-
1-
注意：考試開始鈴(鐘)響前，不可以翻閱試題本
112 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統 一 入 學 測 驗 試 題 本
共同科目
數學(B)
【注 意 事 項】
1.請核對考試科目與報考群(類)別是否相符。
2.請檢查答案卡(卷)、座位及准考證三者之號碼是否完全相同，如有不
符，請監試人員查明處理。
3.本試題本共 25 題，每題 4 分，共 100 分，答對給分，答錯不倒扣。試題
本最後一題後面有備註【以下空白】。
4.本試題本均為單一選擇題，每題都有(A)、(B)、(C)、(D)四個選項，請
選一個最適當答案，在答案卡(卷)同一題號對應方格內，用 2B 鉛筆塗滿
方格，但不超出格外。
5.有關數值計算的題目，以最接近的答案為準。
6.本試題本空白處或背面，可做草稿使用。
7.請在試題本首頁准考證號碼之方格內，填上自己的准考證號碼及姓名，
考完後將「答案卡(卷)」及「試題本」一併繳回。
8.試題本內附有參考公式可供作答計算參考。
准考證號碼：
□□□□□□□□
姓名：＿＿＿＿＿＿＿
考試開始鈴(鐘)響時，請先填寫准考證號碼及姓名，再翻閱試題本作答。
第 2 頁
112 年四技
共 8 頁
數學(B) 共同科目
-2-
數學 B 參考公式
1. 點
)
,
(
0
0
y
x
P
到直線
0
:
c
by
ax
L
的距離為
0
0
2
2
|
|
ax
by
c
a
b
2.
ABC
的正弦定理：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
，
R
為 ABC
外接圓的半徑
3.
ABC
的餘弦定理：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
4. 首項為
1
a
，公差為 d 的等差數列，第
n
項為
d
n
a
a
n
)
1
(
1
5. 參考數值：
10
log 2
0.3010
、
10
log 3 0.4771
1. 下列哪一個向量和向量
(
2
,
1
)
不平行也不垂直？
(A)
1
(
1 ,
)
2
(B)
1
( 1 ,
)
2
(C)
1
(
, 1 )
2
(D)
1
(
1 ,
)
2
2. 在
(
2
x
2
–
3
)
5
+
3
(
x
–
1
)
2
的展開式中，各項係數的總和為多少？
(A) –
240
(B) –
1
(C) 1
(D) 11
3. 已知一元二次方程式
3
x
2
–
k
x
+
h＝0
沒有實根，則數對
(
k
,
h
)
可能為下列何者？
(A) (
–
4
,
1
)
(B) (
12
,
12
)
(C) (
5
,
2
)
(D) (
10
,
9
)
4. 已知
1
m
與
2
m
分別為直線
1
L
與直線
2
L
的斜率，且
1
m
、
2
m
皆不為 0。若直線
1
L
通過
第一、三象限，而直線
2
L
與直線
1
L
垂直，則點
(
1
m
,
2
m
)
落在第幾象限？
(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四
5. 若一次函數
f
(
x
)
的圖形通過
A
(
a
,
0
)
與
B
(
0
,
b
)
兩點，且
AB
之中點坐標為
(
–
2
,
3
)
，
則 a
＋
b
＋
f
(
2
)
＝？
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14
6. 龔同學想要求出一個圓方程式的圓心與直徑，但他將方程式中
x
誤看成
y
，
y
誤看成
x
，
結果得到圓心坐標為
(
1
,
2
)
，直徑為
4
。試問原本題目的圓方程式為何？
(A) x
2
+
y
2
–
2
x
–
4
y
–
11＝0
(B) x
2
+
y
2
–
4
x
–
2
y
–
11＝0
(C) x
2
+
y
2
–
2
x
–
4
y
+
1＝0
(D) x
2
+
y
2
–
4
x
–
2
y
+
1＝0
7. 已知
、
兩向量的長度皆等於 2。若
＋
與
的夾角為
75
，試問
與
–
–
的
夾角為何？
(A)
75
(B)
77
(C)
105
(D)
150
112 年四技
第 3 頁
數學(B) 共同科目
共
8 頁
