、19、21、24、25，對於情境與單元的聯結較具挑戰，所以分數較去年約略
降
4～8 分。
《各章節配分情形》
100年 101年 102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年 110年 111年
三角函數
4
5
4
4
3
3
4
4
4
4
4
4
多項式與函數
1
2
2
2
3
2
2
1
1
1
1
3
不等式
1
1
1
3
2
1
1
2
1
1
1
4
平面上直線
5
3
3
1
1
2
2
1
2
2
3
3
平面上的圓
1
2
1
1
1
1
1
2
1
數列與級數
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
指數與對數
1
2
2
2
1
3
2
2
2
2
2
2
方程式論
3
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
排列組合
2
2
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
機率
2
1
1
2
1
1
2
2
4
2
1
1
行列式(已刪)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
向量
2
1
2
2
2
1
1
1
1
0
1
統計
3
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
微積分(已刪)
2
2
2
3
2
3
2
2
2
圓錐曲線(已刪)
2
1
1
1
2
1
1
2
1
數學
B 參考公式
1.點 P（x
0
，
y
0
）到直線
L : ax by c 0
的距離為
0
0
2
2
| ax
by
c |
a
b
2.
有一組母體資料
x
1
，
x
2
，…
x
N
，其算術平均數為
，則母體標準差為
N
2
i
i 1
(x
)
N
3.
首項為
a
1
，公差為
d
的等差數列，第
n
項為
a
n
＝
a
1
＋（
n
－
1
）
d
，前
n
項之和為
1
n
n ( 2a
( n 1 ) d )
S
2
4.
△
ABC
的面積＝
1
absin C
2
5.
△
ABC
的餘弦定理：
a
2
＝
b
2
＋
c
2
－
2bcosA
A
1.
下列哪一個向量不是單位向量？
(A)
1 2
( ,
)
3 3
(B)
（－
1
，
0
）
(C)
3
4
( ,
)
5
5
(D)
（
cos30°
，
sin30°
）
。
【詳解】
選擇建功‧
2
‧尊榮一生
（
1
3
，
2
3
）長度＝
1 4
9 9
≠
1
∴（
1
3
，
2
3
）不是單位向量
B
2.
已知等差數列＜
a
n
＞的首項為－
1
，公差為
3
，試求等差級數
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
21
＝？
(A)154
(B)319
(C)580
(D)609
。
【詳解】
a
1
＝－
1
a
21
＝－
1
＋
20d
＝
59
a
1
＋
a
3
＋…＋
a
21
＝
( 1 59) 11
2
＝
319
B
3.若不等式｜7x－a｜＜28 之解為 b＜x＜5，則點（b，a）屬於哪一象限？ (A)第一象限 (B)
第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限。
【詳解】
－
28＜7x－a＜28
－28＋a＜7x＜28＋a
28 a
7
＜
x＜
28 a
7
28 a
7
＝
5
a＝7，
25 a
7
＝
b
b＝－3
（
b，a）＝（－3，7）
第二象限
C
4.若過 A（3，－a）、B（1，10）兩點之直線與直線 L：y＝2ax＋7 平行，則 a＝ (A)4 (B)2
(C)－2 (D)－4。
【詳解】
AB
m
＝
10 a
2
＝
m
L
＝
2a
10
＋
a
＝－
4a
5a
＝－
10
a
＝－
2
D
5.
