市立武陵高級中學 111 學年度第二學期高三期末考數學乙試題
範圍：選修數學乙(下)單元 1&單元 2 三年____班_____號 姓名_______________
一、填充題
：每格 6 分，共 84 分
1. 設 X、Y 為兩隨機變數且
3
4
Y
X
= −
+
，已知 X 的期望值為 7，且 X 的變異數為 11，試求：
(1) Y 的期望值為________(2) Y 的變異數為___________
2. 重複擲兩粒公正骰子 120 次，每次均觀察所出現的點數，設 X 為點數和大於 9 出現的次數，試求：
(1)
X
的期望值為________(2)
X
的標準差為__________
3. 已知某紙箱裝有大小相同的紅球與白球各至少 20 個，今紙箱的擁有者宣稱該箱中紅球與白球數量
相等。今檢定紅、白球數量是否與宣稱相符時，列出前三個步驟如下：
①假設「紅球與白球數量相等」；
②確立檢定統計量為「連續由箱中抽取 14 次，一次隨機取 1 球，取後放回，共取出紅球的數量」；
③設定顯著水準為 0.05。
回答下列問題。
(1) 已 知 隨 機 變 數 X 表 示 抽 取 14 個 球 中 紅 球 的 數 量 且 其 機 率 分 布 如 下 表 ， 求 拒 絕 域 為
X=_______________
x
(
)
P X
x
=
近似值
0
0.000061
1
0.000854
2
0.005554
3
0.022217
4
0.061096
5
0.122192
6
0.183289
7
0.209473
8
0.183289
9
0.122192
10
0.061096
11
0.022217
12
0.005554
13
0.000854
14
0.000061
(2) 若試驗的結果為 14 個球中有 3 個紅球，則是否拒絕「紅球與白球數量相等」的假設_______
4. 擲一個公正硬幣 16 次，若正面出現次數為 k，則可得
2
10k
元，設 X 為擲此硬幣 16 次所得的金額，
則 X 的期望值為_________元
5. 有一個公正的特製骰子，其六個面只有出現 1，3，7 三種點數，但不知這三種點數各佔有幾面。設
X 為擲一次骰子所得的點數，若 X 的期望值為 4，變異數為 5，試求
(
1)
P X =
=
_________
6. 隨身攜帶的零錢包有 100 元代幣 1 枚、50 元代幣 3 枚與
1
0 元代幣 2 枚，從中一次取出 2 枚代幣，
且每枚代幣被取到的機會均等，並令隨機變數 X 表示取出的代幣金額，試求：
(1) X 的期望值為__________元 (2) X 的標準差_________元
7. 擲一粒公正的骰子 7 次，並令隨機變數 X 表示出現點數為完全平方數的次數，則
(
1)
P X
=
_____
8. 籤筒內有大小相同、編號 1，3，7，7，12，14 的籤各 1 支，一次取 3 支，每支被選取的機會均等，
並令隨機變數 X 表示 3 支籤中的最大編號，求 X 的標準差為________
9. 已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為
3
5
，出現反面的機率為
2
5
。今有一顆棋子位在數線
上的原點，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位置，規則如下：
①若擲出為正面，則從目前位置右移兩個單位
②若擲出為反面，則從目前位置左移一個單位
假設棋子以原點 O 為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板
6
次，且每次投擲均互相獨立，則經過
6
次移動後，棋子停在數線上坐標為 __ 的機率最大
10.紙箱裝有大小相同 2 紅球 1 白球，每次從箱內隨機抽取 1 球後，除了將該球放回紙箱，還多放了一
個與抽到之球同色且大小相同的球入箱。例如第一次抽到紅球，則將抽到的紅球丟回，並多放了一
個紅球入箱，此時箱內就有 3 紅球 1 白球，設 X 為依此方式抽球 3 次後箱內的紅球個數，則 X 的
期望值為_______個
二、計算題
：每小題 4 分，共 16 分(需寫出清楚計算過程，違者不予計分。)
1. 袋中有大小相同的白球 2 個、黃球 2 個與紅球 3 個，每次從袋中任取一球，取後不放回，直到取到
紅球才停止，稱此為一輪操作。已知每顆球在同一輪操作中被取到的機會均等，並令隨機變數 X
表示一輪操作中所取出的總球數，試問：
(1)
(
2)
P X =
(2) X 的機率分布表 (2) X 的期望值 (3) X 的變異數
市立武陵高級中學 111 學年度第二學期高三期末考數學乙答案卷
範圍：選修數學乙(上)單元 1 & 單元 2 三年____班_____號 姓名_______________
一、填充題：
每格 6 分，共 84 分
1.(1)
－17
1.(2)
99
2.(1)
20
2.(2)
5 6
3
3.(1)
0，1，2，12，13，14
3.(2)
否
4.
680
5.
1
6
6.(1)
90
6.(2)
2 370
7.
64
243
8.
7
9.
6
10.
4
二、計算題
：每小題 4 分，共 16 分(需寫出清楚計算過程，違者不予計分。)
1.
(1)
4 3
2
(
2)
7
6
7
P X =
= =
(2)
3
(
1)
7
P X =
=
4 3
2
(
2)
7
6
7
P X =
= =
4
3 3
6
(
3)
7
6 5
35
P X =
= =
4
3
2
3
3
(
4)
7
6
5
4
35
P X =
= =
4
3
2 1
1
(
5)
7
6
5
4
35
P X =
= =
x
1
2
3
4
5
(
)
P X
x
=
3
7
2
7
6
35
3
35
1
35
(3)
3
2
6
3
1
( ) 1
2
3
4
5
2
7
7
35
35
35
E X =
+ +
+
+
=
(4)
(
)
2
( )
(
( ) )
3
2
6
3
1
1
0
1
4
9
7
7
35
35
35
6
5
Var X
E
x
E X
=
−
=
= + +
+
+
=