-
3-
8. 試求不等式
2
2
3
3
4
4
5
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
) (
) (
) (
) (
)
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
解的範圍
為何？
(A) x
<
2
(B) x
>
2
(C) x
<
–
2
(D) x
>
–
2
9. 已知
k
>
0。若直線
L
：a
x＋4
y＋k＝0
的斜率為
1
2
，且點
(
0
,
0
)
到直線
L
的距離為
5
，
則 a
＋
k
＝？
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
10. 已知多項式
f
(
x
)
除以
(
x＋2
)
(
x
–
7
)
的餘式為
a
x＋3。若
(
x
–
7
)
為
f
(
x
)
的因式，則
f
(
–
2
)
＝？
(A)
27
7
(B)
29
7
(C)
31
7
(D)
33
7
11. 若
n
為整數且二次函數 f
(
x
)
＝
(
n
2
–
n
–
12
)
x
2
＋6
x
–
3 之圖形為開口向下的拋物線，則 n 有
幾個解？
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
12. 已知多項式
Q
(
x
)
＝
a
x＋b，f
(
x
)
＝(
2
a
–
b
)
x
2
＋a
x
–
1，g
(
x
)
=
3
x
2
＋
x
–
1，且 f
(
x
)
＝g
(
x
)。
若分式方程式
5
1
( )
2
(
2)
( )
x
Q x
x
x
Q x
的解為 x＝c，則 a
2
＋b
2
＋c
2
＝？
(A) 3
(B) 10
(C) 18
(D) 27
13. 在坐標平面上，二元一次聯立不等式
8
2
10
0 ,
0
x
y
x
y
x
y
的圖解區域描述，下列何者正確？
(A) 四邊形
(B) 三角形
(C) 二個點
(D) 一條線
14. 試求
cos 39 tan 39
sin 30 tan 45 cos 60
sin129 tan141
＝？
(A)
1
4
(B)
3
4
(C)
1
2
(D)
3
2
15. 已知馬拉松總長為 42.195 公里。小拉為了參加馬拉松進行跑步訓練，訓練計畫為每週訓
練長度比前一週增加 3 公里。若小拉第一週跑 8 公里，則最快到第幾週時，該週的訓練長
度才能超過馬拉松總長？
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
第 4 頁
112 年四技
共 8 頁
數學(B) 共同科目
-4-
16. 已知
＝(
x
,
y
)，
x
≥
0，y
≥
0。若
與向量
(
1
,
3
)
和向量
(
2
,
–
1
)的內積值皆不超過 14，
試問
與向量
(
1
,
1
)
的內積最大值為何？
(A) 1
(B) 4
(C) 10
(D) 14
17. 有一款可調節角度的倒 V 型平板架，放置於平坦的桌面上，如示意圖
(
一
)
所示。若
25 cm
EA
ED
、
18 cm
AB
CD
且
120
AED
，則長方形 ABCD 面積之值最接近
下列哪一個選項
(
支柱厚度忽略不計
)？
(A) 450
cm
2
圖
(
一
)
(B)
450 2
cm
2
(C)
450 3
cm
2
(D) 900
cm
2
18. 根據研究指出，若 x 為犬隻年齡
(
單位
:
歲
)，犬隻與人類的年齡換算公式可寫成：
犬隻等同的人類年齡
(
單位
:
歲
)
約為 37
×
log
10
(
x
)
＋
31。
若我們稱呼「犬瑞」乃指犬隻年齡換算為人類年齡後達 70 歲以上，則下列哪一個選項的
犬隻年齡最接近且跨過「犬瑞」的門檻？
(A) 9 歲
(B) 10 歲
(C) 12 歲
(D) 15 歲
19. 已知下表為小楓跟小道兩人在多場比賽中的戰績紀錄。若投球命中率＝(
兩分球入球數＋
三分球入球數
)
∕
(
兩分球總投球數＋三分球總投球數
)，關於兩人投球命中率高低之
比較，下列敘述何者正確？
小楓
小道
(
兩分球入球數 , 兩分球總投球數
)
(
50
,
100
)
(
90
,
200
)
(
