國立武陵高級中學 102 學年度第二學期三年級自然組期末考數學試題
範圍：選修數學甲(II) 第二章
一、 多重選擇題：
每題 7 分，共 14 分
(錯一個選項得 4 分，錯二個得 1 分；錯三個以上或未作答則該題不得分)
( )
1
.
判斷下列哪些函數在 x＝1 可微分：
(A)
1
1
( )
2
f x
x
. .
(B)
2
2
( )
2
1
f x
x
(其中
為高斯符號)
(C)
2
3
3
2
1
( )
1
x
x
f x
x
x
x
若
若
(D)
5
4
2
1
( )
3
1
x
x
f x
x
x
x
若
若
.
(E)
2
5
1
3
( )
1
1
x
x
f x
x
x
( )
2
.
下圖為 y＝f (x)在
,
a b
的圖形，另設定義域在
,
a b
的函數 ( )
( )
x
a
g x
f t dt
，則
下列各選項中關於 g(x)在定義域中的敘述有哪些正確？
(A) g(x)在 x＝a 有最小值 (B) g(x)在 x＝b 有最大值 (C) g(x)在 x＝c 有
反曲點
(D) 方程式 g(x)＝0 有兩個實根 (E)
g(x)的函數圖形有兩個導數為 0 的點
二、 填充題
：共 70 分
1. 計算下列各函數在 x＝2 的導數：
(1)
3
4
( )
(2
10
5)
f x
x
x
(2)
6
2
5
4
( )
(
15
4)(
2
1)
g x
x
x
x
x
(3)
( )
(
1)(
2)(
3)(
4)(
5)(
6)(
7)
h x
x
x
x
x
x
x
x
2. 計算下列定積分的值：
(1)
2
3
0
2
1
x
x
dx
(2)
3
2
4
3
x dx
(其中
為高斯符號)
3. 如上圖，A(9，6)與 B(4，－4)為拋物線
Γ
：y
2
＝4x 上的兩點，今作一直線 L 平行直線 AB
答對題數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
8
16
24
31
38
44
50
54
58
62
66
70
x
y
Γ
A
B
L
O
C
x
y
O
b
a
y = f (x)
c
並與此拋物線相切，試問：
(1) 直線 L 的方程式為_______________
(2) 將
Γ
與直線 AB 所圍出的圖形(斜線區域) 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體體積為_________。
4. 試求實數 a 的範圍為__________可使得多項式函數
2
5
3
( )
2
1
9
1
f x
a x
a
x
x
在整個
實數上為一個遞增函數。
5. 欲使三次多項式函數
3
2
( )
3
5
f x
x
bx
bx
的圖形與直線
1
y
bx
產生三個相異交點，則
實數 b 範圍為_____________。
6. 如下圖，矩形的一邊 CD 落在
x
軸上，另一邊 AB 在
x
軸的上方，且兩頂點 A、B 在曲線
4
80
y
x
上，試問當 CD 長為__________時，可產生最大面積的矩形
7. 滿足其函數圖形在(－1，12)與(3，－20)均產生極值的最低次多項式為__________________
8. 已知一物體作直線運動，t 秒時此物體的速度為
4
10
2
200
V t
t
t
（公尺/秒），求此物體
由1秒至 3 秒過程中所移動的距離為_______________公尺。
三、 計算題
：共 16 分 (需寫出計算過程，違者不計分)
1. 描繪函數
3
2
3
7
6
2
2
f x
x
x
x
的圖形 (7 分)
2. 設函數
2
1
y
x
的圖形與 y＝0，x＝1 及 x＝3 所圍成的區域為 R，今將
1 , 3
作 n 等分，
試求：
(1) 上和 U
n
與下和 L
n
(6 分)
(2) 滿足
1
100
n
n
U
L
的最小正整數 n 為何？ (3 分)
x
y
D
A
y = 80－x
4
B
C
國立武陵高級中學 102 學年度第二學期三年級自然組期末考數學解答卷
一、多重選擇題：
每題 7 分，共 14 分
(錯一個選項得 4 分，錯二個得 1 分；錯三個以上或未作答則該題不得分)
1.
AC
2.
BCDE
二、填充題：
共 70 分
1.(1)
56
1.(2)
－132
1.(3)
－120
2.(1)
12
2.(2)
1
6
3.(1)
4
2
1 0
x
y
3.(2)
126π
4.
a＝0
5.
1
b
6.
4
7.
3
2
3
9
7
x
x
x
8.
送分
三、計算題：
共 16 分 (需寫出計算過程，違者不計分)
1.
3
2
3
7
6
2
2
'
3(
2)(
1)
''
6
3
f x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
1
1
2
2
0
0
0
1
13
7
4
2
x
f
x
f
x
f x
(7 分)
2. (1)
2
1
0
2
1
2
0
2
2
2
2
1
1
2
4
4
2
2
4 (
1)
4 (
1) (2
1)
2
2
6
4(
1)
4(
1)(2
1)
4
3
n
n
k
n
k
k
U
n
n
k
k
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
2
2
2
1
1
4(
1)
4(
1)(2
1)
4
3
n
n
k
k
L
n
n
n
n
n
n
n
(6 分)
(2)
1
100
16
1
100
1600
n
n
U
L
n
n
所以正整數 n 最小可取
1601 以滿足不等式
(3 分)
答對題數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
8
16
24
31
38
44
50
54
58
62
66
70
x
y
O
(
1
2
，
1
4
)
(－1，7)
(2，
13
2
)
O