若直線
L
1
：
ax
＋
2y
＋
12
＝
0
與直線
L
2
：
2x
－
8y
－
6
＝
0
垂直，則點（
1
，－
9
）到直線
L
1
的距離為何？
(A)
23
23
(B)
21
21
(C)
19
19
(D)
17
17
。
【詳解】
L
1
⊥
L
2
∴
2a
－
16
＝
0
a
＝
8
d
＝
|8 18 12 |
64 4
＝
2
68
＝
1
17
＝
17
17
D
6.已知 f（x）是一個二次多項式，且 f（1）＝f（－2）0、f（2）＝8，則 x＋3 除 f（x）的餘式為何？
(A)－8 (B)－2 (C)4 (D)8。
【詳解】
f（x）＝a（x－1）（x＋2）
f（2）＝4a＝8 ∴a＝2
f（x）＝2（x－1）（x＋2）
x＋3 除 f（x）餘式為 f（－3）＝2（－4）（－1）＝8
選擇建功‧
3
‧尊榮一生
B
7.若圓 x
2
＋
y
2
－
6x＋2ay－7＝0 的圓心在 x 軸上，則此圓的面積為何？ (A)4
(B)16
(C)49
(D)64。
【詳解】
圓心在
x 軸上 ∴a＝0
X
2
＋
y
2
－
6x－7＝0
（x－3）
2
＋
y
2
＝
16
半徑
r＝4 圓面積＝16
A
8.已知直角三角形的三個頂點為 A（1，2）、B（4，7）、C（a，5），且
BC
為斜邊，則
a＝？
(A)－4 (B)－3 (C)3 (D)4。
【詳解】
AB
⊥
AC
AB
m ＝
5
3
∴
AC
m ＝
3
a 1
＝－
3
5
∴
a＝－4
D
9.若 P（－99，87）是標準位置角
終邊上的點，則點 Q（5sin－6cos，7cos＋8tan）落在第幾
象限？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。
【詳解】
Q 在第二象限
sin
＞0 且 cos＜0 且 tan＜0
Q（5sin
－6cos，7cos＋8tan）
正值 負值
∴
Q 點在第四象限
D
10.設 f（x）＝log
3
x。若 f（a）＝6、f（b）＝2 且 f（c）＝5，則
2
3
a b
f (
)
c
＝？
(A)6 (B)5
(C)2 (D)1。
【詳解】
f（a）＝log
3
a＝6 a＝3
6
f（b）＝log
3
b＝2 b＝3
2
f（c）＝log
3
c＝5 c＝3
5
f（
2
4
5
3
3
3
）＝
f（3）＝log
3
3＝1
選擇建功‧
4
‧尊榮一生
B
11.若函數 f（x）＝x
2
＋
ax＋4 之圖形頂點為（3，b），則函數 f（x）之最小值為何？ (A)－6
(B)－5 (C)－4 (D)－3。
【詳解】
f（x）＝x
2
＋
ax＋4＝（x－3）
2
＋
b ∴a＝－6 b＝－5
最小值－
5
C
12.若一元一次方程式 2k
2
x＋k
2
＝（
1－k）x＋1 無解，則 4k
3
＋
k＋1＝？ (A)－4 (B)1 (C)2
(D)6。
【詳解】
2k
2
x＋k
2
＝（
1－k）x＋1
（
2k
2
＋
k－1）x＝1－k
2
（
2k－1）（k＋1）x＝（1－k）（k＋1）
k＝－1 時 0x＝0 則 x 有無限多解
∴
k＝
1
2
時
0x＝
3
4
x 無解
∴
k＝
1
2
4k
2
＋
k＋1＝
1
2
＋
1
2
＋
1＝2
A
13.在△ABC 中，已知 AB ＝2、
AC
＝
2 3 且其面積為 3，則 BC 可能之值為何？ (A)
16 4 3
(B)
16 2 3
(C) 16 2 3
(D) 16 3 3
。
【詳解】
△面積＝
1
2
‧
2‧ 2 3 ‧sinA＝3 sinA＝
3
2
∠
A
＝
60
cos60
＝
2
4 12 x
2 (2)(2 3)
＝
1
2
16
－
x
2
＝
4 3
x
2
＝
16
－
4 3
x
＝
16 4 3
C
14.甲生在某次實驗中描繪出下圖（一），是 y＝asin（bx）＋c，0≦x≦4
的曲線圖形，圖中所
示
A、B、C、D 四點分別是左端點、最高點、最低點、右端點。若它們的坐標分別為 A（0，
3）、B（