三分球入球數 , 三分球總投球數
)
(
40
,
200
)
(15
,
100
)
(A) 小道比較高
(B) 小楓比較高
(C) 小楓跟小道一樣
(D) 資訊不足無法比較
20. 公司給小虹最多 50 萬元的預算來採買 x、y 兩種貨品。但小虹一時疏忽，無法確定 x 貨品
跟 y 貨品的單價哪一個是 100 元、哪一個是 200 元。下列數對
(
x 貨品購買數量
,
y 貨品購
買數量)中，試問哪一組不會超過預算？
(A) (
1400
,
1900
)
(B) (
1600
,
1700
)
(C) (
1700
,
1800
)
(D) (
1800
,
1500
)
21. 已知某一考試，每題都是從 A、B、C、D 四個選項中選一個最適當答案，答案卷如
圖
(
二
)
所示。小華在考試時間快結束時，還剩下第 21 到 25 題來不及寫。小華希望在猜
答案時，這五題連續三格的答案不要出現 BAD。根據上述規則，試問第 21 到 25 題的答
案，小華有多少種猜法？
21
22
23
24
25
圖
(
二
)
(A) 384
(B) 625
(C) 976
(D) 1024
A
E
B
D
C
F
112 年四技
第 5 頁
數學(B) 共同科目
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5-
22. 阿青想了解港口 A 及港口 B 的潮汐變化，於某日凌晨 12 點整開始，經歷
t
小時後，測量
港口 A 跟港口 B 的各特定點水深變化
y
(
單位：公尺
)
，分別得到了：
港口 A：
2
4 sin
16 ,
0
11
y
t
t
港口 B：
2
5 cos
17 ,
0
13
y
t
t
若滿潮代表水深升到最高以及乾潮代表水深降到最低，根據上述兩個函數，下列敘述
何者正確？
(A) 港口 A 的滿潮高度為 20 公尺
(B) 港口 A 的乾潮高度為 16 公尺
(C) 港口 B 的滿潮高度為 17 公尺
(D) 港口 B 的乾潮高度為 13 公尺
23. 根據報導，全球人口數在 2022 年底已經達到 80 億，為了因應人口成長對環境帶來的衝
擊，某 城市 預估在 年 份
t
( 西元紀年 ) 的 人 口 概 數 為
0.01 (
2022 )
600000
( )
1 2 2.7
t
y t
， 其 中
t
≥
2022。以下敘述何者正確？
(A) 該城市在 2100 年人口概數將大於 60 萬
(B) 該城市在 2022 年人口概數為 20 萬
(C) 該城市在 2070 年人口概數小於 2060 年人口概數
(D) 該城市在 2080 年人口概數大於 2090 年人口概數
24. 某舊商場原有 4 間相同男廁以及 4 間相同女廁，規劃任選幾間男廁改建為性別友善廁所
(
不分性別
)，且每間男廁是否被改建的機會均等。已知改建後性別友善廁所加上女廁的間數
為男廁間數的 3 倍
(
含
)
以上，且至少保留 1 間男廁。試問改建後剩下 2 間男廁的機率為何？
(A)
1
8
(B)
1
4
(C)
1
2
(D)
3
5
25. 某天小奇行經一條筆直大橋時，發現其正前方有一座小山，山上有一處涼亭，涼亭恰
好在小奇的正前方，如示意圖
(
三
)
所示。小奇希望估計此涼亭頂端所在位置的海拔高
度。已知此橋全長約 870 公尺，橋面在同一海拔高度，在橋起點處
(
離山較遠的一端
)
測
量得出涼亭頂端仰角為 30 ，在橋的終點
(
離山較近的一端
)
測量涼亭頂端仰角為 60 ，
試求出此涼亭的海拔高度最有可能是下列何者？
(
假設此橋海拔高度為 3 公尺)
(A) 435 公尺
圖
(
三
)
(B)
3 438 3
公尺
(C) 438 公尺
(D)
3 435 3
公尺
【以下空白】
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數學(B) 共同科目
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數學(B) 共同科目
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數學(B) 共同科目
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