，5）、C（3，3）、D（4，3），則 a＋2b＋c＝？ (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。
選擇建功‧
5
‧尊榮一生
y = a sin(bx)
+
c
B
A
O
C
D
y
x
圖（一）
【詳解】
y＝asinbx＋c 週期＝
2
b
＝
4
∴4b＝2 b＝
1
2
y＝asin
x
2
＋
c 過（0，3）及（
，5） 3＝c 5＝a＋3 ∴a＝2
a＋2b＋c＝2＋1＋3＝6
A
15.已知多項式 f（x）除以 2x＋3，得商式為 x
3
－
x，餘式為 6。若 f（x）除以 x
2
＋
3 的商式為
q（x），餘式為 r（x），則 q（x）－r（x）＝？ (A)2x
2
＋
15x－38 (B)2x
2
－
9x－38 (C)2x
2
＋
15x＋22 (D)2x
2
＋
9x＋22。
【詳解】
f（x）＝（2x＋3）（x
3
－
x）＋6＝2x
4
＋
3x
3
－
2x
2
－
3x＋6
f（x）＝（x
2
＋
3）q（x）＋r（x）
2 3
8
1 0 3 2 3 2
3 6
2 0 6
3 8 3
3 0 9
8 12 6
24
8
12 30
q（x）－r（x）＝2x
2
＋
3x－8＋12x－30＝2x
3
＋
15x－38
C
16.依公職人員選舉罷免法第 90 條之規定略以：「罷免案投票結果，有效同意票數多於不同意票
數，且同意票數達原選舉區選舉人總數四分之一以上，即為通過」
。已知某選區選舉人總數為
10000 人，試問下列哪一個投票結果表示此罷免案通過？ (A)有效同意票數 1500 票，不同意
票
1200 票 (B)有效同意票數 2800 票，不同意票 3000 票 (C)有效同意票數 3000 票，不同意
票
2800 票 (D)有效同意票數 3000 票，不同意票 3500 票。
【詳解】
同意票
3000 票＞不同意票 2800 票，且 3000 票＞
10000
4
票
選擇建功‧
6
‧尊榮一生
D
17.已知有 7 位同學修讀某進階課程，表（一）為此 7 位同學的期中及期末考試成績。關於該
表的統計量敘述，下列何者正確？
(A)期中考成績的平均數大於 81 (B)期末考成績的全距
為
5 (C)期中考成績的母體標準差大於 5 (D)期末考成績的母體標準差小於 6。
【詳解】
平均數＝
83＋
5 1 2 1 1 6
7
＝
83
母體標準差＝
2
2
2
2
2
2
5
1
2
1
1
6
7
＝
68
7
＜
6
A
18.某日課堂上，老師對學生勉勵：「若每天增加百分之一的功力，則一年後至少會增加三十
六倍的可觀效應；反之，每天減少百分之一的功力，則一年後至少流失現今功力的九成七」，
這段勉勵運用了指數函數成長及衰退的概念，其數學上的表達最貼切下列哪一個選項？
(A)1.01
365
≧
37 且 0.99
365
≦
0.03 (B)365
1.01
≦
37 且 365
0.99
≧
0.03 (C)1.01
365
≧
63 且 0.99
365
≦
0.97 (D)365
1.01
≦
63 且 365
0.99
≧
0.97。
【詳解】
每日增加百分之一功力 ∴公比
r＝1.01
一年後功力＝
1.01
365
≧
37（增加 36 倍＋原始 1 倍）
每日減少百分之一功力 ∴
r＝（1－0.01）＝0.99
一年後功力＝
0.99
365
≦
0.03（一年後流失現在功力的九成七）
D
19.小蘇為了瘦身，每餐攝取的熱量及糖量均不能超過 400 大卡及 20 克。今天小蘇去便利商
店打算購買
A 食品或 B 食品各若干份，其中 A 食品標示一份 100 大卡及 8 克的糖量，B 食品
標示一份
150 大卡及 6 克的糖量。試問小蘇這一餐可以怎麼搭配，來符合所設定的每餐攝取
量？
(A)A 食品 3 份，B 食品 0 份 (B)A 食品 2 份，B 食品 1 份 (C)A 食品 0 份，B 食品 3
份
(D)A 食品 1 份，B 食品 2 份。
【詳解】
A 食品為 x 份，B 食品為 y 份
100x 150y 400
8x 6y 20
x 0
y 0
區間內整數解有（
0，0）（1，0）（2，0）（0，1）（0，2）（1，1）（1，2）
∴
(D)A 食品 1 份，B 食品 2 份
選擇建功‧
7
‧尊榮一生
C
20.一圓形時鐘上的分針是 8 公分，時針是 5 公分，兩針的一端點固定在圓心上。試問 2 點的
時候，時鐘上分針與時針的端點（如示意圖（二）中的
HM ）間距離為下列何者？
(A)5 公
分
(B)6 公分 (C)7 公分 (D)8 公分
圖（二）
【詳解】
令圓心
O 則＜MOH＝60
cos60
＝
2
25 49 x
2 5 8
＝
1
2
89－x
2
＝
40
x
2
＝
49 ∴x＝7
A
21.身高 170 公分的小游去做健康檢查，醫師說：「你的 BMI 要介於 18.5（kg／m
2
）到
24（kg／
m
2
）之間才符合健康體位，你現在的體重太重了，必須再減
5 公斤才會符合健康體位」。已知計
算 公 式 為
BMI ＝
2
2
(kg)
(m )
體重
身高
， 則 小 游 現 在 體 重 可 能 為 幾 公 斤 ？
(A)74 (B)75 (C)76
(D)77。
【詳解】
選擇建功‧
8
‧尊榮一生
BMI＝
2
x
(1.7)
＜
24
x＜2.89×24 x＜69.36 69.36＋5＜74.36
∴小游現在體重可能是
74 公斤
B
22.「心公司」想要找設計公司製作招牌，而招牌設計中要先選擇底色，中間則是心公司的單
色商標，商標下放上一排單色文字寫上心公司，如圖（三）
。已知底色、商標顏色以及文字顏
色的選擇有黑、藍、白、黃、紅等五種顏色，且底色不能跟商標顏色相同，也不能跟文字顏
色相同，除此之外，並無其他限制。試問這個招牌的顏色設計有幾種選擇？
(A)60 (B)80
(C)100 (D)120。
心公司
圖（三）
【詳解】
5×4×4＝80
C
23.某密碼系統是透過（p，q）兩數字進行加解密，若系統要求 p×q 除以 8 餘 1，其中 p、q 均為比 1
大且比
8 小的正整數，試問（p，q）共有幾種組合？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
【詳解】
p×q 可能為 9、25、49
∴（
p，q）之解為（3，3）（5，5）（7，7）
3 組解
p×q＝8x＋1
x＝1
p×q＝9 （3，3）
x＝2
p×q＝17 不合
x＝3
p×q＝25 （5，5）
x＝4
p×q＝33 不合
x＝5
p×q＝41 不合
x＝6
p×q＝49 （7，7）
x＝7
p×q＝57 不合
∴
3 組
B
24.一家具公司有 60 個書櫃，存放於桃園 20 個及雲林 40 個。從桃園送到台北及台南的運費
各為每個書櫃
200 元及 400 元，而雲林送到台北及台南的運費各為每個書櫃 600 元及 300
元。該公司收到兩筆訂單，要送到台北
30 個以及台南 20 個。試問該公司運送書櫃的最少運
費為多少元？
(A)12000 (B)16000 (C)18000 (D)20000。
【詳解】
選擇建功‧
9
‧尊榮一生
令桃園運送到台北有
x 個，運送到台南有 y 個
∴雲林運送到台北有（
30－x）個，運送到台南有（20－y）個
x 0 y 0
x y 20
30 x 20 y 40
x y 10
，
求
200x＋600（30－x）＋400y＋（20－y）×300＝100y－400x＋24000 之最小值
100y－400x＋24000
（
10，0）
（
20，0）
（
0，10）
（
0，20）
20000
16000
最小值
25000
26000
B
25.若將「人生不如意之事十之八九」解讀為「做某件事情 N 次，不成功的次數剛好在
8
N
10
到
9
N
10
之間」。下列選項中，哪一個最符合「人生不如意之事十之八九」？
(A)某人想要中彩券，
但買了彩券
10 次，沒有一次中的 (B)學生想要猜對是非題答案，猜了 20 題，只猜對 3 題 (C)
某人想要丟骰子丟出
6 點，丟了 60 次出現 13 次 6 點 (D)同學想要抽中金色卡牌，抽了 100
張，抽中金色卡牌
80 張。
【詳解】
猜
20 題，猜錯 17 題，猜錯機率
17
20
16
20
＜
17
20
＜
18
20